Vizualizare sursă pentru „Deplasare (geometrie)”

[[Fișier:Glide reflection.svg|right|thumb|300px|O [[reflexie translată]] este un tip de deplasare euclidiană]]
În [[geometrie]], o '''deplasare'''<ref name=VP>V. Popescu, [https://alpha.imag.pub.ro/~vpopescu/CURS_MM/GA.pdf ''Geometrie analitică'']{{Legătură nefuncțională|date=noiembrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}, pub.ro, accesat 2022-02-05, p.&nbsp;146</ref> este o [[izometrie]] a unui [[spațiu metric]]. De exemplu, un [[plan (geometrie)|plan]] echipat cu [[metrică |metrica]] [[distanță euclidiană |distanței euclidiene]] este un [[spațiu metric]] în care o aplicație care asociază [[figură geometrică |figuri]] [[congruență (geometrie) |congruente]] este o deplasare.<ref>{{en icon}} Gunter Ewald (1971) ''Geometry: An Introduction'', p. 179, Belmont: Wadsworth {{isbn|0-534-00034-7}}</ref> Mai general, termenul ''deplasare'' este un sinonim pentru izometria [[funcție surjectivă |surjectivă]] în geometria metrică,<ref>{{en icon}} M.A. Khamsi & W.A. Kirk (2001) ''An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theorems'', p. 15, John Wiley & Sons {{isbn|0-471-41825-0}}</ref> inclusiv [[Geometrie eliptică|geometria eliptică]] și [[geometrie hiperbolică |geometria hiperbolică]]. În acest din urmă caz, [[deplasare hiperbolică |deplasarea hiperbolică]] oferă o abordare a subiectului pentru începători.

Deplasările pot fi împărțite în directe și indirecte. Deplasările directe („proprii” sau „rigide”) sunt deplasări precum [[translație (geometrie) |translațiile]] și [[rotație (matematică) |rotațiile]] care păstrează [[orientare (geometrie) |orientarea]] unei [[formă |forme]] [[chiralitate (matematică) |chirale]]. Mișcările indirecte („improprii”) sunt mișcări precum [[reflexie (matematică) |reflexiile]], [[reflexie translată |reflexiile translate]] și [[rotație improprie |rotațiile improprii]], care inversează orientarea unei forme chirale. Unii geometri definesc deplasarea ca fiind doar deplasări directe.

== În geometria diferențială ==
În [[geometria diferențială]] un [[difeomorfism]] este numit deplasare dacă induce o izometrie între {{ill-wd| Q909601||spațiul tangent}} într-un punct la o [[varietate (geometrie) |varietate]] și spațiul tangent la imaginea acelui punct.<ref>{{en icon}} A.Z. Petrov (1969) ''Einstein Spaces'', p. 60, Pergamon Press</ref><ref>{{en icon}} B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P Novikov (1992) ''Modern Geometry – Methods and Applications'', second edition, p 24, Springer, {{isbn|978-0-387-97663-1}}</ref>

== Grupul deplasărilor ==
{{Articol principal|Grup de izometrie}}
Pentru o geometrie, mulțimea deplasărilor formează un [[grup (matematică) |grup]] față de {{ill-wd| Q244761||compunerea aplicațiilor}}. Acest ''grup de deplasări'' este remarcabil prin proprietățile sale. De exemplu, {{ill-wd| Q852195||grupul euclidian}} este remarcat pentru {{ill-wd| Q743179||subgrupul normal}} de translații. În [[plan (geometrie) |plan]], o mișcare euclidiană directă este fie o translație, fie o rotație, în timp ce în [[spațiu]] fiecare deplasare euclidiană directă poate fi exprimată ca o {{ill-wd| Q7439094||deplasare elicoidala}} conform [[Teorema lui Chasles (cinematică)|Teoremei lui Chasles]]. Când spațiul subiacent este o {{ill-wd| Q632814||varietate riemanniană}}, grupul de deplasări este un [[grup Lie]]. Mai mult, pentru fiecare pereche de puncte și fiecare izometrie varietatea are [[curbură constantă]] [[dacă și numai dacă]] există o deplasare care aplică un punct pe altul pentru care deplasarea induce izometria.<ref>{{en icon}} D.V. Alekseevskij, E.B. Vinberg, A.S. Solodonikov (1993) ''Geometry II'', p. 9, Springer, {{isbn|0-387-52000-7}}</ref>

În [[relativitate restrânsă |relativitatea restrânsă]] ideea unui grup de deplasări a fost avansată ca deplasări lorentziene. De exemplu, ideile fundamentale au fost prezentate pentru un plan caracterizat prin [[formă pătratică |forma pătratică]] <math>x^2 - y^2</math>.<ref>{{en icon}} Graciela S. Birman, Katsumi Nomizu, (1984), "Trigonometry in Lorentzian geometry", American Mathematical Monthly 91(9):543&ndash;9, group of motions: p 545</ref> Deplasările din [[spațiu Minkowski |spațiul Minkowski]] au fost descrise de Serghei Novikov în 2006:<ref>{{en icon}} Serghei Novikov, I.A. Taimov, (2006), ''Modern Geometric Structures and Fields'', Dmitry Chibisov translator, page 45, [[American Mathematical Society]] {{isbn|0-8218-3929-2}}</ref>
:Principiul fizic al vitezei constante a luminii este exprimat prin cerința ca schimbarea de la un [[sistem de referință inerțial]] la altul să fie determinată de o deplasare a spațiului Minkowski, adică de o transformare
::<math>\phi : R^{1,3} \mapsto  R^{1,3}</math> 
:care conservă [[interval (matematică) |intervalele]] din [[spațiu-timp]]. Aceasta înseamnă că
::<math>\langle \phi(x) - \phi(y),\  \phi(x) - \phi(y) \rangle \ =\ \langle x - y,\ x - y \rangle </math> 
:pentru fiecare pereche de puncte ''x'' și ''y'' din R<sup>1,3</sup>.

== Istoric ==
O apreciere timpurie a rolului deplasărilor în geometrie a fost dată de [[Alhazen]] (965–1039). În lucrarea sa, ''Spațiul și natura sa'',<ref>{{en icon}} ''Ibn Al_Haitham: Proceedings of the Celebrations of the 1000th Anniversary'', Hakim Mohammed Said editor, pages 224-7, Hamdard National Foundation, Karachi: The Times Press</ref> el folosește comparații ale dimensiunilor unui corp mobil pentru a cuantifica vidul spațiului imaginar.

În secolul al XIX-lea [[Felix Klein]] a devenit un susținător al [[teoria grupurilor |teoriei grupurilor]] ca mijloc de a clasifica geometriile în funcție de „grupurile de deplasări”. El a propus utilizarea [[grup de simetrie |grupurilor de simetrii]] în {{ill-wd| Q315296}}, o sugestie care a fost adoptată pe scară largă. El a observat că fiecare congruență euclidiană este o {{ill-wd| Q382497||transformare afină}}, iar fiecare dintre acestea este o {{ill-wd| Q2112539||transformare proiectivă}}; prin urmare grupul de proiectivități conține grupul de transformări afine, care la rândul său conține grupul de congruențe euclidiene. Termenul ''deplasare'' pune mai mult accent pe adjectivele: proiectiv, afin, euclidian. Contextul a fost astfel extins atât de mult încât „În [[topologie]] deplasările permise sunt deformații inversabile continue care ar putea fi numite deplasări elastice”.<ref>{{en icon}} Ari Ben-Menahem (2009) ''Historical Encyclopedia of the Natural and Mathematical Sciences'', v. I, p. 1789</ref>

Știința [[cinematică |cinematicii]] este dedicată modelării [[mișcare (fizică)|mișcării fizice]] în expresii de transformări matematice. Frecvent, transformarea poate fi scrisă folosind algebră vectorială și transformarea liniară. Un exemplu simplu este o rotație descrisă printr-o înmulțire de [[număr complex |numere complexe]]: <math>z \mapsto \omega z \ </math> unde <math>\omega = \cos \theta + i \sin \theta, \quad i^2 = -1</math>. Rotația în spațiu este realizată prin folosirea [[cuaternion]]ilor și a [[transformare Lorentz |transformărilor Lorentz]] ale [[spațiu-timp]]ului prin utilizarea {{ill-wd| Q2590607||bicuaternionilor}}. La începutul secolului al XX-lea, au fost examinate sistemele [[număr hipercomplex |numerelor hipercomplexe]]. Mai târziu [[grup de automorfisme |grupurile lor de automorfisme]] au condus la grupuri excepționale, cum ar fi {{ill-wd| Q869338|G2 (matematică)|G2}}.

În anii 1890 logicienii reduceau [[noțiune primitivă |noțiunile primitive]] de [[geometrie sintetică]] la un minim absolut. [[Giuseppe Peano]] și [[Mario Pieri]] au folosit expresia ''deplasare'' pentru congruența perechilor de puncte. În raportul său la [[Congresul Internațional de Filosofie]] din 1900 [[Alessandro Padoa]] a anunțat reducerea noțiunilor primitive doar la ''punct'' și ''deplasare''. La acest congres Peano l-a prezentat pe [[Bertrand Russell]] logicienilor Europeni. În cartea sa, ''Principles of Mathematics'' (1903), Russell a considerat o deplasare ca fiind o izometrie euclidiană care păstrează {{ill-wd| Q107472979|orientare (spațiu vectorial)|orientarea}}.<ref>{{en icon}} B. Russell (1903) ''Principles of Mathematics'', p 418. See also pp 406, 436</ref>

În 1914, când a scris ''Elements of Non-Euclidean Geometry'' (în {{ro|Elemente de geometrie neeuclidiană}}), [[Duncan Sommerville]] a folosit ideea unei deplasări geometrice pentru a stabili ideea de distanță în geometria hiperbolică.<ref>{{en icon}} D. M. Y. Sommerville (1914) [http://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABN6053.0001.001/1?rgn=works;view=pdf;rgn1=author;q1=Sommerville Elements of Non-Euclidean Geometry], page 179, link from University of Michigan, Historical Math Collection</ref> El explica:
:Prin deplasare în sens general nu se înțelege o schimbare de poziție a unui singur punct sau a unei figuri mărginite, ci o deplasare a întregului spațiu, sau, dacă avem de-a face doar cu două dimensiuni, a întregului plan. O deplasare este o transformare care schimbă fiecare punct ''P'' într-un alt punct ''P'' ′, astfel încât distanțele și unghiurile să rămână neschimbate.

== Axiomele deplasării ==
[[László Rédei]] a dat următoarele [[axiomă |axiome]] ale deplasării:<ref>{{en icon}} {{cite book|last1=Redei|first1=L|title=Foundation of Euclidean and non-Euclidean geometries according to F. Klein|date=1968|publisher=Pergamon|location=New York|pages=3–4}}</ref>
:1. Orice deplasare este o aplicație biunivocă spațiului {{mvar|R}} pe sine însuși, astfel încât fiecare trei puncte de pe o dreaptă să fie transformate în (trei) puncte de pe o dreaptă.
:2. Transformarea identică a spațiului {{mvar|R}} este o deplasare.
:3. Produsul a două deplasări este o deplasare.
:4. Inversa unei deplasări este o deplasare.
:5. Fiind date două plane {{mvar|A, A'}}, două drepte {{mvar|g, g'}} și două puncte {{mvar|P, P'}} astfel că {{mvar|P}} este pe {{mvar|g, g}} este pe {{mvar|A, P'}} este pe {{mvar|g'}} iar {{mvar|g'}} este pe {{mvar|A'}}, atunci există o deplasare care aplică {{mvar|A}} pe {{mvar|A'}}, {{mvar|g}} pe {{mvar|g'}} și {{mvar|P}} pe {{mvar|P'}}
:6. Fiind date un plan {{mvar|A}}, o dreaptă {{mvar|g}} și un punct {{mvar|P}}, astfel că {{mvar|P}} este pe {{mvar|g}} și {{mvar|g}} este pe {{mvar|A}}, atunci există patru deplasări care aplică {{mvar|A, g}} și {{mvar|P}} pe ei înșiși, și nu mai mult de două dintre aceste deplasări pot avea orice punct al lui {{mvar|g}} ca punct fix, în timp ce există una dintre ele (identitatea) pentru care fiecare punct a lui {{mvar|A}} este fix.
:7. Există trei puncte {{mvar|A, B, P}} pe dreapta {{mvar|g}} astfel încât {{mvar|P}} este între {{mvar|A}} și {{mvar|B}} și pentru fiecare punct {{mvar|C}} (diferit de {{mvar|P}}) între {{mvar|A}} și {{mvar|B}} există un punct {{mvar|D}} între {{mvar|C}} și {{mvar|P}} pentru care nu există vreo deplasare cu {{mvar|P}} fix care să aplice {{mvar|C}} pe un punct situat între {{mvar|D}} și {{mvar|P}}.

Axiomele 2 la 4 implică faptul că deplasările formează un grup.

Axioma 5 determină ca o deplasare să transforme orice dreaptă tot într-o dreaptă.

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Tristan Needham (1997) ''Visual Complex Analysis'', Euclidean motion p 34, direct motion p 36, opposite motion p 36, spherical motion p 279, hyperbolic motion p 306, Clarendon Press, {{isbn|0-19-853447-7}} .
* {{en icon}} Miles Reid, Balázs Szendröi (2005) ''Geometry and Topology'', [[Cambridge University Press]], {{isbn|0-521-61325-6}}, {{MathSciNet|id=2194744}}.

== Legături externe ==
{{Portal|matematică}}
* {{en icon}} [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Motion&oldid=18181 Motion. I.P. Egorov (originator), ''Encyclopedia of Mathematics''.]
* {{en icon}} [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Group_of_motions&oldid=16960 Group of motions. I.P. Egorov (originator), ''Encyclopedia of Mathematics''.]

[[Categorie:Geometrie metrică]]
[[Categorie:Geometrie diferențială]]
[[Categorie:Transformări]]