Vizualizare sursă pentru „Distanța de la un punct la o dreaptă”

În [[geometrie euclidiană |geometria euclidiană]] '''distanța de la un punct la o dreaptă''' este cea mai scurtă [[distanță euclidiană|distanță]] de la un [[punct (geometrie) |punct]] dat până la orice punct situat pe o [[dreaptă]] dată. Distanța este lungimea [[segment (geometrie) |segmentului]] care unește punctul cu cel mai apropiat punct de pe dreaptă. Acest punct de pe dreptă este piciorul perpendicularei dusă prin punct la dreaptă. Formula de calcul a distanței poate fi obținută și exprimată în mai multe moduri.

Cunoașterea distanței de la un punct la o dreaptă poate fi utilă de exemplu la găsirea celei mai scurte distanțe pentru a ajunge la un drum, la cuantificarea împrăștierii pe un grafic etc. În Regresia Deming, un tip de [[aproximare liniară]] a unei [[curbă |curbe]], dacă variabilele dependente și independente au varianță egală, rezultă o regresie ortogonală, în care gradul de imperfecțiune al aproximării este măsurat pentru fiecare punct al datelor ca distanța punctului față de dreapta de regresie.

== Dreapta definită de o ecuație ==
În cazul unei drepte din plan dată de ecuația {{math|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}}, unde {{mvar|a}}, {{mvar|b}} și {{mvar|c}} sunt [[număr real|numere reale]] constante cu {{mvar|a}} și {{mvar|b}} diferite de zero, distanța de la dreaptă la un punct {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} este:<ref>Larson, Hostetler, 2007, p.&nbsp;452</ref><ref>Spain, 2007, p.&nbsp;14</ref>
:<math>\operatorname{dist}(ax+by+c=0, (x_0, y_0)) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.</math>

Punctul de pe această dreaptă care este cel mai apropiat de {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} are [[coordonate carteziene |coordonatele]]:<ref name="L522">Larson, Hostetler, 2007, p.&nbsp;522</ref>
:<math>x = \frac{b(bx_0 - ay_0)-ac}{a^2 + b^2}</math> &nbsp; și &nbsp; <math>y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2+b^2}.</math>

;Drepte orizontale și verticale
În ecuația generală a unei drepte, {{math|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}}, {{mvar|a}} și {{mvar|b}} nu pot fi ambele zero decât dacă {{mvar|c}} este și el zero, caz în care ecuația nu definește o dreaptă. Dacă {{math|1=''a'' = 0}} și {{math|''b'' ≠ 0}}, dreapta este orizontală și are ecuația {{math|1=''y'' = −{{sfrac|''c''|''b''}}}}. Distanța de la {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} la această dreaptă se măsoară de-a lungul unui segment vertical de lungime {{math|1={{!}}''y''<sub>0</sub> − (−{{sfrac|''c''|''b''}}){{!}} = {{sfrac|{{!}}''by''<sub>0</sub> + ''c''{{!}}|{{!}}''b''{{!}}}}}}, cum prevede formula. Similar, pentru drepte verticale (''b'' = 0) distanța între același punct ți dreaptă este {{math|1={{sfrac|{{!}}''ax''<sub>0</sub> + ''c''{{!}}|{{!}}''a''{{!}}}} }} și se măsoară de-a lungul unui segment orizontal.

== Dreapta definită prin două puncte ==
Dacă drepta trece prin două puncte {{math|1=''P''<sub>1</sub> = (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} și {{math|1=''P''<sub>2</sub> = (''x<sub>2</sub>'', ''y<sub>2</sub>'')}} atunci distanța de la punctul {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} la dreaptă este:<ref name=GEO>{{en icon}} {{cite web|last=Sunday|first=Dan|title=Lines and Distance of a Point to a Line|url=https://geomalgorithms.com/a02-_lines.html|publisher=softSurfer|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20210507021429/https://geomalgorithms.com/a02-_lines.html|archive-date=2021-05-07}}</ref>
:<math>\operatorname{dist}(P_1, P_2, (x_0, y_0)) = \frac{|(x_2-x_1)(y_1-y_0)-(x_1-x_0)(y_2-y_1)|}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}.</math>

Numitorul acestei expresii este distanța dintre punctele {{math|''P''<sub>1</sub>}} și {{math|''P''<sub>2</sub>}}. Numărătorul este de două ori aria [[triunghi]]ului cu vârfurile în cele trei puncte, {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}}, {{math|''P''<sub>1</sub>}} și {{math|''P''<sub>2</sub>}}. Expresia este echivalentă cu {{math|1=''h'' = {{sfrac|2''A''|''b''}}}}, care poate fi obținută prin rearanjarea formulei standard pentru aria unui triunghi: {{math|1=''A'' = {{sfrac|1|2}} ''bh''}}, unde {{mvar|b}} este lungimea unei laturi, iar {{mvar|h}} este înălțimea perpendiculară pe ea de la vârful opus.

== Dreapta definită printr-un punct și un unghi ==
Dacă dreapta trece prin punctul {{math|1=''P'' = (''P''<sub>x</sub>, ''P''<sub>y</sub>)}} și formează unghiul {{math|''θ''}} cu axa orizontală, atunci distanța punctului {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>)}} la dreaptă este
:<math>\operatorname{dist}(P, \theta, (x_0, y_0)) = |\cos(\theta)(P_y-y_0) -\sin(\theta)(P_x-x_0)| </math>

== Altă formulă ==
Este posibilă și altă expresie pentru distanța cea mai scurtă dintre un punct și o dreaptă. Această metodă necesită, de asemenea, ca dreapta să nu fie verticală sau orizontală.

Fie punctul {{mvar|P}} cu coordonatele (<math>x_0, y_0</math>).
Ecuația dreptei este <math>y=mx+n</math>. Ecuația normalei la această dreaptă și care trece prin {{mvar|P}} este <math>y=\frac{x_0-x}{m}+y_0</math>.

Punctul în care aceste două drepte se intersectează este cel mai apropiat punct de pe dreapta inițială de punctul {{mvar|P}}. Prin urmare:
:<math>mx+n=\frac{x_0-x}{m}+y_0.</math>
Se rezolvă ecuația pentru ''x'':
:<math>x=\frac{x_0+my_0-mn}{m^2+1}.</math>
Coordonata ''y'' a punctului de intersecție poate fi găsită prin înlocuirea valorii lui ''x'' în ecuația dreptei inițiale:
:<math>y=m\frac{(x_0+my_0-mn)}{m^2+1}+n.</math>

Folosind ecuația distanței dintre 2 puncte, <math>d=\sqrt{(X_2-X_1)^2+(Y_2-Y_1)^2}</math>, se obține formula pentru distanța dintre o dreptă și un punct:
:<math>d=\sqrt{ \left( {\frac{x_0 + m y_0-mn}{m^2+1}-x_0 } \right) ^2 + \left( {m\frac{x_0+m y_0-mn}{m^2+1}+n-y_0 }\right) ^2 } = \frac{|n + m x_0 - y_0|}\sqrt{1 + m^2} .</math>

Ținând cont că ''m'' = −''a''/''b'' și ''n'' = −''c''/''b'' pentru ecuația dreptei ''ax'' + ''by'' + c = 0, o mică simplificare algebrică reduce aceasta la expresia standard.<ref name="L522"/>

== Formulare vectorială ==
[[Fișier:Distance from a point to a line.svg|thumb|300px|Ilustrarea formulării vectoriale]]
Ecuația unei drepte în formă [[vector euclidian |vectorială]] este:
: <math> \mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}</math>

Aici {{math|'''a'''}} este un punct pe dreaptă, iar {{math|'''n'''}} este un [[versor]] în direcția dreptei. Apoi, pe măsură ce scalarul ''t'' variază, {{math|'''x'''}} dă [[loc geometric |locul geometric]] al dreptei. 

Distanța unui punct arbitrar {{math|'''p'''}} la această dreaptă este dată de:
: <math>\operatorname{dist}(\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}, \mathbf{p}) = \| (\mathbf{p}-\mathbf{a}) - ((\mathbf{p}-\mathbf{a}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n} \|. </math>

Această formulă se obține în modul următor: <math>\mathbf{p}-\mathbf{a}</math> este vectorul de la {{math|'''a'''}} la {{math|'''p'''}}. Atunci <math>(\mathbf{p} - \mathbf{a}) \cdot  \mathbf{n}</math> este proiecția lungimii pe dreaptă și
:<math>\mathbf{a} + ((\mathbf{p} - \mathbf{a}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n}</math>
este vectorul care este proiecția lui <math>\mathbf{p}-\mathbf{a}</math> pe dreaptă și reprezintă punctul de pe dreaptă cel mai apropiat de <math>\mathbf{p}</math>. prin urmare:
:<math>(\mathbf{p}-\mathbf{a}) - ((\mathbf{p}-\mathbf{a}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n}</math>
este componenta lui <math>\mathbf{p}-\mathbf{a}</math> perpendiculară pe dreaptă. Distanța de la punct la dreaptă este chiar [[normă (matematică) |norma]] acelui vector.<ref name=GEO/> Această formulă generală nu este limitată la două dimensiuni.

== Note ==
<references responsive/>

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation|first=Howard|last=Anton|title=Elementary Linear Algebra|edition=7th|year=1994|publisher=John Wiley & Sons|isbn=0-471-58742-7}}
* {{en icon}} {{citation|first1=J.P.|last1=Ballantine|first2=A.R.|last2=Jerbert|year=1952|volume=59|title=Distance from a line or plane to a point|journal=American Mathematical Monthly|issue=4|pages=242–243|doi=10.2307/2306514|jstor=2306514}}
* {{en icon}} {{citation|first1=Ron|last1=Larson|first2=Robert|last2=Hostetler|title=Precalculus: A Concise Course|year=2007|publisher=Houghton Mifflin Co.|isbn=978-0-618-62719-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/precalculusconci00lars}}
* {{en icon}} {{citation|first=Barry|last=Spain|title=Analytical Conics|year=2007|orig-year=1957|publisher=Dover Publications|isbn=978-0-486-45773-4}}
* {{en icon}} {{cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html|title=Point-Line Distance--3-Dimensional|last=Weisstein|first=Eric W.|author-link=Eric W. Weisstein|publisher=[[MathWorld]]}}

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{citation|title=Encyclopedia of Distances|first1=Michel Marie|last1=Deza|first2=Elena|last2=Deza|edition=2nd|publisher=Springer|year=2013|isbn=9783642309588|page=86|url=https://books.google.com/books?id=QxX2CX5OVMsC&pg=PA86}}

== Vezi și ==
* [[Distanța de la un punct la un plan]]
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Geometrie euclidiană]]
[[Categorie:Vectori (fizică și matematică)]]
[[Categorie:Lungime]]
[[Categorie:Punct]]
[[Categorie:Dreaptă (matematică)]]