Vizualizare sursă pentru „Egalitate (matematică)”

În [[matematică]] '''egalitatea''' este o relație între două mărimi sau, mai general, între două [[expresie matematică |expresii matematice]], care afirmă că mărimile au aceeași [[valoare (matematică) |valoare]] sau că expresiile reprezintă același [[obiect matematic]], altfel spus o relație de identitate la nivel logic noțional. Egalitatea dintre {{math|''A''}} și {{math|''B''}} se scrie {{math|1=''A''&nbsp;=&nbsp;''B''}} și se pronunță „{{math|''A''}} este egal cu {{math|''B''}}”.<ref>{{en icon}} {{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Equality|url=https://mathworld.wolfram.com/Equality.html|access-date=2020-09-01|website=mathworld.wolfram.com}}</ref> Simbolul „{{math|1==}}” se numește „[[semnul egal]]”. Două obiecte care nu sunt egale se spune că sunt '''diferite''' sau '''distincte'''.

De exemplu:
* <math>x=y</math> înseamnă că {{mvar|x}} și {{mvar|y}} sunt același obiect.<ref>{{en icon}} {{harvnb|Rosser|2008|page=163}}.</ref>
* Egalitatea <math>(x+1)^2=x^2+2x+1</math> (o identitate) înseamnă că dacă {{mvar|x}} este un număr (oricare), atunci cele două expresii au aceeași valoare. Acest lucru poate fi enunțat și ca spunând că cei doi membri ai ecuației reprezintă aceeași [[funcție]].
* <math>\{x \mid P(x)\} = \{x \mid Q(x)\}</math> [[dacă și numai dacă]] <math>P(x) \Leftrightarrow Q(x).</math> Această afirmație înseamnă că dacă elementele care satisfac proprietatea <math>P(x)</math> sunt aceleași cu elementele care satisfac <math>Q(x),</math> atunci cele două proprietăți definesc aceeași [[mulțime]]. Această proprietate este adesea exprimată ca „două mulțimi care au aceleași elemente sunt identice”. Este una dintre axiomele obișnuite ale [[teoria mulțimilor|teoriei mulțimilor]], numită [[axioma extensionalității]].<ref>{{harvnb|Lévy|2002|pages=13, 358}}. {{harvnb|Mac Lane|Birkhoff|1999|page=2}}. {{harvnb|Mendelson|1964|page=5}}.</ref>

Egalitatea apare și în folosirea mărimilor fizice (sau economice) în calculele care le conțin.

== Etimologie ==
Cuvântul provine din {{la|aequālis}}, care înseamnă „egal cu”.

== Proprietăți ==
* ''Proprietatea de substituție'': Pentru orice mărimi ''a'' și ''b'' și orice expresie matematică ''F''(''x''), dacă ''a'' = ''b'', atunci ''F''(''a'') = ''F''(''b'') (cu condiția ca ambele părți să fie {{ill-wd| Q655328||bine formate}}).

: Câteva exemple specifice sunt:
:* Pentru orice [[număr real |numere reale]] ''a'', ''b'' și ''c'', dacă ''a'' = ''b'', atunci ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''c'' (aici ''F''(''x'') este ''x'' + ''c'');
:* Pentru orice numere reale ''a'', ''b'' și ''c'', dacă ''a'' = ''b'', atunci ''a'' &minus; ''c'' = ''b'' &minus; ''c'' (aici ''F''(''x'') este ''x'' &minus; ''c'');
:* Pentru orice numere reale ''a'', ''b'' și ''c'', dacă ''a'' = ''b'', atunci ''ac'' = ''bc'' (aici ''F''(''x'') este ''xc'');
:* Pentru orice numere reale ''a'', ''b'' și ''c'', dacă ''a'' = ''b'' și ''c'' nu este 0, atunci ''a''/''c'' = ''b''/''c'' (aici ''F''(''x'') este ''x''/''c'');

* ''Proprietatea de reflexivitate'': Pentru orice mărime ''a'', ''a'' = ''a''.
* ''Proprietatea de simetrie'': Pentru orice mărimi ''a'' și ''b'', dacă dacă ''a'' = ''b'', atunci ''b'' = ''a''.
* ''Proprietatea de tranzitivitate'': Pentru orice mărimi ''a'', ''b'' și ''c'', dacă ''a'' = ''b'' și ''b'' = ''c'', atunci ''a'' = ''c''.<ref>{{en icon}} {{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Equal|url=https://mathworld.wolfram.com/Equal.html|access-date=2020-09-01|website=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref>''Matematică - Manual pentru clasa a VI-a - Aritmetică și Algebră'', 1994, p. 75</ref>

Aceste ultime trei proprietăți fac din egalitate o [[relație de echivalență]]. 

Ele apăreau inițial printre {{ill-wd| Q842755}} pentru numerele naturale. Deși proprietățile de simetrie și tranzitivitate sunt adesea văzute ca fundamentale, ele pot fi deduse din proprietățile de substituție și reflexivitate.

Aceste proprietăți, îndeosebi substitutivitatea, permit prelucrarea succesivă a expresiilor matematice. Această prelucrare este un exemplu de [[raționament]] matematic, des întâlnit în calculul unor mărimi fizice.

== Egalitatea ca predicat ==
Când ''A'' și ''B'' nu sunt complet specificate sau depind de unele [[variabilă |variabile]], egalitatea este o ''propoziție'', care poate fi adevărată pentru unele valori și falsă pentru alte valori. Egalitatea este o [[relație binară]] (adică, un {{ill-wd|Q1144319|predicat (logică matematică)|schemă predicat}} cu [[aritate|două argumente]]) care poate produce o [[valoare de adevăr]] (''fals'' sau ''adevărat'') din argumentele sale. Este o relație reflexivă, simetrică și tranzitivă. 
În [[programare |programarea calculatoarelor]], calculul său din cele două expresii este cunoscut ca {{ill-wd| Q2142873||comparație}}.

Este un exemplu de expresie relațională, conținând pe lângă simbolurile operatorilor aritmetici și simbolul unei relații binare, similar relației de inegalitate.

== Ecuații ==
O [[ecuație]] este o problemă de găsire a valorilor unor variabile, numite ''necunoscute'', pentru care egalitatea specificată este adevărată. Termenul „ecuație” se poate referi și la o relație de egalitate care este satisfăcută numai pentru valorile variabilelor care interesează. De exemplu, <math>x^2 + y^2 = 1</math> este ecuația [[cerc unitate |cercului unitate]].

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book|first=Stephen Cole|last=Kleene|author-link=Stephen Cole Kleene|orig-year=1967|title=Mathematical Logic|year=2002|publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York|isbn=978-0-486-42533-7}}
* {{en icon}} {{cite book|last=Lévy | first=Azriel | isbn=978-0-486-42079-0 | year=2002 |orig-year=1979 | title=Basic set theory| publisher=Dover Publications|location=Mineola, New York}}
* {{en icon}} {{Cite book | first1 = Saunders | last1 = Mac Lane | first2=Garrett | last2=Birkhoff | title = Algebra | edition=Third | publisher = American Mathematical Society | location=Providence, Rhode Island | year=1999|orig-year = 1967}}
* {{en icon}} {{Citation | first = Barry | last = Mazur | title = When is one thing equal to some other thing? | date = 12 June 2007 | url = http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf | access-date = 2021-11-24 | archive-date = 2019-10-24 | archive-url = https://web.archive.org/web/20191024034253/http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf | dead-url = yes }}
* {{en icon}} {{cite book|last=Mendelson |first=Elliott |title=Introduction to Mathematical Logic |year=1964 |publisher=Van Nostrand Reinhold |location=New York}}
* {{en icon}} {{cite book| last=Rosser|first=John Barkley| title=Logic for mathematicians| publisher=Dover Publication|location=Mineola, New York| year=2008|orig-year=1953| isbn=978-0-486-46898-3}}
* {{en icon}} {{Cite book| last1=Shoenfield | first1=Joseph Robert | title=Mathematical Logic | orig-year=1967 | publisher=A K Peters | edition=2nd | isbn=978-1-56881-135-2 | year=2001}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{springer|title=Equality axioms|id=p/e035910}}

[[Categorie:Matematică elementară]]
[[Categorie:Logică matematică]]