Vizualizare sursă pentru „Derivată de ordinul al doilea”

[[Fișier:Kurvendiskussion.svg|thumb|300px|Graficul funcției <math>3x^3-5x^2+8</math> (cu negru), prima sa [[derivată]] (<math>9x^2-10x,</math> cu roșu) și [[derivata a doua|a doua]]<br/>(<math>18x-10,</math> cu albastru). Derivata a doua a unei [[funcție algebrică de gradul al treilea |funcții algebrice de gradul al treilea]] este o [[dreaptă]]]]
În [[calcul diferențial |calculul diferențial]] '''derivata de ordinul al doilea''' sau '''derivata a doua''' a unei [[funcție|funcții]] {{mvar|f}} este [[derivată|derivata]] derivatei lui {{mvar|f}}. Aproximativ vorbind, a doua derivată reflectă modul în care se variază variația unei cantități; de exemplu, a doua derivată a poziției unui obiect în funcție de timp este [[accelerație |accelerația]] instantanee a obiectului sau cu cât variază [[viteză |viteza]] obiectului în funcție de [[timp]]. În [[notația Leibniz]]:
:<math>\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2},</math>
unde ''a'' este accelerația, ''v'' este viteza, ''t'' este timpul, ''x'' este poziția și ''d'' este diferența instantanee („delta”). Ultima expresie <math>\tfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}</math> este a doua derivată a poziției ''x'' în funcție de timp.

Pe [[graficul unei funcții]] a doua derivată corespunde cu [[curbură|curbura]] sau [[concavitate]]a graficului. Graficul unei funcții cu o derivată a doua pozitivă este concav în sus, în timp ce graficul unei funcții cu o derivată a doua negativă se curbează în sens opus.

== Notații ==
De obicei derivata a doua a funcției <math>f(x)</math> se notează <math>f''(x)</math>.<ref name=":0">{{en icon}} {{Cite web|date=2020-05-11|title=List of Calculus and Analysis Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/calculus-analysis-symbols/|access-date=2020-09-16|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Content - The second derivative|url=https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3b/3b_2content_10.html|access-date=2020-09-16|website=amsi.org.au}}</ref><ref name=":1">{{en icon}} {{Cite web|title=Second Derivatives|url=http://192.168.1.121/math2/second-derivatives/|access-date=2020-09-16|website=Math24}}{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> Adică:
:<math>f'' = \left(f'\right)'</math>

În notația Leibniz, derivata a doua a variabilei dependente {{mvar|y}} în funcție de variabila independentă {{mvar|x}} se scrie
:<math>\frac{d^2y}{dx^2}.</math>

Notația provine din formula:
:<math>\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>

=== Notație alternativă ===
După cum s-a văzut în secțiunea anterioară, notația standard Leibniz pentru a doua derivată este <math display="inline">\frac{d^2y}{dx^2}</math>. Însă această formă nu este una algebrică. Adică, deși este formată ca un raport de diferențe, fracția nu poate fi împărțită în bucăți, termenii nu pot fi anulați etc. Totuși, această limitare poate fi remediată folosind o formulă alternativă pentru a doua derivată. Aceasta provine din aplicarea [[derivarea unui raport |regulii de derivare a unui raport]] la prima derivată.<ref>{{en icon}} {{cite journal |last1=Bartlett |first1=Jonathan |last2=Khurshudyan |first2=Asatur Zh |date=2019 |title=Extending the Algebraic Manipulability of Differentials |arxiv=1801.09553 |journal=Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis |volume=26 |issue=3 |pages=217–230}}</ref> Asta duce la formula:
:<math>y''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dx^2}</math>

În această formulă <math>du</math> reprezintă operatorul diferențial aplicat funcției <math>u</math>, adică <math>d(u)</math>, <math>d^2u</math> înseamnă aplicarea operatorului diferențial de două ori, adică <math>d(d(u))</math>, iar <math>du^2</math> se referă la pătratul operatorului diferențial aplicat lui <math>u</math>, adică <math>(d(u))^2</math>.

Când sunt scrise în acest fel (și ținând seama de semnificația notației de mai sus), termenii celei de-a doua derivate pot fi manevrați ca orice alt termen algebric. De exemplu, formula funcției inverse pentru a doua derivată poate fi dedusă din operații algebrice asupra formulei de mai sus, precum și din [[teorema de derivare a funcțiilor compuse]] pentru a doua derivată. Însă, având în vedere complicațiile care apar, este discutabil dacă o astfel de modificare a notației merită să fie făcută.<ref>{{en icon}} {{cite journal |author=Editors |date=December 20, 2019 |title=Reviews |url=https://maa.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0025570X.2019.1673628 |journal=Mathematics Magazine |volume=92 |issue=5 |pages=396–397 |doi=10.1080/0025570X.2019.1673628|s2cid=218542586 }}</ref>

== Gradul derivatei a doua ==
Pentru a obține a doua derivară se aplică același procedeu prin care se obține prima derivată, aplicat primei derivate:
: <math>\frac{d^2}{dx^2}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.</math>

Ca umare, gradul derivatei a doua a unei funcții polinomiale este mai mic cu 2 față de gradul funcției.

=== Exemplu ===
Fiind dată funcția
:<math>f(x) = x^3,</math>
derivata lui {{mvar|f}} este funcția
:<math>f^{\prime}(x) = 3x^2.</math>
A doua derivată a lui {{mvar|f}} este derivata lui <math>f^{\prime}</math>, adică
:<math>f^{\prime\prime}(x) = 6x.</math>

== Relația cu graficul funcției ==
[[Fișier:Animated illustration of inflection point.gif|300px|thumb|Grafic al <math>f(x)=\sin(2x)</math> de la <math>-\frac{\pi}{4}</math> la <math>\frac{5\pi}{4}</math><br/>derivata a doua este <math>f^{\prime\prime}(x)=-4\sin(2x)</math>, iar semnul său este astfel opusul celui al {{mvar|f}}. Tangenta este albastră unde funcția este [[funcție convexă |convexă]] (deasupra tangentei), verde când este [[funcție concavă |concavă]] (sub tangentă) și roșie în punctele de inflexiune: <math>0, \pi/2, \pi</math>]]

=== Concavitate ===
Derivata a doua a funcției {{mvar|f}} poate fi folosit pentru a determina ''concavitatea'' graficului {{mvar|f}}.<ref name=":1" /> O funcție a cărei a doua derivată este pozitivă va fi concavă în sus (numită și „convexă”), ceea ce înseamnă că [[tangentă (geometrie)|tangenta]] se va afla sub graficul funcției. În mod similar, o funcție a cărei a doua derivată este negativă va fi concavă în jos (numită simplu „concavă”), iar tangentele sale  se vor afla deasupra graficului funcției.

=== Puncte de inflexiune ===
{{Articol principal|Punct de inflexiune}}
Dacă a doua derivată a unei funcții își schimbă semnul, graficul funcției va trece de la concav la convex sau invers. Un punct în care se întâmplă acest lucru se numește ''[[punct de inflexiune]]''. Presupunând că a doua derivată este continuă, ea trebuie să aibă valoarea zero în orice punct de inflexiune, deși nu orice punct în care a doua derivată este zero este în mod necesar un punct de inflexiune.

=== Informații oferite de derivata a doua ===
Relația dintre a doua derivată și graficul funcției poate fi utilizată pentru a stabili dacă un [[punct staționar]] al unei funcții (adică un punct în care <math>f^{\prime}(x)=0</math>) este un [[maxim și minim|maxim local sau un minim local]]. Adică:
* dacă <math>f''(x) < 0</math>, atunci <math>f</math> are în <math>x</math> un maxim local;
* dacă <math>f''(x) > 0</math>, atunci <math>f</math> are în <math>x</math> un minim local;
* dacă <math>f''(x) = 0</math>, testul este neconcludent.

Motivul pentru care a doua derivată produce aceste rezultate poate fi ilustrat printr-o analogie din lumea reală. Considerând un corp (de exemplu un vehicul lansat în sus pe o pantă) care la început se deplasează înainte cu o viteză mare, dar cu o accelerație negativă. În mod clar, poziția corpului în punctul în care viteza ajunge la zero va fi distanța maximă față de poziția de pornire, după care viteza va deveni negativă și corpul se va deplasa înapoi. Același lucru este valabil și pentru minim, cu un corp care la început are o viteză negativă, dar o accelerație pozitivă.

== Note ==
{{listănote|2}}

== Lectură suplimentară ==
*{{en icon}} {{Citation
 | last1 = Anton
 | first1 = Howard
 | last2 = Bivens
 | first2 = Irl
 | last3 = Davis
 | first3 = Stephen
 | date = February 2, 2005
 | title = Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable
 | place = New York
 | publisher = Wiley
 | edition = 8th
 | isbn = 978-0-471-47244-5
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Apostol
 | first = Tom M.
 | date = June 1967
 | title = Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra
 | publisher = Wiley
 | edition = 2nd
 | volume = 1
 | isbn = 978-0-471-00005-1
 | url = https://archive.org/details/calculus01apos
 }}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Apostol
 | first = Tom M.
 | date = June 1969
 | title = Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications
 | publisher = Wiley
 | edition = 2nd
 | volume = 1
 | isbn = 978-0-471-00007-5
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/calculus01apos
 }}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Eves
 | first = Howard
 | date = January 2, 1990
 | title = An Introduction to the History of Mathematics
 | edition = 6th
 | publisher = Brooks Cole
 | isbn = 978-0-03-029558-4
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last1 = Larson
 | first1 = Ron
 | last2 = Hostetler
 | first2 = Robert P.
 | last3 = Edwards
 | first3 = Bruce H.
 | date = February 28, 2006
 | title = Calculus: Early Transcendental Functions
 | edition = 4th
 | publisher = Houghton Mifflin Company
 | isbn = 978-0-618-60624-5
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Spivak
 | first = Michael
 | date = September 1994
 | title = Calculus
 | publisher = Publish or Perish
 | edition = 3rd
 | isbn = 978-0-914098-89-8
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Stewart
 | first = James
 | date = December 24, 2002
 | title = Calculus
 | publisher = Brooks Cole
 | edition = 5th
 | isbn = 978-0-534-39339-7
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/calculus0000stew
 }}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Thompson
 | first = Silvanus P.
 | date = September 8, 1998
 | title = Calculus Made Easy
 | edition = Revised, Updated, Expanded
 | place = New York
 | publisher = St. Martin's Press
 | isbn = 978-0-312-18548-0
}}

;Cărți online
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Crowell
 | first = Benjamin
 | title = Calculus
 | year = 2003
 | url = http://www.lightandmatter.com/calc/
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Garrett
 | first = Paul
 | year = 2004
 | title = Notes on First-Year Calculus
 | url = http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Hussain
 | first = Faraz
 | year = 2006
 | title = Understanding Calculus
 | url = http://www.understandingcalculus.com/
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Keisler
 | first = H. Jerome
 | year = 2000
 | title = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
 | url = http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
}}
*{{en icon}} {{Citation
 |last        = Mauch
 |first       = Sean
 |year        = 2004
 |title       = Unabridged Version of Sean's Applied Math Book
 |url         = http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
 |url-status     = dead
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
 |archive-date = 2006-04-15
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Sloughter
 | first = Dan
 | year = 2000
 | title = Difference Equations to Differential Equations
 | url = http://synechism.org/drupal/de2de/
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Strang
 | first = Gilbert
 | year = 1991
 | title = Calculus
 | url = http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
}}
*{{en icon}} {{Citation
 |last        = Stroyan
 |first       = Keith D.
 |year        = 1997
 |title       = A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
 |url         = http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm
 |url-status     = dead
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm
 |archive-date = 2005-09-11
}}
*{{en icon}} {{Citation
 | last = Wikibooks
 | title = Calculus
 | url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus
}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/ Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points]

[[Categorie:Analiză matematică]]
[[Categorie:Calcul diferențial]]
[[Categorie:Funcții matematice]]