Vizualizare sursă pentru „Dreaptă proiectivă”

În [[matematică]] o '''dreaptă proiectivă''' este, aproximativ vorbind, extinderea unei [[dreaptă |drepte]] obișnuite cu un punct numit ''[[punct de la infinit]]''. Enunțul și demonstrația multor teoreme de geometrie sunt simplificate prin eliminarea rezultatelor date de cazurile particulare. De exemplu, două drepte proiective diferite dintr-un {{ill-wd|Q1475760}} se întâlnesc exact într-un punct (nu există un caz „paralel”).

Există multe moduri echivalente de a defini formal o dreaptă proiectivă; una dintre cele mai frecvente este definirea unei drepte proiective peste un [[corp (matematică)|corp]] ''K'', notat în mod obișnuit cu '''P'''<sup>1</sup>(''K ''), ca [[mulțime]]a {{ill-wd| Q728435||subspațiilor liniare}} [[spațiu unidimensional|unidimensionale]] a unui ''K''-[[spațiu vectorial]] [[bidimensional]]. Această definiție este un exemplu particular al definiției generale a unui {{ill-wd| Q877775}}.

Dreapta proiectivă peste [[număr real |numerele reale]] este o [[varietate]] (pentru detalii v. {{ill-wd| Q23937546}}).

== Coordonate omogene ==
Un punct arbitrar al dreptei proiective '''P'''<sup>1</sup>(''K'') poate fi reprezentat printr-o {{ill-wd| Q1211071}} de ''[[coordonate omogene]]'', care iau forma unei perechi de elemente <math>[x_1 : x_2]</math> din ''K'', care nu sunt ambele zero. Două astfel de perechi sunt [[relație de echivalență |echivalente]] dacă diferă printr-un factor global diferit de zero ''λ'':
:<math>[x_1 : x_2] \sim [\lambda x_1 : \lambda x_2].</math>

== Extinderea dreptei cu punctul de la infinit ==
Dreapta proiectivă poate fi identificată cu dreapta ''K'' extinsă cu un ''punct de la infinit''. Mai exact, dreapta ''K'' poate fi identificată cu submulțimea lui '''P'''<sup>1</sup>(''K'') dată de
:<math>\left\{[x : 1] \in \mathbf P^1(K) \mid x \in K\right\}.</math>

Această submulțime acoperă toate punctele din '''P'''<sup>1</sup>(''K'') cu excepția unuia, ''punctul de la infinit'':
:<math>\infty = [1 : 0].</math>
Acest lucru permite extinderea aritmeticii pe ''K'' la '''P'''<sup>1</sup>(''K'') prin formulele
:<math>\frac {1}{0}=\infty,\qquad \frac {1}{\infty}=0,</math>
:<math>x\cdot \infty = \infty \quad</math> dacă <math>\quad x\not= 0</math>
:<math>x+ \infty = \infty \quad</math> dacă <math>\quad x\not= \infty</math>

Aplicarea acestei aritmetici în termeni de coordonate omogene dă, când cazul {{nowrap|[0 : 0]}} nu apare:
:<math>[x_1 : x_2] + [y_1 : y_2] = [(x_1 y_2 + y_1 x_2) : x_2 y_2],</math>
:<math>[x_1 : x_2] \cdot [y_1 : y_2] = [x_1 y_1 : x_2 y_2],</math>
:<math>[x_1 : x_2]^{-1} = [x_2 : x_1].</math>

== Exemple ==
=== Dreapta proiectivă reală ===
Dreapta proiectivă peste numerele reale se numește '''dreapta proiectivă reală'''. De asemenea, poate fi considerată drept dreapta ''K'' împreună cu un ''punct de la infinit'', ∞. Punctul este conectat la ambele capete ale lui ''K'' creând o buclă închisă sau cerc topologic.

Un exemplu se obține prin proiectarea punctelor din '''R'''<sup>2</sup> pe [[cercul unitate]] și apoi [[Spațiu cât (topologie)|identificând]] [[punct antipodal |punctele diametral opuse]]. În ceea ce privește [[teoria grupurilor]], câtul se poate lua din [[subgrup]]ul {{nowrap|{1, −1}.}}

A se compara cu {{ill-wd| Q2039387}}, care deosebește ∞ de −∞.

=== Dreapta proiectivă complexă: sfera Riemann ===
Adăugarea la [[planul complex]] a unui punct de la infinit duce la un spațiu care este topologic o [[sferă]]. Prin urmare, dreapta proiectivă complexă este cunoscută și sub denumirea de ''[[sfera Riemann]]'' (sau uneori ''sfera Gauss''). Este utilizată constant în [[analiză complexă |analiza complexă]], [[geometrie algebrică |geometria algebrică]] și teoria [[Varietate complexă |varietăților complexe]], ca cel mai simplu exemplu de {{ill-wd| Q753035}} compactă.

=== Pentru un corp finit ===
Dreapta proiectivă peste un [[corp finit]] ''F''<sub>''q''</sub> de elemente ''q'' are {{nowrap|''q'' + 1}} puncte. În toate celelalte privințe, nu este diferită de dreptele proiective definite pe alte tipuri de corpuri. În termeni de [[coordonate omogene]] {{nowrap | [''x'' : ''y'']}}, ''q'' din aceste puncte au forma {{math|[''a'' : 1]}} pentru orice {{mvar|''a''}} din {{mvar|''F''<sub>''q''</sub>}}, iar punctul de la infinit rămas poate fi reprezentat drept [1 : 0].

== Grup de simetrie ==
În general, grupul de {{ill-wd| Q2112539||omografii}} cu [[coeficient |coeficienții]] în ''K'' acționează pe dreapta proiectivă '''P'''<sup>1</sup>(''K ''). Această {{ill-wd| Q288465}} este [[relație tranzitivă |tranzitivă]], astfel încât '''P'''<sup>1</sup>(''K'') este un {{ill-wd| Q1324364}} pentru grup, adesea notat PGL<sub>2</sub>(''K'') pentru a sublinia natura proiectivă a acestor [[transformare geometrică|transformări]]. ''Tranzitivitatea'' spune că există o omografie care va transforma orice punct ''Q'' în orice alt punct ''R''. ''Punctul de la infinit'' al ''P''<sup>1</sup>(''K'') este, prin urmare, un ''artefact'' de alegere a coordonatelor: coordonatele omogene <math>[X : Y] \sim [\lambda X : \lambda Y]</math> exprimă un subspațiu unidimensional printr-un singur punct diferit de zero {{nowrap|(''X'', ''Y'')}} aflat în el, dar simetriile dreptei proiective pot muta punctul {{nowrap |1=∞ = [1 : 0]}} față de oricare altul, de care nu se distinge în niciun fel.

Mult mai mult este adevărat, în sensul că o anumită transformare poate lua orice puncte distincte ''Q<sub>i</sub>'' pentru {{nowrap|1=''i'' = 1, 2, 3}} la orice alt 3-tuplu ''R<sub>i</sub>'' de puncte distincte (''tranzitivitate triplă''). Această specificație „utilizează” cele trei dimensiuni ale PGL<sub>2</sub>(''K''). Cu alte cuvinte, este o acțiune de grup puternic 3-tranzitivă. Aspectul de calcul al acestuia este [[raport anarmonic |raportul anarmonic]]. Într-adevăr, este adevărată o inversă generalizată: o acțiune de grup puternic 3-tranzitivă este întotdeauna (izomorfă cu) o formă generalizată a unei acțiuni PGL<sub>2</sub>(''K'') pe o dreptă proiectivă, înlocuind „corpul” printr-un „KT-corp” (generalizând inversul către un tip de involuție mai slab) și „PGL” printr-o generalizare corespunzătoare a aplicațiilor liniare proiective.<ref>[https://mathoverflow.net/q/66865 Action of PGL(2) on Projective Space] – see comment and cited paper.</ref>

== În calitate de curbă algebrică ==
Dreapta proiectivă este un exemplu fundamental de {{ill-wd| Q266237}}. Din punctul de vedere al geometriei algebrice, '''P'''<sup>1</sup>(''K'') este o curbă nesingulară de [[gen (matematică) |genul]] 0. Dacă ''K'' este [[Închidere algebrică |închisă algebric]], aceasta este unica astfel de curbă peste ''K'', [[până la]] echivalența rațională. În general, o curbă (nesingulară) de genul 0 este echivalentă rațional peste ''K'' cu o [[conică]] ''C'', care este ea însăși echivalentă birațional cu dreapta proiectivă [[dacă și numai dacă]] ''C'' are un punct definit peste ''K''. Din punct de vedere geometric un astfel de punct ''P'' poate fi folosit ca [[origine (matematică) |origine]] pentru a face explicită echivalența {{ill-wd|Q1879333||birațională}}.

[[Corpul funcțiilor unei varietăți algebrice|corpul funcțiilor]] dreptei proiective este corpul ''K''(''T'') al [[funcție rațională |funcțiilor raționale]] peste ''K'', într-un singur ''T'' nedeterminat. [[Automorfism]]ele corpului ''K''(''T'') peste ''K'' sunt tocmai grupul PGL<sub>2</sub>(''K'') discutat mai sus.

Orice corp de funcții ''K''(''V'') dintr-o [[varietate algebrică]] ''V'' peste ''K'', altul decât un singur punct, are un subcorp izomorf cu ''K''(''T''). Din punctul de vedere al {{ill-wd| Q1879333||geometriei biraționale}}, aceasta înseamnă că va exista o [[aplicație rațională]] de la ''V'' la '''P'''<sup>1</sup>(''K''), care nu este constantă. Imaginea va omite numai un număr finit de puncte ale lui '''P'''<sup>1</sup>(''K''), iar imaginea inversă a unui punct tipic ''P'' va fi de dimensiunea {{nowrap|dim ''V'' − 1}}. Acesta este începutul metodelor în geometrie algebrică care sunt inductive referitor la dimensiune. Aplicațiile raționale joacă un rol analog cu [[funcție meromorfă |funcțiile meromorfe]] din [[analiză complexă |analiza complexă]], și, într-adevăr, în cazul suprafeței Riemann compacte cele două concepte coincid.

Dacă ''V'' este considerat acum ca având dimensiunea 1, se obține o imagine a unei curbe algebrice tipice ''C'' „peste” '''P'''<sup>1</sup>(''K''). Presupunând că ''C'' este nesingulară (ceea ce nu este o pierdere a generalității care începe cu ''K''(''C'')), se poate demonstra că o astfel de aplicație rațională de la ''C'' la '''P'''<sup>1</sup>(''K'') va fi de fapt definită peste tot. (Nu este cazul dacă există singularități, deoarece, de exemplu, un ''punct dublu'' unde o curbă ''se autointersectează'' poate da un rezultat nedeterminat într-o aplicație rațională.) Aceasta are un aspect în care principala caracteristică geometrică este [[Ramificare (matematică)|ramificarea]].

Multe curbe, de exemplu [[curbă hipereliptică |curbele hipereliptice]], pot fi prezentate abstract, ca [[acoperire ramificată |acoperiri ramificate]] ale dreptei proiective. Conform [[formula Riemann–Hurwitz |formulei Riemann–Hurwitz]], atunci genul depinde doar de tipul de ramificație.

O '''curbă rațională''' este o curbă care este echivalentă birațional cu o dreaptă proiectivă (vezi [[varietatea rațională]]); [[genul său (matematică)|genul]] este 0. O [[curbă normală rațională]] în spațiul proiectiv P<sup>''n''</sup> este o curbă rațională care nu se află într-un subspațiu liniar propriu. Se știe că există un singur exemplu (până la echivalența proiectivă),<ref>{{en icon}} {{citation|title=Algebraic Geometry: A First Course|volume=133|series=Graduate Texts in Mathematics|first=Joe|last=Harris|publisher=Springer|year=1992|isbn=9780387977164|url=https://books.google.com/books?id=_XxZdhbtf1sC&pg=PA10}}.</ref> care, dat parametric în coordonate omogene este
:[1 : ''t'' : ''t''<sup>2</sup> : ... : ''t''<sup>''n''</sup>].

== Note ==
<references responsive/>

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Curbe algebrice]]
[[Categorie:Geometrie proiectivă]]
[[Categorie:Dreaptă (matematică)]]