Vizualizare sursă pentru „Cvadrivector”

{{Traducere automată|dată=februarie 2025}}
{{Spațiu-timp|cTopic=Mathematics}}

În [[Teoria relativității restrânse|relativitatea specială]], un '''cvadrivector''' (uneori '''vectorul Lorentz''')<ref>Rindler, W. ''Introduction to Special Relativity (2nd edn.)'' (1991) Clarendon Press Oxford {{ISBN|0-19-853952-5}}</ref> este un obiect matematic cu patru componente, care se transformă într-un mod specific sub efectul [[Transformările lui Lorentz|transformărilor Lorentz]]. Mai precis, un cvadrivector este un element al unui [[spațiu vectorial]] cvadridimensional considerat ca [[Teoria reprezentării|spațiu de reprezentare]] a [[Teoria reprezentării grupului Lorentz|reprezentării standard]] a [[grupul Lorentz|grupului Lorentz]], reprezentarea ({{sfrac|1|2}},{{sfrac|1|2}} ). El diferă de un [[vector euclidian]] prin modul în care este determinată mărimea sa. Transformările care păstrează această mărime sunt transformările Lorentz, care includ [[grupul de rotație SO(3)|rotațiile spațiale]] și [[Transformările lui Lorentz|impulsurile]] (o schimbare cu o viteză constantă într-un alt [[Sistem de referință inerțial|cadru de referință inerțial]]).<ref name="BaskalKim2015">{{Citat carte|nume=Sibel Baskal|nume2=Young S Kim|nume3=Marilyn E Noz|titlu=Physics of the Lorentz Group|dată=1 November 2015|editură=Morgan & Claypool Publishers|isbn=978-1-68174-062-1}}</ref>{{Rp|ch1}}

Cvadrivectorii descriu, de exemplu, poziția <math>x^\mu</math> în spațiu-timp modelat ca [[spațiu Minkowski]], [[Patru impuls|impulsul cvadruplu]] al unei particule <math>p^\mu</math>, amplitudinea [[Cu patru potențiale electromagnetice|potențialului cvadruplu electromagnetic]] <math>A^\mu(x)</math> într-un punct {{Mvar|x}} din spațiu-timp și elementele subspațiului acoperit de [[Matrici gamma|matricele gamma]] din cadrul [[Teoria reprezentării grupului Lorentz|algebrei Dirac]].

Grupul Lorentz poate fi reprezentat prin matrici 4×4 {{Math|Λ}}. Acțiunea unei transformări Lorentz asupra unui cvadrivector [[covarianța și contravarianța vectorilor|contravariant]] general {{Mvar|X}} (ca în exemplele de mai sus), considerat ca un vector coloană cu [[coordonate carteziene]] în raport cu un [[Sistem de referință inerțial|cadru inerțial]] în intrări, este dată de formula

<math>X' = \Lambda X,</math>

(înmulțire matriceală) în care componentele obiectului primat se referă la noul cadru. În legătură cu exemplele de mai sus care sunt date ca vectori contravarianți, există, de asemenea, [[covarianța și contravarianța vectorilor|vectorii covarianți]] corespunzători {{Math|''x''<sub>''μ''</sub>}}, {{Math|''p''<sub>''μ''</sub>}} și {{Math|''A''<sub>''μ''</sub>(''x'')}}. Aceștia se transformă în conformitate cu regula

<math>X' = \left(\Lambda^{-1}\right)^\textrm{T} X,</math>

unde {{Math|<sup>T</sup>}} reprezintă [[Matrice transpusă|transpusa matricei]]. Această regulă este diferită de cea de mai sus. Ea corespunde [[Reprezentare dublă|reprezentării duble]] a reprezentării standard. Cu toate acestea, pentru grupul Lorentz, dublul oricărei reprezentări este [[Teoria reprezentării grupului Lorentz|echivalent]] cu reprezentarea originală. Astfel, obiectele cu indici covarianți sunt și ele cvadrivectori.

Pentru un exemplu de obiect cu patru componente în relativitatea specială care se comportă bine și care nu este un cvadrivector, a se vedea {{Ill-wd|Q4087251|3=bispinor}}. Acesta este definit în mod similar, cu diferența că regula de transformare sub transformări Lorentz este dată de o altă reprezentare decât reprezentarea standard. În acest caz, regula este {{Math|''X''′ {{=}} Π(Λ)''X''}}, unde {{Math|Π(Λ)}} este o matrice 4×4 diferită de {{Math|Λ}}. Observații similare se aplică obiectelor cu mai puține sau mai multe componente care se comportă bine în cazul transformărilor Lorentz. Acestea includ [[Câmp scalar|scalari]], {{Ill-wd|Q604907|3=spinori}}, [[Câmp tensorial|tensori]] și spinori-tensori.

Articolul are în vedere cvadrivectori în contextul relativității speciale. Deși conceptul de cvadrivectori se extinde și la [[Teoria relativității generale|relativitatea generală]], unele dintre rezultatele enunțate în acest articol necesită modificări în relativitatea generală.

== Notație ==
Notațiile din acest articol sunt: litere aldine mici pentru vectori [[Spațiu tridimensional|tridimensionali]], pălării pentru [[Versor|vectori unitari]] tridimensionali, litere aldine majuscule pentru vectori [[Spațiu-timp|cvadridimensionali]] (cu excepția gradientului cvadrimensional) și [[Notarea indicelui tensor|notația indicilor tensoriali]].

== Algebră cu cvadrivectori ==

=== Cvadrivectori într-o bază cu valori reale ===
Un '''cvadrivector''' ''A'' este un vector cu o componentă „temporală” și trei componente „spațiale” și poate fi scris în diverse notații echivalente:<ref>Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (BSA), 2006, {{ISBN|0-07-145545-0}}</ref><math display="block"> \begin{align} 
  \mathbf{A} & = \left(A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3\right) \\
  & = A^0\mathbf{E}_0 + A^1 \mathbf{E}_1 + A^2 \mathbf{E}_2 + A^3 \mathbf{E}_3 \\
  & = A^0\mathbf{E}_0 + A^i \mathbf{E}_i \\
  & = A^\alpha\mathbf{E}_\alpha
\end{align}</math>unde ''A <sup>α</sup>'' este componenta mărimii și '''E'''<sub>α</sub> este componenta [[Bază (algebră liniară)|vectorului de bază]]; rețineți că ambele sunt necesare pentru a face un vector și că, atunci când ''A<sup>α</sup>'' este văzut singur, se referă strict la <em>componentele</em> vectorului.

Indicii superiori indică componentele [[covarianța și contravarianța vectorilor|contravariante]]. Aici, convenția standard este că indicii latini iau valori pentru componentele spațiale, astfel încât ''i'' = 1, 2, 3, iar indicii greci iau valori pentru componentele spațiale ''și temporale'', astfel încât ''α'' = 0, 1, 2, 3, utilizate cu [[notația Einstein|convenția de însumare]]. Separarea dintre componenta temporală și componentele spațiale este utilă atunci când se determină contracțiile unui cvadrivector cu alte cantități tensoriale, cum ar fi pentru calcularea invarianților Lorentz în produsele interne (exemplele sunt prezentate mai jos) sau pentru [[ridicarea și coborârea indicilor]].

În relativitatea specială, baza spațială '''E'''<sub>1</sub>, '''E'''<sub>2</sub>, '''E'''<sub>3</sub> și componentele ''A''<sup>1</sup>, ''A''<sup>2</sup>, ''A''<sup>3</sup> sunt adesea baze și componente [[Coordonate carteziene|carteziene]]:<math display="block"> \begin{align} 
  \mathbf{A} & = \left(A_t, \, A_x, \, A_y, \, A_z\right) \\
  & = A_t \mathbf{E}_t + A_x \mathbf{E}_x + A_y \mathbf{E}_y + A_z \mathbf{E}_z \\
\end{align}</math>deși, desigur, se poate utiliza orice altă bază și componente, cum ar fi [[Coordonate sferice|coordonatele polare sferice]]<math display="block"> \begin{align} 
  \mathbf{A} & = \left(A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_\phi\right) \\
  & = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_\phi \mathbf{E}_\phi \\
\end{align}</math>sau [[Coordonate polare#Coordonate cilindrice|coordonate polare cilindrice]],<math display="block"> \begin{align} 
  \mathbf{A} & = (A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_z) \\
  & = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_z \mathbf{E}_z \\
\end{align}</math>sau orice alte [[coordonate ortogonale]], sau chiar [[coordonate curbilinii]] generale. Rețineți că etichetele coordonatelor sunt întotdeauna subscrise ca etichete și nu sunt indici care iau valori numerice. În relativitatea generală, trebuie utilizate coordonate curbilinii locale într-o bază locală. Din punct de vedere geometric, un cvadrivector poate fi interpretat în continuare ca o săgeată, dar în spațiu-timp - nu doar în spațiu. În relativitate, săgețile sunt desenate ca parte a [[Diagrama Minkowski|diagramei Minkowski]] (numită și ''diagrama spațiu-timp''). În acest articol, cvadrivectorii vor fi denumiți pur și simplu vectori.

De asemenea, se obișnuiește să se reprezinte bazele prin [[Vector linie și vector coloană|vectori coloană]]:<math display="block">
  \mathbf{E}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad
  \mathbf{E}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad
  \mathbf{E}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad
  \mathbf{E}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
</math>astfel încât:<math display="block"> \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} </math>Relația dintre coordonatele [[covarianța și contravarianța vectorilor|covariante]] și contravariante se face prin intermediul [[tensor metric|tensorului metric]] [[Spațiu Minkowski|Minkowski]] (denumit metrică), ''η,'' care [[ridicarea și coborârea indicilor|ridică și coboară indicii]] după cum urmează:
<math display="block">A_{\mu} = \eta_{\mu \nu} A^{\nu} \,, </math>și, în diferite notații echivalente, componentele covariante sunt:<math display="block"> \begin{align} 
  \mathbf{A} & = (A_0, \, A_1, \, A_2, \, A_3) \\
  & = A_0\mathbf{E}^0 + A_1 \mathbf{E}^1 + A_2 \mathbf{E}^2 + A_3 \mathbf{E}^3 \\
  & = A_0\mathbf{E}^0 + A_i \mathbf{E}^i \\
  & = A_\alpha\mathbf{E}^\alpha\\
\end{align}</math>unde indicele coborât indică faptul că este [[covarianța și contravarianța vectorilor|covariantă]]. Adesea, metrica este diagonală, așa cum este cazul [[Coordonate ortogonale|coordonatelor ortogonale]] (a se vedea [[Element de linie|elementul de linie]]), dar nu și în cazul [[coordonate curbilinii|coordonatelor curbilinii]] generale.

Bazele pot fi reprezentate prin [[Vector linie și vector coloană|vectori coloană]]:<math display="block">
  \mathbf{E}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad
  \mathbf{E}^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad
  \mathbf{E}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad
  \mathbf{E}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
</math>astfel încât:<math display="block"> \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} </math>Motivația convențiilor de mai sus constă în faptul că produsul scalar este un scalar, a se vedea mai jos pentru detalii.

=== Transformarea Lorentz ===
Având în vedere două [[Sistem de referință|cadre de referință]] inerțiale sau rotite, un cvadrivector este definit ca o mărime care se transformă în funcție de matricea [[Transformările lui Lorentz|de transformare Lorentz]] '''Λ''':<math display="block">\mathbf{A}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{A}</math>În notația indicelui, componentele contravariante și covariante se transformă în conformitate cu, respectiv:<math display="block">{A'}^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu A^\nu \,, \quad{A'}_\mu = \Lambda_\mu {}^\nu A_\nu</math>în care matricea {{Math|'''Λ'''}} are componentele {{Math|Λ''<sup>μ</sup><sub>ν</sub>''}} în rândul {{Math|''μ''}} și coloana {{Math|''ν''}}, iar matricea {{Math|('''Λ'''<sup>−1</sup>)<sup>T</sup>}} are componentele {{Math|Λ''<sub>μ</sub><sup>ν</sup>''}} în rândul {{Math|''μ''}} și coloana {{Math|''ν''}}.

Pentru informații despre natura acestei definiții a transformării, a se vedea [[tensor]]. Toți cvadrivectorii se transformă în același mod, iar acest lucru poate fi generalizat la tensori relativistici cvadridimensionali; a se vedea [[Teoria relativității restrânse|relativitatea specială]].

==== Rotații pure în jurul unei axe arbitrare ====
Pentru două cadre rotite cu un unghi fix {{Math|''θ''}} în jurul unei axe definite de [[Versor|versorul]]:<math display="block">\hat{\mathbf{n}} = \left(\hat{n}_1, \hat{n}_2, \hat{n}_3\right)\,,</math>fără nicio amplificare, matricea '''Λ''' are componentele date de:<ref>{{Citat carte|nume=C.B. Parker|titlu=McGraw Hill Encyclopaedia of Physics|editură=McGraw Hill|ediție=2nd|pagină=[https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/1333 1333]|an=1994|isbn=0-07-051400-3|url=https://archive.org/details/mcgrawhillencycl1993park/page/1333}}</ref><math display="block">\begin{align}
                 \Lambda_{00} &= 1 \\
  \Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} &= 0 \\
                 \Lambda_{ij} &= \left(\delta_{ij} - \hat{n}_i \hat{n}_j\right) \cos\theta - \varepsilon_{ijk} \hat{n}_k \sin\theta + \hat{n}_i \hat{n}_j
\end{align}</math>unde ''δ<sub>ij</sub>'' este [[delta Kronecker]], iar ''ε<sub>ijk</sub>'' este simbolul [[Simbol Levi-Civita|Levi-Civita]] [[Spațiu tridimensional|tridimensional]]. Componentele spațiale ale cvadrivectorilor sunt rotite, în timp ce componentele temporale rămân neschimbate.

În cazul rotirilor numai în jurul axei ''z'', partea spațială a matricei Lorentz se reduce la [[matrice de rotație|matricea de rotație]] în jurul axei ''z'':<math display="block">
  \begin{pmatrix}
    {A'}^0 \\ {A'}^1 \\ {A'}^2 \\ {A'}^3
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 & 0 \\
    0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
    0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
    0 & 0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3
  \end{pmatrix}\ .
</math>

==== Amplificări absolute într-o direcție arbitrară ====
[[Fișier:Standard_conf.png|dreapta|miniatura|300x300px| Configurația standard a sistemelor de coordonate; pentru un impuls Lorentz în direcția ''x''.]]
Pentru două cadre care se deplasează cu trei viteze relative constante '''v''' (nu cu patru viteze, [[cuadrivector|a se vedea mai jos]]), este convenabil să se denumească și să se definească viteza relativă în unități de ''c'' prin:<math> \boldsymbol{\beta} = (\beta_1,\,\beta_2,\,\beta_3) = \frac{1}{c}(v_1,\,v_2,\,v_3) = \frac{1}{c}\mathbf{v} \,. </math>Atunci, fără rotații, matricea '''Λ''' are componentele date de:<ref>Gravitation, J.B. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISAN 0-7167-0344-0</ref><math display="block">\begin{align}
                 \Lambda_{00} &= \gamma, \\
  \Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} &= -\gamma \beta_{i}, \\
  \Lambda_{ij} = \Lambda_{ji} &= (\gamma - 1)\frac{\beta_{i}\beta_{j}}{\beta^2} + \delta_{ij} = (\gamma - 1)\frac{v_i v_j}{v^2} + \delta_{ij}, \\
\end{align}</math>unde [[Factor Lorentz|factorul Lorentz]] este definit de:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\beta}}} \,,</math> iar {{Math|''δ<sub>ij</sub>''}} este [[delta Kronecker]]. Spre deosebire de cazul rotațiilor absolute, componentele spațiale și temporale sunt amestecate în cazul amplificărilor.

Pentru cazul unei amplificări doar în direcția ''x'', matricea se reduce la:<ref>Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, B.G. Smith, Wiley, 2009, ISAN 978-0-470-01460-8</ref><ref>Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (ASB), 2006, ISAN 0-07-145545-0</ref><math>
 \begin{pmatrix}
  A'^0 \\ A'^1 \\ A'^2 \\ A'^3
 \end{pmatrix} =
 \begin{pmatrix}
   \cosh\phi &-\sinh\phi & 0 & 0 \\
  -\sinh\phi & \cosh\phi & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & 1 \\
 \end{pmatrix}
 \begin{pmatrix}
  A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3
 \end{pmatrix} 
</math>În cazul în care a fost utilizată expresia [[Rapiditate|rapidității]] {{Math|''ϕ''}}, scrisă în termenii [[Funcție hiperbolică|funcțiilor hiperbolice]]:<math>\gamma = \cosh \phi</math>. Această matrice Lorentz ilustrează amplificarea ca fiind o ''[[rotație hiperbolică]]'' în spațiu-timpul cvadridimensional, analogă cu rotația circulară de mai sus în spațiul tridimensional.

=== Proprietăți ===

==== Liniaritate ====
Cvadrivectorii au aceleași [[Algebră liniară|proprietăți de liniaritate]] ca și [[Vector euclidian|vectorii euclidieni]] în [[Spațiu tridimensional|trei dimensiuni]]. Aceștia pot fi adunați în modul obișnuit de intrare:<math>\mathbf{A} + \mathbf{B} = \left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) + \left(B^0, B^1, B^2, B^3\right) = \left(A^0 + B^0, A^1 + B^1, A^2 + B^2, A^3 + B^3\right)</math>și, în mod similar, [[Înmulțirea cu un scalar|înmulțirea scalară]] cu un [[Scalar (matematică)|scalar]] ''λ'' este definită la intrare prin:<math>\lambda\mathbf{A} = \lambda\left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) = \left(\lambda A^0, \lambda A^1, \lambda A^2, \lambda A^3\right)</math>Atunci, scăderea este operația inversă a adunării, definită la intrare prin:<math>\mathbf{A} + (-1)\mathbf{B} = \left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) + (-1)\left(B^0, B^1, B^2, B^3\right) = \left(A^0 - B^0, A^1 - B^1, A^2 - B^2, A^3 - B^3\right)</math>

==== Tensorul Minkowski ====
Aplicând [[Spațiu Minkowski|tensorul Minkowski]] {{Math|''η<sub>μν</sub>''}} la doi cvadrivectori {{Math|'''A'''}} și {{Math|'''B'''}}, scriind rezultatul în notația [[Produs scalar|produsului scalar]], avem, folosind [[notația Einstein|notația lui Einstein]]:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} B^{\nu} \mathbf{E}_{\mu} \cdot \mathbf{E}_{\nu} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} </math>în relativitatea specială. Produsul scalar al vectorilor de bază este metrica Minkowski, spre deosebire de delta Kronecker, ca în spațiul euclidian. Este convenabil să se rescrie definiția sub formă [[Matrice|de matrice]]:<math>\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_{00} & \eta_{01} & \eta_{02} & \eta_{03} \\ \eta_{10} & \eta_{11} & \eta_{12} & \eta_{13} \\ \eta_{20} & \eta_{21} & \eta_{22} & \eta_{23} \\ \eta_{30} & \eta_{31} & \eta_{32} & \eta_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} </math>caz în care {{Math|''η<sub>μν</sub>''}} de mai sus este intrarea în rândul {{Math|''μ''}} și coloana {{Math|''ν''}} a metricii Minkowski ca matrice pătrată. Metrica Minkowski nu este o [[Distanță euclidiană|metrică euclidiană]], deoarece este indefinită (a se vedea [[signatură|signatura metrică]]). Se pot folosi o serie de alte expresii, deoarece tensorul metric poate ridica și coborî componentele lui {{Math|'''A'''}} sau {{Math|'''B'''}}. Pentru componentele contra/covariante ale lui {{Math|'''A'''}} și componentele co/contravariante ale lui {{Math|'''B'''}}, avem:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} = A_{\nu} B^{\nu} = A^{\mu} B_{\mu} </math>deci în notația matriceală:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}
 = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix}
 = \begin{pmatrix} B_0 & B_1 & B_2 & B_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix}
</math>în timp ce pentru {{Math|'''A'''}} și {{Math|'''B'''}} fiecare în componente covariante:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{\mu} \eta^{\mu \nu} B_{\nu}</math> cu o expresie matriceală similară cu cea de mai sus.

Aplicând tensorul Minkowski la un cvadrivector '''A''' cu el însuși, obținem:<math>\mathbf{A \cdot A} = A^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu </math>care, în funcție de caz, poate fi considerat pătratul sau negativul lungimii vectorului.

În continuare sunt prezentate două opțiuni comune pentru tensorul metric în [[Spațiu Minkowski|baza standard]] (în esență, coordonate carteziene). Dacă se utilizează coordonate ortogonale, ar exista factori de scalare de-a lungul părții diagonale a părții spațiale a metricii, în timp ce pentru coordonate curbilinii generale întreaga parte spațială a metricii ar avea componente dependente de baza curbilinie utilizată.

===== Baza standard, signatura (−++) =====
În [[signatură|signatura metrică]] (+−−−), evaluarea [[notația Einstein|însumării peste indici]] dă:<math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 </math>în timp ce în formă de matrice:<math>\mathbf{A \cdot B}
 = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
   1 & 0 & 0 & 0 \\
   0 & -1 & 0 & 0 \\
   0 & 0 & -1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & -1
  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix}
</math>Este o temă recurentă în relativitatea specială să luăm expresia<math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = C</math>într-un [[Sistem de referință|cadru de referință]], unde ''C'' este valoarea produsului scalar în acest cadru, și:<math> \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3 {B'}^3 = C' </math>într-un alt cadru, în care ''C''&#x2032; este valoarea produsului scalar în acest cadru. Atunci, deoarece produsul scalar este un invariant, acestea trebuie să fie egale:<math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' </math>adică este:<math> C = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3{B'}^3 </math>Având în vedere că mărimile fizice în relativitate sunt cvadrivectori, această ecuație are aspectul unei „[[Lege de conservare|legi de conservare]]”, dar nu este vorba de nicio „conservare”. Principala semnificație a produsului scalar Minkowski este că, pentru oricare doi cvadrivectori, valoarea sa este [[invarianță|invariabilă]] pentru toți observatorii; o schimbare a coordonatelor nu are ca rezultat o schimbare a valorii produsului scalar. Componentele cvadrivectorilor se schimbă de la un cadru la altul; '''A''' și '''A'''&#x2032; sunt conectate printr-o [[Transformările lui Lorentz|transformare Lorentz]] și, în mod similar, pentru '''B''' și '''B'''&#x2032;, deși produsele interioare sunt aceleași în toate cadrele. Cu toate acestea, acest tip de expresie este exploatat în calculele relativiste la fel ca legile de conservare, deoarece mărimile componentelor pot fi determinate fără a efectua în mod explicit transformări Lorentz. Un exemplu particular este cel al energiei și impulsului în [[relația energie-impuls]] derivată din [[Patru impuls|impulsul]] cvadrivectorului (a se vedea și mai jos).

În această signatură avem:<math> \mathbf{A \cdot A} = \left(A^0\right)^2 - \left(A^1\right)^2 - \left(A^2\right)^2 - \left(A^3\right)^2 </math>Cu signatura (+−−−), cvadrivectorii pot fi clasificați fie ca fiind asemănători [[Spațiu Minkowski|spațiului]] dacă <math>\mathbf{A \cdot A} < 0</math>, [[Spațiu Minkowski|asemănătoare cu timpul]] dacă <math>\mathbf{A \cdot A} > 0</math>, și [[Spațiu Minkowski|vectorii nuli]] dacă <math>\mathbf{A \cdot A} = 0</math>.

===== Baza standard, signatura (+−−−) =====
Unii autori definesc ''η'' cu semnul opus, caz în care avem signatura metrică (−+++). Evaluând suma cu această signatură:<math>\mathbf{A \cdot B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 </math>în timp ce forma matriceală este:<math>\mathbf{A \cdot B} = \left( \begin{matrix}A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{matrix} \right) 
\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{matrix} \right) </math>Rețineți că, în acest caz, într-un singur cadru:<math> \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -C </math>în timp ce în altul:<math> \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3 {B'}^3 = -C'</math>astfel încât:<math> -C = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3 {B'}^3</math>care este echivalentă cu expresia de mai sus pentru ''C'' în funcție de '''A''' și '''B'''. Oricare dintre cele două convenții va funcționa. Cu metrica Minkowski definită în cele două moduri de mai sus, singura diferență între componentele covariante și contravariante ale cvadrivectorilor sunt semnele, prin urmare semnele depind de convenția de semne utilizată.

Avem:<math> \mathbf{A \cdot A} = - \left(A^0\right)^2 + \left(A^1\right)^2 + \left(A^2\right)^2 + \left(A^3\right)^2 </math>Cu signatura (−+++), cvadrivectorii pot fi clasificați fie ca fiind asemănători [[Spațiu Minkowski|spațiului]], dacă <math>\mathbf{A \cdot A} > 0</math>, [[Spațiu Minkowski|asemănătoare cu timpul]] dacă <math>\mathbf{A \cdot A} < 0</math>, și [[Spațiu Minkowski|nul]] dacă <math>\mathbf{A \cdot A} = 0</math>.

===== '''Vectori dubli''' =====
Aplicarea tensorului Minkowski este adesea exprimată ca efect al [[spațiu dual|vectorului dublu]] al unui vector asupra celuilalt:<math>\mathbf{A \cdot B} = A^*(\mathbf{B}) = A{_\nu}B^{\nu}. </math> Aici ''A<sub>ν</sub>''s sunt componentele vectorului dublu '''A'''* al lui '''A''' în [[Baza dubla|baza dublă]] și se numesc coordonate [[covarianța și contravarianța vectorilor|covariante]] ale lui '''A''', în timp ce componentele originale ale lui ''A<sup>ν</sup>'' se numesc coordonate [[covarianța și contravarianța vectorilor|contravariante]].

== Calcul cvadrivectorial ==

=== Derivate și diferențiale ===
În relativitatea specială (dar nu și în relativitatea generală), [[Derivată|derivata]] unui cvadrivector în raport cu un scalar ''λ'' (invariant) este ea însăși un cvadrivector. De asemenea, este util să se ia [[diferențială|diferențiala]] cvadrivectorului, ''d'''''A''' și să se împartă cu diferențiala scalarului, ''dλ'':<math display="block">\underset{\text{diferențială}}{d\mathbf{A}} = \underset{\text{derivată}}{\frac{d\mathbf{A}}{d\lambda}} \underset{\text{diferențială}}{d\lambda} </math>unde componentele contravariante sunt:<math> d\mathbf{A} = \left(dA^0, dA^1, dA^2, dA^3\right) </math> în timp ce componentele covariante sunt:<math> d\mathbf{A} = \left(dA_0, dA_1, dA_2, dA_3\right) </math>. În mecanica relativistă, se ia adesea diferențiala unui cvadrivector și se împarte cu diferențiala în [[timp propriu]] (a se vedea mai jos).

== Cvadrivectorii fundamentali ==

=== Poziție cvadruplă ===
Un punct în [[Spațiu Minkowski|spațiul Minkowski]] este o poziție temporală și spațială, numită „eveniment” sau, uneori, cvadrivectorul sau poziția cvadruplă, descrisă într-un anumit cadru de referință printr-un set de patru coordonate:<math> \mathbf{R} = \left(ct, \mathbf{r}\right) </math>, unde '''r''' este [[Vector de poziție|vectorul de poziție]] în [[Spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]]. În cazul în care '''r''' este o funcție a timpului de coordonată ''t'' în același cadru, adică '''r''' = '''r''' (''t)'', aceasta corespunde unei secvențe de evenimente pe măsură ce ''t'' variază. Definiția ''R''<sup>0</sup> = ''ct'' asigură faptul că toate coordonatele au aceleași unități (de distanță).<ref>Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, ''Quantum Field Theory'', pg 5, {{ISBN|0-07-032071-3}}</ref><ref>[[Charles W. Misner]], [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]] & [[John Archibald Wheeler|John A. Wheeler]],''Gravitation'', pg 51, {{ISBN|0-7167-0344-0}}</ref> Aceste coordonate sunt componentele ''cvadrivectorului de poziție'' pentru eveniment.

''Cvadrivectorul de deplasare'' este definit ca fiind o „săgeată” care leagă două evenimente:<math> \Delta \mathbf{R} = \left(c\Delta t, \Delta \mathbf{r} \right) </math>. Pentru poziția cvadri [[Diferențial (infinitesimal)|diferențială]] pe o linie de univers avem, folosind [[Spațiu Minkowski|o notație de normă]]:<math>\|d\mathbf{R}\|^2 = \mathbf{dR \cdot dR} = dR^\mu dR_\mu = c^2d\tau^2 = ds^2 \,,</math>care definește [[Element de linie|elementul de linie]] diferențială d''s'' și incrementul de timp propriu diferențial d''τ'', dar această „normă” este de asemenea:<math>\|d\mathbf{R}\|^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,,</math> astfel încât:<math>(c d\tau)^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,.</math> Atunci când se iau în considerare fenomenele fizice, ecuațiile diferențiale apar în mod natural; cu toate acestea, atunci când se iau în considerare [[derivata în timp|derivatele spațiale și temporale]] ale funcțiilor, nu este clar în ce cadru de referință sunt luate aceste derivate. Se convine că derivatele temporale sunt luate în raport cu [[timp propriu|timpul propriu-zis]] <math>\tau</math>. Deoarece timpul propriu este un invariant, acest lucru garantează că derivata în timp propriu a oricărui cvadrivector este ea însăși un cvadrivector. Este apoi important să se găsească o relație între această derivată a timpului propriu și o altă derivată a timpului (folosind [[coordonata timp|timpul de coordonată]] ''t'' al unui cadru de referință inerțial). Această relație se obține luând intervalul spațiu-timp invariant diferențial de mai sus, apoi împărțind cu (''cdt'')<sup>2</sup> pentru a obține:<math>\left(\frac{cd\tau}{cdt}\right)^2
 = 1 - \left(\frac{d\mathbf{r}}{cdt}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{cdt}\right)
 = 1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{u})^2} \,,
</math>unde '''u''' = ''d'''''r'''/''dt'' este [[Viteză|viteza]] în coordonate tridimensionale a unui obiect, măsurată în același cadru cu coordonatele ''x'', ''y'', ''z'' și [[coordonata timp|timpul de coordonată]] ''t,'' și<math>\gamma(\mathbf{u}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}}</math>este [[Factor Lorentz|factorul Lorentz]]. Acest lucru oferă o relație utilă între diferențialele de timp în coordonate și timpul propriu-zis: <math>dt = \gamma(\mathbf{u})d\tau \,.</math> Această relație poate fi găsită, de asemenea, din transformarea timpului în [[Transformările lui Lorentz|transformările Lorentz]].

Cvadrivectorii importanți în teoria relativității pot fi definiți prin aplicarea acestei diferențiale <math>\frac{d}{d\tau}</math>.

Având în vedere că [[Derivată parțială|derivatele parțiale]] sunt [[Transformare liniară|operatori liniari]], se poate forma un [[Patru gradient|gradient cvadruplu]] din [[derivata în timp|derivata temporală]] parțială {{Math|∂}}/{{Math|∂}}''t'' și din [[Gradient|gradientul]] spațial ∇. Utilizând baza standard, în indice și notații prescurtate, componentele contravariante sunt:<math display="inline">\begin{align} 
 \boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x_0}, \, -\frac{\partial }{\partial x_1}, \, -\frac{\partial }{\partial x_2}, \, -\frac{\partial }{\partial x_3} \right) \\
 & = (\partial^0, \, - \partial^1, \, - \partial^2, \, - \partial^3) \\
 & = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_1\partial^1 - \mathbf{E}_2\partial^2 - \mathbf{E}_3\partial^3 \\
 & = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_i\partial^i \\
 & = \mathbf{E}_\alpha \partial^\alpha \\
 & = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \, - \nabla \right) \\
 & = \left(\frac{\partial_t}{c},- \nabla \right) \\
 & = \mathbf{E}_0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} - \nabla \\
\end{align}</math>Rețineți că vectorii de bază sunt plasați în fața componentelor, pentru a preveni confuzia între a lua derivata vectorului de bază sau pur și simplu a indica faptul că derivata parțială este o componentă a acestui cvadrivector. Componentele covariante sunt:<math display="inline">\begin{align}
 \boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x^0}, \, \frac{\partial }{\partial x^1}, \, \frac{\partial }{\partial x^2}, \, \frac{\partial }{\partial x^3} \right) \\
 & = (\partial_0, \, \partial_1, \, \partial_2, \, \partial_3) \\
 & = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^1\partial_1 + \mathbf{E}^2\partial_2 + \mathbf{E}^3\partial_3 \\
 & = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^i\partial_i \\
 & = \mathbf{E}^\alpha \partial_\alpha \\
 & = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \, \nabla \right) \\
 & = \left(\frac{\partial_t}{c}, \nabla \right) \\
 & = \mathbf{E}^0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla \\
\end{align}</math>Deoarece acesta este un operator, nu are o „lungime”, dar evaluând produsul scalar al operatorului cu el însuși se obține un alt operator:<math>\partial^\mu \partial_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \frac{{\partial_t}^2}{c^2} - \nabla^2</math>numit [[operator D'Alembert|operatorul D'Alembert]].

== Cinematică ==

=== Viteză cvadruplă ===
[[Cu patru viteze|Viteza cvadruplă]] a unei particule este definită de: <math>\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau} = \frac{d\mathbf{X}}{dt}\frac{dt}{d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(c, \mathbf{u}\right),</math>Din punct de vedere geometric, '''U''' este un vector normalizat tangent la [[linie de univers|linia de univers]] a particulei. Utilizând diferențiala poziției cvadruplă, se poate obține mărimea vitezei cvadruplă:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = U^\mu U_\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX_\mu}{d\tau} = \frac{dX^\mu dX_\mu}{d\tau^2} = c^2 \,,</math>pe scurt, mărimea vitezei cvadruple pentru orice obiect este întotdeauna o constantă fixă: <math>\| \mathbf{U} \|^2 = c^2 </math>Norma este, de asemenea:<math>\|\mathbf{U}\|^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,</math> astfel încât: <math>c^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,</math> ceea ce se reduce la definiția [[Factor Lorentz|factorului Lorentz]].

Unitățile de măsură ale vitezei cvadruple sunt m/s în [[Sistemul internațional de unități|SI]] și 1 în [[Sistem de unități geometrizate|sistemul de unități geometrizate]]. Viteza cvadruplă este un vector contravariant.

=== Accelerația cvadruplă ===
[[Patru accelerație|Accelerația cvadruplă]] este dată de:<math>\mathbf{A} = \frac{d\mathbf{U} }{d \tau} = \gamma(\mathbf{u}) \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a} \right).</math>unde '''a''' = ''d'''''u'''/''dt'' este accelerația în coordonate tridimensionale. Deoarece mărimea lui '''U''' este o constantă, accelerația cvadruplă este ortogonală vitezei cvadruple, adică produsul scalar Minkowski al accelerației cvadruple și al vitezei cvadruple este zero:<math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{U} = A^\mu U_\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} U_\mu = \frac{1}{2} \, \frac{d}{d\tau} \left(U^\mu U_\mu\right) = 0 \,</math>ceea ce este valabil pentru toate liniile de univers. Semnificația geometrică a accelerației cvadruple este [[Geometria diferențială a curbelor|vectorul de curbură]] al liniei de univers în spațiul Minkowski.

== Dinamică ==

=== Impuls cvadruplu ===
Pentru o particulă masivă cu [[masa invariantă|masa de repaus]] (sau [[masa invariantă]]) ''m''<sub>0</sub>, [[Patru impuls|impulsul cvadruplu]] este dat de:<math>\mathbf{P} = m_0 \mathbf{U} = m_0\gamma(\mathbf{u})(c, \mathbf{u}) = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right)</math>unde energia totală a particulei în mișcare este: <math>E = \gamma(\mathbf{u}) m_0 c^2 </math>, iar [[Impuls|impulsul relativist]] total este: <math>\mathbf{p} = \gamma(\mathbf{u}) m_0 \mathbf{u} </math>. Se ia produsul scalar al impulsului cuadruplu cu el însuși:<math>\|\mathbf{P}\|^2 = P^\mu P_\mu = m_0^2 U^\mu U_\mu = m_0^2 c^2</math>și de asemenea: <math>\|\mathbf{P}\|^2 = \frac{E^2}{c^2} - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p}</math> ceea ce conduce la [[relația energie-impuls]]:<math>E^2 = c^2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + \left(m_0 c^2\right)^2 \,.</math> Această ultimă relație este utilă în [[mecanica relativistă|mecanică relativistă]], esențială în [[mecanica cuantică relativistă]] și în [[Teoria cuantică a câmpurilor|teoria cuantică relativistă a câmpurilor]], toate cu aplicații în [[Fizica particulelor elementare|fizica particulelor]].

=== Forța cvadruplă ===
[[Patru forțe|Forța cvadruplă]] care acționează asupra unei particule este definită în mod analog cu forța tridimensională ca derivată în timp a impulsului tridimensional din [[Legile lui Newton|a doua lege a lui Newton]]:<math>\mathbf{F} = \frac {d \mathbf{P}} {d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{1}{c}\frac{dE}{dt}, \frac{d\mathbf{p}}{dt}\right) = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{P}{c}, \mathbf{f}\right)</math>unde ''P'' este [[Putere|puterea]] transferată pentru deplasarea particulei, iar '''f''' este forța tridimensională care acționează asupra particulei. Pentru o particulă cu masa invariantă constantă ''m''<sub>0</sub>, acest lucru este echivalent cu<math>\mathbf{F} = m_0 \mathbf{A} = m_0\gamma(\mathbf{u})\left( \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a}\right) \right)</math>Un invariant derivat din forța cvadruplă este: <math>\mathbf{F}\cdot\mathbf{U} = F^\mu U_\mu = m_0 A^\mu U_\mu = 0</math> din rezultatul de mai sus.

== Termodinamică ==

=== Flux termic cvadruplu ===
Câmpul vectorial al fluxului termic cvadruplu este în esență similar cu câmpul vectorial [[Flux termic|al fluxului de căldură]] 3d '''q''', în cadrul local al fluidului:<ref>{{Citat revistă|nume=Ali|nume2=Zhang|prenume=Y. M.|prenume2=L. C.|an=2005|titlu=Relativistic heat conduction|journal=Int. J. Heat Mass Trans.|volum=48|număr=12|pagini=2397–2406|doi=10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.02.003}}</ref><math>\mathbf{Q} = -k \boldsymbol{\partial} T = -k\left( \frac{1}{c}\frac{\partial T}{\partial t}, \nabla T\right) </math>unde ''T'' este [[temperatură absolută|temperatura absolută]] și ''k'' este [[Conductivitate termică|conductivitatea termică]].

=== Fluxul numărului de barioni cvadrupli ===
Fluxul de barioni este:<ref>{{Citat carte|titlu=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|nume=J.A. Wheeler|nume2=C. Misner|nume3=K.S. Thorne|editură=W.H. Freeman & Co|an=1973|pagini=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/n582 558]–559|isbn=0-7167-0344-0}}</ref><math>\mathbf{S} = n\mathbf{U}</math>, unde {{Math|''n''}} este [[Densitate numerică|densitatea numerică]] a [[Barion|barionilor]] în [[cadru de repaus|cadrul de repaus local]] al fluidului de barioni (valori pozitive pentru barioni, negative pentru [[Antiparticulă|antibarioni]]) și {{Math|'''U'''}} este câmpul de [[Cu patru viteze|viteze cvadruple]] (al fluidului) ca mai sus.

=== Entropie cvadruplă ===
Vectorul cu [[entropie]] cvadruplă este definit de:<ref>{{Citat carte|titlu=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|nume=J.A. Wheeler|nume2=C. Misner|nume3=K.S. Thorne|editură=W.H. Freeman & Co|an=1973|pagină=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/n591 567]|isbn=0-7167-0344-0}}</ref><math>\mathbf{s} = s\mathbf{S} + \frac{\mathbf{Q}}{T}</math>, unde {{Math|''s''}} este entropia per barion, iar {{Mvar|T}} este [[temperatură absolută|temperatura absolută]], în cadrul de repaus local al fluidului.<ref>{{Citat carte|titlu=Gravitation|url=https://archive.org/details/gravitation00misn_003|nume=J.A. Wheeler|nume2=C. Misner|nume3=K.S. Thorne|editură=W.H. Freeman & Co|an=1973|pagină=[https://archive.org/details/gravitation00misn_003/page/n582 558]|isbn=0-7167-0344-0}}</ref>

== Electromagnetism ==
Exemple de cvadrivectori în [[electromagnetism]] sunt următoarele.

=== Curent cvadruplu ===
[[Patru curent|Curentul cvadruplu]] electromagnetic (sau, mai corect, densitatea de curent cvadruplu)<ref>{{Citat carte|titlu=Introduction to Special Relativity|ediție=2nd|prenume=Wolfgang|nume=Rindler|editură=Oxford Science Publications|an=1991|isbn=0-19-853952-5|pagini=103–107|url=https://books.google.com/books?id=YKUPAQAAMAAJ}}</ref> se definește astfel: <math> \mathbf{J} = \left( \rho c, \mathbf{j} \right) </math> formată din [[Densitate de curent|densitatea de curent]] '''j''' și [[densitate de sarcină|densitatea de sarcină]] ''ρ''.

=== Potențial cvadruplu ===
[[Cu patru potențial electromagnetic|Potențialul electromagnetic cvadruplu]] (sau, mai corect, un potențial vectorial cvadruplu EM) este definit prin: <math>\mathbf{A} = \left( \frac{\phi}{c}, \mathbf{a} \right)</math> format din [[potențialul vectorial]] {{Math|'''a'''}} și potențialul scalar {{Math|''ϕ''}}.

Potențialul cvadruplu nu este determinat în mod unic, deoarece depinde de o alegere a [[Fixare gabarit|instrumentului de măsură]].

În [[ecuația undei]] pentru câmpul electromagnetic:
* În vid, <math>(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = 0</math>
* Cu o sursă [[Patru curent|de curent cvadruplu]] și folosind [[Starea ecartamentului Lorenz|condiția de măsură Lorenz]] <math>(\boldsymbol{\partial} \cdot \mathbf{A}) = 0</math> , <math>(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J}</math>

== Unde ==
=== Frecvență cvadruplă ===
O [[Val de avion|undă plană]] fotonică poate fi descrisă cu ajutorul [[Cu patru frecvențe|frecvenței cvadruple]] definite astfel<math>\mathbf{N} = \nu\left(1, \hat{\mathbf{n}} \right)</math>, unde {{Mvar|ν}} este frecvența undei și <math>\hat{\mathbf{n}}</math> este un [[versor]] în direcția de deplasare a undei. Acum:<math>\|\mathbf{N}\| = N^\mu N_\mu = \nu ^2 \left(1 - \hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) = 0</math>astfel încât frecvența cvadruplă a unui foton este întotdeauna un vector nul.

=== Vector de undă cvadruplu ===
Cantitățile reciproce la timpul {{Mvar|t}} și spațiul '''{{Math|r}}''' sunt [[frecvență unghiulară|frecvența unghiulară]] {{Mvar|ω}} și, respectiv, [[Vector unde unghiulară|vectorul de undă unghiulară]] '''{{Math|k}}'''. Ele formează componentele vectorului de undă cvadruplu:<math>\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{\mathbf{k}}\right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_p} \hat\mathbf{n}\right) \,.</math> Un fascicul de unde de lumină aproape [[Monocromie|monocromatică]] poate fi descris prin:<math>\mathbf{K} = \frac{2\pi}{c}\mathbf{N} = \frac{2\pi}{c} \nu\left(1,\hat{\mathbf{n}}\right) = \frac{\omega}{c} \left(1, \hat{\mathbf{n}}\right) ~.</math>Relațiile lui de Broglie au arătat apoi că vectorul de undă cvadruplu se aplică atât [[Ipoteza De Broglie|undelor de materie]], cât și undelor de lumină:<math>\mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right) = \hbar \left(\frac{\omega}{c},\vec{k} \right) ~.</math>cedând <math>E = \hbar \omega</math> și <math>\vec{p} = \hbar \vec{k}</math>, unde {{Mvar|ħ}} este [[constanta Planck]] împărțită la {{Math|2''π''}}.

Pătratul normei este:<math>\| \mathbf{K} \|^2 = K^\mu K_\mu = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,</math> și prin relația lui de Broglie:<math>\| \mathbf{K} \|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \| \mathbf{P} \|^2 = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 \,,</math> avem analogul undelor de materie al relației energie–impuls:<math>\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 ~.</math> Rețineți că pentru particule fără masă, caz în care {{Math|''m''<sub>0</sub> {{=}} 0}}, avem: <math>\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,</math>sau {{Math|‖'''k'''‖ {{=}} ''ω''/''c''}}. Rețineți că acest lucru este în concordanță cu cazul de mai sus; pentru fotoni cu un vector de undă tridimensional de modul {{Nowrap|{{math|''ω / c''}} ,}} în direcția de propagare a undei definită de vectorul unitar<math>\ \hat{\mathbf{n}} ~.</math>

== Teoria cuantică ==
=== Curentul cu probabilități cvadruple ===
În [[Mecanică cuantică|mecanica cuantică]], [[Curent de probabilitate|curentul cu probabilități cvadruple]] este analog cu [[Patru curent|curentul electromagnetic cvadruplu]]:<ref>Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2008) ''Quantum leap: from Dirac and Feynman, across the universe, to human body and mind''. World Scientific Publishing Company, {{ISBN|978-981-281-927-7}}, [https://books.google.com/books?id=qyK95FevVbIC&pg=PA41 p. 41]</ref><math>\mathbf{J} = (\rho c, \mathbf{j}) </math>, unde {{Math|''ρ''}} este [[densitate de probabilitate|funcția de densitate de probabilitate]] corespunzătoare componentei de timp, iar {{Math|'''j'''}} este vectorul [[curent de probabilitate]]. În mecanica cuantică nerelativistă, acest curent este întotdeauna bine definit, deoarece expresiile pentru densitate și curent sunt definite pozitiv și pot admite o interpretare probabilistică. În [[mecanica cuantică relativistă]] și [[Teoria cuantică a câmpurilor|în teoria cuantică a câmpurilor]], nu este întotdeauna posibilă găsirea unui curent, în special atunci când sunt implicate interacțiuni.

Înlocuind energia cu [[Operator de energie|operatorul de energie]] și impulsul cu [[Operator de impuls|operatorul de impuls]] în impulsul cvadruplu, se obține [[Operator cu patru impulsuri|operatorul de impuls cvadruplu]], utilizat în [[Ecuația de undă relativistă|ecuațiile relativiste ale undelor]].

=== Spin cvadruplu ===
[[Cu patru viteze|Viteza cvadruplă]] a unei particule este definită prin: <math>\mathbf{S} = (0, \mathbf{s})</math>unde {{Math|'''s'''}} este pseudovectorul [[Spin (fizică)|de spin]]. În mecanica cuantică, nu toate cele trei componente ale acestui vector sunt măsurabile simultan, ci doar una dintre ele. Componenta temporală este zero în cadrul de repaus al particulei, dar nu și în orice alt cadru. Această componentă poate fi găsită printr-o transformare Lorentz corespunzătoare.

Norma la pătrat este mărimea (negativă) la pătrat a spinului, iar conform mecanicii cuantice avem<math>\|\mathbf{S}\|^2 = -|\mathbf{s}|^2 = -\hbar^2 s(s + 1)</math>. Această valoare este observabilă și cuantificată, {{Math|''s''}} fiind [[Număr cuantic de spin|numărul cuantic de spin]] (și nu mărimea vectorului de spin).

== Alte formulări ==
=== Cvadrivectori în algebra spațiului fizic ===
Un cvadrivector ''A'' poate fi definit, de asemenea, folosind [[Spin ½ și matricile lui Pauli|matricele Pauli]] ca [[Bază (algebră liniară)|bază]], din nou în diverse notații echivalente:<ref>{{Citat carte|pagini=1142–1143|nume=J.A. Wheeler|nume2=C. Misner|nume3=K.S. Thorne|titlu={{Ill-wd|Q5597987|3=Gravitation}}|editură=W.H. Freeman & Co|an=1973|isbn=0-7167-0344-0}}</ref><math> \begin{align} 
 \mathbf{A} & = \left(A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3\right) \\
 & = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^1 \boldsymbol{\sigma}_1 + A^2 \boldsymbol{\sigma}_2 + A^3 \boldsymbol{\sigma}_3 \\
 & = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^i \boldsymbol{\sigma}_i \\
 & = A^\alpha\boldsymbol{\sigma}_\alpha\\
\end{align}</math>sau explicit:<math>\begin{align} 
 \mathbf{A} & = A^0\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} +
         A^1\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} +
         A^2\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} +
         A^3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\
       & = \begin{pmatrix}
          A^0 + A^3 & A^1 - i A^2 \\
          A^1 + i A^2 & A^0 - A^3
         \end{pmatrix}
\end{align}</math>iar în această formulare, cvadrivectorul este reprezentat ca o [[matricea hermitiana|matrice hermitiană]] ([[Matrice transpusă|transpunerea matricei]] și [[Conjugată complexă|conjugatul complex]] al matricei o lasă neschimbată), mai degrabă decât ca un vector coloană sau rând cu valoare reală. [[Determinant (matematică)|Determinantul]] matricei este modulul cvadrivectorului, astfel încât determinantul este un invariant:<math> \begin{align} 
 |\mathbf{A}| & = \begin{vmatrix}
           A^0 + A^3 & A^1 - i A^2 \\
           A^1 + i A^2 & A^0 - A^3
          \end{vmatrix} \\
        & = \left(A^0 + A^3\right)\left(A^0 - A^3\right) - \left(A^1 -i A^2\right)\left(A^1 + i A^2\right) \\
        & = \left(A^0\right)^2 - \left(A^1\right)^2 - \left(A^2\right)^2 - \left(A^3\right)^2
\end{align}</math>Această idee de utilizare a matricelor Pauli ca [[Bază (algebră liniară)|vectori de bază]] este utilizată în [[algebra spațiului fizic]], un exemplu de [[algebra Clifford|algebră Clifford]].

=== Cvadrivectori în algebra spațiu-timp ===
În [[Algebră spațiu-timp|algebra spațiu-timp]], un alt exemplu de algebră Clifford, [[Matrici gamma|matricele gamma]] pot forma, de asemenea, o [[Bază (algebră liniară)|bază]]. (Ele sunt numite și matricele Dirac, datorită apariției lor în [[Ecuația lui Dirac|ecuația Dirac]]). Există mai multe moduri de exprimare a matricelor gamma, detaliate în acest articol principal.

[[Notație slash Feynman|Notația Feynman slash]] este o prescurtare pentru un cvadrivector '''A''' contractat cu matricele gamma:<math>\mathbf{A}\!\!\!\!/ = A_\alpha \gamma^\alpha = A_0 \gamma^0 + A_1 \gamma^1 + A_2 \gamma^2 + A_3 \gamma^3 </math>Contracția impulsului cvadruplu cu matricele gamma este un caz important în [[mecanica cuantică relativistă]] și în [[Teoria cuantică a câmpurilor|teoria cuantică a câmpurilor relativiste]]. În ecuația lui Dirac și în alte [[Ecuația de undă relativistă|ecuații de undă relativiste]], termenii de forma:<math>\mathbf{P}\!\!\!\!/ = P_\alpha \gamma^\alpha = P_0 \gamma^0 + P_1 \gamma^1 + P_2 \gamma^2 + P_3 \gamma^3 = \dfrac{E}{c} \gamma^0 - p_x \gamma^1 - p_y \gamma^2 - p_z \gamma^3 </math>apar, în care energia {{Mvar|E}} și componentele impulsului {{Math|(''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'')}} sunt înlocuite cu [[Operator (fizica)|operatorii]] respectivi.

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* Rindler, W. ''Introduction to Special Relativity (2nd edn.)'' (1991) Clarendon Press Oxford {{ISBN|0-19-853952-5}}

== Vezi și ==
* [[Introducere de bază în matematica spațiu-timpului curbat|Introducere de bază în matematica spațiului-timp curbat]]
* [[Praf (relativitate)]] pentru fluxul numeric cvadrivector
* [[Spațiu Minkowski]]
* {{Ill-wd|Q7136258|3=Paravector}}
* [[Mecanică relativistă]]
* [[Vector val|Vectorul de undă]]

{{Portal|Fizică}}
{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Vectori (fizică și matematică)]]
[[Categorie:Concepte fizice fundamentale]]
[[Categorie:Relativitate]]