Vizualizare sursă pentru „Divizor al lui zero”

În [[algebră abstractă]] un [[element (matematică) |element]] {{mvar|a}} al unui [[inel (matematică) |inel]] {{mvar|R}} se numește '''divizor al lui zero la stânga''' dacă există un {{mvar|x}} diferit de 0 în {{mvar|R}} astfel încât {{mvar|ax}}&nbsp;=&nbsp;0,<ref name="DB"><!-- Prof.dr. -->Dumitru Bușneag, [http://math.ucv.ro/~busneag/auxiliare/books/Fundamentele%20algebrice%20ale%20Informaticii.pdf ''Fundamentele algebrice ale informaticii''] (curs), [[Universitatea din Craiova]], p. 37, accesat 2023-08-06</ref><ref>{{citation |author= Nicolas Bourbaki |author-link= Nicolas Bourbaki |title=Algebra I, Chapters 1–3 |page=98 |publisher=Springer-Verlag |year=1989}}</ref> (unde ''0'' se referă la [[Element neutru|elementul neutru]] al primel legi de compoziție al inelului, notată și ''adunare'') sau echivalent dacă [[aplicație |aplicația]] de la {{mvar|R}} la {{mvar|R}} care aplică {{mvar|x}} la {{mvar|ax}} nu este [[funcție injectivă |injectiv]]. Similar, un {{mvar|a}} al unui inel se numește '''divizor al lui zero la dreapta''' dacă există un {{mvar|y}} diferit de zero în {{mvar|R}} astfel încât {{math|1=''ya'' = 0 }}.<ref name=DB/> Acesta este un caz parțial de [[divizibilitate (teoria inelelor) |divizibilitate]] în inele. Un element care este un divizor al lui zero [[la stânga și la dreapta |la stânga sau la dreapta]] este numit, simplu, '''divizor al lui zero'''.<ref name=RL><!-- Prof.dr. -->Răzvan Lițcanu, [https://www.math.uaic.ro/~litcanu/algcom.pdf ''Geometrie Algebrică''] (curs), [[Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași]], p. 2, accesat 2023-08-06</ref><ref>{{en icon}} {{citation |author= Charles Lanski |year=2005 |title=Concepts in Abstract Algebra |publisher=American Mathematical Soc. |page=342 }}</ref> Dacă [[inel comutativ |inelul este comutativ]], atunci divizorii lui zero la stânga și la dreapta sunt aceiași.

Un element al unui inel care nu este un divizor al lui zero la stânga se numește '''regulat la stânga'''. Similar, un element al unui inel care nu este un divizor al lui zero la dreapta se numește '''regulat la dreapta'''. Un element al unui inel care este regulat la stânga și la dreapta și, prin urmare, nu este un divizor de zero, se numește '''regulat'''.<ref>Cimpoeaș Mircea, [http://www.imar.ro/~cimpoeas/sing.doc ''Module maximale Cohen-Macaulay''] (referat doctorat), [[Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române]], p.&nbsp;3, accesat 2023-08-06</ref><ref>{{en icon}} {{cite book|author=Nicolas Bourbaki|year=1998|title=Algebra I|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|page=15}}</ref> Un divizor al lui zero care el însuși este diferit de zero se numește '''divizor al lui zero nenul''' sau '''divizor al lui zero netrivial'''. Un [[inel nul |inel nenul]] fără divizori ai lui zero netriviali se numește [[domeniu (teoria inelelor) |domeniu]].

== Exemple de divizori ai lui zero ==
* În {{ill-wd| Q319400||aritmetica modulară}}, în inelul <math>\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}</math>, clasa de reziduuri <math>\overline{2}</math> este un divizor al lui zero deoarece <math>\overline{2} \times \overline{2}=\overline{4}=\overline{0}\,.</math>
* Singurul divizor al lui zero al inelului de [[număr întreg |întregi]] <math>\mathbb{Z}</math> este <math>0</math> însuși.
* Un element [[nilpotență |nilpotent]] al unui inel nenul este întotdeauna un divizor al lui zero.
* Un {{ill-wd| Q2243424||element idempotent}} <math>e\ne 1</math> al unui inel este întotdeauna un divizor al lui zero, deoarece <math>e(1-e)=0 =(1-e)e</math>.
* {{ill-wd| Q2915729||Inelul de matrici}} <math>n \times n</math> peste un [[corp (matematică) |corp]] are divizori al lui zero nenuli dacă <math> n \geq 2</math >. Exemple de divizori al lui zero din inelul de matrici <math>2\times2</math> (peste orice inel nenul):
:<math>\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} ,</math>
:<math>\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.</math>
* Un [[produs de inele |produs direct]] al două sau mai multe inele nenule are întotdeauna divizori ai lui zero nenuli. De exemplu, în <math>R_1 \times R_2</math> în fiecare <math>R_i</math> diferit de zero, <math>(1,0)(0,1) = (0,0)\,,</math> deci <math>(1,0)</math> este un divizor al lui zero.
* Fie <math>K</math> un corp și <math>G</math> un [[grup (matematică) |grup]]. Se presupune că <math>G</math> are un element <math>g</math> de [[ordin (teoria grupurilor) |ordin]] <math>n>1</math> finit. Apoi, în {{ill-wd| Q2602722||inelul de grup}} <math>K[G]</math> există <math>(1-g)(1+g+ \cdots +g^{n-1})=1-g^ {n}=0</math>, niciunul dintre factori nefiind zero, deci în <math>K[G]</math> <math>1-g</math> este un divizor al lui zero diferit.

=== Divizori ai lui zero laterali ===
* Fie inelul de matrici (formale) <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}</math> cu <math>x,z\in\mathbb{Z}</math> și <math>y\in\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>. Atunci :<math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&xb+yc\\0&zc\end{pmatrix}</math> și
:<math>\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}xa&ya+zb\\0&zc\end{pmatrix}</math>.
Dacă <math>x\ne0\ne z</math>, atunci
:<math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}</math> este un divizor al lui zero la stânga [[dacă și numai dacă]] <math>x</math> este par, deoarece <math>\begin{pmatrix}x&y\\0&z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x \\0&0\end{pmatrix}</math>,
și este un divizor al lui zero la dreapta dacă și numai dacă <math>z</math> este par din același motiv. Dacă oricare dintre <math>x,z</math> este <math>0,</math> atunci este un divizor al lui zero (pe ambele laturi).
* Un alt exemplu de inel cu un element care este un divizor al lui zero lateral. Fie <math>S</math> mulțimea tuturor [[șir (matematică) |șirurilor]] de numere întregi <math>(a_1, a_2, a_3, ...)</math> și ca inel toate aplicațiile aditive de la <math>S</math> la <math>S</math>, cu adunare [[operație punctuală |punctuală]] și {{ill-wd| Q244761||compunerea}} ca la inele. (Adică, inelul este <math>\mathrm{End}(S)</math>, un ''{{ill-wd| Q2896709||inel de endomorfisme}}'' al grupului aditiv <math>S</math>.) Trei exemple de elemente ale acestui inel sunt ''deplasarea la dreapta'' <math>R(a_1,a_2,a_3,...)=(0,a_1,a_2,...)</math>, ''deplasarea la stânga'' <math>L(a_1,a_2,a_3,...)=(a_2,a_3,a_4,...)</math> și ''aplicația de proiecție'' pe primul factor <math>P(a_1,a_2,a_3,...)=(a_1,0,0,...)</math>. Toate aceste trei aplicații aditive nu sunt nule, iar compusele <math>LP</math> și <math>PR</math> sunt ambele nule, deci <math>L</math> este un divizor al lui zero la stânga, iar <math>R</math> este un divizor al lui zero la dreapta în inelul de aplicații aditive de la <math>S</math> la <math>S</math>. Totuși, <math>L</math> nu este un divizor al lui zero la dreapta, iar <math>R</math> nu este un divizor al lui zero din stânga: compunerea <math>LR</math> este [[element neutru |elementul neutru]]. <math>RL</math> este un divizor al lui  zero (pe ambele laturi), deoarece <math>RLP=0=PRL</math>, în timp ce <math>LR=1</math> nu este pe nicio latură.

== Exemple care nu sunt divizori ai lui zero ==
* Inelul numerelor întregi [[modulo]] un [[număr prim]] nu are divizori al lui zero. Deoarece fiecare element diferit de zero este o {{ill-wd| Q118084|unitate (teoria inelelor)|unitate}}, acest inel este un [[corp finit]].
* În general, un [[inel cu diviziune]] nu are divizori al lui zero.
* Un [[inel comutativ]] [[inel nul |nenul]] al cărui singur divizor al lui zero este 0 se numește ''[[domeniu de integritate]]''.

== Proprietăți ==
* În inelul de matrici <math>n\times n</math> peste un corp, divizorii lui zero la stânga și la dreapta coincid; ele sunt tocmai [[inversarea matricilor |matricile inverse]]. În inelul de matrici <math>n\times n</math> peste un domeniu de integritate, divizorii lui zero sunt tocmai matricele cu [[determinant (matematică) |determinant]] [[0 (număr) |zero]].
* Divizorii ai lui zero la stânga sau la dreapta nu pot fi niciodată {{ill-wd| Q118084|unitate (teoria inelelor)|unități}}, deoarece dacă {{mvar|a}} este inversabilă și {{math|1=''ax'' = 0}} pentru un {{mvar|x}} diferit de zero, atunci {{math|1=0 = ''a''<sup>−1</sup>0 = ''a''<sup>−1</sup>''ax'' = ''x''}}, ceea ce este o contradicție.
* Un element este simplificabil pe partea în care este regulat. Adică, dacă {{mvar|a}} este regulat la stânga, {{math|1=''ax'' = ''ay''}} implică faptul că {{math|1=''x'' = ''y''}} și, similar, pentru regulat la dreapta.

== Zero ca divizor al lui zero ==
Nu este nevoie de o convenție separată pentru cazul {{math|1=''a'' = 0}}, deoarece definiția se aplică și în acest caz:
* Dacă {{mvar|R}} este alt inel decât [[inel nul |inelul nul]], atunci {{math|0}} este un divizor al lui zero, deoarece orice element {{mvar|x}} diferit de zero satisface {{math|1=0''x'' = 0 = ''x''0}}.
* Dacă {{mvar|R}} este inelul nul, în care {{math|1=0 = 1}}, atunci {{math|0}} nu este un divizor zero, deoarece nu există element nenul care atunci când este înmulțit cu {{math|0}} să dea {{math|0}}.

Unele lucrări includ sau exclud {{math|0}} ca divizor al lui zero în ''toate'' inelele, prin convenție, dar apoi se lovesc de faptul că trebuie să introducă excepții în declarații precum următoarele:
* Într-un inel comutativ {{mvar|R}}, mulțimea divizorilor nenuli este o [[mulțime închisă multiplicativ |mulțime multiplicativă]] din {{mvar|R}}. (Acest lucru, la rândul său, este important pentru definirea [[inel cât total |inelului cât total]].) Același lucru este valabil și pentru mulțimea divizorilor lui zero la stânga și mulțimea divizorilor lui zero la dreapta într-un inel arbitrar, comutativ sau nu.
* Într-un {{ill-wd| Q582271||inel noetherian}} comutativ {{mvar|R}}, mulțimea divizorilor lui zero este reuniunea [[Ideal prim|idealelor prime]] asociate ale lui {{mvar|R}}.

== Divizor al lui zero într-un modul ==
Fie {{mvar|R}} un inel comutativ, fie {{mvar|M}} un {{mvar|R}}-{{ill-wd| Q18848|modul (matematică)|modul}} și fie {{mvar|a}} un element al lui {{mvar|R}}. Se spune că {{mvar|a}} este {{mvar|M}}-''regulat'' dacă aplicația „înmulțire cu {{mvar|a}}” <math>M \,\stackrel{a }\to\, M</math> este injectivă, iar în caz contrar acel {{mvar|a}} este un ''divizor al lui zero pe'' {{mvar|M}}.<ref name=Matsumura-p12>{{en icon}} {{citation |author=Hideyuki Matsumura |author-link=Hideyuki Matsumura |year=1980 |title=Commutative algebra, 2nd edition |publisher=The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. |page=12}}</ref>  Mulțimea elementelor {{mvar|M}}-regulate este o  mulțime multiplicativă în {{mvar|R}}.<ref name=Matsumura-p12/>

Precizarea definițiilor „{{mvar|M}}-regulat” și „divizor zero pe {{mvar|M}}” în cazul {{math|1=''M'' = ''R''}} se încadrează în definițiile pentru „regulat” și „divizor al lui zero” date mai sus.

== Note ==
<references />

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{springer|title=Zero divisor|id=p/z099230}}
* {{en icon}} {{citation |year=2004 |title=Algebras, rings and modules |volume=1 |publisher=Springer |isbn=1-4020-2690-0 |author1 = Michiel Hazewinkel|author2 = Nadiya Gubareni|author3=Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni |author4=Vladimir V. Kirichenko}}
* {{en icon}} {{MathWorld |title=Zero Divisor |urlname=ZeroDivisor }}
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Algebră abstractă]]
[[Categorie:Teoria inelelor]]
[[Categorie:0 (număr)]]