Vizualizare sursă pentru „Domeniu de integritate”

În [[matematică]], în special în [[algebră abstractă |algebra abstractă]], un '''domeniu de integritate'''<ref name=CP><!-- Conf.dr. -->Cosmin Pelea, [https://math.ubbcluj.ro/~cpelea/web_page/didactic/Teme3/Curs4.pdf ''Algebră''] (curs 4), [[Universitatea Babeș-Bolyai]], accesat 2023-08-01</ref><ref name=CD>[[Ion Colojoară]], Adriana Dragomir, ''Elemente de algebră superioară''] (manual pt. cl. a XII-a reală), București: Editura Didactică și Pedagogică, 1968, p.&nbsp;39</ref> este un [[inel comutativ]] [[inel nul |nenul]] în care produsul oricăror două elemente nenule este diferit de zero.<ref>Bourbaki, p.&nbsp;116.</ref><ref>Dummit, Foote, p.&nbsp;228.</ref> Domeniile de integritate sunt generalizări ale [[inel (matematică) |inelelor]] de [[număr întreg |numere întregi]] și oferă un cadru natural pentru studiul [[divizibilitate (teoria inelelor) |divizibilității]]. Într-un domeniu de integritate, fiecare element diferit de zero ''a'' are proprietatea că dacă {{nowrap|''a'' ≠ 0}}, o [[egalitate (matematică) |egalitate]] {{nowrap|1=''ab'' = ''ac''}} implică {{nowrap|1=''b'' = ''c''}}.

Un „domeniul de integritate” este definit aproape universal ca mai sus, dar există unele variații. Acest articol urmează convenția conform căreia inelele au un [[element neutru]] față de [[înmulțire (matematică) |înmulțire]], notat în general cu 1, dar unii autori nu respectă acest lucru, nefiind necesar ca domeniile de integritate să aibă element neutru.<ref>{{de icon}} B.L. van der Waerden, ''Algebra'' Erster Teil, p. 36, [[Springer-Verlag]], Berlin, Heidelberg 1966.</ref><ref>{{en icon}} I.N. Herstein, ''Topics in Algebra'', pp. 88–90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.</ref> Uneori sunt admise și domeniile de integritate necomutative.<ref>{{en icon}} J.C. McConnell and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" ([[Graduate Studies in Mathematics]] Vol. 30, AMS)</ref> Totuși, acest articol urmează convenția mult mai comună de a folosi termenul de „domeniu de integritate” pentru cazul comutativ și de a folosi pentru cazul general care include inele necomutative termenul de „[[domeniu (teoria inelelor) |domeniu]]”.

== Definiție ==
Un ''domeniu de integritate'' este un inel comutativ nenul în care produsul oricăror două elemente nenule este diferit de zero. Echivalent:
* Un domeniu de integritate este un inel comutativ nenul fără [[divizor al lui zero |divizori ai lui zero]].<ref name=CD/>
* Un domeniu de integritate este un inel comutativ cu divizori zero nenuli.
* Un domeniu de integritate este un inel comutativ în care ''idealul zero'' {0} este un [[ideal prim]].
* Un domeniu de integritate este un inel comutativ nenul pentru care fiecare element diferit de zero are [[element simetric |element invers]].
* Un domeniu de integritate este un inel pentru care mulțimea elementelor nenule este un [[monoid]] comutativ pentru înmulțire (deoarece un monoid trebuie să fie [[închidere (matematică)| închis]] pentru înmulțire).
* Un domeniu de integritate este un inel comutativ nenul în care pentru fiecare element diferit de zero, ''r'', funcția care aplică fiecare element ''x'' al inelului la produsul ''xr'' este [[funcție injectivă |injectiv]]. Elementele ''r'' cu această proprietate se numesc ''regulate'', deci este echivalentă cererea ca fiecare element diferit de zero al inelului să fie regulat.
* Un domeniu de integritate este un inel care este [[izomorfism |izomorf]] cu un [[subinel]] al unui [[corp (matematică) |corp]]. (Având în vedere un domeniu de integritate, se poate încorpora în [[corpul fracțiilor]].)

== Exemple de domenii de integritate ==
* Exemplul arhetipic este inelul <math>\Z</math> al [[număr întreg |numerelor întregi]].
* Orice corp este un domeniu de integritate. De exemplu, corpul <math>\R</math> al [[număr real |numerelor reale]] este un domeniu de integritate. Invers, orice domeniu de integritate [[inel artinian |artinian]] este un corp. În particular, toate domeniile de integritate finite sunt [[corp finit |corpuri finite]] (în general, după [[mica teoremă a lui Wedderburn]], [[domeniu (teoria inelelor) |domeniile finite]] sunt corpuri finite). Inelul de numere întregi <math>\Z</math> oferă un exemplu de domeniu de integritate infinit neartinian care nu este un corp, care posedă secvențe descrescătoare infinite de ideale, cum ar fi:
::<math>\Z \supset 2\Z \supset \cdots \supset 2^n\Z \supset 2^{n+1}\Z \supset \cdots</math>
* {{ill-wd| Q1455652||Inelele de polinoame}} sunt domenii de integritate dacă coeficienții provin dintr-un domeniu de integritate. De exemplu, inelul <math>\Z[x]</math> al tuturor polinoamelor într-o variabilă cu coeficienți întregi este un domeniu de integritate; la fel este și inelul <math>\Complex[x_1,\ldots,x_n]</math> al tuturor polinoamelor în ''n''-variabile cu coeficienți [[număr complex |complecși]].
* Exemplul anterior poate fi exploatat în continuare prin luarea de coeficienți din idealele prime. De exemplu, inelul <math>\Complex[x,y]/(y^2 - x(x-1)(x-2))</math> corespunzând unei [[curbe eliptice]] plane este un domeniu de integritate. Integritatea poate fi verificată arătând că <math>y^2 - x(x-1)(x-2)</math> este un {{ill-wd| Q1476663||polinom ireductibil}}.
* Inelul <math>\Z[x]/(x^2 - n) \cong \Z[\sqrt{n}]</math> este un domeniu de integritate pentru orice întreg <math>n</math> care nu este un [[pătrat perfect |pătrat]]. Dacă <math>n > 0</math>, atunci acest inel este întotdeauna un subinel al lui <math>\R</math>, în caz contrar este un subinel al lui <math>\C.</math>
* Inelul {{ill-wd| Q311627|număr p-adic|numerelor p-adice}} întregi <math>\Z_p</math> este un domeniu de integritate.
* Inelul [[serie formală |seriilor formale]] a unui domeniu de integritate este un domeniu de integritate.
* Dacă <math>U</math> este o [[mulțime deschisă]] [[conexitate |conexă]] a [[planul complex |planului complex]] <math>\C</math>, atunci inelul <math>\mathcal{H}(U)</math> constând din toate [[funcție olomorfă |funcțiile olomorfe]] este un domeniu de integritate. Același lucru este valabil și pentru inelele de [[funcție analitică |funcții analitice]] pe submulțimi deschise conexe de varietăți analitice.
* Un {{ill-wd| Q2138875||inel local regulat}} este un domeniu de integritate. De fapt, un inel local regulat este un [[inel factorial]].<ref>{{en icon}} {{citat Q|Q24655880}}</ref><ref>{{en icon}} {{citat Q|Q56049883}}</ref>

== Nu sunt exemple de domenii de integritate ==
Următoarele inele ''nu'' sunt domenii de integritate.
* [[Inel nul |Inelul nul]] (inelul în care <math>0=1</math>).
* [[Inel factor |Inelul factor]] <math>\Z/m\Z</math> când ''m'' este un [[număr compus]]. Într-adevăr, se alege o factorizare adecvată <math>m = xy</math> (însemnând că <math>x</math> și <math>y</math> nu sunt egale cu <math>1</math> sau <math>m</math>). Atunci <math>x \not\equiv 0 \bmod{m}</math> și <math>y \not\equiv 0 \bmod{m}</math>, dar <math>xy \equiv 0 \bmod{ m}</math>.
* [[Produs de inele |Produsul]] a două inele comutative nenule. Într-un astfel de produs <math>R \times S</math> există <math>(1,0) \cdot (0,1) = (0,0)</math>.
* Inelul factor <math>\Z[x]/(x^2 - n^2)</math> pentru orice <math>n \in \mathbb{Z}</math>. În acest inel imaginile <math>x+n</math> și <math>x-n</math> sunt diferite de zero, în timp ce produsul lor este 0.
* {{ill-wd| Q2915729||Inelul}} [[matrice |matricilor]] ''n&nbsp;×&nbsp;n'' peste orice inel nul când ''n''&nbsp;≥&nbsp;2. Dacă <math>M</math> și <math>N</math> sunt matrici astfel încât imaginea lui <math>N</math> este conținută în nucleul <math>M</math>, atunci <math>MN = 0.</math> De exemplu, acest lucru se întâmplă pentru <math>M = N = (\begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix})</math>.
* Inelul factor <math>k[x_1,\ldots,x_n]/(fg)</math> pentru orice corp <math>k</math> și orice polinoame care nu sunt constante <math>f,g \in k [x_1,\ldots,x_n]</math>. Imaginile lui {{mvar|f}} și {{mvar|g}} din acest inel factor sunt elemente diferite de zero al căror produs este 0. Acest argument arată, echivalent, că <math>(fg)</math> nu este un ideal prim. Interpretarea geometrică a acestui rezultat este că [[zero al unei funcții |zerourile]] lui <math>(fg)</math> formează o {{ill-wd| Q3554813|varietate afină|mulțime algebrică afină}} care nu este ireductibilă (adică nu o varietatea algebrică) în general. Singurul caz în care această mulțime algebrică poate fi ireductibilă este atunci când <math>(fg)</math> este o putere a unui {{ill-wd| Q1476663||polinom ireductibil}}, care definește aceeași mulțime algebrică.
* Inelul [[funcție continuă |funcțiilor continue]] pe [[interval unitate |intervalul unitate]]. Se consideră funcțiile
::<math> f(x) = \begin{cases} 1-2x & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 0 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 2x-1 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}</math>
: Nici <math>f</math>, nici <math>g</math> nu sunt peste tot zero, dar <math>fg</math> este.
* [[Produsul tensorial de algebre |Produsul tensorial]] <math>\Complex \otimes_{\R} \Complex</math>. Acest inel are două {{ill-wd| Q2243424|element idempotent |elemente idempotente}} netriviale, <math>e_1 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) - \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math> și <math>e_2 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) + \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math>. Ele sunt ortogonale, ceea ce înseamnă că <math>e_1e_2 = 0,</math> prin urmare <math>\C \otimes_{\R} \C</math> nu este un domeniu. De fapt, există un izomorfism <math>\C \times \C \to \C \otimes_{\R} \C</math> definit de <math>(z, w) \mapsto z \cdot e_1 + w \cdot e_2</math>. Inversul său este definit de <math>z \otimes w \mapsto (zw, z\overline{w})</math>. Acest exemplu arată că un {{ill-wd| Q49001120 |produs fibrat de scheme|produs fibrat}} al schemelor afine ireductibile nu trebuie să fie ireductibil.

== Divizibilitate, elemente prime și elemente ireductibile ==
{{Articol principal|Divizibilitate}}
În această secțiune ''R'' este un domeniu de integritate.

Fiind date elementele ''a'' și ''b'' din ''R'', se spune că ''a'' ''divide'' pe ''b'' sau că ''a'' este un '' [[divizor]]'' al lui ''b'', sau că ''b'' este un ''[[multiplu]]'' al lui ''a'', dacă există un element ''x'' în ''R'' astfel încât {{nowrap|1=''ax'' = ''b''}}.

''{{ill-wd| Q118084|Unitate (teoria inelelor)|Unitățile}}'' din ''R'' sunt elementele care divid pe 1; acestea sunt tocmai elementele inversabile din ''R''. Unitățile divid toate celelalte elemente.

Dacă ''a'' divide pe ''b'' și ''b'' divide pe ''a'', atunci ''a'' și ''b'' sunt '''elemente asociate'''.<ref name=VLF><!-- prof.dr. -->Violeta Leoreanu Fotea, [http://www.math.uaic.ro/~leoreanu/depozit/Aritmetica%20in%20inele%20si%20teoria%20modulelor.pdf ''Aritmetică în domenii de integritate și teoria modulelor''] (curs), [[Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași]], accesat 2023-08-01</ref><ref>{{en icon}} {{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=Modern Algebra: An Introduction |edition=3rd |date=1993 |publisher=John Wiley and Sons |isbn=0-471-51001-7 |page=224 |quote=Elements ''a'' and ''b'' of [an integral domain] are called ''associates'' if ''a'' &#124; ''b'' and ''b'' &#124; ''a''.}}</ref> Echivalent, ''a'' și ''b'' sunt asociate dacă {{nowrap|1=''a'' = ''ub''}} pentru o unitate ''u''.

Un ''[[element ireductibil]]'' este un element diferit de zero și care nu est o unitate, care nu poate fi scris ca produs a două elemente care nu sunt unități.

Un ''p'' diferit de zero și care nu este o unitate este un ''[[element prim]]'' dacă, ori de câte ori ''p'' divide un produs ''ab'', atunci ''p'' divide pe ''a'' sau ''p'' divide pe ''b''. Echivalent, un element ''p'' este prim [[dacă și numai dacă]] [[ideal principal |idealul principal]] (''p'') este un [[ideal prim]] diferit de zero.

Atât noțiunile de elemente ireductibile, cât și de elemente prime generalizează definiția obișnuită a [[număr prim |numerelor prime]] din inelul <math>\Z,</math> dacă se consideră prime și numerele prime negative.

Orice element prim este ireductibil. Inversa nu este adevărată în general: de exemplu, în inelul întregilor pătrate perfecte <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math> elementul 3 este ireductibil (dacă este factorizat netrivial, fiecare dintre factori ar trebui să aibă norma 3, dar nu există elemente de normă 3, deoarece <math>a^2+5b^2=3</math> nu are soluții întregi), dar nu este prim (deoarece 3 divide <math>\left(2 + \sqrt{-5}\right)\left(2 - \sqrt{-5}\right)</math> fără a diviza niciunul dintre factori). Într-un domeniu unic de factorizare, un element ireductibil este un element prim.

În timp ce [[teorema fundamentală a aritmeticii |factorizarea unică]] nu este valabilă în <math>\Z\left[\sqrt{-5}\right]</math>, există o factorizare unică a idealelor.

== Proprietăți ==
* Un inel comutativ ''R'' este un domeniu de integritate dacă și numai dacă idealul (0) al lui ''R'' este un ideal prim.
* Dacă ''R'' este un inel comutativ și ''P'' este un ideal în ''R'', atunci inelul factor ''R/P '' este un domeniu de integritate dacă și numai dacă ''P'' este un ideal prim.
* Fie ''R'' un domeniu de integritate. Atunci inelele de polinoame peste ''R'' (cu orice număr de nedeterminate) sunt domenii de integritate. Acesta este cazul în special dacă ''R'' este un corp.
* Proprietatea de înmulțire cu elementul simetric este valabilă în orice domeniu de integritate: pentru orice ''a'', ''b'' și ''c'' într-un domeniu de integritate, dacă ''a''&nbsp;≠&nbsp;''0'' și ''ab''&nbsp;= &nbsp;''ac'' atunci ''b''&nbsp;=&nbsp;''c''. Un alt mod de a afirma acest lucru este că funcția <math>x \mapsto ax</math> este injectivă pentru orice ''a'' diferit de zero din domeniu.
* Proprietatea de înmulțire cu elementul simetric este valabilă pentru ideale din orice domeniu de integritate: dacă ''xI''&nbsp;=&nbsp;''xJ'', atunci fie ''x''&nbsp;=&nbsp;0, fie ''I''&nbsp;=&nbsp;''J''.
* Un domeniu de integritate este egal cu intersecția {{ill-wd| Q289093|localizare (algebră)|localizărilor}} [[ideal maximal |idealelor maximale]].
* O {{ill-wd| Q906015||limită inductivă}} de domenii de integritate este un domeniu de integritate.
* Dacă <math>A, B</math> sunt domenii de integritate peste un corp algebric închis ''k'', atunci <math>A \otimes_k B</math> este un domeniu de integritate. Aceasta este o consecință a {{ill-wd| Q1068976||teoremei zerourilor a lui Hilbert}},<ref group=note>Demonstrație: mai întâi se presupune că ''A'' este generat finit ca o ''k''-algebră și se alege o ''k''-bază <math>g_i</math> a lui <math>B</math>. Se presupune că <math display="inline">\sum f_i \otimes g_i \sum h_j \otimes g_j = 0</math> (doar un număr finit de <math>f_i, h_j</math> sunt diferite de zero). Pentru fiecare ideal maximal al <math>A</math>, se ia în considerare {{ill-wd| Q1194212||homomorfismul inelului}} <math>A \otimes_k B \to A/\mathfrak{m} \otimes_k B = k \otimes_k B \simeq B</math>. Atunci imaginea este <math display="inline">\sum \overline{f_i} g_i \sum \overline{h_i} g_i = 0,</math> prin urmare fie <math display="inline">\sum \overline{ f_i} g_i = 0</math> sau <math display="inline">\sum \overline{h_i} g_i = 0,</math> prin independență liniară, <math>\overline{f_i} = 0</ math> pentru toate <math>i</math> sau <math>\overline{h_i} = 0</math> pentru toate <math>i.</math> Deoarece <math>\mathfrak{m}</math> este arbitrară, există <math display="inline">(\sum f_iA) (\sum h_iA) \subset \operatorname{Jac}(A) = </math> intersecția tuturor idealelor maximale <math>= (0)</math> unde ultima egalitate provine din teorema zerourilor a lui Hilbert. Deoarece <math>(0)</math> este un ideal prim, aceasta implică fie <math display="inline">\sum f_iA</math>, fie <math display="inline">\sum h_iA</math> este idealul nul; adică, fie <math>f_i</math> sunt toate zero, fie <math>h_i</math> sunt toate zero. În cele din urmă, <math>A</math> este o limită inductivă a ''k''-algebrelor generate finit care sunt domenii de integritate și astfel, folosind proprietatea anterioară, <math>A \otimes_k B = \varinjlim A_i \otimes_k B </math> este un domeniu de integritate. <math>\square</math></ref> în geometria algebrică, implică afirmația că inelul de coordonate al produsului a două varietăți algebrice afine peste un corp algebric închis este și el un domeniu de integritate.

== Corpul fracțiilor ==
{{Articol principal|Corpul fracțiilor }}
[[Corpul fracțiilor]] ''K'' al unui domeniu de integritate ''R'' este mulțimea fracțiilor ''a''/''b'' cu ''a'' și ''b'' în ''R'' și ''b'' ≠ 0 modulo o relație de echivalență adecvată, echipată cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire. Este „cel mai mic corp care conține pe ''R''&thinsp;” în sensul că există un {{ill-wd| Q1194212||homomorfism de inel}} injectiv {{nowrap|''R'' → ''K''}} astfel încât orice homomorfism de inel injectiv de la ''R'' la un corp factorizează prin ''K''. Corpul fracțiilor din inelul de numere întregi <math>\Z</math> este corpul [[număr rațional |numerelor raționale]] <math>\Q.</math> Corpul fracțiilor unui corp este izomorf cu corpul însuși.

== Caracteristică și homomorfisme ==
[[Caracteristică (algebră) |Caracteristica]] a unui domeniu de integritate este fie 0, fie un [[număr prim]].

Dacă ''R'' este un domeniu de integritate al caracteristicii prime ''p'', atunci {{ill-wd| Q769124||endomorfismul Frobenius}} ''f''(''x'') = ''x''<sup>'' p''</sup> este [[funcție injectivă |injectiv]].

== Spectrul unui domeniu de integritate ==
Divizorii lui zero au o interpretare topologică, cel puțin în cazul inelelor comutative: un inel {{mvar|R}} este un domeniu de integritate dacă și numai dacă este un [[inel redus|redus]], iar {{ill-wd| Q1154351|spectrul unui inel|spectrul}} său, {{math|Spec ''R''}}, este un {{ill-wd| Q1673182|spațiu hiperconex|spațiu topologic ireductibil}}. Prima proprietate este adesea considerată că accentuează unele informații infinitezimale, în timp ce a doua este unai mai geometrică.

Un exemplu: inelul {{nowrap|''k''[''x'', ''y'']/(''xy'')}}, unde ''k'' este un corp, nu este un domeniu, deoarece imaginile lui ''x'' și ''y'' din acest inel sunt divizori ai lui zero. Geometric, aceasta corespunde faptului că spectrul acestui inel, care este [[reuniune (matematică) |reuniunea]] [[dreaptă |dreptelor]] {{nowrap|1=''x'' = 0}} și {{nowrap|1=''y'' = 0 }}, nu este ireductibil. Într-adevăr, aceste două drepte sunt componentele sale ireductibile.

== Note explicative ==
{{reflist|group=note}}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book |last=Adamson |first=Iain T. | title=Elementary rings and modules | series=University Mathematical Texts | publisher=Oliver and Boyd | year=1972 | isbn=0-05-002192-3 }}
* {{en icon}} {{Cite book | last=Bourbaki | first=Nicolas | author-link=Nicolas Bourbaki | title=Algebra, Chapters 1–3 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-64243-5 | year=1998}}
* {{en icon}} {{Cite book | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author-link1=Saunders Mac Lane | last2=Birkhoff | first2=Garrett | author-link2=Garrett Birkhoff | title=Algebra | publisher=The Macmillan Co. | location=New York | mr=0214415 | year=1967 | isbn=1-56881-068-7}}
* {{en icon}} {{Cite book | last1=Dummit | first1=David S. | last2=Foote | first2=Richard M. | title=Abstract Algebra | publisher=[[John Wiley & Sons|Wiley]] | location=New York | edition=3rd | isbn=978-0-471-43334-7 | year=2004}}
* {{en icon}} {{Cite book | last=Hungerford | first=Thomas W. | author-link=Thomas W. Hungerford | title=Abstract Algebra: An Introduction | publisher=Cengage Learning | edition=3rd | year=2013 | isbn= 978-1-111-56962-4 }}
* {{en icon}} {{Cite book | last=Lang | first=Serge | author-link=Serge Lang | title=Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-95385-4 | mr=1878556  | year=2002 | volume=211}}
* {{en icon}} {{cite book |last=Sharpe |first=David | title=Rings and factorization |url=https://archive.org/details/ringsfactorizati0000shar |url-access=registration | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1987 | isbn=0-521-33718-6 }}
* {{en icon}} {{cite book |last=Rowen |first=Louis Halle | title=Algebra: groups, rings, and fields | publisher=[[A K Peters]] | year=1994 | isbn=1-56881-028-8 }}
* {{en icon}} {{cite book |last=Lanski |first=Charles | title=Concepts in abstract algebra | publisher=AMS Bookstore | year=2005 | isbn=0-534-42323-X }}
* {{en icon}} {{cite book |last1=Milies |first1=César Polcino |last2=Sehgal |first2=Sudarshan K. | title=An introduction to group rings | publisher=Springer | year=2002 | isbn=1-4020-0238-6 }}
* {{en icon}} B.L. van der Waerden, Algebra, [[Springer-Verlag]], Berlin Heidelberg, 1966.

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Algebră abstractă]]
[[Categorie:Teoria inelelor]]