Vizualizare sursă pentru „Element neutru față de adunare”

În [[matematică]] '''elementul neutru față de adunare''',<ref>Brândușa Răileanu, ''English–Romanian Dictionary of Technical and Mathematical Terms'', București: Ed. MTTLC, 2013, {{ISBN|978-606-8366-41-8}}</ref><ref><!-- Conf.dr. -->Claudiu Volf, [https://www.math.uaic.ro/~volf/depozit/Aritmetica%20in%20inele%20curs%202020.pdf ''Aritmetica în inele''], note de curs, Iași: Universitatea Alexandru Ioan Cuza, 2020, p.&nbsp;48, accesat 2021-11-05</ref> '''elementul neutru aditiv''',<ref name=AP>Adina Pop, [https://vberinde.cunbm.utcluj.ro/wp-content/uploads/phd_thesis_Pop.pdf ''Contribuții la teoria (n,m)-semiinelelor și n−semigrupurilor''], Teză de doctorat, Cluj-Napoca: Universitatea Politehnică, 2014, p.&nbsp;5, accesat 2021-11-05</ref> '''[[element zero |elementul zero]]'''<ref name=AP/><ref name=UBB>UBB, [https://www.cs.ubbcluj.ro/wp-content/uploads/indrumar-licenta-2013-algebra-romana.pdf ''Algebră''], îndrumar pentru examenul de licență, Cluj-Napoca: Universitatea Babeș-Bolyai, 2013, accesat 2021-11-05</ref> sau '''elementul nul'''<ref name=UBB/> al unei [[mulțime |mulțimi]] prevăzute cu [[operație (matematică) |operația]] de [[adunare]] este un [[element (matematică) |element]] care adunat la oricare element ''x'' din mulțime dă rezultatul ''x''. Unul dintre cele mai familiare elemente neutre față de adunare este [[număr]]ul [[0 (cifră)|0]] din [[matematică elementară |matematica elementară]], dar elemente neutre față de adunare apar în diverse [[structură algebrică |structuri algebrice]] în care operația de adunare este definită, cum sunt [[grup (matematică) |grupurile]] și [[inel (matematică) |inelele]].

== Exemple elementare ==
* Elementul neutru față de adunare familiar din matematica elementară este zero, notat cu 0. De exemplu,
::<math>5 + 0 = 5 = 0 + 5.</math>
* Pentru [[număr natural |numerele naturale]] '''N''' (dacă este inclus 0), [[număr întreg |întregi]] '''Z''', [[număr rațional |raționale]] '''Q ''', [[număr real |reale]] '''R''' și [[număr complex |complexe]] '''C''', elementul neutru față de adunare este 0. Adică pentru un număr ''n'' aparținând oricăreia dintre aceste mulțimi,
::<math>n + 0 = n = 0 + n.</math> Pentru numere complexe elementul neutru la adunare se scrie sub formă de [[pereche ordonată]] (0,0).

== Definiție formală ==
Fie ''N'' un grup închis față de operația de adunare, notată [[Plus|+]]. Elementul neutru al ''N'', notat ''e'', este un element din ''N'' cu care pentru orice element ''n'' din ''N'' există relația
:<math>e+n = n = n+e.</math>

== Alte exemple ==
* Într-un grup elementul neutru față de adunare [[element neutru |elementul neutru]] al grupului, adesea notat cu 0, și este unic.
* Un inel sau un [[corp (matematică) |corp]] este un grup sub operația de adunare, prin urmare acestea au un element neutru față de adunare, unic, 0. Aceasta este definit ca fiind diferit de [[element neutru |elementul neutru față de înmulțire]], [[1 (cifră)|1]] dacă inelul (sau corpul) are mai mult de un element. Dacă elementul neutru față de adunare este identic cu elementul neutru față de înmulțire, atunci inelul este [[inel nul |trivial]].
* În inelul M<sub>''m''&hairsp;×&hairsp;''n''</sub>(''R'') al [[matrice (matematică) |matricilor]] ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'' peste inelul ''R'', elementul neutru față de [[adunarea matricilor |adunare]] este [[matrice nulă |matricea nulă]],<ref>{{en icon}} {{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Additive Identity|url=https://mathworld.wolfram.com/AdditiveIdentity.html|access-date=2020-09-07|website=mathworld.wolfram.com|language=ro}}</ref> notată '''O''' sau '''0''' și este matricea ''m''&thinsp;×&thinsp;''n'' ale cărei elemente sunt toate 0 în ''R''. De exemplu, în matricele 2&thinsp;×&thinsp;2 peste numerele întregi M<sub>2</sub>('''Z''') elementul neutru față de adunare este
::<math>0 = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}</math>
* La [[cuaternion]]i, elementul neutru față de adunare este 0.
* În inelul [[funcție |funcțiilor]] din '''R''' pe '''R''', funcția care adaugă la fiecare număr 0 este elementul neutru față de adunare.
* În grupul aditiv de [[vector (fizică și matematică) |vectori]] din '''R'''<sup>''n''</sup>, originea sau vectorul zero este elementul neutru față de adunare.

== Proprietăți ==
=== Elementul neutru față de adunare este unic în grup ===
Fie (''G'', +) un grup și fie ambele 0 și 0' din ''G'' elemente neutre față de adunare, astfel că pentru orice ''g'' din ''G'',

: 0 + ''g'' = ''g'' = ''g'' + 0 &nbsp; și &nbsp; 0' + ''g'' = ''g'' = ''g'' + 0'.

Din acestea rezultă

:<span style="background-color:lightgreen">0'</span> = <span style="background-color:lightgreen">0'</span> + 0 = 0' + <span style="background-color:lightgreen">0</span> = <span style="background-color:lightgreen">0</span>.

=== Elementul neutru față de adunare anulează la înmulțire elementele inelului ===
Într-o structură cu o operație de înmulțire care este [[distributivitate|distributivă]] față de adunare, Elementul neutru față de adunare este un [[element absorbant]] la înmulțire, ceea ce înseamnă că pentru orice ''e'' din ''S'', {{nowrap|1=''s''&thinsp;·&thinsp;0 = 0}}. Aceasta deoarece:
:<math>\begin{align}
             s \cdot 0 &= s \cdot (0 + 0) = s \cdot 0 + s \cdot 0 \\
 \Rightarrow s \cdot 0 &= s \cdot 0 - s \cdot  0 \\
 \Rightarrow s \cdot 0 &= 0.
\end{align}</math>

=== Elementul neutru față de adunare și cel neutru față de înmulțire sunt diferite într-un inel netrivial ===
Fie ''R'' in inel și să presupunem că elementul neutru față de adunare 0 și cel neutru față de înmulțire 1 sunt egale, adică 0&nbsp;=&nbsp;1. Fie ''r'' un element oarecare din ''R''. Atunci

: ''r'' = ''r'' × 1 = ''r'' × 0 = 0

demonstrează că ''R'' este trivial, adică ''R''&nbsp;= {0}. Ca ''R'' să fie netrivial este necesar ca 0 să nu fie egal cu 1.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} David S. Dummit, Richard M. Foote, ''Abstract Algebra'', Wiley (3rd ed.): 2003, {{ISBN|0-471-43334-9}}.

== Vezi și ==
* [[Element opus]]
* [[Element invers]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
*{{en icon}} {{PlanetMath | urlname=UniquenessOfAdditiveIdentityInARing2 | title=Uniqueness of additive identity in a ring | id=5676}}

[[Categorie:Algebră abstractă]]
[[Categorie:Algebră elementară]]
[[Categorie:Teoria grupurilor]]
[[Categorie:Teoria inelelor]]
[[Categorie:0 (număr)]]