Vizualizare sursă pentru „Echivalență logică”

În [[logică]] și [[matematică]], afirmațiile <math>p</math> și <math>q</math> sunt considerate '''echivalente''' din punct de vedere '''logic''' dacă sunt demonstrabile unele prin altele într-un set de axiome,<ref name=":0">{{en icon}} {{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#equivalent|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Equivalent Claim|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2019-11-24}}</ref> sau să aibă aceeași [[valoare de adevăr]] în orice [[structură (logică matematică)|model]].<ref>{{en icon}} {{Cite book|title=Introduction to Mathematical Logic|url=https://archive.org/details/introductiontoma00mend|url-access=limited|last=Mendelson|first=Elliott|year=1979|edition=2|pages=[https://archive.org/details/introductiontoma00mend/page/n63 56]}}</ref> Echivalența logică a <math>p</math> și <math>q</math> se notează <math>p \equiv q</math>, <math>p :: q</math>,<ref name=":1">{{en icon}} {{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/mathematical-logic-propositional-equivalences/|title=Mathematics {{!}} Propositional Equivalences|date=2015-06-22|website=GeeksforGeeks|language=en-US|access-date=2019-11-24}}</ref> <math>\textsf{E}pq</math> sau <math>p \iff q</math>, în funcție de sursa notațiilor. Aceste simboluri sunt utilizate și pentru [[dacă și numai dacă |echivalența materială]], astfel încât interpretarea corectă ar depinde de context. Echivalența logică este diferită de echivalența materială, deși cele două concepte sunt legate intrinsec.

== Echivalențe logice ==
În logică există multe echivalențe logice comune și sunt adesea enumerate ca legi sau proprietăți. Tabelele următoare ilustrează unele dintre acestea.

=== Echivalențe logice generale ===
{| class="wikitable"
|-
! Echivalența<ref name=":1" /> !! Nume
|-
| <math>p \wedge \top \equiv p</math><br /><math>p \vee \bot \equiv p</math> || Identitate
|-
| <math>p \vee \top \equiv \top</math><br /><math>p \wedge \bot \equiv \bot</math> || Dominare
|-
| <math>p \vee p \equiv p</math><br /><math>p \wedge p \equiv p</math> || Idempotență (tautologie)
|-
| <math>\neg (\neg p) \equiv p</math> || [[Dublă negație]]
|-
| <math>p \vee q \equiv q \vee p</math><br /><math>p \wedge q \equiv q \wedge p</math> || [[Comutativitate]]
|-
| <math>(p \vee q) \vee r \equiv p \vee (q \vee r)</math><br /><math>(p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r) </math>|| [[Asociativitate]]
|-
| <math>p \vee (q \wedge r) \equiv (p \vee q) \wedge (p \vee r)</math><br /><math>p \wedge (q \vee r) \equiv (p \wedge q) \vee (p \wedge r)</math> || [[Distributivitate]]
|-
| <math>\neg (p \wedge q) \equiv  \neg p \vee \neg q</math><br /><math>\neg (p \vee q) \equiv  \neg p \wedge \neg q</math> || [[Legile De Morgan|De Morgan]]
|-
| <math>p \vee (p \wedge q) \equiv p</math><br /><math>p \wedge (p \vee q) \equiv p</math> || [[Absorbție]]
|-
| <math>p \vee \neg p \equiv \top</math><br /><math>p \wedge \neg p \equiv \bot</math> || Anihilare (negație)
|}

=== Echivalențe logice condiționate ===
:#<math>p \implies q \equiv \neg p \vee q</math>
:#<math>p \implies q \equiv \neg q \implies \neg p</math>
:#<math>p \vee q \equiv \neg p \implies q</math>
:#<math>p \wedge q \equiv \neg (p \implies \neg q)</math>
:#<math>\neg (p \implies q) \equiv p \wedge \neg q</math>
:#<math>(p \implies q) \wedge (p \implies r) \equiv p \implies (q \wedge r)</math>
:#<math>(p \implies q) \vee (p \implies r) \equiv p \implies (q \vee r)</math>
:#<math>(p \implies r) \wedge (q \implies r) \equiv (p \vee q) \implies r</math>
:#<math>(p \implies r) \vee (q \implies r) \equiv (p \wedge q) \implies r</math>

=== Echivalențe logice dublu condiționate ===
:#<math>p \iff q \equiv (p \implies q) \wedge (q \implies p)</math>
:#<math>p \iff q \equiv \neg p \iff \neg q</math>
:#<math>p \iff q \equiv (p \wedge q) \vee (\neg p \wedge \neg q)</math>
:#<math>\neg (p \iff q) \equiv p \iff \neg q</math>

== Exemple ==
=== În logică ===
Următoarele afirmații sunt echivalente logic:

# Dacă Lisa se află în [[Danemarca]], atunci ea se află în [[Europa]] (o propoziție de forma <math>d \implies e</math>).
# Dacă Lisa nu se află în Europa, atunci ea nu se află în Danemarca (o propoziție de forma <math>\neg e \implies \neg d</math>).

Sintactic, (1) și (2)  derivă una din cealaltă prin regulile [[contrapoziție]]i și a dublei negații. Semantic, (1) și (2) sunt adevărate în exact aceleași modele (interpretări, evaluări); și anume, cele în care fie „Lisa este în Danemarca” este falsă, fie „Lisa este în Europa” este adevărată.

(În acest exemplu este prezumată [[logică clasică |logica clasică]]. Unele [[logică alternativă |logici alternative]] nu consideră (1) și (2) ca fiind echivalente logic.)

=== În matematică ===
În matematică, două afirmații {{mvar|p}} și {{mvar|q}} se spune că sunt echivalente logic dacă sunt demonstrabile una din alta într-un set de axiome și presupuneri. De exemplu, afirmația „{{mvar|n}} este divizibil cu 6” poate fi considerată echivalentă cu afirmația „{{mvar|n}} este divizibil cu 2 și cu 3”, deoarece se poate demonstra prima din aceasta din urmă (și invers) folosind unele cunoștințe elementare din [[teoria numerelor]].<ref name=":0" />

== Relația cu echivalența materială ==
Echivalența logică este diferită de echivalența materială. Formulele {{mvar|p}} și {{mvar|q}} sunt logic echivalente [[dacă și numai dacă]] afirmația echivalenței lor materiale (<math>p \iff q</math>) este o tautologie.<ref>{{en icon}} {{Cite book|title=Introduction to Logic|last=Copi|first=Irving|last2=Cohen|first2=Carl|last3=McMahon|first3=Kenneth|publisher=Pearson|year=2014|edition=New International|pages=348}}</ref>

Echivalența materială a lui {{mvar|p}} și {{mvar|q}} (adesea scrisă ca <math>p \leftrightarrow q</math>) este ea însăși o altă afirmație din același [[limbaj formal]] ca și {{mvar|p}} și {{mvar|q}}. Această afirmație exprimă ideea „{{mvar|p}} dacă și numai dacă {{mvar|q}}”. În special, valoarea de adevăr a <math>p \iff q</math> se poate schimba de la un model la altul.

Pe de altă parte, afirmația că două formule sunt echivalente logic este o afirmație în [[metalimbaj]], care exprimă o relație între două afirmații {{mvar|p}} și {{mvar|q}}. Afirmațiile sunt echivalente logic dacă în fiecare model au aceeași valoare de adevăr.

== Note ==
<references responsive/>

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Logică matematică]]