Vizualizare sursă pentru „Factor Lorentz”

'''Factorul Lorentz''' sau '''termenul Lorentz''' apare în câteva ecuații din [[teoria relativității restrânse]], inclusiv [[dilatarea temporală]], [[contracția distanțelor]], și formula [[Masă relativistă|masei relativiste]]. Datorită frecvenței sale de apariție, [[Fizică|fizicienii]] o reprezintă în general cu simbolul prescurtat ''γ''. Factorul Lorentz își trage numele de la [[Hendrik Lorentz]].<ref>[http://www.nap.edu/html/oneuniverse/motion_knowledge_concept_12.html Un univers], de [[Neil deGrasse Tyson]], Charles Tsun-Chu Liu, și Robert Irion.</ref>

Este definit ca:

: <math>\gamma \equiv \frac{c}{\sqrt{c^2 - u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau} </math>

...unde:

: <math>\beta = \frac{u}{c}</math> este viteza raportată la [[viteza luminii]],
: ''u'' este viteza raportată în [[Sistem de referință|sistemul de referință]] unde este măsurat timpul ''t''
: ''τ'' este [[Timp propriu|timpul propriu]], și
: ''c'' este ''viteza luminii''. 

== Demonstrația factorului Lorentz ==
S-a observat ca legile de mișcare galileiene nu sunt valabile pentru viteze mari , așa că ele trebuie generalizate astfel încât să respecte postulatele relativitații restranse:
* să fie [[funcție simetrică |simetrice]] în raport cu ambele referențiale (echivalența referențialelor);
* să fie liniare , adică variabilele care intervin să apară la puterea întai (altfel contrazice prima cerință);
* pentru situațiile limită să conducă la relațiile de transformare galileiene (v<<c).
Fie atunci referențialul S si un referențial S' in mișcare uniforma față de S cu viteza V.Inițial ele se află in acelasi punct.Timpii sunt înregistrați diferit,iar inițial <math>t = t' = 0</math> . Relațiile de transformare sunt:

<math>x'=\gamma(x-Vt)
 </math>   (1)

<math>x=\gamma(x'-Vt') </math>  (2)

Dar conform celui de-al doilea postulat viteza luminii este aceeași în ambele sisteme de referință.Putem înlocui <math>x'=c*t' </math> și <math>x=c*t </math>.Atunci obținem din (1):

<math>c*t'=\gamma(c*t-Vt) </math> , de unde obținem <math>\gamma=(c*t')/(c*t-Vt) </math>

Și analog obținem din (2) : <math>\gamma=(c*t)/(c*t'-Vt') </math>

Înmulțind membru cu membru ultimile doua formule obținem <math>\gamma^2=c^2tt'/(tt'(c-V)(c+V)) </math> <math>\Longleftrightarrow \gamma=1/\sqrt{1-V^2/c^2} </math>

Deci   <math>\gamma={1 \over \sqrt{1-v^2/c^2}} </math>

== Aproximări ==
Factorul Lorentz are următoarea [[Serie Taylor|serie Maclaurin]]:

: <math>\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...</math>

Aproximarea γ ≈ 1 + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> β<sup>2</sup> se folosește uneori pentru a calcula efectele relativiste la viteze mici. Eroarea este de 1% pentru v &lt; 0.4 c (v &lt; 120,000 km/s), și de maxim 0.1% pentru v < 0.22 c (v &lt; 66,000 km/s). 

Versiunile trunchiate ale acestei serii permit fizicienilor să demonstreze că [[teoria relativității restrânse]] se reduce la [[mecanica newtoniană]] la viteze reduse. De exemplu, în relativitatea restrânsă, sunt valabile următoarele ecuații:

:<math>\vec p = \gamma m \vec v </math>
:<math>E = \gamma m c^2 \,</math>

Pentru γ ≈ 1 și γ ≈ 1 + <sup>1</sup>/<sub>2</sub> β<sup>2</sup>, respectiv, acestea se reduc la formulele newtoniene echivalente:

:<math>\vec p = m \vec v </math>
:<math> E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 </math> 

Ecuația factorului Lorentz poate fi și inversată pentru a da:

: <math>\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} </math>

Aceasta are forma asimptotică:

: <math>\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ...</math>

Primii doi termeni sunt uneori folosiți pentru a calcula rapid viteze pentru valori mari ale lui γ. Aproximarea β ≈ 1 - <sup>1</sup>/<sub>2</sub> γ<sup>-2</sup> are o eroare de maxim 1% pentru γ > 2, și 0.1% eroare pentru γ > 3.5.

== Valori ==
[[Fișier:Lorentz factor.svg|thumb|right|Factorul Lorentz în funcție de viteză. Începe la valoarea 1 și tinde la infinit pentru <math>v\to c</math>.]]

{| class="wikitable"
! Viteza !! factorul Lorentz !! inversul
|-
! <math>\beta = v/c </math> !! <math>\gamma </math> !! <math>1/\gamma</math>
|-
| 0.010 || 1.000 || 1.000 
|-
| 0.100 || 1.005 || 0.995 
|-
| 0.200 || 1.021 || 0.980 
|-
| 0.300 || 1.048 || 0.954 
|-
| 0.400 || 1.091 || 0.917 
|-
| 0.500 || 1.155 || 0.866 
|-
| 0.600 || 1.250 || 0.800 
|-
| 0.700 || 1.400 || 0.714 
|-
| 0.800 || 1.667 || 0.600 
|-
| 0.866 || 2.000 || 0.500 
|-
| 0.900 || 2.294 || 0.436 
|-
| 0.990 || 7.089 || 0.141 
|-
| 0.999 || 22.366 || 0.045
|-
|}

== Rapiditatea ==
Dacă [[tanh]] ''r'' = ''β'', atunci ''γ'' = cosh ''r''. Aici, [[Unghi hiperbolic|unghiul hiperbolic]] ''r'' este cunoscut sub numele de '''rapiditate'''. Rapiditatea are proprietatea că rapiditățile relative sunt aditive, proprietate utilă, pe care viteza nu o are.
Uneori (mai ales în discuțiile despre [[viteză superluminică]]) γ este scris ''Γ'' (gamma mare) și nu ''γ'' (gamma mic).

Factorul Lorentz se aplică în [[dilatarea temporală]], [[contracția distanțelor]] și [[masa relativistă]], relativă la masa în repaus în relativitatea restrânsă. Un obiect în mișcare față de un observator va fi văzut ca mișcându-se mai încet, datorită înmulțirii cu gamma a timpului său propriu. Tot atunci, lungimea lui este mai scurtă, ca și cum lungimea sa a fost împărțită la γ. 

Cu γ se mai notează rareori și <math>\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = \sqrt{1 - \beta^2}</math>. Aceasta va face simbolul γ ambiguu, astfel că mulți autori preferă să evite posibila confuzie scriind termenul Lorentz explicit.

== Calcul ==
Unul din postulatele fundamentale din [[teoria relativității restrânse]] a lui [[Einstein]] este că toți [[Sistem de referință inerțial|observatorii inerțiali]] vor măsura aceeași viteză a luminii în [[vid]] indiferent de mișcarea lor reciprocă sau relativă la sursa de lumină. Să ne imaginăm doi observatori: primul, observatorul <math>A</math>, se deplasează cu viteza constantă <math>v</math> în raport cu un al doilea [[sistem de referință inerțial]] în care observatorul <math>B</math> este în repaus. <math>A</math> îndreaptă un [[laser]] "în sus" (perpendicular cu direcția de deplasare). Din perspectiva lui <math>B</math>, lumina se deplasează în unghi. După o perioadă de timp <math>t_B</math>, <math>A</math> s-a deplasat (din punctul de vedere al lui <math>B</math>) pe o distanță <math>d = v t_B</math>; lumina a călătorit (tot din punctul de vedere al lui <math>B</math>) o distanță <math>d = c t_B</math> în unghi. Componenta verticală a drumului <math>d_t</math> al luminii poate fi rezolvată prin [[teorema lui Pitagora]].

:<math>d_t = \sqrt{(c t  _B)^2 - (v t_B)^2}</math>

Scoțând factor comun <math>ct_B</math> rezultă,

:<math>d_t = c t _B\sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2} </math>

Această distanță este aceeași pe care o vede <math>A</math> ca parcursă de lumină. Deoarece lumina se deplasează cu viteza <math>c</math>, timpul lui <math>A</math>, <math>t_A</math>, va fi egal cu <math>\frac{d_t}{c}</math>. Deci

:<math>t_A = \frac{c t_B \sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}{c}</math>

care se reduce la

:<math>t_A = t_B\sqrt{1 - {\left(\frac{v}{c}\right)}^2}</math>

== Note ==
<references />
== Vezi si ==
[[Transformare Lorentz]]

== Bibliografie ==
* {{cite journal | author=J.D. Jackson | authorlink= | title=Kinematics | journal=Particle Data Group | year=2004 | volume= | pages= | url=http://pdg.lbl.gov/2005/reviews/kinemarpp.pdf }} - definiția rapidității, la pagina 7.

[[Categorie:Relativitate]]