Vizualizare sursă pentru „Ecuațiile Newton–Euler”

{{Mecanică clasică}}
În [[mecanica clasică]] '''ecuațiile Newton–Euler''' sunt [[ecuație diferențială ordinară |ecuații diferențiale ordinare]] cvasiliniare [[vector (fizică și matematică) |vectoriale]] de ordinul întâi care descriu translația și rotația unui [[solid rigid]].<ref name=Hahn>{{en icon}} {{cite book
 |title=Rigid Body Dynamics of Mechanisms
 |author=Hubert Hahn
 |page=143
 |url=https://books.google.com/books?id=MqrN3KY7o6MC&pg=PA143
 |isbn=3-540-42373-7
 |publisher=Springer
 |year=2002
}}</ref><ref name=Shabana>{{en icon}} {{cite book
 |title=Computational Dynamics
 |author=Ahmed A. Shabana
 |page= 379
 |url=https://books.google.com/books?id=dGfcbOsm2PwC&pg=PA379 
 |isbn=978-0-471-37144-1
 |year=2001
 |publisher=Wiley-Interscience
}}</ref><ref name=Slotline>{{en icon}} {{cite book
 |title=Robot Analysis and Control
 |author=Haruhiko Asada, Jean-Jacques E. Slotine
 |url=https://books.google.com/books?id=KUG1VGkL3loC&q=EUler+equations+%22rigid+body%22&pg=PA94
 |isbn=0-471-83029-1
 |publisher=Wiley/IEEE
 |year=1986
 |pages=§5.1.1, p. 94
}}</ref><ref name=Bishop>{{en icon}} {{cite book
 |title=Mechatronic Systems, Sensors, and Actuators: Fundamentals and Modeling
 |author= Robert H. Bishop
 |url=https://books.google.com/books?id=3UGQsi6VamwC&q=EUler+equations+%22rigid+body%22&pg=PT104
 |isbn=978-0-8493-9258-0
 |publisher=CRC Press
 |year=2007
 |pages=§7.4.1, §7.4.2
}}</ref><ref name=Lin>{{en icon}} {{cite book
 |title=High Fidelity Haptic Rendering
 |author= Miguel A. Otaduy, Ming C. Lin
 |page=24 |url=https://books.google.com/books?id=lk0StvDRoEMC&q=EUler+equations+%22rigid+body%22&pg=PA24
 |isbn=1-59829-114-9
 |publisher=Morgan and Claypool Publishers
 |year=2006
 }}</ref>

Tradițional, ecuațiile Newton–Euler sunt gruparea [[legile mișcării ale lui Euler|celor două legi ale mișcării lui Euler]] pentru un corp rigid într-o singură ecuație cu 6 componente, folosind [[Vector linie și vector coloană |vectori coloană]] și [[matrice |matrici]]. Aceste legi leagă mișcarea [[centru de masă |centrului de masă]] al unui corp rigid cu suma [[forță |forțelor]] și [[momentul forței |momentelor]] care acționează asupra corpului rigid.

== Sistemul de coordonate cu originea în centrul de masă ==
În ceea ce privește un [[sistem de coordonate]] a cărui [[origine (matematică) |origine]] coincide cu [[centru de masă |centrul de masă]] al corpului pentru '''τ''' (moment) și un [[sistem de referință inerțial]] pentru '''F''' (forță), ele pot fi exprimate sub formă matricială ca:
: <math>
\left(\begin{matrix} {\mathbf F} \\ {\boldsymbol \tau} \end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} & 0 \\ 0 & {\mathbf I}_{\rm cm} \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} \mathbf a_{\rm cm} \\ {\boldsymbol \alpha} \end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix} 0 \\ {\boldsymbol \omega} \times {\mathbf I}_{\rm cm} \, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right),
</math>
unde
:'''F''' = [[forță rezultantă |rezultanta]] din centrul de masă
:''m'' = masa corpului
:'''I'''<sub>3</sub> = [[matrice unitate |matricea unitate]] 3×3
:'''a'''<sub>cm</sub> = [[accelerație |accelerația]] centrului de masă
:'''v'''<sub>cm</sub> = [[viteză |viteza]] centrului de masă (v. mai jos)
:'''τ''' = momentul rezultantei față de centrul de masă
:'''I'''<sub>cm</sub> = [[moment de inerție |momentul de inerție]] față de centrul de masă
:'''ω''' = [[viteză unghiulară |viteza unghiulară]] a corpului
:'''α''' = [[accelerație unghiulară |accelerația unghiulară]] a corpului

== Un sistem de coordonate oarecare ==
În ceea ce privește un sistem de coordonate situat în punctul '''P''' care este atașat de corp și ''nu'' coincide cu centrul de masă, ecuațiile iau forma mai complicată:
: <math>
\left(\begin{matrix} {\mathbf F} \\ {\boldsymbol \tau}_{\rm p} \end{matrix}\right) =
\left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} &  -m [{\mathbf c}]^{\times}\\
m [{\mathbf c}]^{\times} & {\mathbf I}_{\rm cm} - m[{\mathbf c}]^{\times}[{\mathbf c}]^{\times}\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} \mathbf a_{\rm p} \\ {\boldsymbol \alpha} \end{matrix}\right) +
\left(\begin{matrix} m[{\boldsymbol \omega}]^{\times}[{\boldsymbol \omega}]^{\times} {\mathbf c} \\
{[\boldsymbol \omega]}^\times ({\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^\times[{\mathbf c}]^\times)\, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right),
</math>
unde '''c''' este vectorul cu componentele ''c<sub>x</sub>'', ''c<sub>y</sub>'', ''c<sub>z</sub>'' de la centrul de masă la '''P''' iar '''ω''' este vectorul cu componentele ''ω<sub>x</sub>'', ''ω<sub>y</sub>'', ''ω<sub>z</sub>'', exprimați în sistemul de coordonate atașat de corp, iar
:<math>
[\mathbf{c}]^{\times} \equiv
\left(\begin{matrix} 0 & -c_z & c_y \\ c_z & 0 & -c_x \\ -c_y & c_x & 0 \end{matrix}\right)
\qquad \qquad
[\mathbf{\boldsymbol{\omega}}]^{\times} \equiv
\left(\begin{matrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{matrix}\right)
</math>
este {{ill-wd| Q526790||matricea antisimetrică}} a [[produs vectorial |produsului vectorial]] al matricilor.

Termenii [[inerție |inerțiali]] sunt conținuți în matricea ''inerția spațială'':
: <math>
  \left(\begin{matrix} m {\mathbf I_3} & - m [{\mathbf c}]^{\times}\\
  m [{\mathbf c}]^{\times} & {\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^{\times}[{\mathbf c}]^{\times}\end{matrix}\right),
</math>

în timp ce [[forța aparentă |forțele aparente]] sunt conținute în termenul:<ref name=Featherstone>{{en icon}} {{cite book
 |title=Rigid Body Dynamics Algorithms
 |author= Roy Featherstone
 |url=https://books.google.com/books?id=UjWbvqWaf6gC&q=Rigid+Body+Dynamics+Algorithms
 |isbn=978-0-387-74314-1
 |publisher=Springer
 |year=2008
 }}</ref>
:<math>
  \left(\begin{matrix} m{[\boldsymbol \omega]}^\times {[\boldsymbol \omega]}^\times {\mathbf c} \\
  {[\boldsymbol \omega]}^\times ({\mathbf I}_{\rm cm} - m [{\mathbf c}]^\times[{\mathbf c}]^\times)\, {\boldsymbol \omega} \end{matrix}\right) .
</math>

Când centrul de masă nu coincide cu originea sistemului de coordonate (adică când '''c''' este diferit de zero), accelerațiile de translație și unghiulare ('''a''' și '''α''') sunt cuplate, astfel încât fiecare să fie asociat cu componentele forței și momentului.

== Note ==
<references />

== Vezi și ==
* [[Legile mișcării ale lui Euler]]
* [[Ecuațiile lui Euler (solid rigid)]]
* [[Forță centrifugă]]
{{Portal|Fizică}}

[[Categorie:Solid rigid]]
[[Categorie:Rotație tridimensională]]
[[Categorie:Ecuații ale fizicii]]