Vizualizare sursă pentru „Fagure (geometrie)”

{{Pentru|un fagure de albine|Fagure}}
[[Fișier:cubic honeycomb.png|thumb| [[Fagure cubic]]]]
[[Fișier:Wallpaper group-cmm-1.jpg|thumb|Este posibil să se umple un plan cu [[poligon |poligoane]] care nu se întâlnesc toate la colțurile lor, de exemplu folosind [[dreptunghi]]uri, ca într-un zid de [[cărămidă]]: aceasta nu este o [[pavare]] adecvată, deoarece colțurile se află parțial de-a lungul marginii unui poligon vecin. Similar, într-un fagure adevărat nu trebuie să existe laturi sau vârfuri așezate parțial de-a lungul feței unei celule vecine. Interpretând fiecare față a cărămizilor ca fiind un [[hexagon]] având două unghiuri interioare de 180° permite ca acest model să fie considerat o pavare propriu-zisă. Însă nu toți geometrii acceptă astfel de hexagoane.]]
În [[geometrie]], un '''fagure''' este o ''umplere a spațiului'' sau ''împachetare compactă'' a [[poliedru |poliedrelor]] sau a ''[[Celulă (geometrie) |celulelor]]'' din [[dimensiune (matematică) |dimensiuni]] superioare astfel încât să nu rămână goluri. Este un exemplu de generalizare matematică a ''pavărilor'' sau ''[[teselare |teselărilor]]'' în orice număr de dimensiuni. Un ''n''-fagure este un fagure în spațiul ''n''-dimensional.

Fagurii sunt de obicei construiți în [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]] obișnuit („plat”). Ei pot fi, de asemenea, construiți în [[spațiu neeuclidian |spații neeuclidiene]], cum ar fi [[fagure hiperbolic |fagurii hiperbolici]]. Orice [[politop uniform]] finit poate fi proiectat în [[sferă circumscrisă |sfera sa circumscrisă]] pentru a forma un fagure uniform în spațiul sferic.

== Clasificare ==
Există infinit de mulți faguri, care au fost doar parțial clasificați. Cei mai regulați au stârnit și cel mai mare interes, în timp ce continuă să fie descoperit un sortiment bogat și variat de alți faguri.

Cele mai simple structuri de faguri sunt formate din straturi de [[Prismă (geometrie) |prisme]] suprapuse pe baza unor teselări ale planului. În particular, pentru fiecare [[paralelipiped]], copiile lui pot umple spațiul, [[fagure cubic |fagurele cubic]] fiind unul special deoarece este singurul fagure ''regulat'' în spațiul obișnuit (euclidian). O altă familie interesantă sunt [[tetraedru Hill |tetraedrele Hill]] și generalizările lor, care pot, de asemenea, umple spațiul.

=== 3-faguri uniformi ===
Un [[fagure uniform]] tridimensional este un fagure în [[spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]] ([[3-spațiu]]) compus din celule [[poliedru uniform |poliedrice uniforme]] și având toate vârfurile la fel (adică [[grup de izometrie|grupul izometriilor]] 3-spațiului, care conservă pavarea, este tranzitiv pe vârfuri). Există 28 de exemple [[convexitate |convexe]] în 3-spațiul euclidian,<ref>{{en icon}} Grünbaum (1994). "Uniform tilings of 3-space". ''Geombinatorics'' 4(2)</ref> numite și ''[[fagure convex uniform |faguri arhimedici]]''.

Se spune despre un fagure că este ''regulat'' dacă grupul de izometrii care conservă pavarea este tranzitiv pe [[steag (matematică) |steaguri]], unde un ''steag'' este format dintr-un vârf, o latură din care face parte, o față din care face parte latura, o celulă mărginită de acea față. Fiecare fagure regulat este automat și uniform. Totuși, există un singur fagure regulat în 3-spațiul euclidian, fagurele cubic. Două sunt ''[[poliedru cvasiregulat |cvasiregulate]]'' (formate din două tipuri de celule regulate):

{| class=wikitable
!Type
![[Fagure cubic |Fagure cubic regulat]]
!Fagure cvasiregulat
|-
!Celule
![[Cub|Cubice]]
![[Octaedru|Octaedre]] și [[tetraedru|tetraedre]]
|-
!Strat de dale
|[[Fișier:Cubic semicheck.png|240px]]
|[[Fișier:Tetroctahedric semicheck.png|240px]]
|}

[[Fagure tetraedric-octaedric |Fagurii tetraedric-octaedrici]] sunt generați de 3 sau 2 poziții ale stratului de dale al celulelor, fiecare alternând tetraedre și octaedre. Un număr infinit de faguri unici poate fi creat prin modele de ordin superior ale repetărilor a acestor straturi de dale.

=== Poliedre care umplu spațiul ===
Se spune că un fagure care are toate celulele identice în [[simetrie (geometrie)|simetriile]] sale este ''tranzitiv pe celule'' (''izocoric''). În spațiul euclidian tridimensional se spune că o celulă a unui astfel de fagure este un ''poliedru care umple spațiul''.<ref>{{en icon}} Eric W. Weisstein [https://mathworld.wolfram.com/Space-FillingPolyhedron.html Space-Filling polyhedron], ({{ro|poliedru care umple spațiul}}) la ''Mathworld''</ref> O condiție necesară pentru ca un poliedru să fie un poliedru care umple spațiul este ca [[invariant Dehn |invariantul Dehn]] să fie zero,<ref>{{de icon}} {{citation| last = Debrunner | first = Hans E.| doi = 10.1007/BF01235384| issue = 6| journal = Archiv der Mathematik | mr = 604258| pages = 583–587 | title = Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln| volume = 35| year = 1980}}.</ref><ref>{{en icon}} {{citation| last1 = Lagarias | first1 = J. C. | last2 = Moews | first2 = D.| doi = 10.1007/BF02574064| issue = 3–4| journal = Discrete and Computational Geometry| mr = 1318797| pages = 573–583| title = Polytopes that fill <math>\mathbb{R}^n</math> and scissors congruence| volume = 13| year = 1995| doi-access = free}}.</ref> în afara cubului excluzând toate celalte [[poliedru regulat |corpuri platonice]].

Cinci poliedre care umplu spațiul pot tesela un spațiu euclidian tridimensional, numai prin [[translație (geometrie)|translații]]. Se numesc [[paraleloedru |paraleloedre]]:
# [[Fagure cubic]] (sau variațiile: [[cuboid]], [[hexaedru]] rombic sau [[paralelipiped]])
# [[Fagure prismatic hexagonal]]<ref>{{en icon}} [http://www.nanomedicine.com/NMI/Figures/5.4.jpg Uniform space-filling using triangular, square, and hexagonal prisms] ({{ro|Umplere uniformă a spațiului cu prisme trianghiulare, pătrate și hexagonale}})</ref>
# [[Fagure dodecaedric rombic]]
# [[Fagure dodecaedric rombohexagonal]]<ref>{{en icon}} [http://www.nanomedicine.com/NMI/Figures/5.7.jpg Uniform space-filling using only rhombo-hexagonal dodecahedra] ({{ro|Umplere uniformă a spațiului doar cu dodecaedre rombo-hexagonale}})</ref>
# [[Fagure cubic bitrunchiat]] sau cu [[octaedru trunchiat |octaedre trunchiate]]<ref>{{en icon}} [http://www.nanomedicine.com/NMI/Figures/5.5.jpg Uniform space-filling using only truncated octahedra] ({{ro|Umplere uniformă a spațiului doar cu octaedre trunchiate}})</ref>

{| class=wikitable width=600
|- align=center valign=top
|[[Fișier:Rhombohedral prism honeycomb.png|120px]]<br/>Fagure cubic
|[[Fișier:Skew hexagonal prism honeycomb.png|120px]]<br/>Fagure prismatic hexagonal
|[[Fișier:Rhombic dodecahedra.png|120px]]<br/>Fagure dodecaedric rombic
|[[Fișier:Elongated rhombic dodecahedron honeycomb.png|120px]]<br/>Fagure dodecaedric rombohexagonal
||[[Fișier:Truncated octahedra.png|120px]]<br/>Fagure cubic bitrunchiat
|-
![[Cub]]<br/>([[paralelipiped]])
![[Prismă hexagonală]]
![[Dodecaedru rombic]]
![[Dodecaedru rombohexagonal]]
![[Octaedru trunchiat]]
|-
|[[Fișier:Parallelohedron_edges_cube.png|120px]]
|[[Fișier:Parallelohedron_edges_hexagonal prism.png|120px]]
|[[Fișier:Parallelohedron_edges_rhombic dodecahedron.png|120px]]
|[[Fișier:Parallelohedron_edges_elongated_rhombic_dodecahedron.png|120px]]
|[[Fișier:Parallelohedron_edge_truncated_octahedron.png|140px]]
<!-- |-
!3 lungimi de latură
!3+1 lungimi de latură
!4 lungimi de latură
!4+1 lungimi de latură
!6 lungimi de latură -->
|}

Alte exemple cunoscute de poliedre care umplu spațiul sunt:
* [[Fagure prismatic triunghiular |Fagurele prismatic triunghiular]]
* [[Fagure prismatic triunghiular#Fagure_prismatic_triunghiular_rotit |Fagurele prismatic triunghiular rotit]]
* [[Fagure tetraedric trunchiat triakis |Fagurele tetraedric trunchiat triakis]]. Celulele Voronoi ale atomilor de carbon din structura diamantului au această [[formă]]<ref>{{en icon}} {{cite newsgroup|author=John Conway|title=Voronoi Polyhedron. geometry.puzzles|date=2003-12-22 |url=https://groups.google.com/d/msg/geometry.puzzles/pkL3avbWPoc/ABSaqdQaqu4J}}</ref>
* [[Fagure dodecaedric trapezo-rombic |Fagurele dodecaedric trapezo-rombic]]<ref>{{en icon}} X. Qian, D. Strahs and T. Schlick, ''J. Comput. Chem.'' '''22'''(15) 1843–1850 (2001)</ref>
* Pavarea [[Figură izoedrică|izoedrică]]<ref>{{en icon}} [http://scripts.iucr.org/cgi-bin/paper?S0108767305009578] O. Delgado-Friedrichs and M. O'Keeffe. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with &lt;16 faces. Acta Crystallogr. (2005) A61, 358-362</ref>

=== Alți faguri cu două sau mai multe poliedre ===
[[Fișier:12-14-hedral honeycomb.png|thumb|Structură Weaire–Phelan cu două tipuri de celule]]
Uneori, pentru a umple spațiul pot fi combinate două<ref>{{en icon}} [http://science.unitn.it/~gabbrielli/p8_gallery.html A space-filling polyhedron with 13 faces], science.unitn.it, accesat 2015-06-30 ([https://web.archive.org/web/20150630072207/http://science.unitn.it/~gabbrielli/p8_gallery.html arhivă])</ref> sau mai multe poliedre diferite. Pe lângă mulți dintre fagurii uniformi, un alt exemplu binecunoscut este [[structura Weaire–Phelan]], sugerată de structura cristalelor de hidrat de gaz.<ref>{{en icon}} Linus Pauling, ''The Nature of the Chemical Bond'', Cornell University Press, 1960</ref>

=== 3-faguri neconvecși ===
Exemplele documentate sunt rare. Se pot distinge două clase:
* Celule neconvexe care se împachetează fără suprapuneri, analog cu pavările cu [[poligon concav|poligoane concave]]. Acestea includ o [[fagure dodecaedric rombic stelat |împachetare]] a micului [[dodecaedru rombic stelat]] (prima variantă de stelare), ca în [[Cub Yoshimoto |cubul Yoshimoto]].
* Suprapunerea celulelor a căror [[densitate (politop) |densitate]] pozitivă și negativă „se anulează” pentru a forma un continuu uniform dens, analog cu pavările suprapuse ale planului.

=== Faguri hiperbolici ===
În [[spațiu hiperbolic |spațiul hiperbolic]] tridimensional, [[unghi diedru |unghiul diedru]] al unui poliedru depinde de mărimea acestuia. Fagurii hiperbolici regulați sunt de două feluri, cu patru sau cinci [[dodecaedru |dodecaedre]] care se întâlnesc pe fiecare latură; unghiurile lor diedre fiind <math>\pi / 2 \,</math> și <math>2\pi / 5 \,</math>, ambele fiind mai mici decât cel al unui dodecaedru euclidian. În afară de acest efect, fagurii hiperbolici respectă aceleași constrângeri topologice ca și fagurii euclidieni și policorurile.

Au fost enumerați 4 faguri hiperbolici regulați compacți și 11 paracompacti precum și mulți [[Fagure hiperbolic uniform |faguri hiperbolici uniformi]] compacți și paracompacti.

{| class="wikitable"
|+ Patru faguri regulați compacți în H<sup>3</sup>
|- style="text-align:center;"
|[[File:H3 534 CC center.png|180px]]<br/>[[Fagure dodecaedric de ordinul 4|{5,3,4}]]
|[[File:H3_435_CC_center.png|180px]]<br/>[[Fagure cubic de ordinul 5|{4,3,5}]]
|[[File:H3_353_CC_center.png|180px]]<br/>[[Fagure icosaedric|{3,5,3}]]
|[[File:H3 535 CC center.png|180px]]<br/>[[Fagure dodecaedric de ordinul 5|{5,3,5}]]
|}

{| class="wikitable"
!colspan=12|11 faguri regulați paracompacți
|- align=center
|[[File:H3 633 FC boundary.png|180px]]<br/>[[Fagure pavare hexagonală|{6,3,3}]]
|[[File:H3 634 FC boundary.png|180px]]<br/>[[Fagure pavare hexagonală de ordinul 4|{6,3,4}]]
|[[File:H3 635 FC boundary.png|180px]]<br/>[[Fagure pavare hexagonală de ordinul 5|{6,3,5}]]
|[[File:H3 636 FC boundary.png|180px]]<br/>[[Fagure pavare hexagonală de ordinul 6|{6,3,6}]]
|- align=center
|[[File:H3_443_FC_boundary.png|180px]]<br/>[[Fagure pavare pătrată|{4,4,3}]]
|[[File:H3 444 FC boundary.png|180px]]<br/>[[Fagure pavare pătrată de ordinul 4|{4,4,4}]]
|[[File:H3 336 CC center.png|180px]]<br/>[[Fagure pavare tetraedrică de ordinul 6|{3,3,6}]]
|[[File:H3 436 CC center.png|180px]]<br/>[[Fagure cubic de ordinul 6|{4,3,6}]]
|- align=center
|[[File:H3_536_CC_center.png|180px]]<br/>[[Fagure dodecaedric de ordinul 6|{5,3,6}]]
|[[File:H3_363_FC_boundary.png|180px]]<br/>[[Fagure pavare triunghiulară|{3,6,3}]]
|[[File:H3_344_CC_center.png|180px]]<br/>[[Fagure octaedric de ordinul 4|{3,4,4}]]
|}

== Dualitarea 3-fagurilor ==
Pentru fiecare fagure există un fagure [[dualitate (matematică) |dual]], care poate fi obținut prin schimbările:
* celulelor cu vârfuri,
* fețelor cu laturi.

Acestea sunt exact regulile pentru dualizarea 4-politopurilor, cu excepția faptului că metoda finită obișnuită de înlocuire pe baza unei hipersfere concentrice poate întâmpina probleme.

Fagurii regulați dualizează simplu:
* Fagurele cubic este autodual.
* Cel al octaedrelor și al tetraedrelor este dual cu cel al dodecaedrelor rombice.
* Fagurii cu dale derivați din pavări uniforme plane sunt duali între ei în același mod în care sunt duale pavările.
* Dualii fagurilor arhimedici rămași sunt toți tranzitivi față de celule și au fost descriși de Inchbald.<ref>{{en icon}} {{citation| last = Inchbald | first = Guy| date = July 1997| doi = 10.2307/3619198| issue = 491| pages = 213–219| journal = The Mathematical Gazette| title = The Archimedean honeycomb duals| url = http://www.steelpillow.com/polyhedra/AHD/AHD.htm| volume = 81| jstor = 3619198}}</ref>

== Faguri autoduali ==
Fagurii pot fi, de asemenea, autoduali. Toate [[fagure hipercubic |fagurii hipercubici]] ''n''-dimensionali cu [[simbol Schläfli |simboluri Schläfli]] {4,3n − 2,4}, sunt autoduali.

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, H.S.M.]]: ''Regular Polytopes''.
* {{en icon}} Williams, Robert (1979). ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', Dover Publications, Inc, {{ISBN|0-486-23729-X}}, pp.&nbsp;164–199: Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
* {{en icon}} Critchlow, K.: ''Order in space''.
* {{en icon}} Pearce, P.: ''Structure in nature is a strategy for design''.
* {{en icon}} Goldberg, Michael ''Three Infinite Families of Tetrahedral Space-Fillers'' Journal of Combinatorial Theory A, 16, pp.&nbsp;348–354, 1974.
* {{en icon}} {{cite journal|doi=10.1016/0097-3165(72)90077-5|title=The space-filling pentahedra|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|volume=13|issue=3|pages=437–443|year=1972|last1=Goldberg|first1=Michael|doi-access=free}}
* {{en icon}} Goldberg, Michael ''The Space-filling Pentahedra II'', Journal of Combinatorial Theory 17 (1974), 375–378.
* {{en icon}} {{cite journal|doi=10.1007/BF00181585|title=On the space-filling hexahedra|journal=Geometriae Dedicata|volume=6|year=1977|last1=Goldberg|first1=Michael}}
* {{en icon}} {{cite journal|doi=10.1007/BF00181630|title=On the space-filling heptahedra|journal=Geometriae Dedicata|volume=7|issue=2|pages=175–184|year=1978|last1=Goldberg|first1=Michael}}
* {{en icon}} Goldberg, Michael ''Convex Polyhedral Space-Fillers of More than Twelve Faces.'' Geom. Dedicata 8, 491-500, 1979. 
* {{en icon}} {{cite journal|url=http://documents.mx/documents/on-the-space-filling-octahedra.html |doi=10.1007/BF01447431|title=On the space-filling octahedra|journal=Geometriae Dedicata|volume=10|issue=1–4|pages=323–335|year=1981|last1=Goldberg|first1=Michael}}
* {{en icon}} {{cite journal|url=https://upcommons.upc.edu/handle/2099/990|title=On the Space-filling Decahedra|year=1982|last1=Goldberg|first1=Michael}}
* {{en icon}} {{cite journal|doi=10.1007/BF00147314|title=On the space-filling enneahedra|journal=Geometriae Dedicata|volume=12|issue=3|year=1982|last1=Goldberg|first1=Michael}}

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Hyperbolic honeycombs}}
* {{en icon}} Guy Inchbald, [http://www.steelpillow.com/polyhedra/five_sf/five.htm ''Five space-filling polyhedra''], The Mathematical Gazette '''80''', November 1996, pp.&nbsp;466-475
* {{de icon}} T.E. Dorozinski, [http://www.3doro.de/space-filling/ ''Raumfüller''] ({{ro|[poliedre] care umplu spațiul}})

{{Portal|Matematică}}
{{Teselări}}

[[Categorie:Faguri (geometrie)| ]]