Vizualizare sursă pentru „Decagramă”

{{Distinge|decagram}}
{{Infocaseta Poligon
| name = Decagramă regulată
| image = Regular_star_polygon_10-3.svg
| type = figură poligonală regulată
| euler = 
| edges = 10
| schläfli = {10/3}<br/>t{5/3}
| wythoff = 
| coxeter = {{CDD|node_1|10|rat|d3|node}}<br/>{{CDD|node_1|5-3|node_1}}
| symmetry = [[Grup diedral |Diedrală]] (D<sub>10</sub>)
| area  = 
| angle = 72
| dual  = [[autodual]]ă
| properties = [[poligon stelat |stelată]], [[Cerc circumscris |circumscriptibilă]], [[poligon echilateral |echilaterală]], [[figură izogonală |izogonală]], [[figură izotoxală |izotoxală]]
}}
În [[geometrie]] o '''decagramă''' este un [[poligon stelat]] cu zece [[vârf (geometrie) |vârfuri]]. Există o decagramă regulată, care are vârfurile unui [[decagon]] regulat, dar conectată din trei în trei vârfuri. [[Simbol Schläfli |Simbolurile sale Schläfli]] sunt {10/3} sau t{5/3}.<ref>{{en icon}} {{citation|title=Gems of Geometry|first=John|last=Barnes|publisher=Springer|year=2012|isbn=9783642309649|pages=28–29|url=https://books.google.com/books?id=7YCUBUd-4BQC&pg=PA28}}</ref>

Denumirea de ''decagramă'' provine din prefixul numeric ''deca-'' și sufixul din {{gr|γραμμῆς}} (''grammēs'') cu sensul de ''dreaptă''.<ref>{{en icon}} [https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dgrammh%2F γραμμή], Henry George Liddell, Robert Scott, ''A Greek-English Lexicon'', on Perseus</ref>

== Decagrama regulată ==
[[Fișier:Decagram lengths.svg|thumb|left]]
Pentru o decagramă regulată {10/3} cu lungimea [[latură (geometrie) |laturilor]] 1, proporțiile punctelor de intersecție pe fiecare latură sunt cele din imaginea de alături.

Se poate verifica că suma acestor cinci distanțe este egală cu 1, deoarece
:<math>3(\sqrt 5 -2) + 2\left(\frac12(7 - 3 \sqrt 5)\right) = 1,</math>
și că latura decagonului regulat (distanța dintre două vârfuri consecutive), coincide cu suma primelor două mărimi și este egală cu
:<math>(\sqrt 5 - 2) + \frac12(7 - 3 \sqrt 5) = \frac12(3-2\sqrt 5) = 0,3819660113\ldots</math>

Aria unei decagrame regulate este dublul ariei unei pentagrame regulate {5/2} cu aceeași lungime a laturii.<ref name=W>[https://demonstrations.wolfram.com/LindgrensDissectionOfOneDecagram103IntoTwoPentagrams52/ ''Lindgren's Dissection of One Decagram {10/3} into Two Pentagrams {5/2}''], wolfram.com, accesat 2022-10-22</ref> Întucât aria unei pentagrame regulate cu latura de lungime {{mvar|a}} este:<ref name=rechner>{{de icon}} [https://rechneronline.de/pi/pentagramm.php Pentagramm - Rechner], rechneronline.de, accesat 2022-10-22</ref>
:<math>A = 0,5 \sqrt{5(5-2\sqrt{5})}\,l^2,</math>
unde <math>l = a/\varphi</math>, cu <math>\varphi = 1,618034\ldots</math> ([[secțiunea de aur]]),

aria decagramei este:
:<math>A = \frac{1}{\varphi^2}\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}\,a^2,</math>

Pentru {{mvar|a}} = 1, aria este &approx;0,6205414.

== Aplicații ==
[[Fișier:Girih tiles.svg|thumb|left|Setul de 5 plăci decorative ''girih'']]
Decagramele au fost folosite ca unul dintre motivele decorative în plăcile decorative ''girih''.<ref>{{en icon}} {{citation|contribution=Polyhedral Modularity in a Special Class of Decagram Based Interlocking Star Polygons|title=Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture|first=Reza|last=Sarhangi|year=2012|url=http://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-165.pdf|pages=165–174}}</ref>
{{-}}
== Variante izotoxale ==
Un [[Figură izotoxală#Poligoane_izotoxale |poligon izotoxal]] are două vârfuri și o latură. Există forme de decagrame izotoxale, care alternează vârfuri la două raze. Fiecare formă are libertatea alegerii unui unghi. În figura de mai jos, cea din stânga este o variantă cu înfășurare dublă a unui pentagon {5}, cea din dreapta este o variantă cu înfășurări duble a unei pentagrame {5/2}, iar cea din mijloc este varianta decagramei regulate, {10/3}.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
|[[Fișier:Intersecting isotoxal decagon2.svg|160px]]<br/>{(5/2)<sub>α</sub>}
|[[Fișier:Isotoxal decagram.svg|160px]]<br/>{(5/3)<sub>α</sub>}
|[[Fișier:Intersecting isotoxal decagon.svg|160px]]<br/>{(5/4)<sub>α</sub>}
|}

== Figuri înrudite ==
O decagramă obișnuită este o ''poligramă'' cu 10 laturi, reprezentată prin simbolul {10/n}, care are aceleași vârfuri ca și decagonul regulat. Doar una dintre aceste poligrame, {10/3} (care leagă fiecare al treilea vârf), formează un [[poligon stelat]] regulat, dar există și trei poligrame cu zece vârfuri care pot fi interpretate drept compuși regulați:<ref>{{en icon}} Regular polytopes, p 93-95, regular star polygons, regular star compounds</ref><ref>{{en icon}} Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 ''Star polygons'' p.36-38</ref>

* {10/5} este un compus din cinci [[digon |digoane]] degenerate 5{2}
* {10/4} este un compus din două [[pentagramă |pentagrame]] 2{5/2}
* {10/2} este un compus din două [[pentagon |pentagoane]] 2{5}.
{| class=wikitable width=360 style="text-align:center;"
!Formă
!Convex
!Compus
!Stelat
!colspan=2|Compuși
|- valign=top
!Imagine
|BGCOLOR="#ffe0e0"|[[Fișier:Regular polygon 10.svg|120px]]
|BGCOLOR="#e0e0ff"|[[Fișier:Regular star figure 2(5,1).svg|120px]]
|BGCOLOR="#ffe0e0"|[[Fișier:Regular star polygon 10-3.svg|120px]]
|BGCOLOR="#e0e0ff"|[[Fișier:Regular star figure 2(5,2).svg|120px]]
|[[Fișier:Regular star figure 5(2,1).svg|120px]]
|-
!Simbol
!{10/1} = {10}
|{10/2} = 2{5}
|{10/3}
|{10/4} = 2{5/2}
|{10/5} = 5{2}
|}

{10/2} poate fi văzut ca echivalentul [[bidimensional]] al [[compus de dodecaedru și icosaedru |compusului de dodecaedru și icosaedru]] [[tridimensional]] și [[compus de 120-celule și 600-celule |compusului de 120-celule și 600-celule]] [[cvadridimensional]]; adică compusul a două [[politop]]uri pentagonale în pozițiile lor duale respective.

{10/4} poate fi văzut ca echivalentul bidimensional al [[compus de micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru |compusului de micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru]] sau al [[compus de marele icosaedru și marele dodecaedru stelat |compusul de marele icosaedru și marele dodecaedru stelat]] din motive similare. Are șase analogi în cvadridimensional, doi dintre aceștia fiind compuși de două politopuri stelate autoduale, ca pentagrama însăși; [[compus de două mari 120-celule |compusul de două mari 120-celule]] și [[compusul de două mari 120-celule stelat]].

Trunchieri mai mari ale pentagonului regulat și pentagramei pot produce forme de poligoane stelate intermediare cu zece vârfuri egal distanțate și laturi de două lungimi care rămân [[figură izogonală |tranzitive pe vârfuri]] (oricare două vârfuri pot fi transformate unul în celălalt printr-o simetrie a figurii).<ref>{{en icon}} The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), ''Metamorphoses of polygons'', [[Branko Grünbaum]].</ref><ref>{{en icon}} {{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | last3=Miller | first3=J. C. P. | title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446  | year=1954 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=411 | publisher=The Royal Society | doi=10.1098/rsta.1954.0003 | bibcode=1954RSPTA.246..401C | s2cid=202575183 }}</ref><ref>{{en icon}} Coxeter, The Densities of the Regular polytopes I, p.&nbsp;43</ref>
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+Trunchieri izogonale ale pentagonului și pentagramei
!Cvasiregulat
!colspan=2|Izogonal
!Cvasiregulat<br/>Dublă acoperire
|- valign=top
|BGCOLOR="#ffe0e0"|[[Fișier:regular polygon truncation 5 1.svg|120px]]<br/>t{5} = {10}
|[[Fișier:regular polygon truncation 5 2.svg|120px]]
|[[Fișier:regular polygon truncation 5 3.svg|120px]]
|BGCOLOR="#e0e0ff"|[[Fișier:Regular star polygon 5-2.svg|120px]]<br/>t{5/4} = {10/4} = 2{5/2}
|- valign=top
|BGCOLOR="#ffe0e0"|[[Fișier:regular star truncation 5-3 1.svg|120px]]<br/>t{5/3} = {10/3}
|[[Fișier:regular star truncation 5-3 2.svg|120px]]
|[[Fișier:regular star truncation 5-3 3.svg|120px]]
|BGCOLOR="#e0e0ff"|[[Fișier:Regular polygon 5.svg|120px]]<BR>t{5/2} = {10/2} = 2{5}
|}

== Note ==
<references responsive/>

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{Commonscat-inline|Ten-pointed stars}}

{{Poligoane}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Poligoane stelate|10]]