Vizualizare sursă pentru „Dezvoltarea unui polinom”

{{Pentru|aproximarea locală a unei funcții cu un polinom|serie Taylor}}
În [[matematică]] '''dezvoltarea unui polinom''' exprimat ca un produs de sume este aducerea sa la o formă de sumă de produse, uzual [[monom |monoame]], folosind faptul că [[înmulțire (matematică) |înmulțirea]] este [[distributivitate |distributivă]] față de adunare. Dezvoltarea unei expresii [[polinom]]iale poate fi obținută prin înlocuirea în mod repetat a subexpresiilor care se înmulțesc cu alte subexpresii, dintre care cel puțin una este o adunare, cu suma echivalentă de produse, continuând până când expresia devine o sumă de produse (repetate). În timpul dezvoltării, se pot aplica și simplificări, cum ar fi gruparea de termeni similari sau anularea termenilor. În loc de înmulțiri, etapele dezvoltării ar putea cuprinde și înlocuirea puterilor unei sume de termeni cu expresia echivalentă obținută din [[binomul lui Newton |formula binomului]]. Aceasta este o formă scurtă a ceea ce s-ar întâmpla dacă puterea ar fi tratată ca o înmulțire repetată și dezvoltată în mod repetat. Se obișnuiește ca în rezultatul final să se reintroducă puteri atunci când termenii sunt formați din produse ale simbolurilor identice.

Exemple simple de dezvoltări polinomiale sunt bine cunoscutele reguli: <ref name=Akron/>
:<math>(x+y)^2=x^2+2xy+y^2</math>
:<math>(x+y)(x-y)=x^2-y^2</math>
când membrul sâng este adus la forma membrului drept. O dezvoltare mai generală într-o singură etapă va introduce toate produsele unui termen al uneia dintre sume înmulțite cu un termen al celeilalte:
:<math>(a+b+c+d)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz+dx+dy+dz</math>
O dezvoltare care implică mai mulți pași de rescriere imbricați este aceea de a elabora o [[schemă Horner]] la polinomul (dezvoltat) pe care îl definește, de exemplu:
:<math>1+x(-3+x(4+x(0+x(-12+x\cdot 2))))=1-3x+4x^2-12x^4+2x^5</math>.

Procesul opus al dezvoltării unui polinom se numește {{ill-wd| Q392477||factorizarea polinomului}}.

== Dezvoltarea unui polinom scris în formă factorizată ==
[[Fișier:Polynomial expansion.png|thumb|upright=1.2|Două expresii pot fi înmulțite folosind proprietățile de [[comutativitate]], [[asociativitate]] și [[distributivitate]].<br/>(Pentru a înmulți mai mult de 2 expresii, se înmulțesc doar câte 2 o dată.)]]

Pentru a înmulți doi factori, fiecare termen al primului factor trebuie înmulțit cu fiecare termen al celuilalt factor.<ref name=Akron>[https://www.math.uakron.edu/~dpstory/tutorial/mptii/lesson05.pdf 5. Expansion], math.uakron.edu, accesat 2023-01-12</ref> De exemplu, dezvoltarea
: <math>(x+2)(2x-5)\,</math>
este
: <math>2x^2-5x+4x-10 = 2x^2-x-10.</math>

== Dezvoltarea expresiei (x+y)<sup>n</sup> ==
{{Articol principal|Binomul lui Newton }}
Când se dezvoltă <math>(x+y)^n</math>, există o relație specială între coeficienții termenilor atunci când sunt scrise în ordinea puterilor descrescătoare ale lui ''x'' și a puterilor crescătoare ale lui ''y''. Coeficienții vor fi numerele din al (''n''+1)-lea rând al [[triunghiul lui Pascal |triunghiului lui Pascal]] (deoarece triunghiul lui Pascal începe cu numerele de rând și coloană „0”).

De exemplu, la dezvoltarea <math>(x+y)^6</math> se obține expresia:
:<math>{\color{red}1}x^6+{\color{red}6}x^5y+{\color{red}{15}}x^4y^2+{\color{red}{20}}x^3y^3+{\color{red}{15}}x^2y^4+{\color{red}{6}}xy^5+{\color{red}1}y^6 \,</math>

== Note ==
<references responsive/>

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/page.jsp?s1=algebra&s2=expand&s3=basic Expand page], quickmath.com
* {{en icon}} [http://www.livephysics.com/ptools/online-calculator.php#ocal Online Calculator with Symbolic Calculations], livephysics.com
{{Polinoame}}

[[Categorie:Polinoame]]

[[de:Ausmultiplizieren]]