Vizualizare sursă pentru „Extindere de corp”

În [[matematică]], în special în [[algebră]], o '''extindere de corp'''<ref>Brândușa Răileanu, ''English–Romanian Dictionary of Technical and Mathematical Terms'', București: Ed. MTTLC, 2013, {{ISBN|978-606-8366-41-8}}</ref> este o pereche de [[Corp (matematică) |corpuri]] <math>E\subseteq F,</math> astfel încât operațiunile lui ''E'' sunt cele ale lui ''F'' [[Restricție (matematică) |restricționate]] la ''E''. În acest caz ''F'' este o ''extindere de corp'' a lui ''E'', iar ''E'' este un ''subcorp'' al lui ''F''.<ref>{{en icon}} {{harvtxt|Fraleigh|1976|p=293}}</ref><ref>{{en icon}} {{harvtxt|Herstein|1964|p=167}}</ref><ref>{{en icon}} {{harvtxt|McCoy|1968|p=116}}</ref> De exemplu, sub noțiunile obișnuite de [[adunare]] și [[înmulțire (matematică) |înmulțire]], [[număr complex |numerele complexe]] o extindere de corp a [[număr real |numerelor reale]]; numerele reale fiind un subcorp al numerelor complexe.

Extinderile de corp sunt fundamentale în {{ill-wd| Q613048}} și în studiul [[zero al unei funcții |rădăcinilor polinoamelor]] prin [[teoria lui Galois]] și sunt utilizate pe scară largă în [[geometrie algebrică |geometria algebrică]].

== Subcorp ==
Un ''subcorp'' al unui corp ''L'' este o [[submulțime]] ''K'' din ''L'' care este un corp în ceea ce privește operațiile pe corp moștenite de la ''L''. Echivalent, un subcorp este o submulțime care conține 1 și este [[Închidere (matematică) |închisă]] sub operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire a unui element diferit de zero din ''K''.

Cum {{math|1=1 – 1 = 0}}, ultima definiție implică faptul că ''K'' și ''L'' au același element zero.

De exemplu, corpul [[număr rațional |numerelor raționale]] este un subcorp al numerelor reale, care este el însuși un subcorp al numerelor complexe. Mai general, corpul numerelor raționale este (sau este [[izomorfism |izomorf]] cu) un subcorp al oricărui corp cu [[caracteristică (algebră) |caracteristica]] 0.

Caracteristica unui subcorp este aceeași cu caracteristica corpului care-l conține.

== Extindere de corp ==
Dacă ''K'' este un subcorp al lui ''L'', atunci ''L'' este o ''extindere de corp'' sau, simplu, ''extinderea'' lui ''K'', iar această pereche de corpuri este o ''extindere de corp''. O astfel de extindere de corp este denumită ''L''/''K'' (citită „''L'' peste ''K''”).

dacă ''L'' este o extindere a lui ''F'', care, la rândul său,este o extindere a lui ''K'', atunci ''F'' se spune că este un ''corp intermediar'' (sau ''extindere intermediară'' sau ''subextindere'') a lui {{nowrap|''L'' / ''K''}}.

Fiind dată extinderea {{nowrap|''L'' / ''K''}}, corpul mai mare ''L'' este un ''K''-[[spațiu vectorial]]. [[dimensiune (spațiu vectorial)|Dimensiunea]] acestui spațiu vectorial este [[Gradul unei extinderii de corp |''gradul'' extinderii de corp]], notată cu [''L''&nbsp;:&nbsp;''K'']. 

Gradul unei extinderi este 1 [[dacă și numai dacă]] cele două corpuri sunt egale. În acest caz, extinderea este o ''extindere trivială''. Extinderile de gradele 2 și 3 se numesc ''extinderi pătratice'', respectiv ''extinderi cubice''. O ''extindere finită'' este o extindere care are un grad finit.

Fiind date două extinderi {{nowrap|''L'' / ''K''}} și {{nowrap|''M'' / ''L''}}, extinderea {{nowrap|''M'' / ''K''}} este finită dacă și numai dacă ambele {{nowrap|''L'' / ''K''}} și {{nowrap|''M'' / ''L''}} sunt finite. În acest caz există
:<math>[M : K]=[M : L]\cdot[L : K].</math>

Fiind dată extinderea ''L'' / ''K'' și o submulțime ''S'' a ''L'', există un cel mai mic subcorp din ''L'' care conține ''K'' și ''S''. Ea este intersecția tuturor subcorpurilor din ''L'' care conțin ''K'' și ''S'', și este notată cu ''K''(''S''). Se spune că ''K''(''S'') este corpul ''generat'' de ''S'' peste ''K'', iar această ''S'' este {{ill-wd|Q643669|mulțimea generată}} ''K''(''S'') peste ''K''. Când <math>S=\{x_1, \ldots, x_n\}</math> este finită, se scrie <math>K(x_1, \ldots, x_n)</math> în loc de <math>K(\{x_1, \ldots, x_n\}),</math> și se spune că ''K''(''S'') este generată finit peste ''K''. Dacă ''S'' constă dintr-un singur element ''s'', extinderea {{nowrap|''K''(''s'') / ''K''}} este numită [[extindere simplă]]<ref>{{en icon}} {{harvtxt|Fraleigh|1976|p=298}}</ref><ref>{{en icon}} {{harvtxt|Herstein|1964|p=193}}</ref> iar ''s'' este numită elementul primitiv al extinderii.<ref>{{en icon}} {{harvtxt|Fraleigh|1976|p=363}}</ref>

O extindere de corp de forma {{nowrap|''K''(''S'')}} se spune adesea că este rezultatul ''adjuncției'' lui ''S'' la ''K''.<ref>{{en icon}} {{harvtxt|Fraleigh|1976|p=319}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=169}}</ref>

Cu caracteristica 0, orice extindere finită este o extindere simplă. Aceasta este [[teorema elementului primitiv]], care nu este valabilă pentru corpurile cu caracteristici diferite de zero.

Dacă o extindere simplă {{nowrap|''K''(''s'') / ''K''}} nu este finită, corpul ''K''(''s'') este izomorf cu corpul numerelor raționale în ''s'' peste ''K''.

== Atenție ==
Notația ''L'' / ''K'' este una pur formală și nu implică formarea unui [[inel factor]] sau [[grup factor]] sau a oricărui alt tip de diviziune. Bara oblică are sensul de „peste”. În unele lucrări se folosește notația ''L'':''K''.

Adesea este de dorit să se vorbească despre extinderile de corp în situații în care corpul mic nu este de fapt conținut în cel mare, ci este înglobat în el în mod natural. În acest scop, se definește în mod abstract o extindere de corp ca un {{ill-wd| Q1194212}} [[funcție injectivă |injectiv]] între două corpuri.
''Orice'' omomorfism de inele nul între corpuri este injectiv deoarece corpurile nu posedă ideale proprii netriviale, astfel încât extinderile de corp sunt tocmai [[morfism]]e din categoria corpurilor.

De aici încolo nu se va vorbi despre omomorfisme injective și se va presupune că se vorbește despre subcorpuri reale.

== Exemple ==
Corpul numerelor complexe <math>\Complex</math> este o extindere de corp a corpului numerelor reale <math>\R</math>, iar <math>\R</math> este, la rândul său, o extindere a corpului numerelor raționale <math>\Q</math>. Este limpede că <math>\Complex/\Q</math> este și ea o extindere. Există <math>[\Complex:\R] =2</math> deoarece <math>\{1, i\}</math> este o bază, astfel că extinderea <math>\Complex/\R</math> este finită. Aceasta este o extindere simplă deoarece <math>\Complex = \R(i).</math> <math>[\R:\Q] =\mathfrak c</math> (cardinalitatea continuumului), ca urmare această extindere este infinită.

Corpul
:<math>\Q(\sqrt{2}) =  \left \{ a + b\sqrt{2} \mid a,b \in \Q \right \},</math>
este o extindere de corp a lui <math>\Q,</math>, o extindere simplă. Gradul său este 2 deoarece <math>\left\{1, \sqrt{2}\right\}</math> poate fi o bază. 

Corpul
:<math>\begin{align}
\Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}\right) &= \Q \left(\sqrt{2}\right) \left(\sqrt{3}\right) \\
&= \left\{ a+b\sqrt{3} \mid a,b \in \Q\left(\sqrt{2}\right) \right\} \\
&= \left\{ a + b \sqrt{2} + c\sqrt{3} + d\sqrt{6} \mid a,b,c, d \in \Q \right\},
\end{align}</math>
este o extindere de corp ale ambelor <math>\Q(\sqrt{2})</math> și <math>\Q,</math>, de gradul 2, respectiv 4. Și ea este o extindere simplă deoarece se poate arăta că
:<math>\begin{align}
\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) &= \Q (\sqrt{2} + \sqrt{3}) \\
&= \left \{ a + b (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + c (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 + d(\sqrt{2} + \sqrt{3})^3 \mid a,b,c, d \in \Q\right\}.
\end{align}</math>

Extinderile finite ale lui <math>\Q</math> se mai numesc {{ill-wd|Q616608||corpuri de numere}} [[număr algebric |algebrice]] și sunt importante în [[teoria numerelor]]. Altă extindere de corp a numerelor raționale, care este și ea importantă în teoria numerelor, deși nu este o extindere finită, este {{ill-wd| Q311627||corpul numerelor ''p''-adice}} <math>\Q_p</math> pentru numerele prime ''p''.

Este comun să se construiască o extindere de corp a unui corp dat ''K'' prin inelul factor al {{ill-wd| Q1455652||inelului polinoamelor}} ''K''[''X''] pentru a „crea” o rădăcină a unui polinom dat ''f''(''X''). Se presupune, de exemplu, că ''K'' nu conține niciun element ''x'' cu ''x''<sup>2</sup> = −1. Atunci polinomul X ^ 2 + 1 este [[polinom ireductibil |ireductibil]] în ''K''[''X''], în consecință idealul generat de acest polinom este [[ideal maximal |maximal]] și <math>L = K[X]/(X^2+1)</math> este o extindere de corp a lui ''K'' care ''trebuie'' să conțină un element al cărui pătrat este −1 (anume, clasa de reziduuri a lui ''X'').

Prin iterarea construcției de mai sus se poate construi un {{ill-wd| Q1996100}} al oricărui polinom din ''K''[''X'']. Acesta este o extindere de corp „L” a „K” în care polinomul dat se descompune într-un produs de factori liniari.

Dacă ''p'' este un [[număr prim]] oarecare și ''n'' este un număr întreg pozitiv, există un [[corp finit]] GF(''p<sup>n</sup>'') cu elemente ''p<sup>n</sup>''; acesta este o extindere de corp a corpului finit <math>\operatorname{GF}(p) = \Z/p\Z</math> cu elemente ''p''.

Fiind dat corpul ''K'', se poate considera corpul ''K''(''X'') al tuturor [[funcție rațională |funcțiilor raționale]] de variabilă ''X'' cu coeficienți în ''K''; elementele lui ''K''(''X'') sunt fracții de două polinoame peste ''K'' și, într-adevăr, ''K''(''X'') este [[corpul fracțiilor]] inelului polinomial ''K''[''X'']. Acest corp al funcțiilor raționale este o extindere de corp a lui ''K''. Această extindere este infinită.

Fiind dată o [[suprafață Riemann]] ''M'', mulțimea tuturor [[funcție meromorfă |funcțiilor meromorfe]] definite pe ''M'' este un corp, notat cu <math>\Complex(M).</math> Dacă se identifică fiecare număr complex cu [[funcție constantă |funcția constantă]] corespunzătoare definită pe ''M'', este o extindere de corp transcendentă <math>\Complex.</math> Mai general, având în vedere o {{ill-wd| Q648995}} ''V'' peste un câmp ''K'', atunci [[corpul funcțiilor unei varietăți algebrice |corpul funcțional]] al lui ''V'', constând din funcțiile raționale definite pe ''V'' și notate cu ''K''(''V''), este o extindere de corp a lui ''K''.

== Extindere algebrică ==
{{Articol principal|Extindere algebrică|Element algebric}}
Un element ''x'' al unei extindere de corp {{nowrap|''L''/''K''}} este algebric peste ''K'' dacă este o rădăcină a unui polinom nenul cu coeficienți în ''K''.

Un element ''s'' din ''L'' este algebric peste ''K'' dacă și numai dacă extinderea simplă {{nowrap|''K''(''s'')/''K''}} este o extindere finită. În acest caz, gradul extinderii este egal cu gradul polinomului minim și o bază a ''K''-spațiului vectorial ''K'' (''s'') constă din <math>1, s, s^2, \ldots, s^{d-1},</math> unde ''d'' este gradul polinomului minim.

Mulțimea elementelor din ''L'' care sunt algebrice peste ''K'' formează o subextindere, care este numită [[închidere algebrică |închiderea algebrică]] a lui ''K'' în ''L''. Asta rezultă din caracterizarea precedentă: dacă ''s'' și ''t'' sunt algebrice, extinderile {{nowrap|''K''(''s'') /''K''}} și {{nowrap|''K''(''s'')(''t'') /''K''(''s'')}} sunt finite. Ca urmare, {{nowrap|''K''(''s'', ''t'') /''K''}} este și ea finită, ca și subextinderile {{nowrap|''K''(''s'' ± ''t'') /''K''}}, {{nowrap|''K''(''st'') /''K''}} și {{nowrap|''K''(1/''s'') /''K''}} (dacă {{nowrap|''s'' ≠ 0}}). prin urmare {{nowrap|''s'' ± ''t''}}, ''st'' și 1/''s'' sunt toate algebrice.

O ''extindere algebrică'' {{nowrap|''L'' / ''K''}} este o extindere în care orice element al ''L'' este algebric peste ''K''. Echivalent, o extindere algebrică este o extindere care este generată de elemente algebrice. De exemplu, <math>\Q(\sqrt 2, \sqrt 3)</math> este o extindere algebrică a <math>\Q</math> deoarece b<math>\sqrt 2</math> și <math>\sqrt 3</math> sunt algebrice peste <math>\Q.</math>

O extindere simplă este algebrică dacă și numai dacă este finită. Aceasta implică faptul că o extindere este algebrică dacă și numai dacă este reuniunea subextinderilor sale finite și că fiecare extindere finită este algebrică.

Fiecare corp ''K'' are o închidere algebrică, care este [[până la]] un izomorfism cea mai mare extindere de corp a lui ''K'' care este algebrică peste ''K'' și, de asemenea, cea mai mică extindere de corp astfel încât fiecare polinom cu coeficienți în ''K'' are o rădăcină în ea. De exemplu, <math>\Complex</math> este o închidere algebrică a lui <math>\R</math>, dar nu o închidere algebrică a lui <math>\Q</math>, întrucât nu este algebric peste <math>\Q</math> (de exemplu {{mvar|&pi;}} nu este algebric peste <math>\Q</math>).

== Extindere transcendentă ==
Având o extindere de câmp {{nowrap|''L''/''K''}}, o submulțime ''S'' a ''L'' este numită [[independență algebrică |independentă algebric]] peste ''K'' dacă printre elementele lui ''S'' nu există nicio relație polinomială netrivială cu coeficienți în ''K''. Cea mai mare cardinalitate a unei mulțimi independentă algebric se numește [[grad de transcendență |gradul de transcendență]] al lui ''L''/''K''. Este întotdeauna posibil să se găsească o mulțime ''S'', independentă algebric peste ''K'', astfel încât ''L''/''K'' (''S'') să fie algebrică. O astfel de mulțime ''S'' se numește ''[[bază de transcendență |baza de transcendență]]'' a lui ''L''/''K''. Toate bazele de transcendență au aceeași cardinalitate, egală cu gradul de transcendență al extinderei. Se spune că o extindere ''L''/''K'' este ''pur transcendentă'' dacă și numai dacă există o bază de transcendență ''S'' a lui ''L''/''K'' astfel încât ''L'' = ''K''(''S''). O astfel de extindere are proprietatea că toate elementele ''L'', cu excepția celor din ''K'', sunt transcendente peste ''K'', dar, totuși, există extinderi cu această proprietate care nu sunt pur transcendente&nbsp;— o clasă de astfel de extinderi iau forma ''L''/''K'' unde atât ''L'', cât și ''K'' sunt închise algebric. În plus, dacă ''L''/''K'' este pur transcendentă și ''S'' este o bază de transcendență a extinderii, nu urmează neapărat că ''L'' = ''K''(''S''). De exemplu, fie extinderea <math>\Q(x, \sqrt{x})/\Q,</math> unde ''x'' este transcendent peste <math>\Q.</math> Mulțimea <math>\{x\}</math> este algebric independentă, deoarece ''x'' este transcendent. Evident, extinderea <math>\Q(x, \sqrt{x})/\Q(x)</math> este algebrică, prin urmare <math>\{x\}</math> este o bază de transcendență. Nu generează întreaga extindere, deoarece nu există o expresie polinomială în <math>x</math> pentru <math>\sqrt{x}.</math> Dar este ușor de văzut că <math>\{\sqrt{x}\}</math> este o bază de transcendență care generează <math>\Q(x, \sqrt{x}),</math> deci extinderea este într-adevăr pur transcendentă.

== Extinderi normale, separabile și Galois ==
O extindere algebrică ''L''/''K'' se numește [[extindere normală| normală]] dacă fiecare polinom ireductibil din ''K''[''X''] care are o rădăcină în ''L'' se descompune complet în factori liniari peste ''L''. Fiecare extindere algebrică ''F''/''K'' admite o închidere normală ''L'', care este o extindere de corp a lui ''F'' astfel încât ''L''/''K'' este normală și este cea minimă cu această proprietate.

O extindere algebrică ''L''/''K'' se numește {{ill-wd| Q2264756||separabilă}} dacă polinomul minim al fiecărui element din ''L'' peste ''K'' este [[polinom separabil |separabil]], adică nu are rădăcini multiple într-o închidere algebrică peste ''K''. O [[extindere Galois]] este o extindere de corp care este atât normală, cât și separabilă.

O consecință a teoremei elementului primitiv afirmă că fiecare extindere finită separabilă are un element primitiv (adică este simplă).

Având în vedere orice extindere de corp ''L''/''K'', se poate lua în considerare ''[[grup de automorfisme |grupul său de automorfisme]]'' Aut(''L''/''K''), format din toate [[automorfism]]ele corpului ''α'': ''L'' → ''L'' cu ''α''(''x'') = ''x'' pentru toate ''x'' din ''K''. Când extinderea este Galois, acest grup de automorfisme se numește {{ill-wd| Q730384||grupul Galois}} al extinderii. extinderile al căror grup Galois este [[grup abelian| abelian]] se numesc [[extindere abeliană |extinderi abeliene]].

Pentru o extindere de corp dată ''L''/''K'', deseori există interes pentru corpurile intermediare ''F'' (subcorpurile lui ''L'' care conțin ''K''). Semnificația extinderilor Galois și a grupurilor Galois este că permit o descriere completă a corpurilor intermediare: există o [[bijecție]] între corpurile intermediare și subgrupurile grupului Galois, descrisă de {{ill-wd| Q76652}}.

== Generalizări ==
Extinderile de corp pot fi generalizate la [[subinel |extinderi de inel]] care constau dintr-un [[inel (matematică) | inel]] și un [[subinel]]. Un analog necomutativ mai apropiat sunt [[algebră centrală simplă |algebrele centrale simple]] (CSA)&nbsp;— extinderi de inele peste un corp, care sunt [[algebră simplă |algebre simple]] (nu există ideale netriviale pe două părți, la fel ca pentru un corp) și unde centrul inelului este chiar corpul. De exemplu, singura extindere de corp finită a numerelor reale sunt numerele complexe, în timp ce [[cuaternion]]ii sunt o algebră centrală simplă peste numerele reale, iar toate CSA-urile peste numerele reale sunt {{ill-wd| Q900456||echivalente Brauer}} cu realii sau cuaternionii. CSA-urile pot fi generalizate în continuare la {{ill-wd| Q2835923||algebrele Azumaya}}, unde corpul de bază este înlocuit cu un {{ill-wd| Q1142704}} comutativ.

== Extinderi ale scalarilor ==
Fiind dată o extindere de corp, se pot ''extinde scalarii'' pe obiectele algebrice asociate. De exemplu, dintr-un spațiu vectorial real se poate produce un spațiu vectorial complex prin {{ill-wd| Q445569}}. În plus față de spațiile vectoriale, se poate efectua extinderea scalarilor pentru {{ill-wd| Q744960||algebrele asociative}} definite pe corp, cum ar fi la polinoame și [[reprezentare de grup |reprezentări de grupuri]] asociate. extinderea scalarilor polinoamelor este adesea utilizată implicit, considerând coeficienții ca fiind elemente ale unui corp mai mare, dar poate fi considerată mai formal. Extinderea scalarilor are numeroase aplicații.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation|first1 = John B. | last1 = Fraleigh | year = 1976 | isbn = 0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* {{en icon}} {{citation|first1 = I. N. | last1 = Herstein | year = 1964 | isbn = 978-1114541016 | title = Topics In Algebra | publisher = [[Blaisdell Publishing Company]] | location = Waltham }}
* {{en icon}} {{Lang Algebra | edition=3r2004}}
* {{en icon}} {{citation|first1 = Neal H. | last1 = McCoy | year = 1968 | title = Introduction To Modern Algebra, Revised Edition | publisher = [[Allyn and Bacon]] | location = Boston | lccn = 68015225 }}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{springer|title=Extension of a field|id=p/e036970}}

[[Categorie:Teoria corpurilor]]