Vizualizare sursă pentru „Disc unitate”

{{Alte sensuri|Disc}}
[[Fișier:Unit disk open.svg|thumb|Un disc unitate euclidian deschis]]
În [[matematică]] '''discul unitate deschis''' (sau '''disc''') cu [[centru (geometrie)|centrul]] în ''P'' (unde ''P'' este un punct din [[plan (geometrie) |plan]]) este mulțimea punctelor a căror distanță față de ''P'' este mai mică decât 1:
:<math>D_1(P) = \{ Q : \vert P-Q\vert<1\}.\,</math>

'''Discul unitate închis''' cu centrul în ''P'' este mulțimea punctelor a căror distanță față de ''P'' este mai mică sau egală cu 1:
:<math>\bar D_1(P)=\{Q:|P-Q| \leq 1\}.\,</math>

Discurile unitate sunt cazuri speciale de [[disc (geometrie) |discuri]] și [[bilă unitate|bile unitate]]; ca atare, ele conțin interiorul [[cerc trigonometric |cercului unitate]] și, în cazul discului unitate închis, cercul unitate în sine.

Fără alte specificații, termenul ''disc unitate'' este utilizat pentru discul unitate deschis cu centrul în [[origine (matematică) |origine]], <math>D_1 (0)</math>, respectând [[Distanță euclidiană |metrică euclidiană standard]]. Este interiorul unui [[cerc]] cu raza 1, cu centrul în origine. Această mulțime poate fi identificată cu mulțimea tuturor [[număr complex |numerelor complexe]]  cu [[modul]]ul mai mic de 1. Când este privit ca un subdomeniu al planului complex ('''C'''), discul unitate este adesea notat <math>\mathbb{D}</math>.

== Discul unitate deschis, planul și semiplanul superior ==
[[Funcție |Funcția]]
:<math>f(z)=\frac{z}{1-|z|^2}</math>
este un exemplu de funcție reală [[funcție analitică |analitică]] și [[bijecție |bijectivă]] de la discul unității deschise la plan; funcția sa inversă este și ea analitică. Considerat ca fiind o [[varietate (geometrie) |varietate]] analitică [[bidimensional]]ă, discul unitate deschis este deci [[morfism |izomorf]] cu întregul plan. În particular, discul unitate deschis este [[homeomorfism |homeomorf]] cu întregul plan.

Totuși, nu există o [[transformare conformă]] bijectivă între discul unitate deschis și plan. Prin urmare, deși este considerat ca fiind o {{ill-wd|Q753035}}, discul unitate deschis este diferit de [[planul complex]].

Există [[transformare geometrică|transformări]] bijective conforme între discul unitate deschis și [[semiplanul superior]] deschis. Deci, considerat ca o suprafață Riemann, discul unitate deschis este izomorf („biholomorfic” sau „conform echivalent”) cu semiplanul superior, iar cele două noțiuni sunt adesea utilizate în mod interschimbabil.

Mult mai general, {{ill-wd|Q927051}} afirmă că orice [[mulțime deschisă]] [[spațiu simplu conex |simplu conexă]] din planul complex, care este diferită de planul complex în sine, admite o transformare conformă bijectivă pe discul unitate deschis.

O transformare conformă bijectivă de la discul unității deschise la semiplanul superior deschis este [[transformare Möbius |transformarea Möbius]].
:<math>g(z)=i\frac{1+z}{1-z}</math>
care este inversa transformării Cayley.

Geometric, se poate imagina axa reală îndoită și micșorată astfel încât semiplanul superior să devină interiorul discului și axa reală să formeze circumferința discului, cu excepția unui punct în partea de sus, „[[punct de la infinit|punctul de la infinit]]”. O transformare conformă bijectivă de la discul unitate deschis la semiplanul superior deschis poate fi, de asemenea, construită ca o compunere a două [[proiecție stereografică |proiecții stereografice]]: mai întâi discul unitate este proiectat stereografic în sus pe emisfera superioară a unității, luând „polul sud” al [[sferă unitate|sferei unitate]] ca centru de proiecție, iar apoi această jumătate de sferă este proiectată lateral pe un semiplan vertical care atinge sfera, luând ca centru de proiecție punctul de pe emisferă opus punctului de atingere.

Discul unitate și semiplanul superior nu sunt interschimbabile ca domenii pentru {{ill-wd|Q1585233||spațiile Hardy}}. La această diferență contribuie faptul că cercul unitate are [[măsura Lebesgue]] finită (unidimensională), în timp ce [[dreapta reală]] nu.

== Planul hiperbolic ==
Discul unitate deschis formează mulțimea puncte din [[modelul discului Poincaré]] al planului hiperbolic. [[Arc de cerc |Arcele de cerc]] perpendiculare pe cercul unitate formează „dreptele” din acest model. Cercul unitate determină o metrică pe disc utilizând [[raport anarmonic |raportul anarmonic]] în stilul {{ill-wd|Q5055329||metricii Cayley–Klein}}. În limbajul geometriei diferențiale, arcele de cerc perpendiculare pe cercul unitate sunt [[geodezică |geodezice]] care arată cea mai mică distanță între punctele din model. Modelul include mișcările care sunt exprimate de grupul unitar special [[SU(1,1)]]. Modelul discului poate fi transformat în modelul {{ill-wd|Q2534886||semiplanului Poincaré}} prin transformarea ''g'' de mai sus.

Atât discul Poincaré, cât și semiplanul Poincaré sunt modele ''conforme'' ale planului hiperbolic, ceea ce înseamnă că unghiurile dintre curbele care se intersectează sunt conservate prin mișcările [[grup de izometrie|grupurilor lor de izometrie]].

Există și alt model de spațiu hiperbolic construit pe discul unitate deschis: {{ill-wd|Q1189065}}. ''Nu este conform'', dar are proprietatea că geodezicele sunt drepte.

== Discuri unitate din alte metrici ==
[[Fișier:Unit disc metrics.svg|thumb|De sus în jos: disc unitate deschis în metrica euclidiană, în [[distanță Manhattan |metrica Manhattan]] și în [[distanță Cebîșev |metrica Cebîșev]]]]
Se consideră discurile unitate față de alte metrici. De exemplu, în [[distanță Manhattan |metrica Manhattan]] și [[distanță Cebîșev |metrica Cebîșev]] discurile arată ca niște pătrate (chiar dacă [[spațiu topologic |topologiile]] subiacente sunt identice cu cel euclidian).

Aria discului unitate euclidian este {{math|&pi;}} iar [[perimetru]]l acestuia este {{math|2&pi;}}. Prin contrast, perimetrul discului unitate din metrica Manhattan este 8. În 1932, [[Stanisław Gołąb]] a demonstrat că în metricele care decurg dintr-o [[normă (matematică) | normă]], perimetrul discului unitate poate lua orice [[valoare (matematică) |valoare]] între 6 și 8 și că aceste valori extreme sunt obținute [[dacă și numai dacă]] discul unitate este un [[hexagon]] regulat, respectiv un [[paralelogram]].<ref>{{fr icon}} S. Golab, "Quelques problèmes métriques de la géometrie de Minkowski", Trav. de l'Acad. Mines Cracovie 6, 1932, p.&nbsp;179</ref>

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = UnitDisk | title = Unit disk}}
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20060907065432/http://www.math.poly.edu/%7Ealvarez/pdfs/disc.pdf On the Perimeter and Area of the Unit Disc], by J.C. Álvarez Pavia and A.C. Thompson

[[Categorie:Cercuri]]
[[Categorie:1 (număr)]]