Vizualizare sursă pentru „Dualitate (matematică)”

În [[matematică]], o '''dualitate''' transformă concepte, [[teoremă |teoreme]] sau [[structură matematică |structuri matematice]] în alte concepte, teoreme sau structuri, printr-o transformare „unu la unu”, adesea (dar nu întotdeauna) prin intermediul unei operații de [[involuție (matematică) |involuție]]:dacă dualul lui ''A'' este ''B'', atunci dualul lui ''B'' este ''A''. Astfel de involuții au uneori [[punct fix (matematică) |puncte fixe]], astfel încât dualul lui ''A'' este ''A'' însuși. De exemplu, [[teorema lui Desargues]] este '''autoduală'''<!-- „autodual” redirecționează aici --> în acest sens pentru dualitatea standard în [[Geometrie proiectivă|geometria proiectivă]].

Termenul ''dualitate'' are mai multe înțelesuri.<ref>{{harvnb|Atiyah|2007|page=1}}</ref> A fost descris ca „un concept foarte răspândit și important în matematică (modernă)”<ref>{{en icon}} {{harvnb|Kostrikin|2001|loc=Acest citat este prima propoziție din secțiunea finală denumită „comentarii” din acest document}}</ref> și "o temă generală importantă care are manifestări în aproape toate domeniile matematicii".<ref name="PCM187L">{{harvnb|Gowers|2008|loc=p.&nbsp;187, col.&nbsp;1}}</ref>

Multe dualități matematice între obiecte de două tipuri se referă la împerecheri, [[aplicație biliniară |aplicații biliniare]] de la un obiect de un tip și un alt obiect de al doilea tip la vreo familie de scalari.De exemplu, ''dualitatea în algebra liniară'' corespunde aplicațiilor biliniare pe împerecheri de [[Spațiu vectorial|spații vectoriale]] și scalari, ''dualitatea dintre [[distribuție |distribuții]] și funcțiile de testare asociate'' corespunde împerecherii dintre o distribuție și funcția de testare, iar ''[[dualitate Poincaré |dualitatea Poincaré]]'' corespunde în mod similar la [[număr de intersecții |numărul de intersecții]], privit ca o împerechere între subvarietăți ale unei varietăți date.<ref name="PCM189R">{{harvnb|Gowers|2008|loc=p.&nbsp;189, col.&nbsp;2}}</ref>

Din punct de vedere al [[Teoria categoriilor |teoriei categoriilor]], dualitatea poate fi văzută și ca un [[functor]], cel puțin în domeniul spațiilor vectoriale. Acest functor atribuie fiecărui spațiu spațiul său dual,iar [[produs fibrat |produsul fibrat]] atribuie fiecărei săgeți {{nowrap|''f'': ''V'' → ''W''}} dualul său {{nowrap|''f''<sup>∗</sup>: ''W''<sup>∗</sup> → ''V''<sup>∗</sup>}}.

== Exemple introductive ==
După [[Michael Atiyah]],
{{quote|În matematică dualitatea nu este o teoremă, ci un „principiu”.<ref>{{harvnb|Atiyah|2007|p=1 (Duality in mathematics is not a theorem, but a "principle".)}}</ref>}}
Următoarea listă de exemple arată trăsăturile comune ale multor dualități, dar indică și faptul că semnificația exactă a dualității poate varia de la caz la caz.

=== Complementul unei submulțimi ===
O dualitate simplă, poate cea mai simplă, apare din considerarea [[submulțime |submulțimilor]] unei mulțimi fixe {{mvar|S}}. Pentru orice submulțime {{mvar|A ⊆ S}}, [[complement (matematică) |complementul]] {{mvar|A}}{{sup|c}} este format din toate acele elemente din {{mvar|S}} care nu sunt conținute în {{mvar|A}}. Este din nou o submulțime a lui {{mvar|S}}. Complementarea are următoarele proprietăți:
* Aplicând-o de două ori se revine la mulțimea inițială, adică {{mvar|1=(A{{sup|c}}){{sup|c}} = A}}. Se spune că operația de complementare dublă este o ''[[involuție (matematică) |involuție]]''.
* Relația de incluziune {{mvar|A ⊆ B}} se orientează în diresția inversă {{mvar|B{{sup|c}} ⊆ A{{sup|c}}}}.
* Fiind date două submulțimi {{mvar|A}} și {{mvar|B}} ale {{mvar|S}}, {{mvar|A}} este inclusă în {{mvar|B{{sup|c}}}} [[dacă și numai dacă]] {{mvar|B}} este inclusă în {{mvar|A{{sup|c}}}}.

Această dualitate apare în [[topologie]] ca o dualitate între [[mulțime deschisă |mulțimi deschise]] și [[mulțime închisă |închise]] ale unor [[Spațiu topologic|spații topologice]] fixe {{mvar|X}}: o submulțime {{mvar|U}} a {{mvar|X}} este închisă dacă și numai dacă complementul său din {{mvar|X}} este deschis. Din această cauză, multe teoreme despre mulțimi închise sunt duale cu teoremele despre mulțimi deschise. De exemplu, orice reuniune de mulțimi deschise este deschisă, deci dual, orice intersecție de mulțimi închise este închisă. [[Interior (topologie) |Interiorul]] unei mulțimi {{mvar|U}} este cea mai mare mulțime deschisă conținută în aceasta, iar [[închidere (matematică) |închiderea]] mulțimii este cel mai mic set închis pe care îl conține. Datorită dualității, complementul interiorului oricărei mulțimii {{mvar|U}} este în {{mvar|U}} egal cu închiderea {{mvar|U}}.

Alte exemple sunt conul dual din [[geometrie]], spațiul vectorial dual din [[algebră liniară |algebra liniară]] și dualitatea din [[teoria lui Galois]].

== Dualități în ordini reversibile ==
[[Fișier:Upset.svg|thumb|[[Diagrama Hasse |Diagrama Hasse]] a submulțimilor mulțimii {{mvar|{1,2,3,4}}}, ordonată parțial prin {{mvar|⊂}}. Mulțimea duală, ordonată prin {{mvar|⊃}}, se obține întorcând diagrama cu susul în jos. Nodurile verzi formează mulțimea al cărei dual este cea formată din nodurile albe]]

Fie o [[mulțime parțial ordonată]] {{mvar|1=P = (X, ≤)}} (o mulțime care are o anumită ordonare, dar nu este necesar ca fiecare element dintr-o pereche să fie ordonat față de celălalt), mulțimea parțial ordonată duală {{mvar|1=P{{sup|d}} = (X, ≥)}} este formată din aceleași elemente, dar ordonate invers. Exemple obișnuite de mulțimi parțial ordonate duale sunt

* Relațiile {{mvar|⊂}} și {{mvar|⊃}} ale submulțimilor și supermulțimilor oricărei colecții de mulțimi, cum ar fi submulțimile mulțimii fixe {{mvar|S}}. Asta corespunde This gives rise to the first example of a duality primului exemplu de dualitate prezentat [[#Complementul_unei_submulțimi |mai sus]];
* operațiile de ''înmulțire'' și ''împărțire'' (care nu dă rest) în numere [[întreg]]i.
* Noțiunile de ''descendent'' și ''ascendent'' în relațiile de rudenie din mulțimea oamenilor.

O ''transformare duală'' este un antiautomorfism involutiv {{mvar|f}} al unei mulțimi parțial ordonate {{mvar|S}}, adică o involuție de inversare a ordinii {{mvar|f : S → S}}.<ref>{{harvnb|Artstein-Avidan|Milman|2007}}</ref><ref>{{harvnb|Artstein-Avidan|Milman|2008}}</ref> În câteva cazuri importante, aceste proprietăți simple determină transformarea în mod unic [[până la]] unele simetrii simple.

În topologie, mulțimile deschise și închise sunt noțiuni duale. În teoria [[matroid |matroizilor]], familia mulțimilor complementare mulțimilor independente ale unui matroid dat formează ea însăși un matroid, ''[[matroid dual |matroidul dual]]''.

== Dualități în inversarea dimensională ==
[[Fișier:Dual Cube-Octahedron.svg|thumb|''n''-fețele unui cub și ale octaedrului său dual corespund „unu la unu” inversând ordinea dimensiunilor.]]

Există multe dualități distincte, dar legate între ele, în care obiectele geometrice sau topologice corespund cu alte obiecte de același tip, dar cu o inversare a [[dimensiune (matematică) |dimensiunilor]] elementelor obiectelor. Un exemplu clasic în acest sens este dualitatea [[poliedru regulat |corpurilor lui Platon]], în care cubul și octaedrul formează o pereche duală, dodecaedrul și icosaedrul formează altă pereche duală, iar tetraedrul este autodual. [[Poliedru dual |Poliedrul dual]] al oricăruia dintre aceste poliedre poate fi format din [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]] a punctelor centrale ale fiecărei fețe a primului poliedru, astfel încât [[vârf (geometrie) |vârfurile]] dualului corespund cu [[față (geometrie) |fețele]] primului. Similar, fiecare latură a dualului corespunde unei laturi a primului și fiecare față a dualului corespunde unui vârf al primului. Aceste corespondențe conservă incidența: dacă două părți ale primului poliedru se ating, la fel se ating și cele două elemente corespunzătoare ale poliedrului dual. Mai general, orice [[politop convex]] corespunde unui politop dual, cu elementele {{mvar|i}}-dimensionale a unui politop {{mvar|n}}-dimensional corespunzând elementelor {{mvar|(n &minus; i &minus; 1)}}-dimensionale ale politopului dual. Natura conservării incidenței la duale se reflectă în faptul că [[latice]]le fețelor politopurilor și ale dualelor lor sunt ele însele teoretic duale. Dualitatea politopurilor și a ordonării sunt ambele involuții: politopul dual al politopului dual al oricărui politop este politopul inițial, iar prin inversarea tuturor relațiilor de ordine de două ori se revine la ordinea inițială. Politopurile duale pot fi geometric diferite, dar toate dualele au aceeași structură combinatorică.

[[Fișier:Duals graphs.svg|right|thumb|Un graf plan cu albastru și dualul său cu roșu]]
Pentru orice poliedru [[spațiu tridimensional|tridimensional]], se poate trasa un [[graf plan]], graful vârfurilor și laturilor sale. Poliedrul dual are un [[graf dual]], un graf cu un vârf pentru fiecare față a poliedrului și o latură pentru fiecare două fețe adiacente. Acest concept de dualitate a grafului plan poate fi generalizat la grafurile plane ale politopurilor din dimensiuni superioare.

Un fel de dualitate geometrică apare și în [[optimizare |teoria optimizării]], dar nu una care inversează dimensiunile. O problemă de [[programare liniară]] poate fi definită de un sistem de variabile reale (coordonatele unui punct din spațiul euclidian {{nowrap|<math>\mathbb R^n</math>),}} un sistem de constrângeri liniare (specificând că punctul se află într-un anumit [[semispațiu]]; intersecția acestor semispații este un politop convex, regiunea fezabilă a soluțiilor problemei) și o funcție liniară care indică optimizarea. Fiecare problemă de programare liniară are o problemă duală cu aceeași soluție optimă, dar variabilele din problema duală corespund constrângerilor din problema primară iar constrângerile variabilelor.
{{-}}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie și lectură suplimentară ==
=== Dualitate în general ===
* {{en icon}} Atiyah, Michael (2007), [http://www.fme.upc.edu/ca/arxius/butlleti-digital/riemann/071218_conferencia_atiyah-d_article.pdf Duality in Mathematics and Physics], lecture notes from the Institut de Matematica de la Universitat de Barcelona (IMUB).
* {{en icon}} {{Springer|title=Duality|id=D/d034120|first=A. I.|last=Kostrikin}}.
* {{en icon}} {{citation |contribution=III.19 Duality |title=The Princeton Companion to Mathematics |pages=187–190 |first=Timothy |last=Gowers |publisher=Princeton University Press |year=2008}}.
* {{en icon}} {{Citation | doi=10.1090/S0273-0979-01-00913-2 | last1=Cartier | first1=Pierre | title=A mad day's work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry | url=http://www.ams.org/bull/2001-38-04/S0273-0979-01-00913-2/ | mr=1848254 | year=2001 | journal=American Mathematical Society. Bulletin. New Series | issn=0002-9904 | volume=38 | issue=4 | pages=389–408| doi-access=free }} (a non-technical overview about several aspects of geometry, including dualities)

=== Dualitate în topologia algebrică ===
* {{en icon}} James C. Becker and Daniel Henry Gottlieb, [http://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/53.pdf A History of Duality in Algebraic Topology]

=== Dualități particulare ===
* {{en icon}} {{Citation | last1=Artstein-Avidan | first1=Shiri | last2=Milman | first2=Vitali | year=2008 | title=The concept of duality for measure projections of convex bodies | journal=Journal of Functional Analysis | volume=254 | issue=10 | pages=2648–66 | doi=10.1016/j.jfa.2007.11.008}}. Also [http://www.math.tau.ac.il/~shiri/publications.html author's site].
* {{en icon}} {{Citation | last1=Artstein-Avidan | first1=Shiri | last2=Milman | first2=Vitali | year=2007 | title=A characterization of the concept of duality | journal=Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences | volume=14 | pages=42–59 | url=http://www.aimsciences.org/journals/pdfs.jsp?paperID=2887&mode=full | access-date=2009-05-30 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110724230910/http://www.aimsciences.org/journals/pdfs.jsp?paperID=2887&mode=full | archive-date=2011-07-24 | url-status=dead }}. Also [http://www.math.tau.ac.il/~shiri/publications.html author's site].
* {{en icon}} {{Citation | last1=Dwyer | first1=William G. | last2=Spaliński | first2=Jan | title=Handbook of algebraic topology | chapter-url=http://hopf.math.purdue.edu/cgi-bin/generate?%2FDwyer-Spalinski%2Ftheories | publisher=North-Holland | location=Amsterdam | mr=1361887 | year=1995 | chapter=Homotopy theories and model categories | pages=73–126 | access-date=2021-01-29 | archive-date=2021-02-09 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210209105759/https://hopf.math.purdue.edu/cgi-bin/generate?%2FDwyer-Spalinski%2Ftheories | dead-url=yes }}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Fulton | first1=William | title=Introduction to toric varieties | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-00049-7 | year=1993}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | last2=Harris | first2=Joseph | title=Principles of algebraic geometry | publisher=John Wiley & Sons | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | title=Residues and Duality | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=Lecture Notes in Mathematics  |volume=20 | year=1966 | pages=20–48 |isbn=978-3-540-34794-1}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | title=Algebraic Geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 | mr=0463157 | year=1977}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Iversen | first1=Birger | title=Cohomology of sheaves | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=Universitext | isbn=978-3-540-16389-3 | mr=842190 | year=1986}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Joyal | first1=André | last2=Street | first2=Ross | title=Category theory |doi=10.1007/BFb0084235 | chapter-url=http://www.maths.mq.edu.au/~street/CT90Como.pdf | publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-3-540-46435-8 | series=Lecture Notes in Mathematics | mr=1173027 | year=1991 | volume=1488 | chapter=An introduction to Tannaka duality and quantum groups | pages=413–492}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Lam | first1=Tsit-Yuen | title=Lectures on modules and rings | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |volume=189 | isbn=978-0-387-98428-5 | mr=1653294 | year=1999}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | title=Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-95385-4 | mr=1878556 | year=2002 | volume=211}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Loomis | first1=Lynn H. | title=An introduction to abstract harmonic analysis | publisher=D. Van Nostrand  | year=1953 | pages=x+190| hdl=2027/uc1.b4250788 | hdl-access=free }}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | title=Categories for the Working Mathematician | publisher=[[Springer-Verlag]] | edition=2nd | isbn=978-0-387-98403-2 | year=1998}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Mazur | first1=Barry | title=Notes on étale cohomology of number fields | mr=0344254 | year=1973 | journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure |series=Série 4 | issn=0012-9593 | volume=6 | issue=4 | pages=521–552| doi=10.24033/asens.1257 | doi-access=free }}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Étale cohomology | publisher=Princeton University Press | isbn=978-0-691-08238-7 | year=1980 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/etalecohomology00miln }}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Milne | first1=James S. | title=Arithmetic duality theorems | url=http://www.jmilne.org/math/Books/adt.html | publisher=BookSurge, LLC | location=Charleston, South Carolina | edition=2nd | isbn=978-1-4196-4274-6 | mr=2261462 | year=2006}}
* {{en icon}} {{Citation | doi=10.1016/0021-8693(71)90105-0 | last1=Negrepontis | first1=Joan W. | title=Duality in analysis from the point of view of triples | mr=0280571 | year=1971 | journal=Journal of Algebra | issn=0021-8693 | volume=19 | issue=2 | pages=228–253| doi-access=free }}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Veblen | first1=Oswald | last2=Young | first2=John Wesley | title=Projective geometry. Vols. 1, 2 | publisher=Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. | mr=0179666 | year=1965}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Weibel | first1=Charles A. | title=An introduction to homological algebra | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-55987-4 | mr=1269324 | year=1994}}
* {{en icon}} {{cite book
 | last = Edwards
 | first = R. E.
 | year = 1965
 | title = Functional analysis. Theory and applications
 | publisher = Holt, Rinehart and Winston
 | location = New York
 | isbn = 0030505356
}}
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Dualitate| ]]