Vizualizare sursă pentru „Elipsă”

{{pentru|construcția gramaticală|elipsă (lingvistică)}}
[[Fișier:Elipse.svg|thumb|right|250px|Elipsa şi unii dintre parametrii săi.]]

'''Elipsa''' (din [[limba greacă|gr.]] ''elleipsis'' – lipsă) este o [[curbă]] plană definită ca [[loc geometric]] al punctelor pentru care suma distanțelor la două puncte fixe (numite ''focarele elipsei'') este constantă. Este o curbă închisă care constituie o [[orbită (astronomie)|orbită]] pentru [[planetă|planetele]] din [[Sistemul solar]].

Aria suprafeței delimitate de o elipsă (disc eliptic) de semiaxe ''a'' și ''b'' este <math>A=\pi a b</math>, expresie similară ariei delimitate de un cerc, unde semiaxele coincid și se numesc raze.

Elipsa este o [[conică]], adică este una dintre curbele care se pot obține prin [[intersecție (matematică)|intersecția]] dintre un [[con]] și un [[plan geometric|plan]].

[[Segment (geometrie) |Segmentul]] de dreaptă care trece prin [[focar (matematică)|focare]] și are capetele pe elipsă se numește axa majoră. Segmentul perpendicular pe mijlocul axei majore și având capetele pe elipsă se numește axă minoră. 

Parametrul <math>e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math> care apare și în figura alăturată se numește ''[[excentricitate (matematică)|excentricitatea]]'' elipsei.

Din punct de vedere [[algebră|algebric]], elipsa este o curbă definită în [[coordonate carteziene]] de următoarea [[ecuație de gradul al doilea]] în două variabile:
:<math>A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>
cu condițiile <math>B^2 < 4 AC</math>, toți coeficienții sunt reali și există mai mult de o singură pereche (x, y) care să satisfacă ecuația.

Lungimea elipsei este dată de o [[integrală eliptică]]. Elipsa cu excentricitatea ''e'' și cu semiaxa mare ''a'' are lungimea
:<math>L = 2\pi a \left[{1 - \left({1\over 2}\right)^2e^2 - \left({1\cdot 3\over 2\cdot 4}\right)^2{e^4\over 3} - \left({1\cdot 3\cdot 5\over 2\cdot 4\cdot 6}\right)^2{e^6\over5} - \dots}\right]\!\,</math>

Se poate observa că [[cerc]]ul este un caz particular de elipsă (elipsa în care cele două focare coincid - sau pentru ecuația algebrică, elipsa pentru care <math>A = C</math> și <math>B = 0</math>).

== Parametrizări ==
O elipsă centrată în originea sistemului de coordonate și având una dintre axe orizontală poate fi parametrizată astfel: 
:<math>x = a\,\cos\beta;\,\!</math>
:<math>y = b\,\sin\beta;\,\!</math>
unde <math>\beta</math> aparține intervalului <math>{}^{-}\frac{\pi}{2}\leq\beta\leq{}^{+}\frac{\pi}{2}.\,\!</math>
== Curbura și excentricitatea ==
Elipsa e o curbă cu [[rază]] de [[curbură]] variabilă. Raza de curbură se exprimă funcție de [[unghi la centru|unghiul la centru]] și [[excentricitate]] în [[coordonate polare]].

=== relativ la reperul raportat la focar ===
:<math> \qquad r(\theta) = \frac{p}{1+e \cos \theta} \qquad \theta \in\R</math>

=== relativ la reperul raportat la centru ===
:<math> \qquad r^2(\theta) = \frac{b^2}{1-e^2 \cos ^2 \theta} \qquad \theta \in\R</math>

== Proprietăți și aplicații ==
* Traiectoria [[Planetă|planetelor]] este (conform [[legile lui Kepler|primei legi]] a lui [[Johannes Kepler|Kepler]]) o elipsă. 
* Proiecția unui cerc de rază ''a'' pe un plan înclinat este o elipsă cu [[semiaxa mare]] egală cu raza cercului și cu semiaxa mică egală cu <math>b=a\cos\alpha</math>, unde ''α'' este unghiul dintre cerc și plan.
* Conform [[teoria relativității restrânse|teoriei relativității restrânse]], un cerc de rază ''a'' care se deplasează în planul său rectiliniu și uniform cu viteza ''v'' se transformă într-o elipsă de semiaxă mare ''a'' și semiaxă mică <math>b=a\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=a\cos\alpha</math>, unde ''α'' poate fi interpretat ca fiind unghiul cu care se rotește reperul minkowskian al cercului datorită deplasării cu viteze relativiste (''c'' fiind viteza luminii în vid).
* Dacă se construiește o oglindă în [[formă]] de [[elipsă]] (în cazul a două dimensiuni) sau [[elipsoid]] de rotație (pentru trei dimensiuni), se va observa că o rază de lumină trimisă dintr-un focar se reflectă în celălalt focar.

== Note ==
<references/>
== Bibliografie ==

== Vezi și ==
* [[Coordonate eliptice]]
* [[Funcție eliptică]]
* [[Excentricitate]]
* [[Legile lui Kepler]]
* [[Teorema lui Cramer (curbe algebrice)]]

[[Categorie:Forme elementare]]
[[Categorie:Conice]]
[[Categorie:Curbe plane]]