Vizualizare sursă pentru „Derivată”

[[Fișier:Graph of sliding derivative line.gif|right|thumb|320px| În fiecare punct, derivata funcției <math>\scriptstyle f(x)=1 + x\sin x^2</math> este [[Pantă|panta]] (înclinarea) [[dreaptă|dreptei]] care este [[tangentă (geometrie)|tangentă]] la [[curbă]]. Dreapta care se mișcă este tangenta instantanee la [[:Categorie:Curbe plane|curbă]] în orice moment; este colorată în [[verde]] dacă este pozitivă, în [[negru]] dacă este [[zero]], respectiv în [[roșu]], dacă este negativă.]]

În [[matematică]], '''derivata''' unei [[funcție|funcții]] este unul dintre conceptele fundamentale ale [[Analiză matematică|analizei matematice]], împreună cu [[Primitivă|primitiva]] (inversa derivatei, adică integrala).

Derivata unei funcții într-un [[punct]] semnifică rata cu care se modifică [[valoare (matematică) |valoarea]] funcției atunci când se modifică [[argumentul unei funcții|argumentul]]. Cu alte cuvinte, derivata este o formulare matematică a noțiunii de '''rată de variație'''. Derivata este un concept foarte versatil, care poate fi privit în multe feluri. De exemplu, referindu-ne la [[graficul unei funcții|graficul]] bidimensional al funcției ''f'', derivata într-un punct ''x'' reprezintă [[pantă|panta]] [[tangentă (geometrie)|tangentei]] la grafic în punctul ''x''. Panta tangentei se poate aproxima printr-o [[secantă]]. Cu această interpretare geometrică, nu este surprinzător faptul că [[examinarea derivatelor|derivatele pot fi folosite]] pentru a descrie multe proprietăți geometrice ale graficelor de funcții, cum ar fi [[concavitate]]a și [[convexitate]]a.

Trebuie menționat că nu toate funcțiile admit derivate. De exemplu, funcțiile nu au derivate în punctele în care au o tangentă verticală, în punctele de [[continuitate (matematică)|discontinuitate]] și în [[punct de întoarcere |punctele de întoarcere]].

== Disputa Leibnitz–Newton ==
[[Calcul infinitezimal |Calculul diferențial și cel integral]] au fost inventate practic simultan, dar independent unul de celălalt, de către englezul [[Isaac Newton]] (1643–1727), respectiv de către matematicianul german [[Gottfried Wilhelm von Leibniz]] (1646–1716).

Se poate menționa, cu titlul aproape anecdotic, dar absolut real, că lumea științifică a momentului respectiv ([[1685]]-[[1690]]) asista, aproape „cu sufletul la gură”, timp de câțiva ani buni, la un dialog deschis și permanent al celor doi titani, Leibnitz și Newton. Doar după ce cei doi oameni de știință au ajuns la înțelegerea abordării conceptelor și noțiunilor din ambele puncte de vedere (al fizicianului și al matematicianului), după ce s-au pus de acord cu noțiunile preliminare, limitele și metodologia de [[abordare]] a conceptelor etc., cei doi au putut explica și restului lumii științifice despre ce este vorba.

== Derivată și derivabilitate ==

'''Derivata''' a apărut din necesitatea de a exprima rata cu care se modifică (variază) o cantitate ''y'' ca urmare a modificării (variației) unei alte cantități ''x'' de care este legată printr-o funcție. Folosind simbolul Δ pentru a nota modificarea (variația) unei cantități, această rată se definește ca [[limită (matematică)|limita]] raportului variațiilor (diferențelor):
:<math> \frac{\Delta y}{\Delta x} </math>
pe măsură ce Δ ''x'' tinde spre 0 sau altfel exprimat Δ ''x'' e în [[vecinătate (matematică)|vecinătatea]] lui 0. În notația lui [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Leibniz]], derivata lui ''y'' în raport cu ''x'' se scrie
:<math> \frac{dy}{dx} </math>
sugerând [[diferențe divizate|raportul a două diferențe numerice]] (cantități) [[infinitezimal]]e (în [[vecinătate (matematică)|vecinătatea]] lui 0). Expresia de mai sus se poate pronunța fie "''dy supra dx''", fie "''dy la dx''".

În limbajul matematic contemporan, nu se mai face referire la cantitățile care variază; derivata este considerată o operație matematică asupra funcțiilor. Definiția formală a acestei operații (care nu mai face uz de noțiunea de cantități ''[[infinitezimal]]e'') este dată de limita când ''h'' tinde la 0 (e în [[vecinătate (matematică)|vecinătatea]] lui 0) a următoarei expresii:
:<math> \frac{f(x+h) - f(x)}{h}. </math>

== Funcții derivabile ==
O funcție <math>f(x)</math> este [[funcție derivabilă |derivabilă]] într-un punct <math>x_0</math> dacă:
:<math>\exists \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L</math> și <math>L\in\mathbb{R}
</math>

Dacă <math>L \in \lbrace- \infty, +\infty \rbrace</math> atunci spunem că <math>f</math> are derivată dar nu este derivabilă

=== Relația dintre continuitate și derivabilitate ===
Fie <math>f:D \subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R, x_0 \in D \cap D\prime </math> unde <math>D \prime</math> este mulțimea [[Punct de acumulare (matematică)|punctelor de acumulare]]. Atunci:
:<math>f</math> derivabilă în <math>x_0 \Rightarrow f</math> continuă în <math>x_0</math>, dar :<math>f</math> poate fi [[Funcție continuă|continuă]] și nederivabilă (conversa afirmației este falsă)

== Derivarea funcțiilor obținute prin operații algebrice elementare ==
Fie <math>f,g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R, f</math> și <math>g</math> funcții derivabile pe domeniul lor de definiție. Atunci:
:<math>f' + g'=(f+g)'</math> ; 
:<math>(\lambda f)'=\lambda f'\ ,  \, \lambda \in \mathbb R</math> ;
:<math>(fg)'=f' g+f g'</math> ;
:<math>\biggl(\frac{f}{g}\biggr)' = \frac{f' g-f g'}{g^2}, \quad g(x)\neq 0</math>.
:<math>((g \circ f)(x))'=(g(f(x))'=g'(f(x))\cdot f'(x)</math>
Aceste [[egalitate (matematică) |egalități]] se pot demonstra pornind de la definiția derivatei.

=== Derivatele unor funcții elementare ===
* Putere:
: <math>f(x)=x^r</math>
unde ''r'' este număr [[Număr real|real]], atunci:
: <math>f'(x)=rx^{r-1}</math>
oriunde derivata este [[expresie bine definită|bine definită]].

* ''Funcția [[Funcție exponențială|exponențială]] și [[Logaritm|logaritmică]]'':
: <math>{d \over dx}a^x=a^xln(a)</math>
:<math>{d \over dx}log_ax={1 \over x\ ln(a)}</math>

* ''[[Funcție trigonometrică|Funcții trigonometrice:]]''
: <math>{d \over dx}sin(x)=cos(x)</math>
: <math>{d \over dx}cos(x)=-sin(x)</math>
: <math>{d \over dx}tan(x)={1 \over cos^2(x)}</math>
: <math>{d \over dx}cot(x)=-{1 \over sin^2(x)}
</math>
: <math>{d \over dx}sinh(x)=cosh(x)</math>
: <math>{d \over dx}cosh(x)=sinh(x)</math>
: <math>{d \over dx}tanh(x)=sech^2(x)</math>

* ''Funcții trigonometrice inverse'':
: <math>{d \over dx}arcsin(x)={1 \over \sqrt{1-x^2}}</math>
: <math>{d \over dx}arccos(x)=-{1 \over \sqrt{1-x^2}}</math>
: <math>{d \over dx}arctan(x)={1 \over 1+x^2}</math>
: <math>{d \over dx}arccot(x)=-{1 \over 1+x^2}</math>
: <math>{d \over dx}arcsinh(x)={1 \over \sqrt{x^2+1}}</math>
: <math>{d \over dx}arccosh(x)={1 \over \sqrt{x^2-1}}</math>
: <math>{d \over dx}arctanh(x)={1 \over 1-x^2}</math>
: <math>{d \over dx}arccoth(x)={1 \over 1-x^2}</math>
: Valabile pentru domeniile corespunzătoare de definiție.

== Notații ==
Dacă ''f'' este o funcție, derivata funcției ''f'' în punctul ''x'' se poate nota (simboliza) în mai multe moduri:
* <math> f'(x) \quad</math>
pronunțat "''f [[prim (semn)|prim]] de x''";
* <math> \frac{d}{dx} f (x) </math> 
pronunțat "''d pe d x din f de x''"; 
* <math> \frac{df}{dx} </math> 
pronunțat "''d f pe d x''"
* <math> D_x f \quad </math>
pronunțat "''d indice x de f''".

== Bibliografie ==
{{Refbegin}}
* Gh. Sirețchi, ''Analiză matematică'', Editura didactică și pedagogică.
* {{Citation
 | last = Anton
 | first = Howard
 | last2 = Bivens
 | first2 = Irl
 | last3 = Davis
 | first3 = Stephen
 | date = 2 februarie 2005
 | title = Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable
 | place = New York
 | publisher = Wiley
 | edition = 8th
 | isbn  = 978-0-471-47244-5
}}
* {{Citation
 | last = Apostol
 | first = Tom M.
 | author-link = Tom M. Apostol
 | date = June 1967
 | title = Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra
 | publisher = Wiley
 | edition = 2nd
 | volume = 1
 | isbn  = 978-0-471-00005-1
}}
* {{Citation
 | last = Apostol
 | first = Tom M.
 | date = June 1969
 | title = Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications
 | publisher = Wiley
 | edition = 2nd
 | volume = 1
 | isbn  = 978-0-471-00007-5
}}
* {{Citation
 | last = Courant
 | first = Richard
 | last2 = John
 | first2 = Fritz
 | date = 22 decembrie 1998
 | title = Introduction to Calculus and Analysis, Vol. 1
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn  = 978-3-540-65058-4
}}
* {{Citation
 | last = Eves
 | first = Howard
 | date = 2 ianuarie 1990
 | title = An Introduction to the History of Mathematics
 | edition = 6th
 | publisher = Brooks Cole
 | isbn  = 978-0-03-029558-4
}}
* {{Citation
 | last = Larson
 | first = Ron
 | last2 = Hostetler
 | first2 = Robert P.
 | last3 = Edwards
 | first3 = Bruce H.
 | date = 28 februarie 2006
 | title = Calculus: Early Transcendental Functions
 | edition = 4th
 | publisher = Houghton Mifflin Company
 | isbn  = 978-0-618-60624-5
}}
* {{Citation
 | last = Spivak
 | first = Michael
 | author-link = Michael Spivak
 | date = September 1994
 | title = Calculus
 | publisher = Publish or Perish
 | edition = 3rd
 | isbn  = 978-0-914098-89-8
}}
* {{Citation
 | last = Stewart
 | first = James
 | date = 24 decembrie 2002
 | title = Calculus
 | publisher = Brooks Cole
 | edition = 5th
 | isbn  = 978-0-534-39339-7
}}
* {{Citation
 | last = Thompson
 | first = Silvanus P.
 | date = 8 septembrie 1998
 | title = Calculus Made Easy
 | edition = Revised, Updated, Expanded
 | place = New York
 | publisher = St. Martin's Press
 | isbn  = 978-0-312-18548-0
}}
{{Refend}}

== Vezi și ==
* [[Tabel de derivate]]
* [[Derivată parțială]]
* [[Derivată funcțională]]
* [[Primitivă]]
* [[Factor integrant]]
* [[Teoria nodurilor]]
* [[Spațiu topologic]]
* [[Ecuație diferențială ordinară]]
* [[Funcție continuă]]
* [[Limită a unei funcții]]

== Legături externe ==

* {{Citation
 | last = Crowell
 | first = Benjamin
 | title = Calculus
 | year = 2003
 | url = http://www.lightandmatter.com/calc/
}}
* {{Citation
 | last = Garrett
 | first = Paul
 | year = 2004
 | title = Notes on First-Year Calculus
 | url = http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/
 | publisher = [[University of Minnesota]]
}}
* {{Citation
 | last = Hussain
 | first = Faraz
 | year = 2006
 | title = Understanding Calculus
 | url = http://www.understandingcalculus.com/
}}
* {{Citation
 | last = Keisler
 | first = H. Jerome
 | year = 2000
 | title = Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
 | url = http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html
}}
* {{Citation
 | last = Mauch
 | first = Sean
 | year = 2004
 | title = Unabridged Version of Sean's Applied Math Book
 | url = http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
 | access-date = 2011-02-07
 | archive-date = 2006-04-15
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html
 | dead-url = yes
 }}
* {{Citation
 | last = Sloughter
 | first = Dan
 | year = 2000
 | title = Difference Equations to Differential Equations
 | url = http://synechism.org/drupal/de2de/
}}
* {{Citation
 | last = Strang
 | first = Gilbert
 | year = 1991
 | title = Calculus
 | url = http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm
}}
* {{Citation
 | last = Stroyan
 | first = Keith D.
 | year = 1997
 | title = A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
 | url = http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm
}}
* {{Citation
 | last = Wikibooks
 | title = Calculus
 | url = http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus
}}
* [[Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]] "[http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html Derivative.]" From [[MathWorld]]
* [http://easycalculation.com/differentiation/differentiation-calculator.php Differentiation Calculator]
* [http://www.ugrad.math.ubc.ca/coursedoc/math100/notes/derivative/trig2.html Derivatives of Trigonometric functions], UBC
* [http://calculus.solved-problems.com/category/derivative/ Solved Problems in Derivatives] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130827111431/http://calculus.solved-problems.com/category/derivative/ |date=2013-08-27 }}

[[Categorie:Analiză matematică]]
[[Categorie:Calcul diferențial]]
[[Categorie:Funcții și cartografieri]]
[[Categorie:Operatori liniari în calcul diferențial]]