Vizualizare sursă pentru „Element (matematică)”

În [[matematică]], un '''element''' sau un '''membru''' al unei [[Mulțime|mulțimi]] este unul dintre [[Obiect matematic|obiectele]] distincte care alcătuiesc acea mulțime. Se spune că elementul '''aparține''' mulțimii, iar relația între element și mulțime este o relație de '''apartenență'''. 

== Mulțimi ==
Scrierea <math>A = \{1, 2, 3, 4\} </math><math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> înseamnă că elementele mulțimii {{Mvar|A}} sunt numerele 1, 2, 3 și 4. Mulțimile de elemente ale lui {{Mvar|A}}, de exemplu <math>\{1, 2\}</math>, sunt [[Submulțime|submulțimi]] ale lui {{Mvar|A}}. 

Mulțimile pot fi ele însele elemente. De exemplu, considerăm mulțimea <math>B = \{1, 2, \{3, 4\}\}</math>. Elementele lui {{Mvar|B}} ''nu'' sunt 1, 2, 3 și 4; {{Mvar|B}} are doar 3 elemente, și anume numerele 1 și 2, și mulțimea <math>\{3, 4\} </math>. 

Elementele unei mulțimi pot fi orice. De exemplu, <math>C = \{\mathrm{\color{red}rosu}, \mathrm{\color{green}verde}, \mathrm{\color{blue}albastru}\} </math>, este mulțimea ale cărei elemente sunt culorile {{Red|roșu}}, {{Green|verde}} și {{Blue|albastru}}. 

== Notație și terminologie ==
[[Fișier:First_usage_of_the_symbol_∈.png|dreapta|miniatura| Prima utilizare a simbolului ∈ în lucrarea {{Lang|la|{{Ill-wd|Q28458050}}|italic=yes}} de [[Giuseppe Peano]].]]
{{Ill-wd|Q54939316|3=Relația}} de apartenență este notată cu simbolul „<math>\in</math>”. Scrierea 

:<math>x \in A </math><math>x \in A</math> 

înseamnă că {{Math|''x''}} este un element al lui {{Math|''A''}}. Expresii echivalente sunt  „{{Math|''x''}} este un membru al lui {{Math|''A''}}”, „{{Math|''x''}} aparține lui {{Math|''A''}}”, „{{Math|''x''}} este în {{Math|''A''}}” și „{{Math|''x''}} se găsește în {{Math|''A''}}”. Expresiile „{{Math|''A''}} include {{Math|''x''}}” și „{{Math|''A''}} conține {{Math|''x''}}” sunt de asemenea folosite pentru a însemna stabilirea apartenenței la mulțime, însă unii autori le folosesc cu sensul de „{{Math|''x''}} este o [[submulțime]] a lui {{Math|''A''}}”.<ref name="schech">{{Citat carte|nume={{Ill-wd|Q5387448}}|titlu=Handbook of Analysis and Its Foundations|editură={{Ill-wd|Q2076913}}|an=1997|isbn=0-12-622760-8}}</ref> Logicianul {{Ill-wd|Q1392740}} a cerut cu tărie ca „conține” să fie folosit doar pentru apartenență și „include” numai pentru relația de submulțime.<ref name="boolos">{{cite speech|title=24.243 Classical Set Theory (lecture)|author={{Ill-wd|Q1392740}}|date=4 februarie 1992|location=[[Massachusetts Institute of Technology]]}}</ref> 

Pentru relația ∈, se poate scrie {{Ill-wd|Q1248241|3=relația inversă}} ∈<sup>T</sup> 

: <math>A \ni x</math> adică „{{Math|''A''}} conține {{Math|''x''}}”. 

Negația apartenenței la mulțime este marcată cu simbolul „∉”. Scrierea 

: <math>x \notin A </math> înseamnă că „{{Math|''x''}} nu este un element al lui {{Math|''A''}}”. 

Simbolul ∈ a fost folosit pentru prima oară de Giuseppe Peano 1889 în lucrarea sa {{Lang|la|{{Ill-wd|Q28458050}}|italic=yes}}. Acolo, pe pagina X scria:
<blockquote>{{Lang|la|Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …}}</blockquote> adică <blockquote> Simbolul ∈ înseamnă „este”. Deci, a ∈ b se citește a ''este un'' b; ... </blockquote> Simbolul în sine este un [[epsilon]] ("ε") grecesc mic stilizat, prima literă a cuvântului æστί, care înseamnă „este”. 
{| class="wikitable" style="text-align:right"
! align="left" |Caracter
! colspan="2" style="font-size: 150%" |&#x2208;
! colspan="2" style="font-size: 150%" |&#x2209;
! colspan="2" style="font-size: 150%" |&#x220B;
! colspan="2" style="font-size: 150%" |&#x220C;
|- style="text-align:center;"
| align="center" |'''Nume Unicode'''
| colspan="2" |<span class="smallcaps"><span style="font-variant: small-caps; text-transform: lowercase;">ELEMENT OF</span></span>
| colspan="2" |<span class="smallcaps"><span style="font-variant: small-caps; text-transform: lowercase;">NOT AN ELEMENT OF</span></span>
| colspan="2" |<span class="smallcaps"><span style="font-variant: small-caps; text-transform: lowercase;">CONTAINS AS MEMBER</span></span>
| colspan="2" |<span class="smallcaps"><span style="font-variant: small-caps; text-transform: lowercase;">DOES NOT CONTAIN AS MEMBER</span></span>
|-
! style="text-align:left;" |Codificări
!zecimal
!hex
!zecimal
!hex
!zecimal
!hex
!zecimal
!hex
|-
| style="text-align:left;" |[[Unicode]]
|8712
|U+2208
|8713
|U+2209
|8715
|U+220B
|8716
|U+220C
|-
| style="text-align:left;" |{{Ill-wd|Q193537}}
|226 136&nbsp;136
|E2  88&nbsp;88
|226 136&nbsp;137
|E2  88&nbsp;89
|226 136&nbsp;139
|E2  88&nbsp;8B
|226 136&nbsp;140
|E2  88&nbsp;8C
|-
| style="text-align:left;" |{{Ill-wd|Q1204079|3=Referință numerică a caracterului}}
|&#x26;#8712;
|&#x26;#x2208;
|&#x26;#8713;
|&#x26;#x2209;
|&#x26;#8715;
|&#x26;#x220B;
|&#x26;#8716;
|&#x26;#x220C;
|-
| align="left" |{{Ill-wd|Q1567428|3=Referință cu nume a caracterului}}
| colspan="2" style="text-align:center;" |&#x26;isin;
| colspan="2" align="center" |&#x26;notin;
| colspan="2" align="center" |&#x26;ni;
| colspan="2" |
|-
| align="left" |[[LaTeX]]
| colspan="2" style="text-align:center;" |\in
| colspan="2" align="center" |\notin
| colspan="2" align="center" |\ni
| colspan="2" align="center" |\not\ni
|-
| align="left" |{{Ill-wd|Q81294|3=Wolfram Mathematica}}
| colspan="2" style="text-align:center;" |\[Element]
| colspan="2" align="center" |\[NotElement]
| colspan="2" align="center" |\[ReverseElement]
| colspan="2" align="center" |\[NotReverseElement]
|}

=== Complement și inversare ===
Orice relație {{Math|''R'': ''U''→''V''}} este supusă la două [[Involuție (matematică)|involuții]]: [[complement (matematică)|complementarea]] <math>R \rightarrow \bar{R}</math> și inversarea {{Math|''R''<sup>''T''</sup>: ''V''→''U''}}''.'' Relația ∈ are ca domeniu mulțimea universală {{Math|''U''}} și drept codomeniu {{Ill-wd|Q205170|3=mulțimea părților}} {{Math|'''P'''(''U'')}}. Relația complementară <math>\bar\in = \notin</math> exprimă opusul lui ∈. Un element {{Math|''x'' ∈ ''U''}} poate avea {{Math|''x'' ∉ ''A''}}, caz în care {{Math|''x'' ∈ ''U'' \ ''A''}}, [[Complement (matematică)|complementul]] lui {{Math|''A''}} față de {{Math|''U''}}''.'' 

Relația {{Ill-wd|Q1248241|3=inversă}} <math>\in^T = \ni </math> schimbă între ele domeniul și codomeniul lui ∈. Pentru orice {{Math|''A''}} din {{Math|'''P'''(''U'')}}  <math>A \ni x </math>este adevărat atunci când <math>x \in A
</math>''.''

== Cardinalul mulțimii ==
Numărul elementelor dintr-o anumită mulțime este o proprietate cunoscută sub numele de {{Ill-wd|Q4049983|3=cardinal}}; informal, aceasta este dimensiunea unei mulțimi. În exemplele de mai sus, cardinalul mulțimii {{Math|''A''}} este 4, în timp ce cardinalul fiecăreia dintre mulțimile {{Math|''B''}} și {{Math|''C''}} este 3. O mulțime infinită este o mulțime cu un număr infinit de elemente, în timp ce o mulțime finită este o mulțime cu un număr finit de elemente. Exemplele de mai sus sunt exemple de mulțimi finite. Un exemplu de mulțime infinită este mulțimea numerelor întregi pozitive, {{Math|{1,   2,   3,   4,   ...<nowiki>}</nowiki>}}. 

== Exemple ==
Folosind mulțimile definite mai sus, și anume {{Math|1=''A'' = {1, 2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}}, {{Math|1=''B''<nowiki> = {1, 2, {3, 4}}</nowiki>}} și {{Math|1=''C'' = {roșu, verde, albastru <nowiki>}</nowiki>}} 

* {{Math|2 ∈ ''A''}} 
* {{Math|{3,4} ∈ ''B''}} 
* {{Math|3,4 ∉ ''B''}} 
* {{Math|{3,4<nowiki>}</nowiki>}} este membru al lui {{Math|''B''}} 
* Galben {{Math|∉ ''C''}} 
* Cardinalul lui ''D'' &nbsp; = &nbsp; {2, &nbsp; 4, &nbsp; 8, &nbsp; 10, &nbsp; 12} este finit și egal cu 5. 
* Cardinalul lui ''P'' &nbsp; = &nbsp; {2, &nbsp; 3, &nbsp; 5, &nbsp; 7, &nbsp; 11, &nbsp; 13, &nbsp; ...} ( [[Număr prim|numerele prime]]) este infinit&nbsp;(fapt demonstrat de [[Euclid]]). 

== Note bibliografice ==
<references/>

== Lectură suplimentară ==

*{{Citation|last=Halmos|first=Paul R.|author-link=Paul R. Halmos|origyear=1960|year=1974|title=Naive Set Theory|publisher=Springer-Verlag|location=NY|edition=Hardcover|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|isbn=0-387-90092-6|trans_title=Teoria naivă a mulțimilor}} - „Naivă” înseamnă incomplet axiomatizată, nu „ușoară” sau „cu neștiință” (abordarea lui Halmos nu este niciuna dintre cele două).
*{{Citation|last=Jech|first=Thomas|author-link=Thomas Jech|year=2002|title=Stanford Encyclopedia of Philosophy|chapter=Set Theory|url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/}}
*{{Citation|last=Suppes|first=Patrick|author-link=Patrick Suppes|origyear=1960|year=1972|title=Axiomatic Set Theory|trans_title=Teoria axiomatică a mulțimilor|publisher=Dover Publications, Inc.|location=NY|isbn=0-486-61630-4}} - Atât noțiunea de mulțime (colecție de membri), apartenența, axioma extensiei, axioma separării, și axioma reuniunii (Suppes o numește „axioma sumei”) sunt necesare pentru o înțelegere riguroasă a noțiunii de „element al mulțimii”.

== Legături externe ==
*{{MathWorld |title=Element |id=Element }}

[[Categorie:Teoria mulțimilor]]