Vizualizare sursă pentru „Elicoid”

[[Fișier:Helicoid.svg|thumb|upright=1.5|Un elicoid cu ''α''&nbsp;=&nbsp;1, −1&nbsp;≤&nbsp;''ρ''&nbsp;≤&nbsp;1 și −{{math|&pi;}}&nbsp;≤&nbsp;''θ''&nbsp;≤&nbsp;{{math|&pi;}}.]]
[[Fișier:Hélicoïde.stl|thumb|model 3D]]
În [[geometrie]] '''elicoidul''',<ref>{{Dexonline|elicoid}}</ref><ref name=H/> sau '''suprafață elicoidală''', este o [[suprafață]] generată de o [[dreaptă]] care se sprijină pe o [[elice (matematică) |elice]] și pe axa ei. După [[plan (geometrie) |plan]] și [[catenoidă]], este a treia {{ill-wd| Q1545397||suprafață minimală}} cunoscută.<ref name=H><!-- Prof.dr.mat. -->Andrei Dan Halanay, [http://gta.math.unibuc.ro/pages/ahalanay/Curs.pdf ''Curs de geometrie''], [[Universitatea din București]], accesat 2022-09-14</ref>

== Descriere ==
A fost descrisă de [[Leonhard Euler]] în 1774 și de [[Jean Baptiste Meusnier]] în 1776. Numele provine din asemănarea sa cu elicea: pentru fiecare [[punct (geometrie) |punct]] de pe elicoid, există o {{ill-wd| Q189114||spirală}} cuprinsă în elicoid care trece prin acel punct. Întrucât se consideră că domeniul planar se extinde de la infinitul negativ până la cel pozitiv, observarea atentă arată apariția a două plane paralele sau în oglindă în sensul că dacă este trasată panta unui plan, coplanul poate fi văzut ca fiind ocolit sau sărit, deși în realitate co-planul este urmărit și din perspectivă opusă.

Elicoidul este o {{ill-wd| Q840376||suprafață riglată}} (și un [[conoid drept]]), ceea ce înseamnă că este o urmă a unei linii. Alternativ, pentru orice punct de pe suprafață, există o [[dreaptă]] pe suprafață care trece prin acesta. [[Eugène Charles Catalan]] a dovedit în 1842 că elicoidul și planul erau singurele suprafețe minimale riglate.<ref>{{en icon}} ''Elements of the Geometry and Topology of Minimal Surfaces in Three-dimensional Space''
By A. T. Fomenko, A. A. Tuzhilin (contributor A. A. Tuzhilin), Published by AMS Bookstore, 1991, {{ISBN|0-8218-4552-7}}, {{ISBN|978-0-8218-4552-3}}, p.&nbsp;33</ref> 

În sensul [[geometrie diferențială |geometriei diferențiale]], un elicoid este o suprafață de translație. Elicoidul și catenoida sunt suprafețe minimale.<ref name=H/>

Elicoidul are forma [[șurubul lui Arhimede |șurubului lui Arhimede]], dar se extinde la infinit în direcția axei sale. Poate fi descris prin următoarele [[ecuație parametrică |ecuații parametrice]] în [[coordonate carteziene]]:
:<math> x = \rho \cos (\alpha \theta), \ </math>
:<math> y = \rho \sin (\alpha \theta), \ </math>
:<math> z = \theta, \ </math>
unde {{math|''ρ''}} și {{math|''θ''}} merg de la [[infinit]]ul negativ la cel pozitiv, în timp ce {{math|''α''}} este constant. Dacă {{math|''α''}} este pozitiv, atunci elicoidul este „pe dreapta”, cum apare în figură, iar dacă este negativ, elicoidul este „pe stânga”.

Elicoidul are {{ill-wd| Q1589551||curburile principale}} <math>\pm \alpha /(1+ \alpha^2 \rho ^2) \ </math>. [[Adunare |Suma]] acestor mărimi dă {{ill-wd| Q1318988||curbura medie}} (zero deoarece elicoidul este o suprafață minimală) iar [[înmulțire (matematică) |produsul]] dă {{ill-wd| Q945953||curbura gaussiană}}.

Elicoidul este {{ill-wd| Q202906||homeomorf}} cu planul <math> \mathbb{R}^2 </math>. Pentru a vedea acest lucru, se lasă {{math|''α''}} să scadă [[funcție continuă|continuu]] de la [[valoare (matematică) |valoarea]] sa dată până la [[0 (număr)|zero]]. Fiecare valoare intermediară a lui {{math|''α''}} va descrie un elicoid diferit, până când {{math|1=''α'' = 0}} este atins și elicoidul devine un plan.

Invers, un plan poate fi transformat într-un elicoid alegând o [[dreaptă]] (axa) din plan, apoi răsucind planul în jurul acelei axe.

Dacă un elicoid cu raza {{math|''R''}} se rotește cu un unghi de {{math|''θ''}} în jurul axei sale în timp ce se ridică cu o înălțime {{math|''h''}}, aria suprafeței parcurse este dată de:<ref>{{en icon}} {{MathWorld|id=Helicoid|access-date=2020-06-08}}</ref>
:<math>\frac{\theta}{2} \left[R \sqrt{R^2+c^2}+c^2 \ln \left(\frac{R  + \sqrt{R^2+c^2}} c\right) \right],</math> &nbsp; unde <math>c = \frac{h}{\theta}.</math>

== Elicoidul și catenoida ==
[[Fișier:Helicatenoid.gif|thumb|256px|Animație care arată transformarea unui elicoid într-o catenoidă]]
Elicoidul și catenoida sunt suprafețe local izometrice.

== Note ==
<references responsive/>

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{commonscat-inline|Helicoids}}
* {{en icon}} {{springer|title=Helicoid|id=p/h046880}}
* {{en icon}} [http://www.princeton.edu/~rvdb/WebGL/helicoid.html WebGL-based Interactive 3D Helicoid]

[[Categorie:Figuri geometrice]]
[[Categorie:Suprafețe]]