Vizualizare sursă pentru „Diagramă Coxeter–Dynkin”

[[Fișier:Finite coxeter.svg|400px|thumb|Diagramele Coxeter–Dynkin ale grupurilor Coxeter finite fundamentale]]
[[Fișier:Affine coxeter.svg|400px|thumb|Diagramele Coxeter–Dynkin ale grupurilor Coxeter afine fundamentale]]
În [[geometrie]], o '''diagramă Coxeter–Dynkin''' (sau '''diagramă Coxeter''', '''graf Coxeter''') este un [[graf]] cu muchii marcate cu numere (numite ''ramuri'') reprezentând relațiile spațiale dintre o colecție de oglinzi (sau [[hiperplan]]e de reflexie). Descrie o construcție [[caleidoscop]]ică: fiecare ''nod'' al grafului reprezintă o oglindă ([[fațetă (geometrie) |fațetă]] a domeniului) și eticheta atașată unei ramuri codifică ordinul [[unghi diedru |unghiului diedru]] între două oglinzi (pe o față a domeniului), care este raportul dintre 180° și unghiul dintre planele oglinzilor. O ramură neetichetată reprezintă implicit ordinul 3 (60°).

Fiecare diagramă reprezintă un [[grup Coxeter]], iar grupurile Coxeter sunt clasificate după diagramele lor asociate.

[[Diagramă Dynkin |Diagramele Dynkin]] sunt obiecte strâns legate, care diferă de diagramele Coxeter în două privințe: în primul rând, ramurile etichetate cu "4" sau mai mult sunt [[orientare (teoria grafurilor)|orientate]], în timp ce diagramele Coxeter sunt neorientate; în al doilea rând, diagramele Dynkin trebuie să satisfacă o [[restricție (matematică)|restricție]] suplimentară ([[teorema de restricție cristalografică |cristalografică]]), și anume că singurele etichete permise ale ramurilor sunt 2, 3, 4 și 6. Diagramele Dynkin corespund și sunt utilizate pentru a clasifica [[sistem de rădăcini |sistemele de rădăcini]] și, prin urmare, [[algebră Lie semisimplă |algebra Lie semisimplă]].<ref>{{en icon}} {{citation |first=Brian C. |last=Hall |title=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction |publisher=Springer |year=2003 |isbn=978-0-387-40122-5}}</ref>

== Descriere ==
Ramurile unei diagrame Coxeter–Dynkin sunt etichetate cu un [[număr rațional]] ''p'', reprezentând un [[unghi diedru]] de 180°/''p''. {{math|''p'' {{=}} 2}} unghiul este de 90° și oglinzile nu au nicio interacțiune, astfel încât ramura poate fi omisă din diagramă. Dacă o ramură este nemarcată, se presupune că are {{math|''p'' {{=}} 3}}, reprezentând un unghi de 60°. Două oglinzi paralele au o ramură marcată cu "&infin;". În principiu, ''n'' oglinzi pot fi reprezentate printr-un graf complet în care sunt trasate toate cele ''n''({{math|''n'' − 1) / 2}} ramuri. În practică, aproape toate configurațiile interesante ale oglinzilor includ un număr de unghiuri drepte, astfel încât ramurile corespunzătoare sunt omise.

Diagramele pot fi etichetate după structura grafului lor. Primele forme studiate de [[Ludwig Schläfli]] sunt [[Schläfli orthoscheme |''ortoscheme'']] care au grafuri liniare care generează [[politop regulat |politopuri regulate]] și [[fagure regulat |faguri regulați]]. ''Plagioschemele'' sunt [[simplex]]uri reprezentate prin grafuri ramificate, iar ''cicloschemele'' sunt simplexuri reprezentate prin grafuri ciclice.

== Matricea Schläfli ==
Orice diagramă Coxeter are o ''matrice Schläfli'' corespunzătoare (așa numită după [[Ludwig Schläfli]]), cu elementele {{math|''a<sub>i,j</sub>'' {{=}} ''a<sub>j,i</sub>'' {{=}} −2cos (''π'' / ''p'')}} unde ''p'' este ordinul ramurilor dintre perechile de oglinzi. Ca ''matrice de cosinusuri'', este numită și [[matrice Gramian]] după [[Jørgen Pedersen Gram]]. Toate matricile Schläfli ale grupurilor Coxeter sunt simetrice deoarece vectorii lor rădăcină sunt normalizați. Este legată îndeaproape de [[matrice Cartan |matricea Cartan]], utilizată în graful similar dar orientat, diagrama Dynkin în cazurile cu ''p'' = 2, 3, 4 și 6, care NU sunt simetrice în general.

Determinantul matricei Schläfli, numit ''Schläflian'', și semnul său determină dacă grupul este finit (pozitiv), afin (zero) sau nedefinit (negativ). Această regulă se numește ''Criteriul lui Schläfli''.<ref>{{en icon}} Coxeter, ''Regular Polytopes'', 1973, p.&nbsp;133, ''Schläfli's Criterion''</ref>

[[Vectori și valori proprii |Valorile proprii]] ale matricei Schläfli determină dacă un grup Coxeter este de ''tip finit'' (toate pozitive), de ''tip afin'' (toate nenegative, cel puțin una fiind zero) sau de ''tip nedefinit'' (altfel). Tipul [[expresie nedefinită|nedefinit]] este uneori subdivizat, de ex. în grupuri Coxeter hiperbolice și alte grupuri Coxeter. Totuși, există mai multe definiții neechivalente pentru grupurile Coxeter hiperbolice. În articol se folosește următoarea definiție: Un grup Coxeter cu diagramă conectată este ''hiperbolic'' dacă nu este nici de tip finit, nici afin, dar fiecare subdiagramă conectată adecvat este de tip finit sau afin. Un grup Coxeter hiperbolic este ''compact'' dacă toate subgrupurile sunt finite (adică au determinanți pozitivi) și ''paracompact'' dacă toate subgrupurile sale sunt finite sau afine (adică au determinanți negativi).

Grupurile finite și afine sunt numite și ''eliptice'', respectiv ''parabolice''. Grupurile hiperbolice se mai numesc și Lannér, după F. Lannér care a enumerat grupurile hiperbolice compacte în 1950,<ref>{{en icon}} Lannér F., ''On complexes with transitive groups of automorphisms'', Medd. Lunds Univ. Mat. Sem. [Comm. Sem. Math. Univ. Lund], 11 (1950), 1–71</ref> și Koszul (sau cvasi-Lannér) pentru grupurile paracompacte.

=== Grupuri Coxeter de ordinul 2 ===
La ordinul 2, tipul unui grup Coxeter este complet determinat de determinantul matricei Schläfli, deoarece este pur și simplu produsul valorilor proprii: tip finit (determinant pozitiv), tip afin (determinant zero) sau hiperbolic (determinant negativ). Coxeter folosește o [[notație Coxeter |notație cu paranteze]] echivalentă care afișează o secvență cu ordinea ramurilor ca înlocuitor pentru diagramele grafice nod-ramură. Există și soluții raționale [p/q], {{CDD|node|p|rat|q|node}}, cu [[cel mai mare divizor comun |cmmdc]](p, q)&nbsp;=&nbsp;1, care definesc domenii fundamentale suprapuse. De exemplu, 3/2, 4/3, 5/2, 5/3, 5/4. și 6/5.
{| class=wikitable style:"text-align:center"
!Tip
!colspan=5|Finit
!Afin
!colspan=2|Hiperbolic
|-
!Geometrie
|[[Fișier:Dihedral_symmetry_domains_1.png|80px]]
|[[Fișier:Dihedral_symmetry_domains_2.png|80px]]
|[[Fișier:Dihedral_symmetry_domains_3.png|80px]]
|[[Fișier:Dihedral_symmetry_domains_4.png|80px]]
|...
|[[Fișier:Dihedral_symmetry_domains_infinity.png|80px]]
|[[Fișier:Horocycle_mirrors.png|80px]]
|[[Fișier:Dihedral_symmetry_ultra.png|80px]]
|-
!Coxeter
|{{CDD|node_c1}}<br/>[ ]
|{{CDD|node_c1|2|node_c3}}<br/>[2]
|{{CDD|node_c1|3|node_c1}}<br/>[3]
|{{CDD|node_c1|4|node_c3}}<br/>[4]
|{{CDD|node|p|node}}<br/>[p]
|{{CDD|node_c1|infin|node_c3}}<br/>[&infin;]
|{{CDD|node_c2|infin|node_c3}}<br/>[&infin;]
|{{CDD|node_c2|ultra|node_c3}}<br/>[i&pi;/&lambda;]
|-
![[Ordin (teoria grupurilor) |Ordin]]
!2
!4
!6
!8
!2''p''
!colspan=3|&infin;
|-
|colspan=9|Liniile de reflexie sunt colorate pentru a corespunde nodurilor diagramei Coxeter.<br/>Domeniile fundamentale sunt colorate alternativ.
|}
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="width:720px; text-align:center"
!colspan=8| Grupuri Coxeter de ordinul 2
|-
!rowspan=2|Ordin<br/>''p''
!rowspan=2|Grup
!rowspan=2 colspan=2|diagramă Coxeter
!colspan=2|matrice Schläfli
|-
!<math>\left [\begin{matrix}2&a_{12}\\a_{21}&2\end{matrix}\right ]</math>
!Determinant<br/>(4-a<sub>21</sub>*a<sub>12</sub>)
|-
!colspan=7|Finite (determinant > 0)

|-
!2
!I<sub>2</sub>(2) = A<sub>1</sub>xA<sub>1</sub>
|{{CDD|node|2|node}}||[2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&0\\0&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|4

|-
!3
!I<sub>2</sub>(3) = A<sub>2</sub>
|{{CDD|node|3|node}}||[3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-1\\-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|3

|-
!3/2
!
|{{CDD|node|3x|rat|2x|node}}||[3/2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&1\\1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|-
!4
!I<sub>2</sub>(4) = B<sub>2</sub>
|{{CDD|node|4|node}}||[4]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2}\\-\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|2
|-
!4/3
!
|{{CDD|node|4|rat|3x|node}}||[4/3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\sqrt{2}\\\sqrt{2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|-
!5
!I<sub>2</sub>(5) = H<sub>2</sub>
|{{CDD|node|5|node}}||[5]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\phi\\-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|<math>(5-\sqrt{5})/2</math><br/>~1.38196601125
|- 
!5/4
!
|{{CDD|node|5|rat|4|node}}||[5/4]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\phi\\\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|-
!5/2
!
|{{CDD|node|5-2|node}}||[5/2]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&1-\phi\\1-\phi&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|<math>(5+\sqrt{5})/2</math><br/>~3.61803398875
|-
!5/3
!
|{{CDD|node|5-3|node}}||[5/3]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\phi-1\\\phi-1&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|-
!6
!I<sub>2</sub>(6) = G<sub>2</sub>
|{{CDD|node|6|node}}||[6]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{3}\\-\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|rowspan=2|1
|-
!6/5
!
|{{CDD|node|6|rat|5|node}}||[6/5]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&\sqrt{3}\\\sqrt{3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>

|-
!8
!I<sub>2</sub>(8)
|{{CDD|node|8|node}}||[8]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2+\sqrt2}\\-\sqrt{2+\sqrt2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{2}</math><br/>~0.58578643763
|-
!10
!I<sub>2</sub>(10)
|{{CDD|node|10|node}}||[10]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{(5+\sqrt5)/2}\\-\sqrt{(5+\sqrt5)/2}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>(3-\sqrt{5})/2</math>

~0.38196601125
|-
!12
!I<sub>2</sub>(12)
|{{CDD|node|12|node}}||[12]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-\sqrt{2+\sqrt3}\\-\sqrt{2+\sqrt3}&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>2-\sqrt{3}</math><br/>
~0.26794919243
|-
!''p''
!I<sub>2</sub>(p)
|{{CDD|node|p|node}}||[p]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\cos(\pi/p)\\-2\cos(\pi/p)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>4\sin^2(\pi/p)</math>
|-
!colspan=6|Afin (determinant = 0)
|-
!∞
!I<sub>2</sub>(∞) = <math>{\tilde{I}}_1</math> = <math>{\tilde{A}}_1</math>
|{{CDD|node|infin|node}}||[&infin;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|-
!colspan=6|Hiperbolice (determinant ≤ 0)
|-
!∞
!
|{{CDD|node|infin|node}}||[&infin;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2\\-2&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|0
|-
!∞
!
|{{CDD|node|ultra|node}}||[i&pi;/&lambda;]
|<math>\left [\begin{smallmatrix}2&-2cosh(2\lambda)\\-2cosh(2\lambda)&2\end{smallmatrix}\right ]</math>
|<math>-4\sinh^2(2\lambda) \le 0</math>
|}

=== Vizualizări geometrice ===
Diagrama Coxeter–Dynkin poate fi văzută ca o descriere grafică a [[domeniu fundamental |domeniului fundamental]] al oglinzilor. O oglindă reprezintă un hiperplan într-un spațiu dimensional sferic sau euclidian sau hiperbolic dat. (În spațiile 2D, o oglindă este o dreaptă, iar în 3D o oglindă este un plan).

Aceste vizualizări arată domeniile fundamentale pentru grupurile euclidiene 2D și 3D, și grupurile sferice 2D. Pentru fiecare diagrama Coxeter poate fi dedusă prin identificarea hiperplanelor oglindă și etichetarea conectivității acestora, ignorând unghiurile diedrice de 90° (ordinul 2).
{| class="wikitable" style="width:720px; text-align:center"
|colspan=2|[[Fișier:Coxeter-dynkin plane groups.png|720px]]<br/>
Grupuri Coxeter în planul euclidian cu diagrame echivalente. Reflexiile sunt etichetate ca noduri ale grafurilor: R1, R2 etc. și sunt colorate după ordinea lor de reflexie. Reflexiile la 90° sunt inactive, prin urmare sunt eliminate din diagramă. Oglinzile paralele sunt conectate printr-o ramură etichetată ∞. Grupul prismatic <math>{\tilde{I}}_1</math>x<math>{\tilde{I}}_1</math> este afișat ca o dublare a <math>{\tilde{C}}_2</math>, dar pot fi create și ca domenii dreptunghiulare de la dublarea triunghiurilor <math>{\tilde{G}}_2</math>. <math>{\tilde{A}}_2</math> este o dublare a triunghiului <math>{\tilde{G}}_2</math>.
|- valign=top
|colspan=2|[[Fișier:Hyperbolic kaleidoscopes.png|720px]]<br/>Multe grupuri Coxeter din planul hiperbolic pot fi obținute din cazurile euclidiene ca o serie de soluții hiperbolice.
|- valign=top
|[[Fișier:Coxeter-Dynkin 3-space groups.png|360px]]<br/>Grupuri Coxeter în [[spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]] cu diagrame. Oglinzile (fețele triunghiului) sunt etichetate de vârful opus 0..3. Ramurile sunt colorate după ordinea lor de reflexie.<br/><math>{\tilde{C}}_3</math> umple 1/48 din cub. <math>{\tilde{B}}_3</math> umple 1/24 din cub. <math>{\tilde{A}}_3</math> umple 1/12 din cub.
|[[Fișier:Coxeter-Dynkin sphere groups.png|360px]]<br/>Grupuri Coxeter în sferă cu diagrame echivalente. Un domeniu fundamental este conturat în galben. Vârfurile domeniului (și ramurile grafurilor) sunt colorate după ordinea lor de reflexie.
|}

== Grupuri Coxeter finite ==
<!-- :See also [[:polytope families]] for a table of end-node uniform polytopes associated with these groups. -->
* Trei simboluri diferite sunt date pentru aceleași grupuri — ca literă/număr, ca set de numere între paranteze și ca diagramă Coxeter.
* Grupurile bifurcate D<sub>''n''</sub> sunt versiunea ''înjumătățită'' sau ''alternată'' a grupurilor regulate C<sub>''n''</sub>.
* Grupurile bifurcate D<sub>''n''</sub> și E<sub>''n''</sub> sunt, de asemenea, etichetate cu o notație cu exponenți [3<sup>''a'',''b'',''c''</sup>] unde''a'',''b'',''c''sunt numărul de segmente din fiecare din cele trei ramuri.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Diagramele Coxeter–Dynkin finite conectate (de ordinul 1 la 9)
|- 
!rowspan=2|Ordin
!colspan=3|[[Grup Lie simplu |Grupuri Lie simple]]
!colspan=3|[[Grup Lie excepțional |Grupuri Lie excepționale]]
!colspan=2|&nbsp;
|-
!height=35|<math>{A}_{1+}</math>
!<math>{B}_{2+}</math>
!<math>{D}_{2+}</math>
![[En (Lie algebra)|<math>{E}_{3-8}</math>]]
![[F4 (mathematics)|<math>{F}_{3-4}</math>]]
![[G2 (mathematics)|<math>{G}_{2}</math>]]
!<math>{H}_{2-4}</math>
!<math>{I}_{2}(p)</math>
|- 
!1
|A<sub>1</sub>=[ ]<br/>{{CDD|node}}
|colspan=7|&nbsp;
|- 
!2
|A<sub>2</sub>=[3]<br/>{{CDD|node|3|node}}
|B<sub>2</sub>=[4]<br/>{{CDD|node|4|node}}
|D<sub>2</sub>=A<sub>1</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodes}}
|colspan=2|&nbsp;
|G<sub>2</sub>=[6]<br/>{{CDD|node|6|node}}
|H<sub>2</sub>=[5]<br/>{{CDD|node|5|node}}
|I<sub>2</sub>[p]<br/>{{CDD|node|p|node}}
|- 
!3
|A<sub>3</sub>=[3<sup>2</sup>]<br/>{{CDD|node|3|node|3|node}}
|B<sub>3</sub>=[3,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node}}
|D<sub>3</sub>=A<sub>3</sub><br/>{{CDD|nodes|split2|node}}
|E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea}}&nbsp;{{CDD|nodeb}}
|F<sub>3</sub>=B<sub>3</sub><br/>{{CDD|node|3|node|4|node}}
|rowspan=8|
|H<sub>3</sub>&nbsp;<br/>{{CDD|node|5|node|3|node}}
|rowspan=8|
|- 
!4
|A<sub>4</sub>=[3<sup>3</sup>]<br/>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>4</sub>=[3<sup>2</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}
|D<sub>4</sub>=[3<sup>1,1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node}}
|E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|F<sub>4</sub><br/>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node}}
|H<sub>4</sub>&nbsp;<br/>{{CDD|node|5|node|3|node|3|node}}
|- 
!5
|A<sub>5</sub>=[3<sup>4</sup>]<br/>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>5</sub>=[3<sup>3</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>5</sub>=[3<sup>2,1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|rowspan=6|&nbsp;
|rowspan=6|&nbsp;
|- 
!6
|A<sub>6</sub>=[3<sup>5</sup>]<br/>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>6</sub>=[3<sup>4</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>6</sub>=[3<sup>3,1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>6</sub>=[3<sup>2,2,1</sup>]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|- 
!7
|A<sub>7</sub>=[3<sup>6</sup>]<br/>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>7</sub>=[3<sup>5</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>7</sub>=[3<sup>4,1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>7</sub>=[3<sup>3,2,1</sup>]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- 
!8
|A<sub>8</sub>=[3<sup>7</sup>]<br/>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>8</sub>=[3<sup>6</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>8</sub>=[3<sup>5,1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|E<sub>8</sub>=[3<sup>4,2,1</sup>]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- 
!9
|A<sub>9</sub>=[3<sup>8</sup>]<br/>{{CDD|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|B<sub>9</sub>=[3<sup>7</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|D<sub>9</sub>=[3<sup>6,1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|rowspan|&nbsp;
|- 
!10+
|...
|...
|...
|...
|}

== Aplicarea la politopuri uniforme ==
{| class=wikitable align=right width=480
|- valign=top
|[[Fișier:Coxeter_diagram_elements.png|240px]]<br/>La construcția politopurilor uniforme, nodurile sunt marcate ca ''active'' de un inel dacă punctul generator se află în afara oglinzii, creând o nouă latură între punctul generator și imaginea sa oglindă. Un nod fără inel reprezintă o oglindă ''inactivă'' care nu generează puncte noi. Un inel fără nod se numește ''gaură''.
|[[Fișier:Kaleidoscopic_construction_of_square.png|240px]]<br/>Două oglinzi ortogonale pot fi utilizate pentru a genera un pătrat, {{CDD|node_1|2|node_1}}, marcat aici cu un punct roșu generator și 3 copii virtuale în oglinzi. Generatorul trebuie să fie dezactivat de ambele oglinzi în acest caz ortogonal pentru a genera un interior. Marcarea inelului presupune că inelele active au generatoare la distanță egală de toate oglinzile, în timp ce un [[dreptunghi]] poate reprezenta și o soluție neuniformă.
|}
Diagramele Coxeter–Dynkin pot descrie în mod explicit aproape toate clasele de [[Politop uniform |politopuri uniforme]] și [[Pavare uniformă |teselări uniforme]]. Fiecare politop uniform cu [[simetrie de reflexie]] pură (toate, cu excepția câtorva cazuri particulare, au simetrie de reflexie pură) poate fi reprezentat printr-o diagramă Coxeter–Dynkin cu permutări ale ''notațiilor''. Fiecare politop uniform poate fi generat folosind astfel de oglinzi și un singur punct generator: [[imagine în oglindă|imaginile în oglindă]] creează puncte noi ca reflexii, apoi [[latură (geometrie) |laturile]] politopului pot fi definite între puncte și punctele imagini în oglindă. [[Față (geometrie) |Fețele]] sunt generate de reflectarea repetată a unei laturi care eventual se înfășoară în jurul punctului generator inițial; [[formă|forma]] finală, precum și orice fațete din dimensiunile superioare, sunt create în mod similar prin reflectarea feței pentru a închide o zonă.

Pentru a specifica vârful generator, unul sau mai multe noduri sunt marcate cu inele, ceea ce înseamnă că vârful ''nu'' este pe oglinzile reprezentate de nodul/nodurile inelate. (Dacă sunt marcate două sau mai multe oglinzi, vârful este [[echidistant]] de ele.) O oglindă este ''activă'' (creează reflexii) numai pentru punctele care nu se află pe ea. O diagramă are nevoie de cel puțin un nod activ pentru a reprezenta un politop. O diagramă neconectată (subgrupuri separate prin ramuri de ordinul 2 sau oglinzi ortogonale) necesită cel puțin un nod activ în fiecare subgraf.

Toate [[politop regulat |politopurile regulate]], reprezentate prin [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] <math>\left \{ p, q, r, ... \right \} \,</math>, pot avea domeniile lor fundamentale reprezentate de un set de ''n'' oglinzi cu o diagramă Coxeter–Dynkin aferentă a unei linii de noduri și ramuri etichetate cu <math>p, q, r, ... \,</math> cu primul nod inelat.

Politopurile uniforme cu un inel corespund punctelor generatoare în colțurile simplexului domeniului fundamental. Două inele corespund laturilor simplexului și au un grad de libertate, cu doar punctul de mijloc ca soluție uniformă pentru lungimi ale laturilor egale. În general ''k''-punctele generatoare inelate sunt pe ''(k–1)''-fețele simplexului, iar dacă toate nodurile sunt inelate, punctul generator se află în interiorul simplexului.

Cazul particular al politopurilor uniforme cu simetrie nereflexivă este reprezentat de un marcaj secundar în care punctul central al unui nod inelat este eliminat (numit ''gaură''). Aceste forme sunt [[Alternare (geometrie) |alternări]] ale politopurilor cu simetrie de reflexie, ceea ce înseamnă că nodurile alternate sunt șterse. Politopul rezultat va avea o subsimetrie a grupului Coxeter inițial. O alternare trunchiată se numește ''[[snub]]''.
{{imagine multiplă
| align = right
| direction = vertical
| width = 400
| image1 = Wythoffian construction diagram.svg
| caption1 = Există 7 construcții uniforme reflexive pe baza unui triunghi general, bazate pe 7 poziții generatoare topologice în domeniul fundamental. Fiecare oglindă activă generează o latură, cu două oglinzi active există generatoare pe laturile domeniului și cu trei oglinzi active generatorul este în interior. Unul sau două grade de libertate pot fi tratate astfel încât poziția rezultată să genereze laturi egale ale poliedrului sau ale plăcilor rezultate.
| image2 = Polyhedron truncation example3.png
| caption2 = Exemple: 7 generatoare pe simetrie octaedrică, cu domeniul fundamental triunghiul (4 3 2), cu a 8-a generare snub ca alternare.}}
* Un singur nod reprezintă o singură oglindă. Aceasta se numește grupul A<sub>1</sub>. Dacă este inelat, el creează un [[segment (geometrie) |segment de dreaptă]] perpendicular pe oglindă, reprezentat ca {}.
* Două noduri neconectate reprezintă două oglinzi [[perpendicularitate |perpendiculare]]. Dacă ambele noduri sunt inelate, se poate crea un [[dreptunghi]] sau, dacă punctul este la distanță egală de ambele oglinzi, un [[pătrat]].
* Două noduri conectate printr-o ramură de ordinul ''n'' poate crea un [[poligon|''n''-gon]] dacă punctul este pe o singură oglindă și un 2''n''-gon dacă punctul este în afara ambelor oglinzi. Aceasta formează grupul I<sub>1</sub>(n).
* Două oglinzi paralele pot reprezenta un grup poligonal infinit I<sub>1</sub>(∞), numit și Ĩ<sub>1</sub>.
* Trei oglinzi dispuse într-un triunghi formează imagini ca acelea văzute într-un [[caleidoscop]] tradițional și pot fi reprezentate prin trei noduri conectate într-un triunghi. Exemplele repetate vor avea ramuri etichetate ca (3 3 3), (2 4 4), (2 3 6), deși ultimele două pot fi trasate ca o linie (cu ramurile ''2'' ignorate). Acestea vor genera [[Pavare cu poligoane regulate |pavări uniforme]].
* Trei oglinzi pot genera poliedre uniforme (cu [[simetrie octaedrică]] Oh); numerele raționale oferă mulțimea [[triunghi Schwarz |triunghiurilor Schwarz]].
* Trei oglinzi cu una perpendiculară pe celelalte două pot forma [[Prismă (geometrie) |prisme uniforme]].

Dualele politopurilor uniforme sunt uneori marcate cu o bară perpendiculară care înlocuiește nodurile inelate și o gaură barată pentru găurile nodurilor snub. De exemplu, {{CDD|node_1|2|node_1}} reprezintă un dreptunghi (prin două oglinzi ortogonale active), iar {{CDD|node_f1|2|node_f1}} reprezintă [[poligon dual |poligonul său dual]], [[romb]]ul.

=== Exemple de poliedre și pavări ===
De exemplu, grupul Coxeter B<sub>3</sub> are diagrama: {{CDD|node|4|node|3|node}}. Aceasta este numită și [[simetrie octaedrică]].

Există 7 poliedre uniforme convexe care pot fi construite din acest grup de simetrie și 3 din subsimetriile sale alternate, fiecare cu o diagramă Coxeter–Dynkin marcată în mod unic. [[Simbolul Wythoff]] reprezintă un caz special al diagramei Coxeter pentru grafurile de ordinul 3, cu toate cele 3 ordine ale ramurilor denumite, în loc de suprimarea ramurilor de ordinul 2. Simbolul Wythoff este capabil să gestioneze forma ''snub'', dar nu alternări generale fără toate nodurile inelate.
{{Trunchieri octaedrice}}
Aceleași construcții pot fi făcute pe grupuri Coxeter [[mulțimi disjuncte|disjuncte]] (ortogonale), cum ar fi [[Prismă (geometrie) |prismele]] uniforme, și pot fi văzute mai clar ca pavări sferice ale [[diedru |diedrelor]] și [[hosoedru |hosoedrelor]], ca familia [6]×[] sau [6.2]:
{{Trunchieri diedrice hexagonale}}
Prin comparație, familia [6,3], {{CDD|node|6|node|3|node}} produce un set paralel de 7 pavări uniforme ale planului euclidian și pavările lor duale. Există din nou 3 alternări și unele versiuni cu simetria la jumătate.
{{Tabel pavări hexagonale}}
În planul hiperbolic [7,3], familia {{CDD|node|7|node|3|node}} produce un set paralel de pavări uniforme și pavările lor duale. Există doar o singură alternare snub deoarece toate ordinele ramurilor sunt impare. Există multe alte familii de pavări uniforme în planul hiperbolic.
{{Tabel pavări de ordinul 7-3}}

== Grupuri Coxeter afine ==
Familii de teselări euclidiene uniforme convexe sunt definite de [[grup Coxeter afin |grupurile Coxeter afine]]. Aceste grupuri sunt identice cu grupurile finite, cu adăugarea unui nod. În notațiile literale li se dă aceeași literă cu o „~” deasupra literei. Indicele se referă la grupul finit, deci ordinul este indicele plus 1. (Simbolurile [[Ernst Witt]] pentru grupurile afine sunt menționate în lista următoare în paranteze.)
# <math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>: diagramele de acest tip sunt cicluri. (P<sub>n</sub>)
#<math>{\tilde{C}}_{n-1}</math> este asociat cu familia [[fagure hipercubic |teselărilor regulate hipercubice]] <math>\left \{ p, q, r, ... \right \} \,</math>. (R<sub>n</sub>)
#<math>{\tilde{B}}_{n-1}</math> este legat de C, fără una dintre oglinzi. (S<sub>n</sub>)
#<math>{\tilde{D}}_{n-1}</math> este legat de C, fără două dintre oglinzi. (Q<sub>n</sub>)
#<math>{\tilde{E}}_6</math>, <math>{\tilde{E}}_7</math>, <math>{\tilde{E}}_8</math>. (T<sub>7</sub>, T<sub>8</sub>, T<sub>9</sub>)
#<math>{\tilde{F}}_4</math> formează teselarea regulată {3,4,3,3}. (U<sub>5</sub>)
#<math>{\tilde{G}}_2</math> formează domeniile fundamentale triunghiulare 30-60-90. (V<sub>3</sub>)
#<math>{\tilde{I}}_1</math>  = <math>{\tilde{A}}_1</math> = <math>{\tilde{C}}_1</math> sunt două oglinzi paralele. (W<sub>2</sub>)

De asemenea, grupurile compuse pot fi definite ca proiecții ortogonale. Cea mai obișnuită utilizare <math>{\tilde{A}}_1</math>, ca și <math>{\tilde{A}}_1^2</math>, {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}} reprezintă domenii pătrate sau dreptunghiulare în formă de [[tablă de șah]] în planul euclidian. Iar <math>{\tilde{A}}_1 {\tilde{G}}_2</math> {{CDD|node|infin|node|2|node|split1|branch}} reprezintă domeniile fundamentale al [[prismă triunghiulară |prismei triunghiulare]] în [[spațiu euclidian|spațiul euclidian]] [[spațiu tridimensional|tridimensional]].
{| class="wikitable" width=720px
|+ Grafuri Coxeter afine pentru 2–10 noduri
!Ordin
!<math>{\tilde{A}}_{1+}</math> (P<sub>2+</sub>)
!<math>{\tilde{B}}_{3+}</math> (S<sub>4+</sub>)
!<math>{\tilde{C}}_{1+}</math> (R<sub>2+</sub>)
!<math>{\tilde{D}}_{4+}</math> (Q<sub>5+</sub>)
! <math>{\tilde{E}}_n</math> (T<sub>n+1</sub>) / <math>{\tilde{F}}_4</math> (U<sub>5</sub>) / <math>{\tilde{G}}_2</math> (V<sub>3</sub>)
|-  
!2
|<math>{\tilde{A}}_1</math>=[∞]<br/>{{CDD|node|infin|node}}
|rowspan=2|&nbsp;
|<math>{\tilde{C}}_1</math>=[∞]<br/>{{CDD|node|infin|node}}
|rowspan=2|&nbsp;
|&nbsp;
|- 
!3
|<math>{\tilde{A}}_{2}</math>=[3<sup>[3]</sup>]<br/>[[:Fișier:DynkinA2Affine.svg|*]] {{CDD|branch|split2|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>=[4,4]<br/>[[:Fișier:DynkinC2Affine.svg|*]] {{CDD|node|4|node|4|node}}
|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>=[6,3]<br/>[[:Fișier:DynkinG2Affine1.svg|*]] {{CDD|node|6|node|3|node}}
|-  
!4
|<math>{\tilde{A}}_{3}</math>=[3<sup>[4]</sup>]<br/>[[:Fișier:DynkinA3Affine.svg|*]] {{CDD|node|split1|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>=[4,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Fișier:DynkinB3Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{3}</math>=[4,3,4]<br/>[[:Fișier:DynkinC3Affine.svg|*]] {{CDD|node|4|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{3}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>−1</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{CDD|node|split1|nodes|split2|node}} = <math>{\tilde{A}}_{3}</math>
|
|-  
!5
|<math>{\tilde{A}}_{4}</math>=[3<sup>[5]</sup>]<br/>[[:Fișier:DynkinA4Affine.svg|*]] {{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{4}</math>=[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Fișier:DynkinB4Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{4}</math>=[4,3<sup>2</sup>,4]<br/>[[:Fișier:DynkinC4Affine.svg|*]] {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>=[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br/>[[:Fișier:DynkinD4Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>=[3,4,3,3]<br/>[[:Fișier:DynkinF4Affine.svg|*]] {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|-  
!6
|<math>{\tilde{A}}_{5}</math>=[3<sup>[6]</sup>] <br/>[[:Fișier:DynkinA5Affine1.svg|*]] {{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{5}</math>=[4,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Fișier:DynkinB5Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{5}</math>=[4,3<sup>3</sup>,4]<br/>[[:Fișier:DynkinC5Affine.svg|*]] {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Fișier:DynkinD5Affine.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes}}
|&nbsp;
|-  
!7
|<math>{\tilde{A}}_{6}</math>=[3<sup>[7]</sup>]<br/>[[:Fișier:AffineA6.svg|*]] {{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{6}</math>=[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{6}</math>=[4,3<sup>4</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>=[3<sup>2,2,2</sup>]<br/>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}
|-  
!8
|<math>{\tilde{A}}_{7}</math>=[3<sup>[8]</sup>]<br/>[[:Fișier:AffineA7.svg|*]] {{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{7}</math>=[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Fișier:AffineB7.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{7}</math>=[4,3<sup>5</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{7}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>[[:Fișier:AffineD7.svg|*]] {{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{7}</math>=[3<sup>3,3,1</sup>]<br/>[[:Fișier:AffineE7.svg|*]] {{CDD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|-  
!9
|<math>{\tilde{A}}_{8}</math>=[3<sup>[9]</sup>]<br/>[[:Fișier:AffineA8.svg|*]] {{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{8}</math>=[4,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{8}</math>=[4,3<sup>6</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{8}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|<math>{\tilde{E}}_{8}</math>=[3<sup>5,2,1</sup>]<br/>[[:Fișier:E9-AffineE8.svg|*]] {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-  
!10
|<math>{\tilde{A}}_{9}</math>=[3<sup>[10]</sup>]<br/>[[:Fișier:AffineA9.svg|*]] {{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|<math>{\tilde{B}}_{9}</math>=[4,3<sup>6</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{C}}_{9}</math>=[4,3<sup>7</sup>,4]<br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}
|<math>{\tilde{D}}_{9}</math>=[3<sup>1,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>{{CDD|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node|3|node|split1|nodes}}
|-  
!11
|...
|...
|...
|...
|}

== Grupuri Coxeter hiperbolice ==
Există multe grupuri Coxeter hiperbolice infinite. Grupurile hiperbolice sunt clasificate ca fiind compacte sau nu, grupurile compacte având domenii fundamentale delimitate. Grupurile hiperbolice compacte de simplexuri (''simplexuri Lannér'') există de ordinele 3&nbsp;–&nbsp;5. Grupurile paracompacte de simplexuri (''simplexuri Koszul'') există până la ordinul 10. Grupurile hipercompacte (''politopurile Vinberg'') au fost explorate, dar nu sunt explorate complet. În 2006, Allcock a demonstrat că există infinit de multe politopuri Vinberg compacte pentru dimensiuni până la 6 și infinit de multe politopuri Vinberg cu volum finit pentru dimensiuni până la 19,<ref>{{en icon}} {{cite journal|last=Allcock|first=Daniel|title=Infinitely many hyperbolic Coxeter groups through dimension 19|journal=Geometry & Topology|date=11 July 2006|volume=10|issue=2|pages=737–758|doi=10.2140/gt.2006.10.737|arxiv=0903.0138}}</ref> astfel că o enumerare completă nu este posibilă. Toate aceste domenii reflexive fundamentale, atât simpliciale cât și nesimpliciale, sunt adesea numite ''politopuri Coxeter'' sau uneori mai puțin precis ''poliedre Coxeter''.

=== Grupuri hiperbolice în H<sup>2</sup> ===
<!-- {{Articol principal|Pavări uniforme în planul hiperbolic}} -->
{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ [[Modelul discului Poincaré]], [[domeniu fundamental |domeniul fundamental]] [[grupul triunghiului |triunghiuri]]
|-
!colspan=5|Exemple cu triunghiuri dreptunghice [p,q]
|- 
|[[Fișier:H2checkers 237.png|80px]]<br/>[3,7]
|[[Fișier:H2checkers 238.png|80px]]<br/>[3,8]
|[[Fișier:Hyperbolic domains 932 black.png|80px]]<br/>[3,9]
|[[Fișier:H2checkers 23i.png|80px]]<br/>[3,&infin;]
|- 
|[[Fișier:H2checkers 245.png|80px]]<br/>[4,5]
|[[Fișier:H2checkers 246.png|80px]]<br/>[4,6]
|[[Fișier:H2checkers 247.png|80px]]<br/>[4,7]
|[[Fișier:H2checkers 248.png|80px]]<br/>[4,8]
|[[Fișier:H2checkers 24i.png|80px]]<br/>[&infin;,4]
|- 
|[[Fișier:H2checkers 255.png|80px]]<br/>[5,5]
|[[Fișier:H2checkers 256.png|80px]]<br/>[5,6]
|[[Fișier:H2checkers 257.png|80px]]<br/>[5,7]
|[[Fișier:H2checkers 266.png|80px]]<br/>[6,6]
|[[Fișier:H2checkers 2ii.png|80px]]<br/>[&infin;,&infin;]
|- 
!colspan=5|Exemple cu triunghiuri oarecare [(p,q,r)]
|- 
|[[Fișier:H2checkers 334.png|80px]]<br/>[(3,3,4)]
|[[Fișier:H2checkers 335.png|80px]]<br/>[(3,3,5)]
|[[Fișier:H2checkers 336.png|80px]]<br/>[(3,3,6)]
|[[Fișier:H2checkers 337.png|80px]]<br/>[(3,3,7)]
|[[Fișier:H2checkers 33i.png|80px]]<br/>[(3,3,&infin;)]
|- 
|[[Fișier:H2checkers 344.png|80px]]<br/>[(3,4,4)]
|[[Fișier:H2checkers 366.png|80px]]<br/>[(3,6,6)]
|[[Fișier:H2checkers 3ii.png|80px]]<br/>[(3,&infin;,&infin;)]
|[[Fișier:H2checkers 666.png|80px]]<br/>[(6,6,6)]
|[[Fișier:Infinite-order triangular tiling.svg|80px]]<br/>[(&infin;,&infin;,&infin;)]
|}
[[Grup triunghiular |Grupul triunghiular]] hiperbolic bidimensional există ca diagrame Coxeter de ordinul 3, definite prin triunghiul (p q r) pentru:
:<math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}<1</math>.

Există infinit de multe grupuri Coxeter hiperbolice compacte triunghiulare, care conțin grafuri liniare și triunghiulare. Grafurile liniare există pentru triunghiurile dreptunghice (cu r=2).<ref>{{en icon}} [http://www.math.ohio-state.edu/~mdavis/davisbook.pdf ''The Geometry and Topology of Coxeter Groups'', Michael W. Davis, 2008] p. 105 Table 6.2. Hyperbolic diagrams</ref>
{| class="wikitable"
|+ Grupuri Coxeter hiperbolice compacte
|-
!Liniar
!Ciclic
|- valign=top
|'''[[Pavare hiperbolică regulată|∞]]''' [p,q], {{CDD|node|p|node|q|node}}: <br/>2(p+q)&lt;pq<br/>
{{CDD|node|7|node|3|node}}<br/>
{{CDD|node|8|node|3|node}}<br/>
{{CDD|node|9|node|3|node}}<br/>
...<br/>
{{CDD|node|5|node|4|node}}<br/>
{{CDD|node|6|node|4|node}}<br/>
...<br/>
{{CDD|node|5|node|5|node}}<br/>
{{CDD|node|6|node|5|node}}<br/>
...<br/>
|∞ [(p,q,r)], {{CDD|pqr}}: p+q+r&gt;9<br/>
{| class=wikitable
|- valign=top
| 
{{CDD|3|node|4|node|3|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|4|node|4|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|4|node|4|node|4}}<br/>
|
{{CDD|3|node|5|node|3|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|5|node|4|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|5|node|4|node|4}}<br/>
{{CDD|3|node|5|node|5|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|5|node|5|node|4}}<br/>
{{CDD|3|node|5|node|5|node|5}}
|
{{CDD|3|node|6|node|3|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|4|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|4|node|4}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|5|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|5|node|4}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|5|node|5}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|6|node|3}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|6|node|4}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|6|node|5}}<br/>
{{CDD|3|node|6|node|6|node|6}}
|
{{CDD|3|node|7|node|3|node|3}}<br/>
...
|}
|}

Grupurile Coxeter paracompacte de ordinul 3<br/>există ca limită a celor compacte.
{| class=wikitable
|-
!Grafuri liniare
!Grafuri ciclice
|- valign=top
|
*[p,∞] {{CDD|node|p|node|infin|node}}
*[∞,∞] {{CDD|node|infin|node|infin|node}}
|
*[(p,q,∞)] {{CDD|3|node|p|node|q|node|infin|3}}
*[(p,∞,∞)] {{CDD|3|node|p|node|infin|node|infin|3}}
*[(∞,∞,∞)] {{CDD|3|node|infin|node|infin|node|infin|3}}
|}
{{-}}
==== Grupul triunghiular aritmetic ====
Grupurile triunghiulare hiperbolice care sunt și [[grup aritmetic |grupuri aritmetice]] formează o submulțime finit. Lista completă a fost făcută cu ajutorul calculatorului de Kisao Takeuchi în lucrarea sa din 1977 ''Arithmetic triangle groups'' ({{ro|Grupuri triunghiulare aritmetice}}).<ref>{{en icon}} {{cite journal|url=http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.jmsj/1240433796 |title=TAKEUCHI : Arithmetic triangle groups |journal=Journal of the Mathematical Society of Japan |volume=29 |issue=1 |pages=91–106 |publisher=Projecteuclid.org |date= January 1977|access-date=2013-07-05|doi=10.2969/jmsj/02910091 |last1=Takeuchi |first1=Kisao |doi-access=free }}</ref> Există 85 în total, 76 compacte și 9 paracompacte.
{| class=wikitable
|-
!Triunghiuri dreptunghice (p q 2)
!Triunghiuri oarecare (p q r)
|- valign=top
|Grupuri compacte: (76)
: {{CDD|node|3|node|7|node}}, {{CDD|node|3|node|8|node}}, {{CDD|node|3|node|9|node}}, {{CDD|node|3|node|10|node}}, {{CDD|node|3|node|11|node}}, {{CDD|node|3|node|12|node}}, {{CDD|node|3|node|14|node}}, {{CDD|node|3|node|16|node}}, {{CDD|node|3|node|18|node}}, {{CDD|node|3|node|2x|4|node}}, {{CDD|node|3|node|3x|0x|node}}
: {{CDD|node|4|node|5|node}}, {{CDD|node|4|node|6|node}}, {{CDD|node|4|node|7|node}}, {{CDD|node|4|node|8|node}}, {{CDD|node|4|node|10|node}}, {{CDD|node|4|node|12|node}}, {{CDD|node|4|node|18|node}}
: {{CDD|node|5|node|5|node}}, {{CDD|node|5|node|6|node}}, {{CDD|node|5|node|8|node}}, {{CDD|node|5|node|10|node}}, {{CDD|node|5|node|20|node}}, {{CDD|node|5|node|3x|0x|node}}
: {{CDD|node|6|node|6|node}}, {{CDD|node|6|node|8|node}}, {{CDD|node|6|node|12|node}}, {{CDD|node|7|node|7|node}}, {{CDD|node|7|node|14|node}}
: {{CDD|node|8|node|8|node}}, {{CDD|node|8|node|16|node}}, {{CDD|node|9|node|18|node}}, {{CDD|node|10|node|10|node}}, {{CDD|node|12|node|12|node}}, {{CDD|node|12|node|2x|4|node}}, {{CDD|node|15|node|3x|0x|node}}, {{CDD|node|18|node|18|node}}
Triunghiuri dreptunghice paracompacte: (4)
: {{CDD|node|3|node|infin|node}}, {{CDD|node|4|node|infin|node}}, {{CDD|node|6|node|infin|node}}, {{CDD|node|infin|node|infin|node}}
|Triunghiuri oarecare: (39)
: {{CDD|3|node|3|node|3|node|4}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|5}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|6}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|7}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|8}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|9}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|12}}, {{CDD|3|node|3|node|3|node|15}}
: {{CDD|3|node|3|node|4|node|4}}, {{CDD|3|node|3|node|4|node|6}}, {{CDD|3|node|3|node|4|node|12}}, {{CDD|3|node|3|node|5|node|5}}, {{CDD|3|node|3|node|6|node|6}}, {{CDD|3|node|3|node|6|node|18}}, {{CDD|3|node|3|node|8|node|8}}, {{CDD|3|node|3|node|8|node|2x|4}}, {{CDD|3|node|3|node|10|node|3x|0x}}, {{CDD|3|node|3|node|12|node|12}}
: {{CDD|3|node|4|node|4|node|4}}, {{CDD|3|node|4|node|4|node|5}}, {{CDD|3|node|4|node|4|node|6}}, {{CDD|3|node|4|node|4|node|9}}, {{CDD|3|node|4|node|5|node|5}}, {{CDD|3|node|4|node|6|node|6}}, {{CDD|3|node|4|node|8|node|8}}, {{CDD|3|node|4|node|16|node|16}}
: {{CDD|3|node|5|node|5|node|5}}, {{CDD|3|node|5|node|5|node|10}}, {{CDD|3|node|5|node|5|node|15}}, {{CDD|3|node|5|node|10|node|10}}
: {{CDD|3|node|6|node|6|node|6}}, {{CDD|3|node|6|node|12|node|12}}, {{CDD|3|node|6|node|2x|4|node|2x|4}}, {{CDD|3|node|7|node|7|node|7}}, {{CDD|3|node|8|node|8|node|8}}, {{CDD|3|node|9|node|9|node|9}}, {{CDD|3|node|9|node|18|node|18}}, {{CDD|3|node|12|node|12|node|12}}, {{CDD|3|node|15|node|15|node|15}}
Triunghiuri oarecare paracompacte: (5)
: {{CDD|3|node|3|node|3|node|infin}}, {{CDD|3|node|3|node|infin|node|infin}}, {{CDD|3|node|4|node|4|node|infin}}, {{CDD|3|node|6|node|6|node|infin}}, {{CDD|3|node|infin|node|infin|node|infin}}
|- valign=top
|
: (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9), (2 3 10), (2 3 11), (2 3 12), (2 3 14), (2 3 16), (2 3 18), (2 3 24), (2 3 30) 
: (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7), (2 4 8), (2 4 10), (2 4 12), (2 4 18), 
: (2 5 5), (2 5 6), (2 5 8), (2 5 10), (2 5 20), (2 5 30)
: (2 6 6), (2 6 8), (2 6 12)
: (2 7 7), (2 7 14), (2 8 8), (2 8 16), (2 9 18)
: (2 10 10) (2 12 12) (2 12 24), (2 15 30), (2 18 18)

: (2 3 ∞) (2,4 ∞) (2,6 ∞) (2 ∞ ∞) 
|
: (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6), (3 3 7), (3 3 8), (3 3 9), (3 3 12), (3 3 15)
: (3 4 4), (3 4 6), (3 4 12), (3 5 5), (3 6 6), (3 6 18), (3 8 8), (3 8 24), (3 10 30), (3 12 12)
: (4 4 4), (4 4 5), (4 4 6), (4 4 9), (4 5 5), (4 6 6), (4 8 8), (4 16 16)
: (5 5 5), (5 5 10), (5 5 15), (5 10 10)
: (6 6 6), (6 12 12), (6 24 24) 
: (7 7 7) (8 8 8) (9 9 9) (9 18 18) (12 12 12) (15 15 15)

: (3,3 ∞) (3 ∞ ∞) 
: (4,4 ∞) (6 6 ∞) (∞ ∞ ∞)
|}

==== Grupuri ale poligoanelor hiperbolice altele decât triunghiurile ====
{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ Domenii fundamentale ale grupurilor patrulatere
|-  valign=top
|[[Fișier:Hyperbolic domains 3222.png|100px]]<br/>{{CDD|node|infin|node|3|node|infin|node}} or {{CDD|branch|2a2b-cross|nodes}}<br/>[&infin;,3,&infin;]<br/>[i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,3,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>]<br/>(*3222)
|[[Fișier:Hyperbolic domains 2233.png|100px]]<br/>{{CDD|labelinfin|branch|split2|node|infin|node}} or {{CDD|branch|3a2b-cross|nodes}}<br/>[((3,&infin;,3)),&infin;]<br/>[((3,i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,3)),i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>]<br/>(*3322)
|[[Fișier:H2chess 246a.png|100px]]<br/>{{CDD|labelinfin|branch|3ab|branch|labelinfin}} or {{CDD|branch|2a2b-cross|branch}}<br/>[(3,&infin;)<sup>[2]</sup>]<br/>[(3,i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,3,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>)]<br/>(*3232)
|[[Fișier:H2chess 248a.png|100px]]<br/>{{CDD|labelinfin|branch|4a4b|branch|labelinfin}} or {{CDD|label4|branch|2a2b-cross|branch|label4}}<br/>[(4,&infin;)<sup>[2]</sup>]<br/>[(4,i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,4,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>)]<br/>(*4242)
|[[Fișier:H2chess 246b.png|100px]]<br/>{{CDD|branch|3a3b-cross|branch}}<br/><br/><br/>(*3333)
|- 
!colspan=4|Domenii cu vârfuri ideale
|-  valign=top
|[[Fișier:Hyperbolic domains i222.png|100px]]<br/>{{CDD|labelinfin|branch|2a2b-cross|nodes}}<br/>[i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,&infin;,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>]<br/>(*∞222)
|[[Fișier:Hyperbolic domains ii22.png|100px]]<br/>{{CDD|labelinfin|branch|ia2b-cross|nodes}}<br/><br/>(*∞∞22)
|[[Fișier:H2chess 24ia.png|100px]]<br/>{{CDD|labelinfin|branch|2a2b-cross|branch|labelinfin}}<br/>[(i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,&infin;,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>,&infin;)]<br/>(*2∞2∞)
|[[Fișier:H2chess 24ib.png|100px]]<br/>{{CDD|labelinfin|branch|iaib-cross|branch|labelinfin}}<br/><br/>(*∞∞∞∞)
|[[Fișier:H2chess 248b.png|100px]]<br/>{{CDD|label4|branch|4a4b-cross|branch|label4}}<br/><br/>(*4444)
|}

Alte caleidoscoape hiperbolice H<sup>2</sup> pot fi construite din poligoane de ordin superior. La fel ca grupul triunghiular aceste caleidoscoape pot fi identificate printr-o secvență ciclică a ordinii de intersecție a oglinzilor în jurul domeniului fundamental, ca (a b c d ...), sau echivalent în [[notația orbifold]] ca *''abcd''.... Diagramele Coxeter–Dynkin pentru aceste caleidoscoape poligonale pot fi văzute ca domenii fundamentale degenerate de (''n''&minus;1)-simplexuri, cu o ordine a ramurilor ciclică de ordinul a,b,c... și restul de n*(n–3) / 2 ramuri sunt etichetate ca infinite (∞) reprezentând oglinzile care nu se intersectează. Singurul exemplu nehiperbolic este simetria euclidiană cu patru oglinzi într-un [[pavare pătrată |pătrat]] sau dreptunghi ca {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}, [&infin;,2,&infin;] (orbifold *2222). O altă reprezentare a ramurilor pentru oglinzile care nu se intersectează este folosită de [[Ernest Borisovich Vinberg |Vinberg]] care notează ramurile infinite cu linii punctate sau întrerupte, astfel încât această diagramă poate fi afișată ca {{CDD|nodes|2a2b-cross|nodes}}, cu patru ramuri de ordinul 2 suprimate în jurul perimetrului.

De exemplu, un domeniu patrulater (a b c d) va avea două ramuri de ordin infinit care conectează oglinzile [[Teorema ultraparalelelor |ultratraparalele]]. Cel mai mic exemplu hiperbolic este {{CDD|node|infin|node|3|node|infin|node}}, [&infin;,3,&infin;] saur [i&pi;/&lambda;<sub>1</sub>,3,i&pi;/&lambda;<sub>2</sub>] (orbifold *3222), unde (λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>) sunt distanța dintre oglinzile ultraparalele. Expresia alternativă este {{CDD|branch|2a2b-cross|nodes}}, cu trei ramuri de ordinul 2 suprimate în jurul perimetrului. Similar (2 3 2 3) (orbifold *3232) poate fi reprezentat ca {{CDD|branch|2a2b-cross|branch}}, iar (3 3 3 3), (orbifold *3333) poate fi reprezentat ca un graf complet {{CDD|branch|3a3b-cross|branch}}.

Cel mai înalt domeniu patrulater (∞ ∞ ∞ ∞) este un pătrat infinit, reprezentat printr-un graf tetraedric complet 4 ramuri pe perimetru ca [[punct ideal |vârfuri ideale]] și două ramuri diagonale infinite (prezentate ca linii punctate) pentru oglinzi ultraparalele: {{CDD|labelinfin|branch|iaib-cross|branch|labelinfin}}.

=== Compacte (grupuri simpliciale Lannér) ===
Grupurile hiperbolice compacte se numesc grupuri Lannér după [[Folke Lannér]] care le-a studiat prima dată în 1950.<ref>{{en icon}} Folke Lannér, ''On complexes with transitive groups of automorphisms'', Comm. Sém., Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] 11 (1950) [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0042129]</ref> Ele există doar sub forma grafurilor de ordinul 4 și 5. Coxeter a studiat grupurile Coxeter hiperbolice liniare în lucrarea sa din 1954 ''Regular Honeycombs in hyperbolic space'' ({{ro|Faguri regulați în spațiul hiperbolic}}),<ref>{{en icon}} [http://www.mathunion.org/ICM/ICM1954.3/Main/icm1954.3.0155.0169.ocr.pdf ''Regular Honeycombs in hyperbolic space''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160610043106/http://www.mathunion.org/ICM/ICM1954.3/Main/icm1954.3.0155.0169.ocr.pdf |date=2016-06-10 }}, Coxeter, 1954</ref> care conțin două soluții raționale în 4-spațiul hiperbolic: [5/2,5,3,3] = {{CDD|node|5|rat|2x|node|5|node|3|node|3|node}} și [5,5/2,5,3] = {{CDD|node|5|node|5|rat|2x|node|5|node|3|node}}.

==== Ordinele 4–5 ====
<!-- {{Articol principal|Faguri uniformi în spațiul hiperbolic}} -->
Domeniul fundamental al oricăruia dintre cele două grupuri bifurcante, [5,3<sup>1,1</sup>] și [5,3,3<sup>1,1</sup>], este dublu față de cel al unui grup liniar corespunzător, [5,3,4] și respectiv [5,3,3,4]. Notațiile literale au fost date de [[Norman Johnson]] ca extensii ale simbolurilor [[Ernst Witt |Witt]].<ref name=johnson2018>{{en icon}} [[Norman Johnson]], ''Geometries and Transformations'' (2018), Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups, 13.6 Lorentzian lattices</ref>
{| class="wikitable"
|+ Grupuri Coxeter hiperbolice compacte
|-
! valign=top|Dimensiune<br/>'''H<sup>d</sup>'''
! valign=top|Ordin
! valign=top|Nr. total
! valign=top|Liniar
! valign=top|Bifurcat
! valign=top|Ciclic
|-
!'''H<sup>3</sup>'''
!4
!9
| valign=top align=right|'''3:'''
<math>{\overline{BH}}_3</math> = [4,3,5]: {{CDD|node|4|node|3|node|5|node}}<br/>
<math>{\overline{K}}_3</math> = [5,3,5]: {{CDD|node|5|node|3|node|5|node}}<br/>
<math>{\overline{J}}_3</math> = [3,5,3]: {{CDD|node|3|node|5|node|3|node}}
| valign=top align=right|
<math>{\overline{DH}}_3</math> = [5,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|node|5|node|split1|nodes}}
| valign=top align=right|
<math>{\widehat{AB}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,4)]: {{CDD|label4|branch|3ab|branch}}&nbsp;<br/>
<math>{\widehat{AH}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,5)]: {{CDD|label5|branch|3ab|branch}}&nbsp;<br/>
<math>{\widehat{BB}}_3</math> = [(3,4)<sup>[2]</sup>]: {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label4}}<br/>
<math>{\widehat{BH}}_3</math> = [(3,4,3,5)]: {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label5}}<br/>
<math>{\widehat{HH}}_3</math> = [(3,5)<sup>[2]</sup>]: {{CDD|label5|branch|3ab|branch|label5}}
|-
!'''H<sup>4</sup>'''
!5
!5
| valign=top align=right|'''3:'''
<math>{\overline{H}}_4</math> = [3<sup>3</sup>,5]: {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|5|node}}<br/>
<math>{\overline{BH}}_4</math> = [4,3,3,5]: {{CDD|node|4|node|3|node|3|node|5|node}}<br/>
<math>{\overline{K}}_4</math> = [5,3,3,5]: {{CDD|node|5|node|3|node|3|node|5|node}}
| valign=top align=right|
<math>{\overline{DH}}_4</math> = [5,3,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|node|5|node|3|node|split1|nodes}}
| valign=top align=right|
<math>{\widehat{AF}}_4</math> = [(3<sup>4</sup>,4)]: {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}
|}

=== Paracompacte (grupuri simpliciale Koszul) ===
[[Fișier:Hyperbolic apeirogon example.png|thumb|Un exemplu de [[pavare apeirogonală de ordinul 3]], {&infin;,3} cu un [[apeirogon]] verde și [[oriciclu]]l său circumscris]]
Grupurile Coxeter hiperbolice paracompacte (numite și necompacte) conțin subgrupuri afine și au domenii fundamentale simpliciale asimptotice. Cel mai înalt [[grup Coxeter]] hiperbolic paracompact este de ordinul 10. Aceste grupuri poartă numele matematicianului francez [[Jean-Louis Koszul]].<ref>{{en icon}} J. L. Koszul, ''Lectures on hyperbolic Coxeter groups'', University of Notre Dame (1967) </ref> Sunt numite și grupuri cvasi-Lannér care extind grupurile Lannér compacte. S-a stabilit că lista este completă prin căutare computerizată de către M. Chein și publicată în 1969.<ref>{{fr icon}} M. Chein, [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0294181 ''Recherche des graphes des matrices de Coxeter hyperboliques d’ordre ≤10''], Rev. Française Informat. Recherche Opérationnelle 3 (1969), no. Ser. R-3, 3–16</ref>

După Vinberg, toate cu excepția a opt dintre aceste 72 de simplexuri compacte paracompacte sunt aritmetice. Două dintre grupurile nearitmetice sunt compacte: {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label5}} și {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|split2|node}}. Celelalte șase grupuri nearitmetice sunt toate paracompacte, cu cinci grupuri tridimensionale {{CDD|node|5|node|3|node|6|node}}, {{CDD|node|5|node|split1|branch}}, {{CDD|node|3|node|3|node|6|node}}, {{CDD|label4|branch|3ab|branch|label6}}, și {{CDD|label5|branch|3ab|branch|label6}}, și unul 5-dimensional {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}.

==== Simplexuri ideale ====
[[Fișier:Infinite-order triangular tiling.svg|thumb|200px|Domeniile fundamentale ideale a {{CDD|labelinfin|branch|split2-ii|node}}, [(&infin;,&infin;,&infin;)] prezentate în modelul discului Poincaré]]

Există 5 grupuri Coxeter hiperbolice care reprezintă ''simplexuri ideale'', grafuri în care îndepărtarea unui nod oarecare le transformă într-un grup Coxeter afin. Astfel, toate vârfurile acestui simplex ideal sunt la infinit.<ref>{{en icon}} [https://arxiv.org/abs/1012.1046 Subalgebras of hyperbolic Kay-Moody algebras], Figure 5.1, p.13</ref>
{| class=wikitable
|-
!Ordin
!colspan=2|Grup ideal
!colspan=2|Subgrup afin
|- 
!3
| [(&infin;,&infin;,&infin;)]||{{CDD|labelinfin|branch|split2-ii|node}}
|[&infin;]||{{CDD|node|infin|node}}
|- 
!4
| [4<sup>[4]</sup>]||{{CDD|label4|branch|4-4|branch|label4}}
|[4,4]||{{CDD|node|4|node|4|node}}
|- 
!4
| [3<sup>[3,3]</sup>]||{{CDD|tet}}
| [3<sup>[3]</sup>]||{{CDD|node|split1|branch}}
|- 
!4
| [(3,6)<sup>[2]</sup>]||{{CDD|label6|branch|3ab|branch|label6}}
|[3,6]||{{CDD|node|3|node|6|node}}
|- 
!6
| [(3,3,4)<sup>[2]</sup>]||{{CDD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch|label4}}
|[4,3,3,4], [3,4,3,3]||{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}, {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}
|}

==== Ordinele 4–10 ====
[[Fișier:633 honeycomb one cell horosphere.png|thumb|Celulele euclidiene infinite, cum ar fi o [[pavare hexagonală]], scalate corespunzător converg într-un singur [[punct ideal]] la infinit, ca [[fagure pavare hexagonală |fagurele pavare hexagonală]], {6,3,3}, așa cum se arată cu această singură celulă într-o proiecție a modelului discului Poincaré]]
<!-- {{Articol principal|Fagure uniform paracompact}} -->
Există un total de 58 de grupuri Coxeter hiperbolice paracompacte de la ordinul 4 până la 10. Toate cele 58 sunt grupate mai jos în cinci categorii. Simbolurile literale sunt date de Johnson ca ''simboluri Witt extinse'', folosind PQRSTWUV din simbolurile Witt afine și adăugând LMNOXYZ. Pentru scheme ciclice aceste grupuri hiperbolice primesc o suprabarare sau o acoladă unghiulară. [[Notația Coxeter]] cu paranteze este o reprezentare liniarizată a grupului Coxeter.
{| class=wikitable
|+ Grupuri hiperbolice paracompacte
|- 
!Ordin!!Nr. total!!colspan=4|Grupuri
|- 
!4 !!23
|align=right|
<math>{\widehat{BR}}_3</math> = [(3,3,4,4)]: {{CDD|label4|branch|4-3|branch|2}}<br/>
<math>{\widehat{CR}}_3</math> = [(3,4<sup>3</sup>)]: {{CDD|label4|branch|4-3|branch|label4}}<br/>
<math>{\widehat{RR}}_3</math> = [4<sup>[4]</sup>]: {{CDD|label4|branch|4-4|branch|label4}}<br/>
<math>{\widehat{AV}}_3</math> = [(3<sup>3</sup>,6)]: {{CDD|label6|branch|3ab|branch|2}}<br/>
<math>{\widehat{BV}}_3</math> = [(3,4,3,6)]: {{CDD|label6|branch|3ab|branch|label4}}<br/>
<math>{\widehat{HV}}_3</math> = [(3,5,3,6)]: {{CDD|label6|branch|3ab|branch|label5}}<br/>
<math>{\widehat{VV}}_3</math> = [(3,6)<sup>[2]</sup>]: {{CDD|label6|branch|3ab|branch|label6}}
|align=right|
<math>{\overline{P}}_3</math> = [3,3<sup>[3]</sup>]: {{CDD|branch|split2|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{BP}}_3</math> = [4,3<sup>[3]</sup>]: {{CDD|branch|split2|node|4|node}}<br/>
<math>{\overline{HP}}_3</math> = [5,3<sup>[3]</sup>]: {{CDD|branch|split2|node|5|node}}<br/>
<math>{\overline{VP}}_3</math> = [6,3<sup>[3]</sup>]: {{CDD|branch|split2|node|6|node}}<br/>
<math>{\overline{DV}}_3</math> = [6,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2|node|6|node}}<br/>
<math>{\overline{O}}_3</math> = [3,4<sup>1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2-44|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{M}}_3</math> = [4<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2-44|node|4|node}}
|align=right|
<math>{\overline{R}}_3</math> = [3,4,4]: {{CDD|node|4|node|4|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{N}}_3</math> = [4<sup>3</sup>]: {{CDD|node|4|node|4|node|4|node}}<br/>
<math>{\overline{V}}_3</math> = [3,3,6]: {{CDD|node|3|node|3|node|6|node}}<br/>
<math>{\overline{BV}}_3</math> = [4,3,6]: {{CDD|node|4|node|3|node|6|node}}<br/>
<math>{\overline{HV}}_3</math> = [5,3,6]: {{CDD|node|5|node|3|node|6|node}}<br/>
<math>{\overline{Y}}_3</math> = [3,6,3]: {{CDD|node|3|node|6|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{Z}}_3</math> = [6,3,6]: {{CDD|node|6|node|3|node|6|node}}
|align=right|
<math>{\overline{DP}}_3</math> = [3<sup>[]x[]</sup>]: {{CDD|node|split1|branch|split2|node}}<br/>
<math>{\overline{PP}}_3</math> = [3<sup>[3,3]</sup>]: {{CDD|tet}}
|- 
!5 !!9
|align=right|
<math>{\overline{P}}_4</math> = [3,3<sup>[4]</sup>]: {{CDD|node|split1|nodes|split2|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{BP}}_4</math> = [4,3<sup>[4]</sup>]: {{CDD|node|split1|nodes|split2|node|4|node}}<br/>
<math>{\widehat{FR}}_4</math> = [(3<sup>2</sup>,4,3,4)]: {{CDD|branch|4-4|nodes|split2|node}}<br/>
<math>{\overline{DP}}_4</math> = [3<sup>[3]x[]</sup>]: {{CDD|node|split1|branchbranch|split2|node}}
|align=right|
<math>{\overline{N}}_4</math> = [4,3,((4,2,3))]: {{CDD|nodes|split2-43|node|3|node|4|node}}<br/>
<math>{\overline{O}}_4</math> = [3,4,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2|node|4|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{S}}_4</math> = [4,3<sup>2,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2-43|node|3|node|3|node}}
|align=right|
<math>{\overline{R}}_4</math> = [(3,4)<sup>2</sup>]: {{CDD|node|4|node|3|node|4|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{M}}_4</math> = [4,3<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|4|node}}
|- 
!6 !!12
|align=right|
<math>{\overline{P}}_5</math> = [3,3<sup>[5]</sup>]: {{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br/>
<math>{\widehat{AU}}_5</math> = [(3<sup>5</sup>,4)]: {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}<br/>
<math>{\widehat{AR}}_5</math> = [(3,3,4)<sup>[2]</sup>]: {{CDD|label4|branch|3ab|nodes|3ab|branch|label4}}
|align=right|
<math>{\overline{S}}_5</math> = [4,3,3<sup>2,1</sup>]: {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>
<math>{\overline{O}}_5</math> = [3,4,3<sup>1,1</sup>]: {{CDD|nodes|split2|node|3|node|4|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{N}}_5</math> = [3,(3,4)<sup>1,1</sup>]: {{CDD|node|3|node|split1|nodes|4a4b|nodes}}
|align=right| 
<math>{\overline{U}}_5</math> = [3<sup>3</sup>,4,3]: {{CDD|node|3|node|3|node|3|node|4|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{X}}_5</math> = [3,3,4,3,3]: {{CDD|node|3|node|3|node|4|node|3|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{R}}_5</math> = [3,4,3,3,4]: {{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_5</math> = [3<sup>2,1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node|3|node}}<br/>
<math>{\overline{M}}_5</math> = [4,3,3<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node|4|node}}<br/>
<math>{\overline{L}}_5</math> = [3<sup>1,1,1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|split1|nodes}}
|- 
!7 !!3
|align=right|
<math>{\overline{P}}_6</math> = [3,3<sup>[6]</sup>]:<br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_6</math> = [3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{S}}_6</math> = [4,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|
|- 
!8 !!4
|align=right|<math>{\overline{P}}_7</math> = [3,3<sup>[7]</sup>]:<br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_7</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/> {{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{S}}_7</math> = [4,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/> {{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{T}}_7</math> = [3<sup>3,2,2</sup>]:<br/>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node}}
|- 
!9 !!4
|align=right|<math>{\overline{P}}_8</math> = [3,3<sup>[8]</sup>]:<br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_8</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{S}}_8</math> = [4,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{T}}_8</math> = [3<sup>4,3,1</sup>]:<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|- 
!10 !!4
|align=right|<math>{\overline{P}}_9</math> = [3,3<sup>[9]</sup>]:<br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|align=right|<math>{\overline{Q}}_9</math> = [3<sup>1,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{S}}_9</math> = [4,3<sup>5</sup>,3<sup>2,1</sup>]:<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}
|align=right|<math>{\overline{T}}_9</math> = [3<sup>6,2,1</sup>]:<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}

===== Relațiile subgrupurilor grupurilor hiperbolice paracompacte =====
Acești arbori reprezintă relațiile subgrupurilor grupurilor hiperbolice paracompacte. Indicii de subgrup pe fiecare conexiune sunt colorați în roșu.<ref>{{en icon}} {{cite journal|doi=10.1016/S0024-3795(01)00477-3|title=Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups|journal=Linear Algebra and Its Applications|volume=345|issue=1–3|pages=119–147|year=2002|last1=Johnson|first1=N.W.|last2=Kellerhals|first2=R.|last3=Ratcliffe|first3=J.G.|last4=Tschantz|first4=S.T.|doi-access=free}}</ref> Subgrupurile cu indicele 2 reprezintă o eliminare a oglinzii și dublarea fundamentală a domeniului. Altele pot fi deduse inferând [[Comensurabilitate (matematică) |comensurabilitatea]] (raportul întreg al volumelor) pentru domeniile tetraedrice.
{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=4|Arborii subgrupului
|-
!H<sup>3</sup>
|[[Fișier:Hyperbolic subgroup tree 36.png|320px]]
|[[Fișier:Hyperbolic subgroup tree 336-direct.png|160px]]
|[[Fișier:Hyperbolic subgroup tree 363.png|160px]]
|[[Fișier:Hyperbolic subgroup tree 344.png|210px]]
|-
!H<sup>4</sup>
|[[Fișier:Hyperbolic subgroup tree 3434.png|320px]]
|-
!H<sup>5</sup>
|[[Fișier:Hyperbolic subgroup tree 33343.png|320px]]
|}

=== Grupuri Coxeter hipercompacte (politopuri Vinberg) ===
La fel cum planul hiperbolic H<sup>2</sup> are domenii poligonale netriunghiulare, există și domenii hiperbolice reflexive cu dimensiuni superioare. Aceste domenii nesimpliciale pot fi considerate simplexuri degenerate cu oglinzi de ordin infinit care nu se intersectează, sau, într-o diagramă Coxeter, astfel de ramuri sunt trasate cu linii punctate sau întrerupte. Aceste domenii ''nesimpliciale'' sunt numite ''politopuri Vinberg'', după [[algoritmul Vinberg]] pentru găsirea domeniului fundamental nesimplicial al unui [[grup de reflexie |grup de reflexie]] hiperbolică. Geometric, aceste domenii fundamentale pot fi clasificate drept [[Piramidă (geometrie) |piramide]] patrulatere, sau [[Prismă (geometrie) |prisme]] sau alte politopuri cu muchii generate de intersecție a două oglinzi având unghiurile diedre de π/n pentru n&nbsp;=&nbsp;2, 3, 4...&nbsp;.

Într-un domeniu bazat pe un simplex există ''n''+1 oglinzi pentru spațiul ''n''-dimensional. În domeniile nesimpliciale, există mai mult de ''n''+1 oglinzi. Lista este finită, dar nu este complet cunoscută. În schimb, au fost stabilite listele parțiale cu ''n''+''k'' oglinzi pentru ''k''&nbsp;=&nbsp;2, 3 și 4.

Grupurile Coxeter hipercompacte în spațiile tridimensionale sau mai mult diferă de grupurile bidimensionale într-un aspect esențial. Două ''n''-goane hiperbolice având aceleași unghiuri în aceeași ordine ciclică pot avea laturi de lungimi diferite și nu sunt în general [[Congruență (geometrie) |congruente]]. În schimb, ''politopurile Vinberg'' tridimensionale sau mai mult sunt complet determinate de unghiurile diedre. Acest fapt se bazează pe [[Teorema rigidității Mostow]], că două grupuri izomorfe generate de reflexii în H<sup>n</sup> pentru n&nbsp;≥&nbsp;3, definesc domenii fundamentale congruente (politopurile Vinberg).

==== Politopuri Vinberg de ordinul ''n''+2 din spațiul ''n''-dimensional ====
Lista completă a politopurilor Vinberg hiperbolice compacte cu oglinzi de ordinul "n''+2 din spațiul ''n''-dimensional a fost stabilită de F. Esselmann în 1996.<ref>{{en icon}} F. Esselmann, [https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF02566418 ''The classification of compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+2 facets.''], Comment. Math. Helvetici 71 (1996), 229–242</ref> O listă parțială a fost publicată în 1974 de I. M. Kaplinskaya.<ref>{{en icon}} I. M. Kaplinskaya, [https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01153552 ''Discrete groups generated by reflections in the faces of simplicial prisms in Lobachevskian spaces.''], Math. Notes,15 (1974), 88–91</ref> Lista completă a soluțiilor paracompacte a fost publicată de P. Tumarkin în 2003, pentru dimensiuni de la 3 la 17.<ref>{{en icon}} [https://arxiv.org/abs/math/0301133.pdf P. Tumarkin, ''Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets''], (2003)</ref>

Cea mai mică formă paracompactă din H<sup>3</sup> poate fi reprezentată de {{CDD|node|ultra|node|3|node|3|node|ultra|node}}, sau [&infin;,3,3,&infin;] care poate fi construită printr-o îndepărtare în oglindă a grupului hiperbolic paracompact [3,4,4] ca [3,4,1<sup>+</sup>,4]. Domeniul fundamental dublat se schimbă de la un tetraedru la o piramidă patrulateră. Alte piramide includ [4,4,1<sup>+</sup>,4] = [&infin;,4,4,&infin;], {{CDD|node|4|node|4|node_h0|4|node}} = {{CDD|node|ultra|node|4|node|4|node|ultra|node}}. Îndepărtarea unei oglinzi din unele dintre graficele Coxeter hiperbolice ciclice devin grafuri ''papion'': [(3,3,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((3,&infin;,3)),((3,&infin;,3))] sau {{CDD|branchu|split2|node|split1|branchu}}, [(3,4,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((4,&infin;,3)),((3,&infin;,4))] or {{CDD|branchu|split2-43|node|split1-43|branchu}}, [(4,4,4,1<sup>+</sup>,4)] = [((4,&infin;,4)),((4,&infin;,4))] or {{CDD|branchu|split2-44|node|split1-44|branchu}}.

Alte grafuri paracompacte valide cu domenii fundamentale piramide patrulatere includ:
{| class=wikitable
|-
!Dimensiune
!Ordin
!Grafuri
|-
!H<sup>3</sup>
!5
|
: {{CDD|node|ultra|node|3|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|node|ultra|node|3|node|4|node|ultra|node}}, {{CDD|node|ultra|node|4|node|4|node|ultra|node}}, {{CDD|node|ultra|node|3|node|5|node|ultra|node}}, {{CDD|node|ultra|node|3|node|6|node|ultra|node}}
: {{CDD|branchu|split2|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2|node|4|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-43|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-43|node|4|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|4|node|ultra|node}}
: {{CDD|branchu|split2-53|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-54|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-55|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-63|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-64|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-65|node|3|node|ultra|node}}, {{CDD|branchu|split2-66|node|3|node|ultra|node}}
: {{CDD|branchu|split2|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-43|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-53|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-43|node|split1-43|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|split1-43|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-44|node|split1-44|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-54|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-55|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-63|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-64|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-65|node|split1|branchu}}, {{CDD|branchu|split2-66|node|split1|branchu}}
|}

Alt subgrup [1<sup>+</sup>,4<sup>1,1,1</sup>] = [&infin;,4,1<sup>+</sup>,4,&infin;] = [&infin;<sup>[6]</sup>]. {{CDD|node|4|node_h0|split1-44|nodes}} = {{CDD|node|ultra|node|4|node_h0|4|node|ultra|node}} = {{CDD|node|split1-uu|nodes|2a2b-cross|nodes|split2-uu|node}}.<ref>{{en icon}} [[Norman Johnson |Norman W. Johnson]] and Asia Ivic Weiss, [http://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf ''Quadratic Integers and Coxeter Groups''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140326074634/https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf |date=2014-03-26 }}, Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336</ref>

==== Politopuri Vinberg de ordinul ''n''+3 din spațiul ''n''-dimensional ====
Există un număr finit de simplexuri fundamentale degenerate care există până în 8 dimensiuni. Lista completă a politopurilor Vinberg compacte cu oglinzi de ordinul "n''+3 pentru spații ''n''-dimensionale a fost stabilită de P. Tumarkin în 2004. Aceste grupuri sunt etichetate prin linii punctate/întrerupte pentru ramurile ultraparalele. Lista completă a politopurilor Vinberg necompacte cu oglinzi de ordinul ''n''+3 și cu un vârf nesimplu din ''n''-dimensiuni a fost stabilită de Mike Roberts.<ref>{{en icon}} [https://arxiv.org/abs/1511.08451 ''A Classification of Non-Compact Coxeter Polytopes with n+3 Facets and One Non-Simple Vertex'']</ref>

De la dimensiunile 4 până la 8, grupurile Coxeter de ordinele 7 până 11 sunt enumerate ca 44, 16, 3, 1 și respectiv 1.<ref>{{en icon}} [http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/math/0406226v2.pdf P. Tumarkin, ''Compact hyperbolic Coxeter''], (2004)</ref> Cel mai mare a fost descoperit de Bugaenko în 1984 în dimensiunea 8, ordinul 11:<ref>{{en icon}} V. O. Bugaenko, ''Groups of automorphisms of unimodular hyperbolic quadratic forms over the ring Zh√5+12'' i. Moscow Univ. Math. Bull. 39 (1984), 6-14.</ref>
{| class=wikitable
|-
!Dimensiuni
!Ordin
!Cazuri
!colspan=3|Grafuri
|-
!H<sup>4</sup>
!7
||44||colspan=3|...
|-
!H<sup>5</sup>
!8
||16||colspan=3|..
|-
!H<sup>6</sup>
!9
|3
|{{CDD|node|5|node|split1-43|nodes|ua3b|nodes u0|ua3b|nodes|split2-43|node|5|node}}
|{{CDD|node|5|node|3|node|3|node|split1|nodes|3aub|branch|3a|10a|nodea}}
|{{CDD|nodea|5a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3aub|nodes|splitcross|branch|label5}}
|-
!H<sup>7</sup>
!10
|1
|colspan=3|{{CDD|node|split1-53|nodes|3ab|branch|ua3b|branch|3ab|nodes|split2-53|node}}
|-
!H<sup>8</sup>
!11
|1
|colspan=3|{{CDD|nodea|5a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3aub|nodes 0u|3aub|branch|3a|nodea|3a|nodea|5a|nodea}}
|}

==== Politopuri Vinberg de ordinul ''n''+4 din spațiul ''n''-dimensional ====
Există un număr finit de simplexuri fundamentale degenerate până îa 8 dimensiuni. Politopurile compacte Vinberg cu oglinzi de ordinul "n''+4 din spațiul ''n''-dimensional au fost explorate de A. Felikson și P. Tumarkin în 2005.<ref>{{en icon}} Anna Felikson, Pavel Tumarkin, [https://arxiv.org/abs/math/0510238 ''On compact hyperbolic Coxeter d-polytopes with d+4 facets''], (2005)</ref>

== Grupuri lorentziene ==
{| class=wikitable align=right width=240
|+ Faguri regulați cu grupuri lorentziene
|- valign=top
|[[Fișier:Hyperbolic honeycomb 3-3-7 poincare cc.png|120px]]<br/>[[fagure tetraedric de ordinul 7|{3,3,7}]] văzut din afara modelului bilei Poincaré
|[[Fișier:Hyperbolic honeycomb 7-3-3 poincare vc.png|120px]]<br/>[[fagure pavare heptagonală|{7,3,3}]] văzut din afara modelului bilei Poincaré
|}
[[Fișier:6333 coxeter diagrams.png|thumb|Grupuri lorentziene de ordinul 5 aranjate ca subgrupuri ale [6,3,3,3] și [6,3,6,3]. Grupul foarte simetric {{CDD|pent}}, [3<sup>[3,3,3]</sup>] este un subgrup indice 120 al [6,3,3,3] ]]
Grupurile lorentziene pentru domeniile simpliciale pot fi definite ca grafuri dincolo de formele hiperbolice paracompacte. Acestea sunt uneori numite simplexuri superideale și sunt legate de o geometrie lorentziană, numită astfel după [[Hendrik Lorentz]], în domeniul [[teoria relativității restrânse |relativității restrânse]] și [[Teoria relativității generale |generale]] a spațiu–timpului, conținând una (sau mai multe) componente dimensionale „asemănătoare timpului” ale căror produse scalare proprii sunt negative.<ref name=johnson2018/> [[Danny Calegari]] numește acestea grupuri Coxeter ''cocompacte convexe'' în spațiul hiperbolic ''n''-dimensional.<ref>{{en icon}} Danny Calegari, [http://www.cornell.edu/video/danny-calegari-random-groups-diamonds-glass ''Random groups, diamonds and glass''], University of Chicago, 25 June  2014 at the Bill Thurston Legacy Conference</ref><ref>{{en icon}} Danny Calegari, [https://arxiv.org/abs/1411.1506 ''Coxeter groups and random groups''], last revised 4 Apr 2015</ref>

O lucrare din 1982 a lui George Maxwell, ''Sphere Packings and Hyperbolic Reflection Groups'' ({{ro|Împachetarea sferelor și grupuri de reflexie hiperbolice}}), publică lista completă a lorentzienelor de la ordinul 5 la 11. El le numește ''de nivel 2'', adică eliminarea oricărei permutări a 2 noduri duce la un graf finit sau euclidian. Enumerarea sa este completă, dar nu a enumerat grafurile care sunt un subgrup al altuia. Toate grupurile Coxeter cu ramuri de ordin superior lui 4 sunt lorentziene, terminându-se la limită ca un [[graf complet]] 3-simplex ''diagramă Coxeter–Dynkin'' cu 6 ramuri de ordin infinit, care poate fi exprimat ca [&infin;<sup>[3,3]</sup>]. Ordinele 5–11 au un număr finit de grupuri 186, 66, 36, 13, 10, 8 și respectiv 4 grupuri lorentziene.<ref>{{en icon}} {{cite journal|doi=10.1016/0021-8693(82)90318-0|title=Sphere packings and hyperbolic reflection groups|journal=Journal of Algebra|volume=79|pages=78–97|year=1982|last1=Maxwell|first1=George|doi-access=free}}</ref> Un articol din 2013, H. Chen și J.-P. Labbé, ''Lorentzian Coxeter groups and Boyd–Maxwell ball packings'' ({{ro|Grupuri Coxeter lorentziene și impachetări ale sferelor Boyd–Maxwell}}), au recalculat și publicat lista completă.<ref>{{en icon}} Hao Chen, Jean-Philippe Labbé, [https://arxiv.org/abs/1310.8608 ''Lorentzian Coxeter groups and Boyd-Maxwell ball packings'']</ref>

Pentru ordinele superioare 8–11, listele complete sunt:
{| class=wikitable
|+ Grupuri Coxeter lorentziene
|- 
!Ordin
!Nr. total
!colspan=4|Grupuri
|- 
!4
!∞
| colspan="4" style="text-align:left;"| [3,3,7] ... [&infin;,&infin;,&infin;]: {{CDD|node|3|node|3|node|7|node}}... {{CDD|node|infin|node|infin|node|infin|node}}<br/>
[4,3<sup>[3]</sup>] ... [&infin;,&infin;<sup>[3]</sup>]: {{CDD|node|4|node|split1|branch}}... {{CDD|node|infin|node|split1-ii|branch|labelinfin}}<br/>
[5,4<sup>1,1</sup>] ... [&infin;<sup>1,1,1</sup>]: {{CDD|node|5|node|split1-44|nodes}}... {{CDD|node|infin|node|split1-ii|nodes}}<br/>
... [(5,4,3,3)] ... [&infin;<sup>[4]</sup>]: ... {{CDD|label5|branch|4a3b|branch}}... {{CDD|labelinfin|branch|iaib|branch|labelinfin}}<br/>
... [4<sup>[]×[]</sup>] ... [&infin;<sup>[]×[]</sup>]: ... {{CDD|node|split1-ii-i|branch|split2-ii|node}}<br/>
... [4<sup>[3,3]</sup>] ... [&infin;<sup>[3,3]</sup>]
|- 
!5
!186
|...[3<sup>[3,3,3]</sup>]:{{CDD|pent}}...
| colspan="4" style="text-align:left;"|
|- 
!6
!66
| colspan="4" style="text-align:left;"|
|- 
!7
!36
| colspan="4" style="text-align:left;"|[3<sup>1,1,1,1,1,1</sup>]: {{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|splitsplit1|branch3|node}}...
|- 
!8
!13
|align=right|
[3,3,3<sup>[6]</sup>]:{{CDD|node|3|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node}}<br/>
[3,3<sup>[6]</sup>,3]:{{CDD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br/>
[3,3<sup>[2+4]</sup>,3]:{{CDD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|branch|3a|nodea}}<br/>
[3,3<sup>[1+5]</sup>,3]:{{CDD|nodes|3ab|branch|3ab|nodes|3ab|branch}}<br/>
[3<sup>[&nbsp;]e×[3]</sup>]:{{CDD|node|splitsplit1|nodeabc|3abc|nodeabc|splitsplit2|node}}

|align=right|
[4,3,3,3<sup>3,1</sup>]:{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br/>
[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>3,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br/>
[3,(3,3,4)<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>
{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>
{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|branch|3a|nodea}}<br/>
[3<sup>2,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}<br/>
|align=right|

|align=right|
[4,3,3,3<sup>2,2</sup>]:{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes}}<br/>
[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,2</sup>]:{{CDD|nodes|split2|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes}}

|- 
!9
!10
|align=right|
[3,3<sup>[3+4]</sup>,3]:{{CDD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br/>
[3,3<sup>[9]</sup>]:{{CDD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch}}<br/>
[3,3<sup>[2+5]</sup>,3]:{{CDD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split5b|nodes}}

|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>2</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>3,1</sup>,3<sup>3</sup>,4]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>
[3<sup>3,1</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}

|align=right|[3<sup>3,3,2</sup>]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node}}<br/>
[3<sup>2,2,4</sup>]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}<br/>
[3<sup>2,2</sup>,3<sup>3</sup>,4]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|3|node|4|node}}<br/>
[3<sup>2,2</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node|split1|nodes}}

|- 
!10
!8
|align=right|[3,3<sup>[8]</sup>,3]:{{CDD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}<br/>
[3,3<sup>[3+5]</sup>,3]:{{CDD|nodea|3a|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch|3a|nodea}}<br/>
[3,3<sup>[9]</sup>]:{{CDD|node|3|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|branch}}
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>5,3,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}<br/>
[3<sup>3,1</sup>,3<sup>4</sup>,4]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>
[3<sup>3,1</sup>,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}

|align=right|[3<sup>4,4,1</sup>]:{{CDD|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|- 
!11
!4
|
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>2,1</sup>,3<sup>6</sup>,4]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|4a|nodea}}<br/>
[3<sup>2,1</sup>,3<sup>5</sup>,3<sup>1,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|align=right|[3<sup>7,2,1</sup>]:{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|}

=== Diagrame Coxeter foarte extinse ===
Uneori se folosesc expresii care particularizează utilizarea directă a diagramei Dynkin. Folosirea diagramelor la grupuri afine este considerată „extinsă” ({{en|extended}}), la grupuri hiperbolice „supraextinsă” ({{en|over-extended }}), iar la grupuri simpliciale „foarte extinsă” ({{en|very-extended}}). Aceste extensii sunt de obicei marcate cu un exponent de 1, 2 sau 3 simboluri „+” pentru numărul de noduri extinse. Această serie extinsă poate fi extinsă înapoi prin eliminarea secvențială a nodurile din aceeași poziție în graf, deși procesul se oprește după îndepărtarea nodului de ramificare. Familia extinsă [[En (algebră Lie) |E<sub>8</sub>]] este cel mai frecvent exemplu de extindere înapoi la E<sub>3</sub> și înainte spre E<sub>11</sub>.

Procesul de extindere poate defini o serie limitată de grafuri Coxeter care progresează de la finit la afin, la hiperbolic, la lorentzian. Determinantul matricelor Cartan determină unde seria se schimbă de la finit (pozitiv) la afin (zero) la hiperbolic (negativ) și se termină ca un grup lorentzian, conținând cel puțin un subgrup hiperbolic.<ref>{{en icon}} [https://arxiv.org/abs/hep-th/0608161 Kac-Moody Algebras in M-theory]</ref> Grupurile necristalografice H<sub>n</sub> formează o serie extinsă unde H<sub>4</sub> este extensia ca grup hiperbolic compact și supraextensia ca grup lorentzian.

Determinanții matricilor Schläfli sunt:<ref>{{en icon}} Wu, Alfred C.T., [http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/70011 ''Cartan–Gram determinants for the simple Lie groups''], The American Institute of Physics, Nov 1982</ref>
* det(A<sub>1</sub><sup>n</sup>=[2<sup>n-1</sup>]) = 2<sup>n</sup> (Finit pentru orice n)
* det(A<sub>n</sub>=[3<sup>n-1</sup>]) = n+1 (Finit pentru orice n)
* det(B<sub>n</sub>=[4,3<sup>n-2</sup>]) = 2 (Finit pentru orice n)
* det(D<sub>n</sub>=[3<sup>n-3,1,1</sup>]) = 4 (Finit pentru orice n)

Determinanții matricilor Schläfli din seriile excepționale sunt:
* det([[En (Lie algebra)|E<sub>n</sub>]]=[3<sup>n-3,2,1</sup>]) = 9-n (Finit pentru E<sub>3</sub>(=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub>), E<sub>4</sub>(=A<sub>4</sub>), E<sub>5</sub>(=D<sub>5</sub>), [[E6 (matematică)|E<sub>6</sub>]], [[E7 (matematică)|E<sub>7</sub>]] și [[E8 (matematică)|E<sub>8</sub>]], afin pentru [[E8 lattice|E<sub>9</sub>]] (<math>{\tilde{E}}_{8}</math>), hiperbolic pentru E<sub>10</sub>)
* det([3<sup>n-4,3,1</sup>]) = 2(8-n) (Finit pentru n=4 – 7, afin pentru (<math>{\tilde{E}}_{7}</math>) și hiperbolic pentru n=8)
* det([3<sup>n-4,2,2</sup>]) = 3(7-n) (Finit pentru n=4 – 6, afin pentru (<math>{\tilde{E}}_{6}</math>) și hiperbolic pentru n=7)
* det(F<sub>n</sub>=[3,4,3<sup>n-3</sup>]) = 5-n (Finit pentru  F<sub>3</sub>(=B<sub>3</sub>) – [[F4 (matematică)|F<sub>4</sub>]], afin pentru [[F4 lattice|F<sub>5</sub>]] (<math>{\tilde{F}}_{4}</math>) și hiperbolic pentru F<sub>6</sub>)
* det(G<sub>n</sub>=[6,3<sup>n-2</sup>]) = 3-n (Finit pentru [[G2 (matematică)|G<sub>2</sub>]], afin pentru G<sub>3</sub> (<math>{\tilde{G}}_{2}</math>) și hiperbolic pentru G<sub>4</sub>)

{| class=wikitable
|+ Serii extinse mai mici
|-
!Finite
!<math>A_2</math>
!<math>C_2</math>
![[G2 (matematică)|<math>G_2</math>]]
!<math>A_3</math>
!<math>B_3</math>
!<math>C_3</math>
!<math>H_4</math>
|-
!Ordin n
![3<sup>[3]</sup>,3<sup>n-3</sup>]
![4,4,3<sup>n-3</sup>]
!G<sub>n</sub>=[6,3<sup>n-2</sup>]
![3<sup>[4]</sup>,3<sup>n-4</sup>]
![4,3<sup>1,n-3</sup>]
![4,3,4,3<sup>n-4</sup>]
!H<sub>n</sub>=[5,3<sup>n-2</sup>]
|-
!2
| style="background:#ffffe0;"|[3]<br/>A<sub>2</sub><br/>{{CDD|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[4]<br/>C<sub>2</sub><br/>{{CDD|node|4|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[6]<br/>G<sub>2</sub><br/>{{CDD|node|6|node}}
|
|[2]<br/>A<sub>1</sub><sup>2</sup><br/>{{CDD|nodes}}
|[4]<br/>C<sub>2</sub><br/>{{CDD|node|4|node}}
|[5]<br/>H<sub>2</sub><br/>{{CDD|node|5|node}}
|-
!3
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[3]</sup>]<br/>A<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{2}</math><br/>{{CDD|branch|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,4]<br/>C<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{2}</math><br/>{{CDD|node|4|node|4|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[6,3]<br/>G<sub>2</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{G}}_{2}</math><br/>{{CDD|node|6|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3,3]=A<sub>3</sub><br/>{{CDD|node|split1|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3]<br/>B<sub>3</sub><br/>{{CDD|nodes|split2-43|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3]<br/>C<sub>3</sub><br/>{{CDD|node|4|node|3|node}}
|[5,3]<br/>H<sub>3</sub><br/>{{CDD|node|5|node|3|node}}
|-
!4
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[3]</sup>,3]<br/>A<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_3</math><br/>{{CDD|branch|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,4,3]<br/>C<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{R}}_3</math><br/>{{CDD|node|4|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[6,3,3]<br/>G<sub>2</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{V}}_3</math><br/>{{CDD|node|6|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[4]</sup>]<br/>A<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_3</math><br/>{{CDD|node|split1|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{3}</math><br/>{{CDD|nodes|split2-43|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,4]<br/>C<sub>3</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{3}</math><br/>{{CDD|node|4|node|3|node|4|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[5,3,3]<br/>H<sub>4</sub><br/>{{CDD|node|5|node|3|node|3|node}}
|-
!5
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[3]</sup>,3,3]<br/>A<sub>2</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|branch|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,4,3,3]<br/>C<sub>2</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|node|4|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[6,3,3,3]<br/>G<sub>2</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|node|6|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[4]</sup>,3]<br/>A<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_4</math><br/>{{CDD|node|split1|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_4</math><br/>{{CDD|nodes|split2-43|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,4,3]<br/>C<sub>3</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{R}}_4</math><br/>{{CDD|node|4|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[5,3<sup>3</sup>]<br/>H<sub>5</sub>=<math>{\overline{H}}_4</math><br/>{{CDD|node|5|node|3|node|3|node|3|node}}
|-
!6
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[4]</sup>,3,3]<br/>A<sub>3</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|node|split1|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>3</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|nodes|split2-43|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,4,3,3]<br/>C<sub>3</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|node|4|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[5,3<sup>4</sup>]<br/>H<sub>6</sub><br/>{{CDD|node|5|node|3|node|3|node|3|node|3|node}}
|- 
!Det(M<sub>n</sub>)
|3(3-''n'')
|2(3-''n'')
|3-''n''
|4(4-''n'')
|colspan=2|2(4-''n'')
|
|}

{| class=wikitable
|+ Serii extinse mijlocii
|-
!Finite
!<math>A_4</math>
!<math>B_4</math>
!<math>C_4</math>
!<math>D_4</math>
![[F4 (matematică)|<math>F_4</math>]]
!<math>A_5</math>
!<math>B_5</math>
!<math>D_5</math>
|-
!Odin n
![3<sup>[5]</sup>,3<sup>n-5</sup>]
![4,3,3<sup>n-4,1</sup>]
![4,3,3,4,3<sup>n-5</sup>]
![3<sup>n-4,1,1,1</sup>]
![3,4,3<sup>n-3</sup>]
![3<sup>[6]</sup>,3<sup>n-6</sup>]
![4,3,3,3<sup>n-5,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>n-5,1</sup>]
|-
!3
|
|[4,3<sup>−1,1</sup>]<br/>B<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|2|nodeb}}
|[4,3]<br/>B<sub>3</sub><br/>{{CDD|node|4|node|3|node}}
|[3<sup>−1,1,1,1</sup>]<br/>A<sub>1</sub><sup>3</sup><br/>{{CDD|nodeabc}}
|[3,4]<br/>B<sub>3</sub><br/>{{CDD|node|3|node|4|node}}
|
|[4,3,3]<br/>C<sub>3</sub><br/>{{CDD|node|4|node|3|node}}
|-
!4
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>3</sup>]<br/>A<sub>4</sub><br/>{{CDD|branch|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3]<br/>B<sub>4</sub><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3]<br/>C<sub>4</sub><br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>0,1,1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub><br/>{{CDD|node|branch3|splitsplit2|node}}
| style="background:#ffffe0;"|[3,4,3]<br/>F<sub>4</sub><br/>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node}}
|
|[4,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>B<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|2|nodeb}}
|-
!5
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[5]</sup>]<br/>A<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_{4}</math><br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{4}</math><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3,4]<br/>C<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{C}}_{4}</math><br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1,1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_{4}</math><br/>{{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3,4,3,3]<br/>F<sub>4</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{F}}_{4}</math><br/>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>4</sup>]<br/>A<sub>5</sub><br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3,3,3,3]<br/>B<sub>5</sub><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3]<br/>D<sub>5</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch}}
|-
!6
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[5]</sup>,3]<br/>A<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_5</math><br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_5</math><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3,4,3]<br/>C<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{R}}_5</math><br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>2,1,1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{Q}}_5</math><br/>{{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3,4,3<sup>3</sup>]<br/>F<sub>4</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{U}}_5</math><br/>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[6]</sup>]<br/>A<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_5</math><br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{5}</math><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>D<sub>5</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_5</math><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1}}
|-
!7
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[5]</sup>,3,3]<br/>A<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3,4,3,3]<br/>C<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|node|4|node|3|node|3|node|4|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>3,1,1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|node|branch3|splitsplit2|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3,4,3<sup>4</sup>]<br/>F<sub>4</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|node|3|node|4|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[6]</sup>,3]<br/>A<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_6</math><br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_6</math><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>D<sub>5</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{Q}}_6</math><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
|-
!8
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[6]</sup>,3,3]<br/>A<sub>5</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>5</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>D<sub>5</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
|- 
!Det(M<sub>n</sub>)
|5(5-''n'')
|colspan=2|2(5-''n'')
|4(5-''n'')
|5-''n''
|6(6-''n'')
|4(6-''n'')
|}

{| class=wikitable
|+ Unele serii extinse mai mari
|-
!Finite
!<math>A_6</math>
!<math>B_6</math>
!<math>D_6</math>
!<math>E_6</math>
!<math>A_7</math>
!<math>B_7</math>
!<math>D_7</math>
!<math>E_7</math>
![[En (algebră Lie)|<math>E_8</math>]]
|-
!Ordin n
![3<sup>[7]</sup>,3<sup>n-7</sup>]
![4,3<sup>3</sup>,3<sup>n-6,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>n-6,1</sup>]
![3<sup>n-5,2,2</sup>]
![3<sup>[8]</sup>,3<sup>n-8</sup>]
![4,3<sup>4</sup>,3<sup>n-7,1</sup>]
![3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>n-7,1</sup>]
![3<sup>n-5,3,1</sup>]
!E<sub>n</sub>=[3<sup>n-4,2,1</sup>]
|-
!3
|
|
|
|
|
|
|
|
|[3<sup>−1,2,1</sup>]<br/>E<sub>3</sub>=A<sub>2</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|-
!4
|
|
|
|[3<sup>−1,2,2</sup>]<br/>A<sub>2</sub><sup>2</sup><br/>{{CDD|nodes|3ab|nodes}}
|
|
|
|[3<sup>−1,3,1</sup>]<br/>A<sub>3</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>0,2,1</sup>]<br/>E<sub>4</sub>=A<sub>4</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|-
!5
|
|[4,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>B<sub>4</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>D<sub>4</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>0,2,2</sup>]<br/>A<sub>5</sub><br/>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node}}
|
|
|
|[3<sup>0,3,1</sup>]<br/>A<sub>5</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
|[3<sup>1,2,1</sup>]<br/>E<sub>5</sub>=D<sub>5</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|-
!6
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>5</sup>]<br/>A<sub>6</sub><br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3<sup>4</sup>]<br/>B<sub>6</sub><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3]<br/>D<sub>6</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,2,2</sup>]<br/>E<sub>6</sub><br/>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node}}
|
|[4,3,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>B<sub>5</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>−1,1</sup>]<br/>D<sub>5</sub>A<sub>1</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|2|nodeb}}
|[3<sup>1,3,1</sup>]<br/>D<sub>6</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea}}
|[3<sup>2,2,1</sup>]<br/>E<sub>6</sub> [[:Fișier:DynkinE6Full.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!7
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[7]</sup>]<br/>A<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_6</math><br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{6}</math><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>D<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_6</math><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>2,2,2</sup>]<br/>E<sub>6</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_6</math><br/>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>6</sup>]<br/>A<sub>7</sub><br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes}}
| style="background:#ffffe0;"|[4,3<sup>5</sup>]<br/>B<sub>7</sub><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>0,1</sup>]<br/>D<sub>7</sub><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>2,3,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub> [[:Fișier:DynkinE7Full.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea}}
|[3<sup>3,2,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub> [[:Fișier:DynkinE7Full.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!8
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[7]</sup>,3]<br/>A<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_7</math><br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_7</math><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>D<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{Q}}_7</math><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>3,2,2</sup>]<br/>E<sub>6</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{T}}_7</math><br/>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>[8]</sup>]<br/>A<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{A}}_7</math> [[:Fișier:AffineA7.svg|*]]<br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>1,1</sup>]<br/>B<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{B}}_{7}</math> [[:Fișier:AffineB7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>1,1</sup>]<br/>D<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{D}}_7</math> [[:Fișier:AffineD7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>3,3,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{7}</math> [[:Fișier:AffineE7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1}}
| style="background:#ffffe0;"|[3<sup>4,2,1</sup>]<br/>E<sub>8</sub> [[:Fișier:DynkinE8Full.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea}}
|-
!9
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[7]</sup>,3,3]<br/>A<sub>6</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|branch|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>3</sup>,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>6</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>D<sub>6</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>4,2,2</sup>]<br/>E<sub>6</sub><sup>+++</sup><br/>{{CDD|nodes|3ab|nodes|split2|node|3|node|3|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>[8]</sup>,3]<br/>A<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{P}}_8</math> [[:Fișier:HyberbolicAffineA7.svg|*]]<br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>2,1</sup>]<br/>B<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{S}}_8</math> [[:Fișier:HyberbolicAffineB7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>2,1</sup>]<br/>D<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{Q}}_8</math> [[:Fișier:HyberbolicAffineD7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>4,3,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{T}}_8</math> [[:Fișier:HyberbolicAffineE7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
| style="background:#ffe0e0;"|[3<sup>5,2,1</sup>]<br/>E<sub>9</sub>=E<sub>8</sub><sup>+</sup>=<math>{\tilde{E}}_{8}</math> [[:Fișier:E9-AffineE8.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1}}
|-
!10
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>[8]</sup>,3,3]<br/>A<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Fișier:VeryExtendedAffineA7.svg|*]]<br/>{{CDD|node|split1|nodes|3ab|nodes|3ab|nodes|split2|node_c1|3|node_c2|3|node_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[4,3<sup>4</sup>,3<sup>3,1</sup>]<br/>B<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Fișier:VeryExtendedAffineB7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|4a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>1,1</sup>,3,3,3,3<sup>3,1</sup>]<br/>D<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Fișier:VeryExtendedAffineD7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>5,3,1</sup>]<br/>E<sub>7</sub><sup>+++</sup> [[:Fișier:VeryExtendedAffineE7.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
| style="background:#e0ffe0;"|[3<sup>6,2,1</sup>]<br/>E<sub>10</sub>=E<sub>8</sub><sup>++</sup>=<math>{\overline{T}}_9</math> [[:Fișier:E10-HyperbolicAffineE8.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2}}
|-
!11
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|
| style="background:#e0e0ff;"|[3<sup>7,2,1</sup>]<br/>E<sub>11</sub>=E<sub>8</sub><sup>+++</sup> [[:Fișier:E11-VeryExtendedAffineE8.svg|*]]<br/>{{CDD|nodea|3a|nodea|3a|branch|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea|3a|nodea_c1|3a|nodea_c2|3a|nodea_c3}}
|- 
!Det(M<sub>n</sub>)
|7(7-''n'')
|2(7-''n'')
|4(7-''n'')
|3(7-''n'')
|8(8-''n'')
|2(8-''n'')
|4(8-''n'')
|2(8-''n'')
|9-''n''
|}

== Plieri geometrice ==
{| class="wikitable" style="float:right;"
|+ Plieri finite și afine<ref>John Crisp, ''Injective maps between Artin groups' '', in Down under group theory, Proceedings of the Special Year on Geometric Group Theory, (Australian National University, Canberra, Australia, 1996), [http://math.u-bourgogne.fr/IMB/crisp/injart.ps Postscript] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20051016143215/http://math.u-bourgogne.fr/IMB/crisp/injart.ps |date=2005-10-16 }}, pp 13-14, and [https://books.google.com/books?id=RpgZuF7do8kC&lpg=PA134&ots=G5SZEdPFBa&dq=geometric%20folding%20F4%20to%20g2&pg=PP1#v=onepage&q=folding%20description&f=false googlebook, Geometric group theory down under, p 131]</ref>
|-
!colspan=4|φ<sub>A</sub> : A<sub>Γ</sub> --> A<sub>Γ'</sub> Pentru tipuri finite
|- valign=top
!Γ
!Γ'
!Descrierea plierii
!Diagramăe Coxeter–Dynkin
|-  valign=top
|I<sub>2</sub>(h)
|Γ(h)
|Pliere diedrică
|rowspan=9|[[Fișier:Geometric folding Coxeter graphs.png|201px]]
|- 
|rowspan=2|B<sub>n</sub>
|A<sub>2n</sub>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- 
|D<sub>n+1</sub>, A<sub>2n-1</sub>
|(A<sub>3</sub>,+/-ε)
|- 
|F<sub>4</sub>
|E<sub>6</sub>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- 
|H<sub>4</sub>
|E<sub>8</sub>
|rowspan=3|(A<sub>4</sub>,±ε)
|- 
|H<sub>3</sub>
|D<sub>6</sub>
|- 
|H<sub>2</sub>
|A<sub>4</sub>
|- 
|rowspan=2|G<sub>2</sub>
|A<sub>5</sub>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- 
|D<sub>4</sub>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|-
!colspan=4|φ: A<sub>Γ</sub><sup>+</sup> --> A<sub>Γ'</sub><sup>+</sup> pentru tipuri afine
|-  valign=top
|<math>{\tilde{A}}_{n-1}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{kn-1}</math>
|Banale local
|rowspan=14|[[Fișier:Geometric folding Coxeter graphs affine.png|212px]]
|- 
|rowspan=2|<math>{\tilde{B}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- 
|<math>{\tilde{D}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{D}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- 
|rowspan=2|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{B}}_{n+1}</math>, <math>{\tilde{C}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- 
|<math>{\tilde{C}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>)
|- 
|rowspan=3|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{A}}_{2n+1}</math>
|(I,s<sub>n</sub>) & (I,s<sub>0</sub>)
|- 
|<math>{\tilde{A}}_{2n}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (I,s<sub>0</sub>)
|- 
|<math>{\tilde{A}}_{2n-1}</math>
|(A<sub>3</sub>,ε) & (A<sub>3</sub>,ε')
|- 
|<math>{\tilde{C}}_{n}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{n+2}</math>
|(A<sub>3</sub>,-ε) & (A<sub>3</sub>,-ε')
|- 
|<math>{\tilde{C}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{5}</math>
|(I,s<sub>1</sub>)
|- 
|<math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|<math>{\tilde{E}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>3</sub>,±ε)
|- 
|rowspan=3|<math>{\tilde{G}}_{2}</math>
|<math>{\tilde{D}}_{6}</math>, <math>{\tilde{E}}_{7}</math>
|(A<sub>5</sub>,±ε)
|- 
|<math>{\tilde{B}}_{3}</math>, <math>{\tilde{F}}_{4}</math>
|(B<sub>3</sub>,±ε)
|- 
|<math>{\tilde{D}}_{4}</math>, <math>{\tilde{E}}_{6}</math>
|(D<sub>4</sub>,±ε)
|}

O diagramă Coxeter–Dynkin (simplu înlănțuită, finită, afină sau hiperbolică) care are o simetrie (care îndeplinește o condiție, mai jos) poate fi citată prin simetrie, rezultând o nouă diagramă, în general multiplu înlănțuită prin procesul numit „pliere”.<ref>{{en icon}} {{cite journal | title = Generalized Dynkin diagrams and root systems and their folding | journal = Topological Field Theory | citeseerx = 10.1.1.54.3122 | first = Jean-Bernard | last = Zuber | pages = 28–30 | bibcode = 1998tftp.conf..453Z | year = 1998 | arxiv = hep-th/9707046 }}</ref><ref>{{Cite journal| arxiv = 1110.5228 | title = Affine extensions of non-crystallographic Coxeter groups induced by projection | journal = Journal of Mathematical Physics | volume = 54 | issue = 9 | pages = 093508 | first1 = Pierre-Philippe | last1 = Dechant | first2 = Celine | last2 = Boehm | first3 = Reidun | last3 = Twarock | year = 2013 | doi = 10.1063/1.4820441 | bibcode = 2013JMP....54i3508D }}</ref>

De exemplu, în plierea D<sub>4</sub> la G<sub>2</sub>, muchia din G<sub>2</sub> trece din clasa celor 3 noduri exterioare (valența 1), la clasa nodului central (valența 3). Și E<sub>8</sub> se pliază în 2 copii ale lui H<sub>4</sub>, a doua copie scalată cu [[secțiunea de aur|''&phi;'']].<ref>{{en icon}} Pierre-Philippe Dechant, [https://link.springer.com/article/10.1007/s00006-016-0675-9 The E8 Geometry from a Clifford Perspective] ''Advances in Applied Clifford Algebras'', March 2017, Volume 27, Issue 1, pp 397–421</ref>

Geometric, aceasta corespunde [[proiecție ortogonală |proiecțiilor ortogonale]] ale [[politop uniform |politopurilor uniforme]] și teselărilor. În special, orice diagramă Coxeter–Dynkin finită simplu înlănțuită poate fi pliată la I<sub>2</sub>(''h''), unde ''h'' este numărul Coxeter, care corespunde geometric la o proiecție pe [[planul Coxeter]].
{| class=wikitable 
|-
|[[Fișier:Geometric folding Coxeter graphs hyperbolic.png]]<br/>Câteva plieri hiperbolice
|}
{{-}}

== Reflexii complexe ==
Diagramele Coxeter–Dynkin au fost extinse la [[Spațiu vectorial complex |spațiul complex]], C<sup>n</sup> unde nodurile sunt reflexii unitare cu perioadă mai mare de 2. Nodurile sunt etichetate cu un indice, fiind presupus 2 pentru o reflexie reală obișnuită dacă este suprimat. Coxeter descrie grupul complex, p[q]r, cu diagrama {{CDD| pnode|3|q|3|rnode}}.<ref>Coxeter, ''Complex Regular Polytopes'', second edition, (1991)</ref>

Un ''[[politop complex]] regulat'' 1-dimensional din <math>\mathbb{C}^1</math> este descris prin {{CDD|pnode_1}}, având ''p'' vârfuri. Reprezentarea sa reală este un [[poligon regulat]], {''p''}. Simetria sa este <sub>''p''</sub>[] sau {{CDD|pnode}}, de ordinul ''p''. Un [[operator unitate]] generator pentru {{CDD|pnode}} este văzut ca o [[rotație (matematică)|rotație]] în <math>\mathbb{R}^2</math> cu 2&pi;/''p'' radiani în sens trigonometric, iar o {{CDD|pnode_1}} latură este creată printr-o aplicare secvențială a unei singure reflexii unitare. un generator de reflexie unitară pentru un 1-politop cu ''p'' vârfuri este {{math| ''e''<sup>2&pi;''i''/''p''</sup> {{=}} cos(2&pi;/''p'') + ''i'' sin(2&pi;/''p'')}}. Când ''p'' = 2, generatorul este ''e''<sup>&pi;''i''</sup> = –1, același cu reflexia punctului din planul real.

Într-un politop superior, <sub>''p''</sub>{} sau {{CDD|pnode_1}} reprezintă un element ''p''-față, cu o 2-față, {} sau {{CDD|node_1}}, reprezintă o latură reală obișnuită între două vârfuri.
{| class=wikitable width=640
|+ 1-politopuri complexe regulate
|[[Fișier:Complex 1-topes as k-edges.png|640px]]<br/>1-politopuri complexe, {{CDD|pnode_1}}, reprezentați în planul Argand ca poligoane regulate pentru ''p'' = 2, 3, 4, 5 și 6, cu vârfuri negre. Centrul vârfurilor ''p'' este colorat roșu. Laturile poligoanelor reprezintă o [[aplicație]] a generatorului de simetrie, aplicând fiecare vârf la următoarea copie în sens trigonometric. Aceste laturi poligonale nu sunt elemente de margine ale politopului, întrucât un 1-politop complex nu poate avea laturi (adesea el „este” o margine complexă) și conține doar elementele vârfuri.
|}

{| class=wikitable width=100 align=right
|- valign=top
|[[Fișier:Rank2_shephard_subgroups.png|240px]]<br/>12 grupuri Shephard ireductibile cu relațiile cu subgrupurile lor indexate (cu indici).<ref>Coxeter, Complex Regular Polytopes, p. 177, Table III</ref> Subgrupurile cu indicele 2 se obțin prin eliminarea unei reflexii reale:<br/><sub>''p''</sub>[2''q'']<sub>2</sub> --> <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''p''</sub>, indice 2.<br/><sub>''p''</sub>[4]<sub>''q''</sub> --> <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''p''</sub>, indice ''q''.
|[[Fișier:Rank2_shephard_subgroups2_series.png|203px]]<br/><sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub> subgrupuri: p=2,3,4...<br/><sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub> --> [''p''], indice ''p''<br/><sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub> --> <sub>''p''</sub>[]×<sub>''p''</sub>[], indice 2
|}

[[Poligon complex regulat |Poligoanele complexe regulate]] din <math>\mathbb{C}^2</math>, au forma <sub>''p''</sub>{''q''}<sub>''r''</sub> sau diagrama Coxeter {{CDD|pnode_1|3|q|3|rnode}}. Grupul de simetrie al unui poligon complex regulat {{CDD|pnode|3|q|3|rnode}} nu se numește grup Coxeter, ci [[grup Shephard]], un tip de [[grup de reflexie complex]]. ordinul <sub>''p''</sub>[''q'']<sub>''r''</sub> este <math>8/q \cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}</math>.<ref>''Unitary Reflection Groups'', p.87</ref>

Grupurile Shephard de ordinul 2 sunt: <sub>2</sub>[''q'']<sub>2</sub>, <sub>''p''</sub>[4]<sub>2</sub>, <sub>3</sub>[3]<sub>3</sub>, <sub>3</sub>[6]<sub>2</sub>, <sub>3</sub>[4]<sub>3</sub>, <sub>4</sub>[3]<sub>4</sub>, <sub>3</sub>[8]<sub>2</sub>, <sub>4</sub>[6]<sub>2</sub>, <sub>4</sub>[4]<sub>3</sub>, <sub>3</sub>[5]<sub>3</sub>, <sub>5</sub>[3]<sub>5</sub>, <sub>3</sub>[10]<sub>2</sub>, <sub>5</sub>[6]<sub>2</sub> și <sub>5</sub>[4]<sub>3</sub> sau {{CDD|node|q|node}}, {{CDD|pnode|4|node}}, {{CDD|3node|3|3node}}, {{CDD|3node|6|node}}, {{CDD|3node|4|3node}}, {{CDD|4node|3|4node}}, {{CDD|3node|8|node}}, {{CDD|4node|6|node}}, {{CDD|4node|4|3node}}, {{CDD|3node|5|3node}}, {{CDD|5node|3|5node}}, {{CDD|3node|10|node}}, {{CDD|5node|6|node}}, {{CDD|5node|4|3node}} de ordinul 2''q'', 2''p''<sup>2</sup>, 24, 48, 72, 96, 144, 192, 288, 360, 600, 1200 și respectiv 1800.

Grupul de simetrie <sub>''p''<sub>1</sub></sub>[''q'']<sub>''p''<sub>2</sub></sub> este reprezentat prin 2 generatoare R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, unde: R<sub>1</sub><sup>''p''<sub>1</sub></sup> = R<sub>2</sub><sup>''p''<sub>2</sub></sup> = I. Dacă ''q'' este par, (R<sub>2</sub>R<sub>1</sub>)<sup>''q''/2</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>)<sup>''q''/2</sup>. Dacă ''q'' este impar, (R<sub>2</sub>R<sub>1</sub>)<sup>(q-1)/2</sup>R<sub>2</sub> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>)<sup>(''q''-1)/2</sup>R<sub>1</sub>. Când ''q'' este impar, ''p''<sub>1</sub>=''p''<sub>2</sub>.

Grupul <math>\mathbb{C}^3</math> {{CDD|node|psplit1|branch}} sau [1 1 1]<sup>p</sup> este definit de 3 perioade de 2 reflexii unitare {R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>}: R<sub>1</sub><sup>2</sup> = R<sub>1</sub><sup>2</sup> = R<sub>3</sub><sup>2</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>)<sup>3</sup> =  (R<sub>2</sub>R<sub>3</sub>)<sup>3</sup> = (R<sub>3</sub>R<sub>1</sub>)<sup>3</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>R<sub>3</sub>R<sub>1</sub>)<sup>''p''</sup> = 1. Perioada ''p'' poate fi văzută ca o rotație dublă în spațiul real <math>\mathbb{R}^4</math>.

Un grup similar <math>\mathbb{C}^3</math> {{CDD|node|antipsplit1|branch}} sau [1 1 1]<sup>(p)</sup> este definit de 3 perioade de 2 reflexii unitare {R<sub>1</sub>, R<sub>2</sub>, R<sub>3</sub>}: R<sub>1</sub><sup>2</sup> = R<sub>1</sub><sup>2</sup> = R<sub>3</sub><sup>2</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>)<sup>3</sup> =  (R<sub>2</sub>R<sub>3</sub>)<sup>3</sup> = (R<sub>3</sub>R<sub>1</sub>)<sup>3</sup> = (R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>R<sub>3</sub>R<sub>2</sub>)<sup>''p''</sup> = 1.
{{-}}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} James E. Humphreys, ''Reflection Groups and Coxeter Groups'', Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
*{{en icon}} ''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{ISBN|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html], Googlebooks [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&lpg=PP1&dq=Kaleidoscopes%20Coxeter&pg=PP1#v=onepage&q=&f=false]
** {{en icon}} (Paper 17) [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]], ''The Evolution of Coxeter-Dynkin diagrams'', [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248]
*{{en icon}} Coxeter, ''The Beauty of Geometry: Twelve Essays'', Dover Publications, 1999, {{ISBN|978-0-486-40919-1}} (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
*{{en icon}} Coxeter, ''Regular Polytopes'' (1963), Macmillan Company
** {{en icon}} Coxeter, ''Regular Polytopes'', Third edition, (1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}} (Chapter 5: The Kaleidoscope, and Section 11.3 Representation by graphs)
* {{en icon}} H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. ''Generators and Relations for Discrete Groups'' 4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980
* {{en icon}} [[Norman Johnson |Norman W. Johnson]], ''Geometries and Transformations'', Chapters 11,12,13, preprint 2011
* {{en icon}} N.W. Johnson, Ruth Kellerhals, J.G. Ratcliffe, S.T. Tschantz, ''The size of a hyperbolic Coxeter simplex'', Transformation Groups 1999, Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF01238563] [https://web.archive.org/web/20140223225217/http://homeweb1.unifr.ch/kellerha/pub/TGarticle.pdf]
* {{en icon}} [[Norman Johnson |Norman W. Johnson]] and Asia Ivic Weiss [https://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf Quadratic Integers and Coxeter Groups] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230326121528/http://cms.math.ca/cjm/v51/weisscox8.pdf |date=2023-03-26 }} [[PDF]] Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp.&nbsp;1307–1336

== Legături externe ==
{{Commonscat-inline|Coxeter-Dynkin diagrams}}
* {{en icon}} {{MathWorld |urlname=Coxeter-DynkinDiagram |title=Coxeter–Dynkin diagram}}
* {{en icon}} [https://ecommons.cornell.edu/handle/1813/17339 October 1978 discussion on the history of the Coxeter diagrams] de Coxeter și Dynkin în Toronto, Canada; Eugene Dynkin Collection of Mathematics Interviews, Cornell University Library.

{{DEFAULTSORT:Coxeter-Dynkin, diagramă}}
[[Categorie:Grupuri Coxeter]]