Vizualizare sursă pentru „Dodecaedru snub”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Dodecaedru snub
| image_up = [[Fișier:Snubdodecahedroncw.jpg|140px]] [[Fișier:Snubdodecahedronccw.jpg|140px]]
| caption = Cele două forme chirale, ''cw'' și ''ccw''<br/>(animații [[:Fișier:Snubdodecahedroncw.gif|''cw'']] și [[:Fișier:Snubdodecahedronccw.gif|''ccw'']], și [[:Fișier:Snub dodecahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru arhimedic]]<br/>([[poliedru uniform]])
| euler = 2
| faces = 92 (20+60 [[triunghi]]uri, 12 [[pentagon |pentagoane]])
| edges = 150
| vertices = 60
| vertex_config = 3.3.3.3.5
| face_config =
| schläfli = sr{5,3} sau <math>s\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br/>ht<sub>0,1,2</sub>{5,3}
| wythoff = &#124; 2 3 5
| coxeter = {{CDD|node_h|5|node_h|3|node_h}}
| conway = sD
| symmetry = [[Simetrie icosaedrică|I]], {{sfrac|1|2}}H<sub>3</sub>, [5,3]<sup>+</sup>, (532), ordin 60
| rotsymmetry = [[Simetrie icosaedrică|I]], [5,3]<sup>+</sup>, (532), ordin 60
| surface_area = &approx; 55,287 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; 37,617 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 3-3: 164° 10′ 31″ (164,18°)<br/>3-5: 152° 55′ 53″ (152,93°)
| dual = [[Hexacontaedru pentagonal]]
| properties = [[Poliedru semiregulat]], [[poliedru convex |convex]], [[chiralitate (matematică) |chiral]]
| vertex_figure = Polyhedron snub 12-20 left vertfig.svg
| net = Polyhedron snub 12-20 left net.svg
}}
{{imagine multiplă
| align = right | total_width = 300
| image1 = Polyhedron snub 12-20 left dual max.png |width1=1
| image2 = Polyhedron snub 12-20 right dual max.png |width2=1
| footer = Duale: Hexacontaedre pentagonale, pe stânga și pe dreapta
}}
În [[geometrie]] '''dodecaedrul snub''' este un [[poliedru arhimedic]]. Are 92 de [[față (geometrie) |fețe]], din care 20+60 [[triunghi echilateral |triunghiuri echilaterale]] și 12 [[pentagon]]ale, 60 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]] și 150 de [[latură (geometrie) |laturi]].

Este un poliedru [[chiralitate (matematică) |chiral]], adică are două forme distincte, care sunt imagini în oglindă (sau „enantiomorfe”) una a celeilalte. Reuniunea ambelor forme dă [[compus de două dodecaedre snub |compusul de două dodecaedre snub]], iar [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]] al ambelor seturi de vârfuri este un [[icosidodecaedru trunchiat]].
 
Are indicele de [[poliedru uniform]] U<sub>29</sub>,<ref>{{en icon}} {{mathworld|urlname=UniformPolyhedron|title=Uniform Polyhedron}}</ref> indicele Coxeter C<sub>32</sub> și indicele Wenninger W<sub>18</sub>.

[[Johannes Kepler]] l-a denumit inițial în {{la|dodecahedron simus}} în lucrarea sa ''Harmonices Mundi'' din 1619. [[Coxeter |H.S.M. Coxeter]] a remarcat că ar putea fi derivat din dodecaedru sau icosaedru, și l-a numit „icosidodecaedru snub”, cu [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] extins vertical <math>s \scriptstyle\begin{Bmatrix} 5 \\ 3 \end{Bmatrix}</math> și simbolul Schläfli sr{5,3}.

== Coordonate carteziene ==
Fie ''ξ'' ≈ 0,94315125924 [[rădăcină (matematică) |rădăcina]] [[număr real |reală]] a [[Funcție algebrică de gradul al treilea |polinomului de gradul al treilea]] {{nowrap|''x''<sup>3</sup> + 2''x''<sup>2</sup> − ''φ''<sup>2</sup>}}, unde ''φ'' este [[secțiunea de aur]]. Fie punctul ''p'' dat de
:<math>p=
\begin{pmatrix}
        \varphi^2-\varphi^2\xi \\
        -\varphi^3+\varphi\xi+2\varphi\xi^2 \\
        \xi
\end{pmatrix}
</math>.
Fie {{Ill-wd| Q1256564||matricile de rotație}} ''M''<sub>1</sub> și ''M''<sub>2</sub> date de
:<math>M_1=
\begin{pmatrix}
         \frac{1}{2\varphi}  & -\frac{\varphi}{2} & \frac{1}{2} \\
         \frac{\varphi}{2}   & \frac{1}{2}     & \frac{1}{2\varphi} \\
         -\frac{1}{2}     & \frac{1}{2\varphi} & \frac{\varphi}{2}
\end{pmatrix}
</math>
și
:<math>M_2=
\begin{pmatrix}
         0  & 0 & 1 \\
         1  & 0 & 0 \\
         0  & 1 & 0
\end{pmatrix}.
</math>
''M''<sub>1</sub> reprezintă [[rotație (matematică) |rotația]] în [[sens trigonometric]] cu unghiul {{sfrac|2{{math|&pi;}}|5}} în jurul axei (0,1,''φ''), iar ''M''<sub>2</sub> reprezintă rotațiile ciclice cu unghiul {{sfrac|2{{math|&pi;}}|3}} în jurul axei (1,1,1) ale coordonatelor (''x'',''y'',''z''). Atunci cele 60 de vârfuri ale dodecaedrului snub sunt cele 60 de imagini ale punctului ''p'' în urma înmulțirii repetate cu ''M''<sub>1</sub> și/sau ''M''<sub>2</sub> Coordonatele vârfurilor sunt combinații liniare integrale ale 1, ''φ'', ''ξ'', ''φξ'', ''ξ''<sup>2</sup> și ''φξ''<sup>2</sup>. Lungimea laturii este
:<math>2\xi\sqrt{1-\xi}\approx 0,449\,750\,618\,41.</math>
Schimbarea semnului tuturor coordonatelor dă imaginea în oglindă a acestui dodecaedru snub.

Raza sferei circumscrise (care trece prin toate vârfurile) este
:<math>\sqrt{4\xi^2-\varphi^2} \approx 0,969\,589\,192\,65.</math>
Raza sferei mediane este ''ξ''. Aceasta oferă o interpretare geometrică interesantă a numărului ''ξ''. Cele 20 de triunghiuri ''icosaedrice'' ale dodecaedrului snub descris mai sus sunt coplanare cu fețele unui icosaedru regulat. Raza mediană a acestui icosaedru ''circumscris'' este egală cu 1. Aceasta înseamnă că ''ξ'' este raportul dintre razele mediane ale unui dodecaedru snub și icosaedrul în care este înscris.

Unghiul diedru dintre fețele triunghiulare este
:<math>\theta_{33} = 180^\circ - \arccos\left(\frac23\xi+\frac13\right) \approx 164,175\,366\,056\,03^\circ.</math>

Unghiul diedru dintre fețele triunghi–pentagon este
:<math>\theta_{35} = 180^\circ - \arccos\sqrt{\frac{-(4\varphi + 8)\xi^2 - (4\varphi + 8)\xi + 12\varphi + 19}{15}} \approx 152,929\,920\,275\,84^\circ.</math>

== Dimensiuni metrice ==
Pentru un dodecaedru snub a cărui lungime a laturii este 1, [[arie |aria]] sa este
:<math>A = 20\sqrt{3} + 3\sqrt{25+10\sqrt{5}} \approx 55,286\,744\,958\,445\,15.</math>

[[Volum]]ul său este
:<math>V= \frac{(3\varphi+1)\xi^2+(3\varphi+1)\xi-\frac{\varphi}{6}-2}{\sqrt{3\xi^2-\varphi^2}} \approx 37,616\,649\,962\,733\,36.</math>

Raza sferei circumscrise este
:<math>R = \frac12\sqrt{\frac{2-\xi}{1-\xi}} \approx 2,155\,837\,375.</math>

Raza sferei mediane este
:<math>r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{1-\xi}}\approx 2,097\,053\,835\,25.</math>

Sunt două sfere înscrise, una care atinge fețele triunghiulare și una, puțin mai mică, care atinge fețele pentagonale. Razele lor sunt, respectiv:
:<math>r_3 = \frac{\varphi\sqrt3}{6\xi}\sqrt{\frac{1}{1-\xi}}\approx 2,077\,089\,659\,74</math>
și
:<math>r_5 = \frac12\sqrt{\varphi^2\xi^2 + 3\varphi^2\xi + \frac{11}{5}\varphi + \frac{12}{5}}\approx 1,980\,915\,947\,28.</math>

Dodecaedrul snub are cea mai mare sfericitate dintre toate poliedrele arhimedice. Sfericitatea este definită ca raportul dintre volumul la pătrat și suprafața la puterea a treia, înmulțit cu constanta 36{{math|&pi;}} (unde această constantă face ca sfericitatea unei sfere să fie egală cu 1). Sfericitatea dodecaedrului snub este de aproximativ 0,947.<ref>{{en icon}} P. K. Aravind, ''How Spherical Are the Archimedean Solids and Their Duals?'', The College Mathematics Journal, Vol. 42, No. 2 (March 2011), pp.&nbsp;98–107</ref>

== Proiecții ortogonale ==
[[Fișier:Polyhedron snub 12-20 left from vertex.png|thumb|Dodecaedrul snub nu are [[simetrie față de centru]], ca urmare vârful din față nu corespunde unui vârf opus din spate]]

Dodecaedrul snub are două [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]], centrate pe două tipuri de fețe: triunghiuri și pentagoane, care corespund cu planele Coxeter A<sub>2</sub> și H<sub>2</sub>, și una centrată pe mijlocul laturilor dintre fețele triunghiulare.
{|class=wikitable width=500 style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
! Centrată<br/>pe
!Fața<br/>triunghi
!Fața<br/>pentagon
!Latură
|-
! Corp
|[[File:Polyhedron snub 12-20 left from yellow max.png|120px]]
|[[File:Polyhedron snub 12-20 left from red max.png|120px]]
|[[File:Polyhedron snub 12-20 left from blue max.png|120px]]
|-
!Cadru de sârmă
|[[Image:Snub dodecahedron A2.png|120px]]
|[[Image:Snub dodecahedron H2.png|120px]]
|[[Image:Snub dodecahedron e1.png|120px]]
|-
!Simetrie<br/>proiectivă
|[3]
|[5]<sup>+</sup>
|[2]
|-
!Dual
|[[Image:Dual snub dodecahedron A2.png|120px]]
|[[Image:Dual snub dodecahedron H2.png|120px]]
|[[Image:Dual snub dodecahedron e1.png|120px]]
|}
== Relații geometrice ==
{{imagine multiplă
| align = right | total_width = 350
| image1 = Polyhedron 12 max.png |width1=1 |height1=1
| image2 = Polyhedron small rhombi 12-20 max.png |width2=1 |height2=1
| image3 = Polyhedron snub 12-20 left max.png |width3=1 |height3=1
| footer = Dodecaedru, [[rombicosidodecaedru]] și dodecaedru snub<br/> (animații cu [[:File:P4-A11-P5.gif|expandări]] și [[:File:A11-A13.gif|răsuciri]])
}}
{{imagine multiplă
| align = right  | total_width = 350
| image1 = Polyhedron great rhombi 12-20 subsolid snub left big.png
| image2 = Polyhedron great rhombi 12-20 big.png
| image3 = Polyhedron great rhombi 12-20 subsolid snub right big.png
| footer = Alternări uniforme ale icosidodecaedrului trunchiat
}}
Dodecaedrul snub poate fi generat luând cele douăsprezece fețe pentagonale ale dodecaedrului, [[expandare (geometrie) |deplasându-le spre exterior]]. La o distanță potrivită, prin completarea fețelor pătrate care apar între laturile astfel separate și fețele triunghiulare dintre vârfurile astfel separate se obține [[rombicosidodecaedru]]l. Dar pentru forma snub, fețele pentagonale trebuie deplasate ceva mai puțin, se adaugă doar fețele triunghiulare și momentan se lasă celelalte goluri (dreptunghiuri) necompletate. Apoi se rotesc pentagoanele și triunghiurile în jurul centrelor lor pînă ce golurile pot fi umplute cu câte două triunghiuri echilaterale.

Dodecaedrul snub poate fi derivat și din [[icosidodecaedru trunchiat |icosidodecaedrul trunchiat]] prin procesul de [[alternare (geometrie) |alternare]]. 60 de vârfuri ale icosidodecaedrului trunchiat formează un poliedru echivalent topologic cu dodecaedrul snub, celelalte 60 formează imaginea în oglindă. Poliedrul rezultat este [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]] dar nu este [[poliedru uniform |uniform]].
{{-}}
== Poliedre înrudite ==
Cubul snub face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.
{{Trunchieri icosaedrice}}

Acest poliedru este înrudit topologic ca parte a secvenței de poliedre și [[pavare |pavări]] [[snub]] cu [[configurația vârfului |configurațiile vârfului]] (3.3.3.3.''n''.) și [[diagramă Coxeter–Dynkin |diagrama Coxeter–Dynkin]] {{CDD|node_h|n|node_h|3|node_h}}. Aceste figuri și dualele lor au [[simetrie de rotație]] (''n''32) în [[notația orbifold]], existând în planul euclidian pentru ''n''&nbsp;=&nbsp;6, iar în [[spațiu hiperbolic |planul hiperbolic]] pentru orice ''n'' mai mare. Se poate considera că familia începe cu ''n''&nbsp;=&nbsp;2, care are fețele degenerate în [[digon |digoane]].
{{Tabel snub}}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite journal |last=Jayatilake |first=Udaya |title=Calculations on face and vertex regular polyhedra |journal=Mathematical Gazette |date=March 2005 |volume=89 |issue=514 |pages=76–81|doi=10.1017/S0025557200176818 |s2cid=125675814 }}
* {{en icon}} Robert Williams (1979), ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', Dover Publications Inc., {{ISBN|0-486-23729-X}}. (Section 3-9)
*{{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra|location=United Kingdom|publisher=Cambridge|pages=79–86 ''Archimedean solids''|isbn=0-521-55432-2}}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=SnubDodecahedron |title=Snub dodecahedron}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=ArchimedeanSolid |title=Archimedean solid}}
* {{en icon}} [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=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&name=Snub+Dodecahedron#applet Editable printable net of a Snub Dodecahedron with interactive 3D view]
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
* {{en icon}} Mark S. Adams and Menno T. Kosters. [https://nbviewer.jupyter.org/url/archive.org/download/musing_math/Volume_Solutions_To_Snub_Dodecahedron.ipynb Volume Solutions to the Snub Dodecahedron]
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/snid.htm snid]'''
{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre arhimedice]]
[[Categorie:Poliedre chirale]]
[[Categorie:Pavări snub]]