Vizualizare sursă pentru „F-spațiu”

În {{ill-wd|Q190549||analiza funcțională}} un '''F-spațiu''' este un [[spațiu vectorial]] ''V'' pe mulțimea [[număr real |numerelor reale]] sau [[număr complex |complexe]] împreună cu o [[metrică]] {{math|''d'' : ''V'' × ''V'' → ℝ}} astfel încât
# Înmulțirea scalară în ''V'' este [[funcție continuă |continuă]] în raport cu ''d'' și cu metrica standard pe ℝ sau ℂ.
# Adunarea în ''V'' este continuă în raport cu ''d''.
# Metrica este invariantă la [[translație (geometrie) |translație]], adică {{math|1=''d''(''x'' + ''a'', ''y'' + ''a'') = ''d''(''x'', ''y'')}} pentru orice ''x'', ''y'' și ''a'' din ''V''.
# Spațiul metric {{math|(''V'', ''d'')}} este [[Spațiu complet|complet]].

[[Operație (matematică)|Operația]] ''x'' ↦ ||''x''|| := d(0,''x'') este numită '''F-normă''', deși în general nu este necesară o F-normă pentru a fi completă. Prin translație-invarianță, metrica este recuperabilă din F-normă. Astfel, un F-spațiu real sau complex este echivalent un spațiu vectorial real sau complex dotat cu o F-normă completă.

Unii autori folosesc termenul ''{{ill-wd|Q1471397}}'' în loc de ''F-spațiu'', dar de obicei termenul „spațiu Fréchet” este rezervat F-spațiilor {{ill-wd|Q1572357||convexe local}}.
Alți autori folosesc termenul ''F-spațiu'' ca sinonim al spațiului Fréchet prin care ei înțeleg un {{ill-wd|Q1455249}} convex local complet {{ill-wd|Q1194053||metrizabil}}.
Metrica poate fi sau nu neapărat parte a structurii unui F-spațiu; mulți autori cer doar ca un astfel de spațiu să fie metrizabil într-un mod care să satisfacă proprietățile de mai sus.

== Exemple ==
Toate [[spațiu Banach |spațiile Banach]] și Fréchet sunt F-spații. În particular, un spațiu Banach este un F-spațiu cu o cerință suplimentară, {{nowrap|1={{math|1=''d''(''αx'', 0) = {{!}}''α''{{!}}⋅''d''(''x'', 0)}}}}.<ref>{{en icon}} Dunford N., Schwartz J.T. (1958). Linear operators. Part I: general theory. Interscience publishers, inc., New York. p. 59</ref>

[[Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile |Spațiile L<sup>p</sup>]] pot fi transformate în F-spații pentru orice {{nowrap|p ≥ 0}} iar pentru {{nowrap|p ≥ 1}} ele pot fi transformate în convexe local, în spații Fréchet și chiar spații Banach.

=== Exemplul 1 ===
<math>\scriptstyle L^\frac{1}{2}[0,\, 1]</math> este un F-spațiu. Nu admite seminorme continue și nici funcționale liniare continue&nbsp;— are {{ill-wd| Q752487||spațiul dual}} trivial.

=== Exemplul 2 ===
Fie <math>\scriptstyle W_p(\mathbb{D})</math> spațiul valorilor complexe ale [[serie Taylor |seriilor Taylor]]
:<math>f(z)=\sum_{n \geq 0}a_n z^n</math>
pe [[disc unitate |discul unitate]] <math>\scriptstyle \mathbb{D}</math> astfel încât
:<math>\sum_{n}|a_n|^p < \infty</math>
atunci (pentru {{nowrap|0 < p < 1}}) <math>\scriptstyle W_p(\mathbb{D})</math> sunt F-spații cu ''p''-norma:
:<math>\|f\|_p= \sum_{n}|a_n|^p \qquad (0 < p < 1)</math>

De fapt, <math>\scriptstyle W_p</math> este o {{ill-wd| Q7269508}}. Mai mult, pentru orice <math>\scriptstyle \zeta</math> cu <math>\scriptstyle |\zeta| \;\leq\; 1</math> [[aplicație |aplicația]] <math>\scriptstyle f \,\mapsto\, f(\zeta)</math> este o [[transformare liniară]] mărginită (funcțională multiplicativă) pe <math>\scriptstyle W_p(\mathbb{D})</math>.

== Condiții suficiente  ==
Teorema Klee:{{sfn | Schaefer | Wolff | 1999 | p=35}}<ref name="Klee Inv metrics">{{en icon}} {{Cite journal | last1=Klee | first1=V. L. | title=Invariant metrics in groups (solution of a problem of Banach) | year=1952 | journal=Proc. Amer. Math. Soc. | volume=3 | issue=3 | pages=484–487 | url=https://www.ams.org/journals/proc/1952-003-03/S0002-9939-1952-0047250-4/S0002-9939-1952-0047250-4.pdf | doi = 10.1090/s0002-9939-1952-0047250-4 | doi-access=free }}</ref>
:Fie {{mvar|d}} ''orice''<ref group=note>Nu se presupune că este invariantă la translație.</ref> metrică pe un spațiu vectorial {{mvar|X}} astfel încât topologia {{math|𝜏}} indusă de {{mvar|d}} pe {{mvar|X}} transformă {{math|(''X'', 𝜏)}} într-un spațiu vectorial topologic. Dacă {{math|(''X'', ''d'')}} este in spațiu metric complet, atunci {{math|(''X'', 𝜏)}} este un spațiu vectorial topologic  complet.

== Proprietăți conexe ==
* O transformare liniară ''aproape continuă'' într-un F-spațiu F al cărui grafic este închis este continuă.{{sfn | Husain | 1978 | p=14}}
* O transformare liniară ''aproape deschisă'' într-un F-spațiu al cărui grafic este închis este neapărat o ''{{ill-wd| Q2632649||aplicație deschisă}}.{{sfn | Husain | 1978 | p=14}}
* O transformare liniară continuă ''aproape deschisă'' dintr-un F-spațiu este neapărat o aplicație deschisă.{{sfn | Husain | 1978 | p=15}}
* O transformare liniară continuă ''aproape deschisă'' dintr-un F-spațiu a cărei imagine în [[codomeniu]] este din {{ill-wd|Q1747745||a doua categorie}}<ref>Ion Colțescu, Gheorghe Dogaru, [http://refkol.ro/matek/mathbooks/ro.math.wikia.com%20wiki%20Fisiere_pdf_incarcate/Calcul_diferential_%2528Coltescu%2526Dogaru%2529.pdf ''Analiză matematică, calcul diferențial''], Constanța: Ed. Academiei Navale „Mircea cel Bătrân”, 2012, p.&nbsp;53</ref> este în mod necesar o aplicație deschisă [[funcție surjectivă |surjectivă]].{{sfn | Husain | 1978 | p=14}}

== Note explicative ==
<references group="note"/>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book | last=Husain | first=Taqdir | title=Barrelledness in topological and ordered vector spaces | publisher=Springer-Verlag | location=Berlin New York | year=1978 | isbn=3-540-09096-7 | oclc=4493665}} <!-- {{sfn | Husain | 1978 | p=}} -->
* {{en icon}} {{cite book
| last=Khaleelulla
| first=S. M.
| title=Counterexamples in Topological Vector Spaces
| publisher=Springer-Verlag
| location=Berlin, Heidelberg, New York
| year=1982
| volume=936
| series=Lecture Notes in Mathematics
| isbn=978-3-540-11565-6
| oclc=8588370
}}<!-- {{sfn | Khaleelulla | {{{year| 1982 }}} | p=}} --> 
* {{en icon}} {{citation|first=Walter|last=Rudin|author-link=Walter Rudin|title=Real & Complex Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1966|isbn=0-07-054234-1}}
* {{en icon}} {{cite book
| last=Schaefer 
| first=Helmut H.
| author-link=Helmut H. Schaefer
| last2=Wolff 
| first2=Manfred P.
| author-link2=Manfred P. Wolff
| title=Topological Vector Spaces
| edition=Second
| volume=8
| publisher=Springer New York Imprint Springer
| location=New York, NY
| year=1999
| series=[[Graduate Texts in Mathematics]]
| isbn=978-1-4612-7155-0
| oclc=840278135
}}<!-- {{sfn | Schaefer | Wolff | 1999 | p=}} -->

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Analiză funcțională]]