Vizualizare sursă pentru „Densitate (politop)”

[[Fișier:Star polygon 9 4.png|thumb|[[Frontieră (topologie) |Frontiera]] [[eneagramă |eneagramei]] regulate {9/4} se înfășoară în jurul centrului său de 4 ori, deci figura are o densitate de 4]]
În [[geometrie]] '''densitatea''' unui [[poliedru stelat]] este o generalizare a conceptului de {{ill-wd| Q576728||indice de rotație}} din două dimensiuni la dimensiuni superioare, reprezentând numărul de înfășurări ale [[poliedru]]lui în jurul [[simetrie față de centru |centrului său de simetrie]]. Ea poate fi determinată cu ajutorul unei [[semidreaptă |semidrepte]] de la centru la [[infinit]], care trece numai prin [[fațetă (geometrie) |fațetele]] [[politop]]ului (nu și prin celelalte elemente inferior dimensionale) și numărând prin câte fațete trece. La poliedrele la care acest număr nu depinde de alegerea semidreptei și pentru care punctul central nu este el însuși pe vreo fațetă, densitatea este dată de acest număr de fațete traversate de acea semidreaptă.

Același calcul poate fi efectuat pentru orice [[poliedru convex]], chiar și unul fără [[simetrie (geometrie) |simetrii]], alegând ca centru orice punct din [[interior (topologie) |interiorul]] poliedrului. Pentru aceste poliedre densitatea va fi&nbsp;1.

Mai general, pentru orice poliedru care nu se autointersectează, densitatea poate fi calculată ca fiind 1 printr-un calcul similar, luând o semidreaptă dintr-un punct interior care trece doar prin fațetele poliedrului, adăugând 1 atunci când această semidreaptă trece din interiorul în [[exterior (topologie) |exteriorul]] poliedrului și scăzând 1 când semidreapta trece din exterior în interiorul poliedrului. Totuși, această atribuire a semnelor la traversări nu se aplică în general poliedrelor stelate, deoarece acestea nu au un interior și exterior bine definite.

La [[teselare |teselările]] cu fețe care se suprapun se poate defini similar densitatea, ca fiind numărul de acoperiri de către fețe a unui punct dat.<ref>{{en icon}} Coxeter, H. S. M; ''The Beauty of Geometry: Twelve Essays'' (1999), Dover Publications, {{LCCN|99035678}}, {{ISBN|0-486-40919-8}} (206–214, Density of regular honeycombs in hyperbolic space)</ref>

== Poligoane ==
'''Densitatea unui poligon''' este numărul de câte ori frontiera poligonală se înfășoară în jurul centrului său, adică indicele de rotație. Pentru poligoane convexe și, în general, [[poligon simplu |poligoane simple]] (care nu se autointersectează), conform teoremei curbei Jordan densitatea este 1.

Densitatea unui poligon compus este suma densităților poligoanelor componente.

=== Poligoane stelate regulate ===
La un [[poligon stelat]] regulat {''p''/''q''}, densitatea este ''q''. Poate fi determinată vizual prin numărarea numărului minim de traversări ale laturilor de către o semidreaptă cu originea în centru.

=== Exemple ===
<gallery>
Equilateral pentagon-decatile3.svg|Un poligon cu o singură autointersectare, ca acest [[pentagon]] echilateral, are densitatea 0.
Equilateral pentagon-decatile1.svg|Pentagonul regulat, {5}, are densitatea 1
Isotoxal heptagram.svg|[[Heptagramă |Heptagrama]] [[Figură izotoxală |izotoxală]] tetradecagonală, {(7/2)<sub>&alpha;</sub>}, are densitatea 2, la fel ca și forma regulată {7/2}
Acute heptagram.svg|Heptagrama {7/3} are densitatea 3
Intersecting isotoxal hexagon compound2.svg|Compusul izotoxal de două [[hexagramă |hexagrame]] 2{(3/2)<sub>&alpha;</sub>} are densitatea 4
Intersecting isotoxal dodecagon.svg|[[Dodecagramă |Dodecagrama]] izotoxală {(6/5)<sub>&alpha;</sub>} are densitarea 5, la fel cu forma regulată {12/5}.
</gallery>

==Poliedre==
Un poliedru și [[poliedru dual |dualul său]] au aceeași densitate.

=== Curbura totală ===
Un poliedru poate fi considerat o suprafață cu {{ill-wd| Q945953||curbura gaussiană}} concentrată în vârfuri și definită de un [[deficit unghiular]]. Densitatea unui poliedru este egală cu curbura gaussiană totală (însumată pentru toate vârfurile sale) împărțită la 4{{math|&pi;}}.<ref>{{en icon}} [https://arxiv.org/abs/1804.03055 Geometry and the Imagination in Minneapolis] 17. The angle defect of a polyhedron; 20. Curvature of surfaces; 21. Gaussian curvature; 27.3.1 Curvature for Polyhedra pp. 32-51</ref>

De exemplu, un [[cub]] are 8 vârfuri, fiecare cu 3 [[pătrat]]e, având un deficit unghiular de {{math|&pi;}}/2. 8&nbsp;×&nbsp;{{math|&pi;}}/2&nbsp;=&nbsp;4{{math|&pi;}};. Deci densitatea cubului este 1.

=== Poliedre simple ===
Densitatea unui poliedru cu [[față (geometrie) |fețe]] și [[figura vârfului |figuri ale vârfurilor]] [[poligon simplu |simple]] este jumătate din [[caracteristică Euler#Poliedre|caracteristica Euler]], {{math|&chi;}}. Dacă [[Gen (matematică) |genul]] poliedrului este ''g'', densitatea sa este 1−''g''.
: <math>\chi = V-E+F = 2D = 2(1-g).</math>
<gallery>
Fișier:Hexahedron.png|Densitatea unui poliedru topologic analog cu o sferă este 1<br/>(exemplu: [[cub]]ul,<br/>V = 8, E = 12, F = 6)
Hexagonal torus.svg|Densitatea unui [[poliedru toroidal]] (de genul 1) este 0<br/>(exemplu: această formă hexagonală,<br />V = 24, E = 48, F = 24)
Fișier:Excavated truncated cuboctahedron2.png|Densitatea acestui toroid (de genul 5) este −4<br/>(exemplu: [[toroid Stewart |toroidul Stewart]],<br />V = 72, E = 168, F = 88)
</gallery>

=== Poliedre stelate regulate ===
[[Arthur Cayley]] a folosit ''densitatea'' ca o modalitate de a modifica formula lui Euler (<math>V-E+F = 2</math>) pentru a funcționa și pentru [[poliedru Kepler–Poinsot |poliedrele stelate regulate]], unde {{mvar|d<sub>v</sub>}} este densitatea figurii vârfului, {{mvar|d<sub>f</sub>}} cea a unei fețe și {{mvar|D}} a întregului poliedru:<ref>{{en icon}} Cromwell, P.; [https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&printsec=frontcover ''Polyhedra''], CUP hbk (1997), pbk. (1999). (Page 258)</ref>
:<math> d_v v - e + d_{f} f = 2 D</math>

De exemplu [[marele icosaedru]], {3,&nbsp;5/2}, are 20 de fețe triunghiulare (''d''<sub>f</sub>&nbsp;=&nbsp;1), 30 de laturi și 12 figuri ale vârfului pentagramice (''d''<sub>v</sub>&nbsp;=&nbsp;2), care dau
: <math>2\cdot 12-30+1\cdot 20 = 14 = 2D</math>
Asta generează densitatea 7. Formula lui Euler nemodificată eșuează la [[micul dodecaedru stelat]], {5/2,&nbsp;5}, și la dualul său, [[marele dodecaedru]], {5,&nbsp;5/2}, pentru care <math>V-E+F = -6</math>.

Poliedrele stelate regulate există în două perechi duale, fiecare figură având aceeași densitate ca și duala ei: o pereche (micul dodecaedru stelat&nbsp;– marele dodecaedru) are densitatea 3, în timp ce cealaltă ([[marele dodecaedru stelat]]&nbsp;– marele icosaedru) are densitatea 7.
{| class=wikitable width=320
|[[Fișier:Great icosahedron.png|160px]]
|[[Fișier:Great icosahedron cutplane.png|160px]]
|-
|colspan=2|[[Marele icosaedru]], {3,5/2}, (poliedru neconvex) are densitatea 7, cum se vede din secțiunea transparentă din dreapta
|}

=== Poliedre stelate generalizate ===
[[Edmund Hess]] a generalizat formula pentru poliedre stelate cu diferite tipuri de fețe, dintre care unele se pot plia înapoi peste altele. Valoarea rezultată pentru densitate corespunde numărului de câte ori poliedrul sferic asociat acoperă sfera.
:<math> \sum_{ i} d_{vi} v_i - e + \sum_{ i} d_{fi} f_i = 2 D</math>

Acest lucru i-a permis lui Coxeter și colaboratorilor săi să determine densitățile majorității [[poliedru uniform |poliedrelor uniforme]], care au un tip de vârf și mai multe tipuri de fețe.<ref>{{en icon}} Coxeter, 1954 (Section 6, Density and Table 7, Uniform polyhedra)</ref>
<gallery>
Double_wrapped_octagonal_prism.png|Densitatea [[prismă octogonală |prismei octogonale]], înfășurată de două ori este 2, {8/2}×{}, (pentru claritate, afișată aici cu vârfurile decalate).<br />V = 16, E = 24<br />F<sub>1</sub> = 8 {4}, F<sub>2</sub> = 2 {8/2}<br />cu d<sub>F1</sub> = 1, d<sub>F2</sub> = 2, d<sub>v</sub> = 1.
Pentagrammic prism.png|Densitatea [[prismă pentagramică |prismei pentagramice]], {5/2}×{} este 2.<br />V = 10, E = 15,<br />F<sub>1</sub> = 5 {4}, F<sub>2</sub> = 2 {5/2},<br />d<sub>F1</sub> = 1, d<sub>F2</sub> = 2.
</gallery>

=== Poliedre neorientabile ===
La [[Hemipoliedru|hemipoliedre]], la unele dintre fețele care trec prin centru densitatea nu poate fi definită.<!-- Centrul poate fi numărat ca o jumătate de punct, sau mai precis se poate defini densitatea ca „jumătate” din numărul de încrucișări ale unei linii de la infinit, prin centru, trecând pe cealaltă parte la infinit. --> Nici poliedrele {{ill-wd| Q2748415||neorientabile}} nu au densitățile bine definite.

== 4-politopuri regulate ==
[[Fișier:Ortho_solid_016-uniform_polychoron_p33-t0.png|thumb|[[Marele larg 120-celule stelat]] are densitatea 191]]
Există 10 [[4-politop regulat#Proprietăți |4-politopuri regulate stelate]] (numite ''4-politopuri Schläfli–Hess''), care au densități de 4, 6, 20, 66, 76 și 191. Ele vin în perechi duale, cu excepția celor autoduale, cu densitatea 6 și 66.

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Coxeter, H. S. M.; ''Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Coxeter | first1=H. S. M. | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | last3=Miller | first3=J. C. P. | title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446  | year=1954 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | issn=0080-4614 | volume=246 | issue=916 | pages=401–450 | doi=10.1098/rsta.1954.0003}}
* {{en icon}} {{Citation
| publisher = CUP Archive
| isbn = 978-0-521-22279-2
| last = Wenninger
| first = Magnus J.
| title = Spherical models
| chapter = An introduction to the notion of polyhedral density
| pages = [https://books.google.com/books?id=Olc5AAAAIAAJ&pg=PA132 132–134]
| year = 1979
}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=PolygonDensity | title=Polygon density }}

[[Categorie:Politopuri]]