Vizualizare sursă pentru „Echivalență masă-energie”

{{curățenie|date=mai 2019}}
{{referințe}}
[[Fișier:Relativity3 Walk of Ideas Berlin.JPG|400px|right|thumb|O sculptură de 5 metri înălțime a formulei din 1905 a lui [[Albert Einstein|Einstein]], ''E'' = ''mc''<sup>2</sup>, la [[Walk of Ideas]], [[Germania]], [[2006]]]]
'''Echivalența masă-energie''' este o consecință a [[teoria relativității|teoriei relativității]], constând în faptul că între [[masă|masa]] totală a unui [[sistem fizic]] și [[energie|energia]] sa totală există o relație de proporționalitate, exprimată prin relația ''E=mc²,''

unde ''E'' este energia sistemului, ''m'' este masa sa, iar ''c'' este [[viteza luminii în vid]].

== Derivarea ==

O primă consecință a [[teoria relativității restrânse|teoriei relativității restrânse]] este faptul că dacă asupra unui sistem se efectuează un [[lucru mecanic]] ''L'', masa sistemului crește cu o cantitate <math>\Delta m=\frac{L}{c^2}</math>. Mai departe, se deduce că variația de masă se produce la orice transfer de energie între sistem și exterior, drept consecință orice variație ΔE a energiei sistemului este însoțită de o variație Δm a masei sistemului, satisfăcând relația ΔE=Δm·c². De aici, pentru o alegere potrivită a stării de referință, pentru care punem E=0, obținem relația cunoscută E=mc².

== Demonstrație ==
<div style="text-align:center"><math>m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>p = \frac{mv}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>dE = Fdr = \frac{dp}{dt}dr = vdp = v^2dm+mvdv</math></div>
<div style="text-align:center"><math>m^2 = \frac{m_0^2c^2}{c^2-v^2}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>d(m^2) = 2mdm = m_0^2c^2d(\frac{1}{c^2-v^2})</math></div>
<div style="text-align:center"><math>d(\frac{1}{c^2-v^2}) = \frac{1}{c^2-(v+dv)^2}-\frac{1}{c^2-v^2} = \frac{1}{c^2-v^2-2vdv}-\frac{1}{c^2-v^2} = \frac{1}{c^2-v^2}+\frac{2(c^2-v^2)^2vdv}{(c^2-v^2)^2}-\frac{1}{c^2-v^2} = \frac{2vdv}{(c^2-v^2)^2}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>mdm = \frac{m_0^2c^2vdv}{c^2-v^2}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>vdv = \frac{mv(c^2-v^2)^2dm}{m_0^2c^2v} = \frac{(c^2-v^2)^2c^2dm}{mc^2(c^2-v^2)} = \frac{(c^2-v^2)dm}{m}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>dE = dmv^2+m\frac{(c^2-v^2)dm}{m} = dmv^2+dmc^2-dmv^2 = dmc^2</math></div>

== O derivare alternativă ==
<div style="text-align:center"><math>\vec F = \dfrac{d\vec p}{dt}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>dE = \vec F\,d\vec r</math></div>
<div style="text-align:center"><math>-dEdt + d\vec p\,d\vec r = 0</math></div>
<div style="text-align:center"><math>cdt\vec e \oplus d\vec r = d\vec x</math></div>
<div style="text-align:center"><math>d\vec P = \dfrac{dE}{c}\, \vec e \oplus d\vec p</math></div>
<div style="text-align:center"><math>\vec P = \dfrac{E}{c}\,\vec e \oplus \vec p</math></div>
<div style="text-align:center"><math>d\vec P\cdot d\vec x =\left( \dfrac{dE}{c}\, \vec e \oplus d\vec p \right)\left( cdt\vec e \oplus d\vec r \right)= -dEdt+d\vec p\cdot d\vec r= 0</math></div>
<div style="text-align:center"><math>\left( \dfrac{E}{c}\, \vec e \oplus \vec p \right)\cdot \left( \dfrac{E}{c}\, \vec e \oplus \vec p \right)= -\dfrac{E^2}{c^2} + \vec{p}^{\,2} = \vec{P}^2 \quad => \quad \vec{p}^{\,2} = \dfrac{E^2}{c^2} + \vec{P}^2</math></div>
<div style="text-align:center"><math>\vec p = \tilde{m}\vec v = \tilde{m}\dfrac{d\vec r}{dt}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>-dEdt + d\vec p\,d\vec r = 0\quad\Rightarrow\quad d\vec p\,\dfrac{d\vec r}{dt} = dE\quad\Rightarrow\quad
\vec p d\vec p = \tilde{m}dE\quad\Rightarrow\quad \dfrac{d(\vec{p}^{\,2})}{dE}=2\tilde{m}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>2\tilde{m} = \dfrac{d(\vec{p}^{\,2})}{dE} =\dfrac{d}{dE}\,\left( \dfrac{E^2}{c^2} + \vec{P}^2\right) = \dfrac{2E}{c^2}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>E = \tilde{m}c^2</math></div>
<div style="text-align:center"><math>-\tilde{m}^2c^2 + \tilde{m}^2v^2 = \vec{P}^2</math></div>
<div style="text-align:center"><math>\tilde{m}^2 = \dfrac{-\vec{P}^2}{c^2 - \vec{v}^2}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>\tilde{m}(v=0)^2 = \dfrac{-\vec{P}^2}{c^2}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>\dfrac{-\vec{P}^2}{c^2}=m_0^2</math></div>
<div style="text-align:center"><math>\tilde{m}^2 = \dfrac{-\vec{P}^2}{c^2 - v^2} = \dfrac{m_0^2 c^2}{c^2 - v^2}</math></div>
<div style="text-align:center"><math>\tilde{m}=\dfrac{m_0}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}</math></div>

Am aplicat convenția ca produsul punct și juxtapunerea să reprezinte produsul scalar a doi vectori, iar pătratul unui vector reprezintă produsul scalar al vectorului cu el însuși.

== Efecte ==
Variația de masă preconizată de relațiile de mai sus este, în majoritatea transformărilor, mult prea mică, raportată la masa totală a sistemului, pentru a putea fi detectată.

În [[reacție nucleară|reacțiile nucleare]], însoțite de evacuarea [[căldură|căldurii]] și [[radiație]]i produse de reacție, variația energiei sistemului este suficient de mare, raportată la masa sistemului implicat, pentru ca variația masei să fie măsurabilă practic. Variația de masă provine din evacuarea prin căldură și radiație a energiei de legătură dintre componentele [[nucleu atomic|nucleului atomic]]. Variația de masă se manifestă prin aceea că suma [[masă atomică|maselor atomice]] ale atomilor rezultați din reacție (plus, dacă este cazul, masele de repaus ale particulelor rezultate) este mai mică (în cazul unei reacții exoterme) decât suma maselor atomice ale atomilor intrați în reacție. Urmarea este că masa unui atom este puțin mai mică decât suma maselor [[proton]]ilor, [[neutron]]ilor și [[electron]]ilor componenți.

== „Transformarea masei în energie” ==
Este adesea afirmat în mod eronat că relația E=mc² exprimă transformarea (conversia) masei în energie în diverse reacții nucleare. În realitate, energia este prezentă în cantitate egală înainte și după transformare, doar sub forme diferite (energia legăturilor dintre componentele nucleului, în starea inițială, față de energie termică - [[energie cinetică]] a moleculelor - și energia radiației produse, în faza finală). De asemenea, masa se păstrează, doar forma ei de manifestare (substanță față de câmp) se modifică.

== Note ==
<references/>

== Vezi și ==
* [[Dependența masei de viteză]]

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Relativitate]]