Vizualizare sursă pentru „Fagure tetraedric-octaedric”

{{Infocaseta 4-politop
| nume = Fagure tetraedric-octaedric
| image =[[Fișier:Alternated cubic tiling.png|175px]]&nbsp;[[Fișier:HC P1-P3.png|108px]]
| img_dim =
| Antet = Nume alternativ: Fagure cubic alternat
| Type = [[Fagure uniform]], [[Fagure simplectic |simplectic]]
| Schläfli = h{4,3,4}<br/>{3<sup>[4]</sup>}<br/> ht<sub>0,3</sub>{4,3,4}<br/> h{4,4}h{∞}<br/>ht<sub>0,2</sub>{4,4}h{∞}<br/> h{∞}h{∞}h{∞}<br/>s{∞}s{∞}s{∞}
| CD = {{CDD|nodes_10ru|split2|node|4|node}} = {{CDD|node_h1|4|node|3|node|4|node}}<br/> {{CDD|node_1|split1|nodes|split2|node}} = {{CDD|node_h1|4|node|split1|nodes}}<br/> {{CDD|node_h|4|node|3|node|4|node_h}}<br/> {{CDD|node_h|4|node|4|node|2|node_h|infin|node}}<br/> {{CDD|node_h|4|node|4|node_h|2|node_h|infin|node}}<br/> {{CDD|node_h|infin|node|2|node_h|infin|node|2|node_h|infin|node}} = {{CDD|node_h|4|node_g|3sg|node_g|4|node}}<br/> {{CDD|node_h|infin|node_h|2|node_h|infin|node_h|2|node_h|infin|node_h}} = {{CDD|node_h|4|node_g|3sg|node_g|4g|node_g}}
| Cell_List = [[tetraedru|{3,3}]] [[Fișier:Uniform polyhedron-33-t0.png|40px]]<br/> [[octaedru|{3,4}]] [[Fișier:Uniform polyhedron-43-t2.png|40px]]
| Face_List = [[triunghi]] {3}
| Edge_Count = [{3,3}.{3,4}]<sup>2</sup><br/>([[dreptunghi]])
| Vertex_Count =
| Vertex_Figure = [[Fișier:Alternated cubic honeycomb verf.svg|80px]][[Fișier:Uniform t0 3333 honeycomb verf.png|80px]]<br/> [[Fișier:Cuboctahedron.png|80px]][[Fișier:Cantellated tetrahedron.png|80px]]<br/> ([[cuboctaedru]])
| Petrie_Polygon =
| Coxeter_Group = <math>{\tilde{B}}_3</math>, [4,3<sup>1,1</sup>]
| Symmetry_Group = Fm{{overline|3}}m (225)
| Dual = [[Fagure dodecaedric rombic]]
| Property_List = Fagure cvasiregulat, convex, [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]] și [[figură izotoxală |laturi]]
| Index = J<sub>21,31,51</sub>, A<sub>2</sub>, W<sub>9</sub>, G<sub>1</sub><ref>{{en icon}} For cross-referencing, they are given with list indices from Andreini (1-22), Williams(1-2,9-19), Johnson (11-19, 21-25, 31-34, 41-49, 51-52, 61-65), and Grünbaum(1-28).</ref>
}}
Un '''fagure tetraedric-octaedric''' sau '''fagure cubic alternat''' este o [[teselare]] cvasiregulată (sau [[fagure (geometrie)|fagure]]) a [[spațiu euclidian |spațiului euclidian]] [[tridimensional]]. Este format din [[octaedru |octaedre]] și [[tetraedru |tetraedre]] regulate, în raport de 1:2. Este [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]], având câte 8 tetraedre și 6 octaedre în jurul fiecărui [[vârf (geometrie) |vârf]]. Este și [[figură izotoxală |tranzitiv pe laturi]], cu căte 2 tetraedre și 2 octaedre care se întâlnesc alternativ pe fiecare [[latură (geometrie) |latură]]. Dualul său este [[fagure dodecaedric rombic |fagurele dodecaedric rombic]].

Face parte dintr-o familie infinită de [[fagure uniform |faguri uniformi]] numiți [[fagure hipercubic alternat |faguri hipercubici alternați]], format ca o [[alternare (geometrie) |alternare]] a unui [[fagure hipercubic]]. De asemenea, face parte dintr-o altă familie infinită de faguri uniformi, numiți [[fagure simplectic |faguri simplectici]].

În acest caz din spațiul tridimensional, [[fagure cubic |fagurele cubic]] este alternat, reducând celulele [[cub]]ice la tetraedre, iar vârfurile eliminate lasă goluri octaedrice. Ca atare, poate fi reprezentat printr-un [[simbol Schläfli]] h{4,3,4} extins, conținând ''jumătate'' din vârfurile fagurelui cubic {4,3,4}.

Există un fagure similar, numit [[fagure tetraedric-octaedric girat]] care are straturile rotite la 60°, astfel încât în jumătate din laturi se învecinează tetraedre cu tetraedre și octaedre cu octaedre în loc de tetraedre cu octaedre, ca urmare acesta nu este tranzitiv pe laturi.

Fagurele tetraedric-octaedric poate avea simetria dublată prin plasarea tetraedrelor pe celulele octaedrice, creând un fagure neuniform format din tetraedre și octaedre (ca antiprisme triunghiulare). Figura vârfului său este un tetraedru triakis trunchiat de ordinul 3. Acest fagure este dualul fagurelui tetraedric triakis trunchiat, format din celule tetraedrice triakis trunchiate.

== Coordonate carteziene ==
La un fagure cubic alternat, cu laturile paralele cu axele și cu lungimea laturii 1, pentru toate valorile întregi: <math>i,j,k</math> cu <math>i+j+k</math> par, [[coordonate carteziene |coordonatele carteziene]] ale vârfurilor sunt:
:<math>(i,j,k)</math>

[[Fișier:TetraOctaHoneycomb-VertexConfig.svg|thumb|[[Vedere expandată]] a celulelor din jurul unui vârf]]
== Simetrie ==
Există două construcții prin reflexii și multe prin alternarea fagurelui cubic; exemple:
{| class=wikitable style="text-align:center;"
!Simetrie
!<math>{\tilde{B}}_3</math>, [4,3<sup>1,1</sup>]<br/>= ½<math>{\tilde{C}}_3</math>, [1<sup>+</sup>,4,3,4]
!<math>{\tilde{A}}_3</math>, [3<sup>[4]</sup>]<br/>= ½<math>{\tilde{B}}_3</math>, [1<sup>+</sup>,4,3<sup>1,1</sup>]
!<nowiki>[[</nowiki>(4,3,4,2<sup>+</sup>)]]
![(4,3,4,2<sup>+</sup>)]
|-
!{{ill-wd| Q899033||Grup spațial}}
!Fm{{overline|3}}m (225)
!F{{overline|4}}3m (216)
!I{{overline|4}}3m (217)
!P{{overline|4}}3m (215)
|-
!Imagine
|[[Fișier:Tetrahedral-octahedral honeycomb.png|160px]]
|[[Fișier:Tetrahedral-octahedral honeycomb2.png|160px]]
|
|
|-
!Tipuri de tetraedre
!1
!2
!3
!4
|-
![[Diagramă Coxeter |Diagramă<br/>Coxeter]]
!{{CDD|nodes_10ru|split2|node|4|node}} = {{CDD|node_h1|4|node|3|node|4|node}}
! {{CDD|node_1|split1|nodes|split2|node}} = {{CDD|nodes|split2|node|4|node_h1}} = {{CDD|node_h0|4|node|3|node|4|node_h1}}
!{{CDD|branch|4a4b|branch_hh|label2}}
!{{CDD|node_h|4|node|3|node|4|node_h}}
|}

{| class=wikitable width=300 align=right style="text-align:center;"
!{{CDD|node_h|2x|node_h|4|node|4|node}}
!{{CDD|node_h|2x|node_h|6|node|3|node}}
|-
|[[Fișier:Alternated cubic slab honeycomb.png|140px]]
|[[Fișier:Tetroctahedric semicheck.png|140px]]
|}
=== Straturi alternate la fagurele cubic ===
''Fagurele cubic alternat'' poate fi divizat în straturi, unde sunt create noi fețe pătrate în interiorul octaedrelor. Fiecare strat va conține [[piramidă pătrată |piramide pătrate]] orientate în sus și în jos și tetraedre așezate pe laturile lor. O a doua direcție de divizare nu necesită fețe noi și prezintă tetraedre și octaedre dispuse alternativ. Acest fagure din plăci este mai degrabă un [[4-politop uniform#Alternări_neuniforme |fagure scaliform]] decât unul uniform, deoarece are celule neuniforme.
{{-}}
=== Proiecții prin pliere ===
{|class=wikitable align=right style="text-align:center;"
|-
![[Grup Coxeter |Grup<br/>Coxeter]]
!<math>{\tilde{A}}_3</math>
!<math>{\tilde{C}}_2</math>
|-
![[Diagramă Coxeter–Dynkin#Plieri_geometrice |Diagramă<br/>Coxeter]]
|{{CDD|node_1|split1|nodes|split2|node}}
|{{CDD|node_1|4|node|4|node}}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square.svg|100px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t0.svg|100px]]
|-
!Nume
|fagure cubic alternat
|[[pavare pătrată]]
|}

''Fagurele cubic alternat'' poate fi proiectat ortogonal în [[pavare pătrată |pavarea pătrată]] plană printr-o operație de [[Diagramă Coxeter–Dynkin#Plieri_geometrice |pliere geometrică]] care aplică o pereche de oglinzi una pe alta. Proiecția ''fagurelui cubic alternat'' creează două copii decalate ale [[aranjamentul vârfurilor |aranjamentului vârfurilor]] planului:

== Rețeaua A3/D3 ==
Aranjamentul vârfurilor sale reprezintă o {{ill-wd| Q534131||''rețea A<sub>3</sub>''}}.<ref>{{en icon}} {{Cite web|url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/D3.html|title = The Lattice D3}}</ref><ref>{{en icon}} {{Cite web|url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A3.html|title = The Lattice A3}}</ref> Această rețea este cunoscută în [[cristalografie]] ca [[sistem cristalin cubic |rețeaua cubică cu fețe centrate]], în care vârfurile sunt centrele unei împachetări strânse de sfere egale, care atinge cea mai mare [[densitate de împachetare |densitate]] medie posibilă. Fagurele tetraedric-octaedric este cazul tridimensional al unui [[fagure simplectic]]. {{ill-wd| Q757267||Celula sa Voronoi}} este un [[dodecaedru rombic]], dualul figurii vârfului [[cuboctaedru]]lui pentru fagurele tetraedric-octaedric.

Împachetarea D{{subsuper|p=+|b=3}} poate fi construită prin reuniunea a două rețele D<sub>3</sub> (sau A<sub>3</sub>). Împachetarea D{{subsuper|p=+|b=n}} este o rețea doar pentru dimensiuni pare. Numărul punctelor de contact este 2<sup>2</sup>=4, (2<sup>n−1</sup> pentru n&nbsp;<&nbsp;8, 240 pentru n=8 și 2n(n−1) pentru n&nbsp;>&nbsp;8).<ref>Conway (1998), p. 119</ref>
:{{CDD|node_1|split1|nodes|split2|node}} ∪ {{CDD|node|split1|nodes|split2|node_1}}

Rețeaua A{{subsuper|p=*|b=3}} sau rețeaua D{{subsuper|p=*|b=3}} (numite și A{{subsuper|p=4|b=3}} și D{{subsuper|p=4|b=3}}) pot fi construite din reuniunea a patru rețele A<sub>3</sub> și este identică cu aranjamentul vârfurilor {{ill-wd| Q5282593||fagurelui bisfenoid tetragonal}}, fagure dual al [[fagure cubic bitrunchiat |fagurelui cubic bitrunchiat]].<ref>{{en icon}} {{Cite web|url=http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/Ds3.html|title=The Lattice D3}}</ref> Este și [[sistem cristalin cubic |rețeaua cubică centrată intern]], reuniunea a doi faguri cubici aflați în poziții duale.
:{{CDD|node_1|split1|nodes|split2|node}} ∪ {{CDD|node|split1|nodes_10luru|split2|node}} ∪ {{CDD|node|split1|nodes_01lr|split2|node}} ∪ {{CDD|node|split1|nodes|split2|node_1}} = dual al {{CDD|node_1|split1|nodes_11|split2|node_1}} = {{CDD|node_1|4|node|3|node|4|node}} ∪ {{CDD|node|4|node|3|node|4|node_1}}.

Numărul punctelor de contact al rețelei D{{subsuper|p=*|b=3}} este 8<ref>Conway (1998), p. 120</ref> iar teselarea sa Voronoi este [[fagure cubic bitrunchiat |fagurele cubic bitrunchiat]], {{CDD|branch_11|4a4b|nodes}}, care conține toate celulele Voronoi octaedrice trunchiate, {{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}.<ref>Conway (1998), p. 466</ref>

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) ''The Symmetries of Things'', {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292–298, includes all the nonprismatic forms)
* {{en icon}} George Olshevsky, ''Uniform Panoploid Tetracombs'', Manuscript (2006) ''(Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs)''
* {{en icon}} [[Branko Grünbaum]], ''Uniform tilings of 3-space''. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
* {{en icon}} [[Norman Johnson]] ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
* {{en icon}} {{cite book | first=Robert | last=Williams | title=The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design | publisher=Dover Publications, Inc | year=1979 | isbn=0-486-23729-X}}
* {{en icon}} {{cite book | first=Keith | last=Critchlow | title=Order in Space: A design source book | publisher=Viking Press| year=1970 | isbn=0-500-34033-1 }}
* {{en icon}} ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
:* (Paper 22) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Uniform space-fillings)
:* (Paper 24) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* {{it icon}} Alfredo Andreini, ''Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative'', Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.
*{{en icon}}  Duncan MacLaren Young Sommerville, ''An Introduction to the Geometry of '''n''' Dimensions.'' New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
* {{en icon}} {{cite book |last=Conway JH, Sloane NJH |year=1998 |title=Sphere Packings, Lattices and Groups |edition=3rd |isbn=0-387-98585-9 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/spherepackingsla0000conw_b8u0 }}

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline}}
* {{en icon}} [http://www.wtcsitememorial.com/ent/entI=706963.html Architectural design made with Tetrahedrons and regular Pyramids based square.(2003) ] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304142123/http://www.wtcsitememorial.com/ent/entI=706963.html |date=2016-03-04 }}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|flat.htm|3D Euclidean Honeycombs|x3o3o *b4o - octet  - O21}}
* {{en icon}} [http://www.doskey.com/polyhedra/UniformHoneycombs.html Uniform Honeycombs in 3-Space: 11-Octet]

{{Portal|Matematică}}
{{Faguri}}

[[Categorie:Faguri (geometrie)|tetraederic-octaedric]]
[[Categorie:4-politopuri]]