Vizualizare sursă pentru „Curgere potențială”

{{About||curgerea potențială în jurul unui cilindru|Curgerea potențială în jurul unui cilindru circular}}
[[Fișier:Streamlines_around_a_NACA_0012.svg|miniatura|upright=1.5|{{ill-wd| Q112835448||Linii de curent}} ale curgerii potențiale în jurul unui {{ill-wd|Q1577504||profil aerodinamic NACA 0012}} la un {{ill-wd| Q370906||unghi de atac}} de 11°, cu straturile de curgere superioare și inferioare identificate. Curgerea este [[bidimensional]]ă, iar [[profil aerodinamic |profilul aerodinamic]] are o [[lungime]] [[infinit]]ă.]]
În [[dinamica fluidelor]], '''curgerea potențială''' sau '''curgerea irotațională''' se referă la descrierea unei [[curgere |curgeri]] a unui [[fluid]] fără [[vorticitate|vârtejuri]]. Această descriere este tipică pentru cazul în care [[viscozitate|viscozitatea]] este neglijabilă, adică pentru un [[fluid ideal]] și în absența vârtejurilor.<ref>{{Citat web|url=https://phys.utcluj.ro/PersonalFile/Cursuri/BarleaCurs/FLUIDE_2c_12tnr.pdf|titlu=Fluide Ideale}}</ref>

Curgerea potențială descrie [[câmp de viteze |câmpul de viteze]] ca fiind [[Gradient|gradientul]] unei funcții scalare: [[potențialul vitezei]]. Ca rezultat, o curgere potențială este caracterizată de un {{ill-wd| Q1588205||câmp de viteze irotațional}}, care este o aproximare validă pentru diverse aplicații. Irotaționalitatea curgerii potențiale derivă din faptul că gradientul unui {{ill-wd| Q181175||scalar}} este întotdeauna egal cu zero.

În cazul unei [[Curgere incompresibilă|curgeri incompresibile]], potențialul vitezei satisface [[ecuația lui Laplace]], iar {{ill-wd|Q1154848||teoria potențialului}} este aplicabilă. Cu toate acestea, curgerile potențiale au fost utilizate și pentru a descrie {{ill-wd|Q2705141||curgerile compresibile}} și {{ill-wd|Q5701708||curgerile Hele-Shaw}}. Abordarea curgerii potențiale apare în modelarea atât a curgerilor staționare, cât și a celor nestaționare.

Aplicațiile curgerii potențiale includ: câmpul de curgere exterior pentru [[Profil aerodinamic|profile aerodinamice]], [[Val|valuri]], [[electroosmoză]] și {{ill-wd|Q523759||curgerea apelor subterane}}. Pentru curgeri (sau părți ale acestora) cu efecte puternice de vârtej, aproximarea curgerii potențiale nu este aplicabilă. În regiunile de curgere în care se știe că vârtejul este important, cum ar fi {{ill-wd|Q1362362||urmele valurilor}} și {{ill-wd|Q752193||straturile limită}}, teoria curgerii potențiale nu poate furniza predicții rezonabile ale curgerii.<ref name="B_378_380">Batchelor (1973) pp. 378–380.</ref> Din fericire, există adesea regiuni mari ale unei curgeri în care ipoteza de irotaționalitate este valabilă, motiv pentru care curgerea potențială este utilizată pentru diverse aplicații, cum ar fi: [[Aeronavă|aripile avioanelor]], {{ill-wd|Q5611028||curgerea apelor subterane}}, [[acustică]], [[Val|valuri]] și [[electroosmoză]].<ref name="Kirby">{{Citation|last=Kirby, B.J.|title=Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices.|url=http://www.kirbyresearch.com/textbook|year=2010|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-11903-0|access-date=2024-05-25|archive-date=2019-04-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20190428234717/http://www.kirbyresearch.com/textbook/|dead-url=yes}}</ref>

== Descriere și caracteristici ==
[[Fișier:Construction_of_a_potential_flow.svg|miniatura|O curgere potențială este construită prin adăugarea de {{ill-wd|Q48817327||curgeri elementare}} simple și observarea rezultatului.]]
[[Fișier:Potential_cylinder.svg|dreapta|miniatura|Linii de {{ill-wd|Q112835448||curent}} pentru {{ill-wd|Q7234818||curgerea potențială incompresibilă în jurul unui cilindru circular}}, într-o curgere uniformă.]]
În curgerea potențială sau irotațională, câmpul vectorial al vârtejului este zero, adică
:<math>\boldsymbol\omega \equiv \nabla\times\mathbf v=0</math>
unde <math>\mathbf v(\mathbf x,t)</math> este câmpul de viteze și <math>\boldsymbol\omega(\mathbf x,t)</math> este câmpul de [[vorticitate|vârtej]]. Ca orice câmp vectorial cu rotație nulă, câmpul de viteze poate fi exprimat ca gradientul unui anumit scalar, să zicem <math>\varphi(\mathbf x,t)</math> care se numește '''potențialul vitezei''', deoarece rotația gradientului este întotdeauna zero. Prin urmare, avem<ref name="B_99_101">Batchelor (1973) pp. 99–101.</ref><ref>{{Citat web|url=https://ro.scribd.com/document/578846401/Turbulen%C5%A3a|titlu=Turbulența {{!}} PDF|publisher=Scribd|accessdate=2024-07-22|limbă=en}}</ref>

:<math> \mathbf{v} = \nabla \varphi.</math>

Potențialul vitezei nu este definit în mod unic, deoarece i se poate adăuga o funcție arbitrară de timp, să zicem <math>f(t)</math>, fără a afecta cantitatea fizică relevantă care este <math>\mathbf v</math>. Neunicitatea este de obicei eliminată prin selectarea adecvată a [[condiție inițială |condițiilor inițiale]] sau [[condiții la limită în mecanica fluidelor|la limită]] satisfăcute de <math>\varphi</math> și, ca atare, procedura poate varia de la o problemă la alta.

În curgerea potențială, [[circulație|circulația]] <math>\Gamma</math> în jurul oricărei [[Spațiu simplu conex|curbe simple conexe]] <math>C</math> este zero. Acest lucru poate fi demonstrat folosind [[teorema lui Stokes]],

:<math>\Gamma \equiv \oint_C \mathbf v\cdot d\mathbf l = \int \boldsymbol\omega\cdot d\mathbf f=0</math>

unde <math>d\mathbf l</math> este elementul de linie pe curbă și <math>d\mathbf f</math> este elementul de suprafață al oricărei suprafețe delimitate de curbă. În spațiul multiplu conectat (să zicem, în jurul unei curbe care înconjoară un corp solid bidimensional sau în jurul unei curbe care înconjoară un tor tridimensional) sau în prezența vârtejurilor concentrate (să zicem, în așa-numitele {{ill-wd|Q732722||vârtejuri irotaționale}} sau vârtejuri punctuale sau în inele de fum), circulația <math>\Gamma</math> nu trebuie să fie zero. În primul caz, teorema lui Stokes nu se poate aplica, iar în cazul ulterior, <math>\boldsymbol\omega</math> este diferit de zero în regiunea delimitată de curbă. În jurul unei curbe care înconjoară un cilindru solid infinit cu care curba se învârte de <math>N</math> ori, avem

:<math>\Gamma = N \kappa</math>

unde <math>\kappa</math> este o constantă ciclică. Acest exemplu aparține unui spațiu dublu conectat. Într-un spațiu tuplu conectat <math>n</math>, există <math>n-1</math> astfel de constante ciclice, și anume, <math>\kappa_1,\kappa_2,\dots,\kappa_{n-1}.</math>

== Curgere incompresibilă ==
În cazul unei [[Curgere incompresibilă|curgeri incompresibile]] — de exemplu, a unui [[lichid]] sau a unui [[gaz]] la [[Număr Mach|numere Mach]] mici; dar nu pentru undele [[Sunet|sonore]] — viteza {{Math|'''v'''}} are [[divergență]] zero:<ref name="B_99_101"/>

:<math>\nabla \cdot \mathbf{v} =0 \,,</math>

Substituind aici <math>\mathbf v=\nabla\varphi</math> rezultă că <math>\varphi</math> satisface [[ecuația lui Laplace]]<ref name="B_99_101"/>

:<math>\nabla^2 \varphi = 0 \,,</math>

unde {{Math|∇<sup>2</sup> {{=}} ∇ ⋅ ∇}} este [[Laplacian|operatorul Laplace]] (uneori scris și {{Math|Δ}}). Deoarece soluțiile ecuației lui Laplace sunt [[Funcție armonică|funcții armonice]], fiecare funcție armonică reprezintă o soluție de curgere potențială. După cum este evident, în cazul incompresibilității, câmpul de viteze este determinat complet din [[Cinematică|cinematica]] sa: ipotezele de irotaționalitate și divergență zero a curgerii. [[Mecanică clasică|Dinamica]], în legătură cu ecuațiile de impuls, trebuie aplicată doar ulterior, dacă cineva este interesat să calculeze câmpul de presiune: de exemplu, pentru curgerea în jurul profilurilor aerodinamice prin utilizarea [[Ecuația lui Bernoulli|legii lui Bernoulli]].

În curgerile incompresibile, contrar concepției greșite comune, curgerea potențială satisface într-adevăr [[Ecuațiile Navier-Stokes|ecuațiile complete Navier-Stokes]], nu doar [[Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)|ecuațiile lui Euler]], deoarece termenul vâscos

:<math>\mu\nabla^2\mathbf v = \mu\nabla(\nabla\cdot\mathbf v)-\mu\nabla\times\boldsymbol\omega=0</math>

este identic cu zero. Este incapacitatea curgerii potențiale de a satisface condițiile limită necesare, în special în apropierea frontierelor solide, ceea ce o invalidează în reprezentarea câmpului de curgere necesar. Dacă curgerea potențială satisface condițiile necesare, atunci este soluția necesară a ecuațiilor Navier–Stokes incompresibile.

Când este bidimensională, cu ajutorul funcției armonice 𝜑 și a funcției sale armonice conjugate 𝜓 (funcția de curent), curgerea potențială incompresibilă se reduce la un sistem foarte simplu care este analizat folosind [[analiză complexă]] (vezi mai jos).

== Curgere compresibilă ==

=== Curgere staționară ===
Teoria curgerii potențiale poate fi utilizată și pentru modelarea curgerii compresibile irotaționale. Derivarea ecuației de guvernare pentru <math>\varphi</math> din [[Ecuațiile lui Euler (dinamica fluidelor)|ecuația lui Euler]] este destul de simplă. Ecuațiile de continuitate și de impuls (pentru curgere potențială) pentru curgeri staționare sunt date de

:<math>\rho \nabla\cdot\mathbf v + \mathbf v\cdot\nabla \rho = 0, \quad (\mathbf v \cdot\nabla)\mathbf v= -\frac{1}{\rho}\nabla p = -\frac{c^2}{\rho}\nabla \rho</math>

unde ultima ecuație rezultă din faptul că [[Entropie|entropia]] este constantă pentru un [[element de fluid]] și că pătratul [[Viteza sunetului|vitezei sunetului]] este <math>c^2=(\partial p/\partial\rho)_s</math>. Eliminarea lui <math>\nabla\rho</math> din cele două ecuații de guvernare rezultă în:

:<math>c^2\nabla\cdot\mathbf v - \mathbf v\cdot (\mathbf v \cdot \nabla)\mathbf v=0.</math>

Versiunea incompresibilă apare la limita <math>c\to\infty</math>. Substituind aici <math>\mathbf v=\nabla\varphi</math> rezultă<ref name="landau">[[Lev Landau |Landau, L.D.]], [[Evgheni Lifșiț |Lifshitz, E.M.]] (2013). Fluid mechanics: Landau And Lifshitz: course of theoretical physics, Volume 6 (Vol. 6). Elsevier. Section 114, page 436.</ref><ref name="Anderson">{{Citat carte|prenume=J. D.|nume=Anderson|legătură-autor=John D. Anderson|titlu=Modern compressible flow|an=2002|editură=McGraw-Hill|isbn=0-07-242443-5|pagini=358–359}}</ref>

:<math>(c^2-\varphi_x^2)\varphi_{xx}+(c^2-\varphi_y^2)\varphi_{yy}+(c^2-\varphi_z^2)\varphi_{zz}-2(\varphi_x\varphi_y\varphi_{xy}+\varphi_y\varphi_z\varphi_{yz}+\varphi_z\varphi_x\phi_{zx})=0</math>

unde <math>c=c(v)</math> este exprimat ca funcție a magnitudinii vitezei <math>v^2=(\nabla\phi)^2</math>. Pentru un {{ill-wd|Q3110129||gaz politropic}}, <math>c^2 = (\gamma-1)(h_0-v^2/2)</math>, unde <math>\gamma</math> este [[coeficient de transformare adiabatică|coeficientul de transformare adiabatică]] și <math>h_0</math> este {{ill-wd|Q2445491||entalpia de stagnare}}. Bidimensional, ecuația se simplifică la

:<math>(c^2-\varphi_x^2)\varphi_{xx}+(c^2-\varphi_y^2)\varphi_{yy}-2\varphi_x\varphi_y\varphi_{xy}=0.</math>

'''Valabilitate:''' În forma actuală, ecuația este valabilă pentru orice curgere potențială ideală, indiferent dacă curgerea este subsonică sau supersonică (de exemplu, {{ill-wd|Q4456943||curgerea Prandtl-Meyer}}). Cu toate acestea, în curgeri supersonice și transonice pot apărea unde de șoc care pot introduce entropie și vârtej în curgere, făcând curgerea rotațională. Cu toate acestea, există două cazuri în care curgerea potențială prevalează chiar și în prezența undelor de șoc, care sunt explicate din ecuația de impuls (nu neapărat potențială) scrisă în următoarea formă

:<math>\nabla (h+v^2/2) - \mathbf v\times\boldsymbol\omega = T \nabla s</math>

unde <math>h</math> este [[Entalpie|entalpia specifică]], <math>\boldsymbol\omega</math> este câmpul de [[vorticitate|vârtej]], <math>T</math> este temperatura și <math>s</math> este entropia specifică. Deoarece în fața undei de șoc de vârf avem o curgere potențială, ecuația lui Bernoulli arată că <math>h+v^2/2</math> este constantă, ceea ce este de asemenea constantă pe întreaga undă de șoc ({{ill-wd|Q1192131||condițiile Rankine-Hugoniot}}) și prin urmare putem scrie{{R|landau}}

:<math>\mathbf v\times\boldsymbol\omega = -T \nabla s</math>

1) Când unda de șoc este de intensitate constantă, discontinuitatea entropiei de-a lungul undei de șoc este, de asemenea, constantă, adică <math>\nabla s=0</math> și, prin urmare, producția de vârtej este zero. Undele de șoc la marginea ascuțită a unei pene bidimensionale sau a unui con tridimensional ({{ill-wd|Q125293094||curgerea Taylor-Maccoll}}) au intensitate constantă. 

2) Pentru undele de șoc slabe, saltul de entropie de-a lungul undei de șoc este o cantitate de ordinul trei în termeni de intensitatea undei de șoc și, prin urmare, <math>\nabla s</math> poate fi neglijat. Undele de șoc în corpurile subțiri sunt aproape paralele cu corpul și sunt slabe.

'''Curgeri aproape paralele:''' Când curgerea este predominant unidirecțională cu abateri mici, cum ar fi în curgerea trecută de corpuri subțiri, ecuația completă poate fi simplificată în continuare. Fie <math>U\mathbf{e}_x</math> curentul principal și să luăm în considerare abaterile mici de la acest câmp de viteză. Potențialul vitezei corespunzător poate fi scris ca <math>\varphi = x U + \phi</math> unde <math>\phi</math> caracterizează abaterea mică de la curgerea uniformă și satisface versiunea liniarizată a ecuației complete. Aceasta este dată de

:<math>(1-M^2) \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} =0</math>

unde <math>M=U/c_\infty</math> este [[Număr Mach|numărul Mach]] constant care corespunde curgerii uniforme. Această ecuație este valabilă cu condiția ca <math>M</math> să nu fie aproape de unitate. Când <math>|M-1|</math> este mic (curgere transonică), avem următoarea ecuație neliniară

:<math>2\alpha_*\frac{\partial\phi}{\partial x} \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}</math>

Unde <math>\alpha_*</math> este valoarea critică a {{ill-wd|Q126083260||derivatei Landau}} <math>\alpha = (c^4/2\upsilon^3)(\partial^2 \upsilon/\partial p^2)_s</math><ref>1942, Landau, L.D. "On shock waves" J. Phys. USSR 6 229-230</ref><ref>Thompson, P. A. (1971). A fundamental derivative in gasdynamics. The Physics of Fluids, 14(9), 1843-1849.</ref> și <math>\upsilon=1/\rho</math> este volumul specific. Curgerea transonică este complet caracterizată de parametrul unic <math>\alpha_*</math>, care pentru gazul politropic ia valoarea <math>\alpha_*=\alpha=(\gamma+1)/2</math>. Sub transformarea {{ill|en|hodografă||hodografă}}, ecuația transonică bidimensională devine {{ill-wd|Q5409013||ecuația Euler–Tricomi}}.

=== Curgere nestaționară ===
Ecuațiile de continuitate și de impuls (pentru curgere potențială) pentru curgeri nestaționare sunt date de

:<math>\frac{\partial\rho}{\partial t} + \rho \nabla\cdot\mathbf v + \mathbf v\cdot\nabla \rho = 0, \quad \frac{\partial\mathbf v}{\partial t}+ (\mathbf v \cdot\nabla)\mathbf v= -\frac{1}{\rho}\nabla p =-\frac{c^2}{\rho}\nabla \rho=-\nabla h.</math>

Integrala primă a ecuației de impuls (pentru curgere potențială) este dată de

:<math>\frac{\partial\varphi}{\partial t} + \frac{v^2}{2} + h = f(t), \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial h}{\partial t} = -\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} - \frac{1}{2}\frac{\partial v^2}{\partial t} + \frac{df}{dt}</math>

unde <math>f(t)</math> este o funcție arbitrară. Fără a pierde generalitatea, putem stabili <math>f(t)=0</math> deoarece <math>\varphi</math> nu este definit în mod unic. Combinând aceste ecuații, obținem

Substituind aici <math>\mathbf v=\nabla\varphi</math> rezultă

:<math>\varphi_{tt} + \frac{1}{2} (\varphi_x^2+ \varphi_y^2+ \varphi_z^2)_t= (c^2-\varphi_x^2)\varphi_{xx}+(c^2-\varphi_y^2)\varphi_{yy}+(c^2-\varphi_z^2)\varphi_{zz}-2(\varphi_x\varphi_y\varphi_{xy}+\varphi_y\varphi_z\varphi_{yz}+\varphi_z\varphi_x\phi_{zx}).</math>

'''Curgeri aproape paralele:''' Ca și înainte, pentru curgeri aproape paralele, putem scrie (după introducerea unui timp recalculat <math>\tau=c_\infty t</math>)

<math>\frac{\partial^2\phi}{\partial \tau^2} + M \frac{\partial^2\phi}{\partial x\partial\tau}= (1-M^2) \frac{\partial^2\phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2}</math>

cu condiția ca numărul Mach constant <math>M</math> să nu fie aproape de unitate. Când <math>|M-1|</math> este mic (curgere transonică), avem următoarea ecuație neliniară{{R|landau}}

:<math>{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial \tau ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial \tau }}=-2\alpha _{*}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}.}</math>

'''Unde sonore:''' În undele sonore, magnitudinea vitezei <math>v</math> (sau numărul Mach) este foarte mică, deși termenul nestaționar este acum comparabil cu ceilalți termeni principali din ecuație. Astfel, neglijând toți termenii pătratici și de ordin superior și observând că în aceeași aproximare, <math>c</math> este o constantă (de exemplu, în gazul politropic <math>c^2=(\gamma-1)h_0</math>), avem<ref>Lamb (1994) §287, pp. 492–495.</ref>{{R|landau}}
:<math>\frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 \varphi,</math>
care este o [[ecuația undei |ecuație a undei]] liniară pentru potențialul vitezei {{Mvar|φ}}. Din nou, partea oscilatorie a vectorului de viteză {{Math|'''v'''}} este legată de potențialul vitezei prin {{Math|'''v''' {{=}} ∇''φ''}}, în timp ce ca înainte {{Math|Δ}} este [[Laplacian|operatorul Laplace]] și {{Mvar|c}} este viteza medie a sunetului în {{ill-wd|Q334265||mediul omogen}}. De reținut că și părțile oscilatorii ale [[Presiune|presiunii]] {{Mvar|p}} și [[Densitate|densității]] {{Mvar|ρ}} satisfac individual ecuația de undă, în această aproximare.

== Aplicabilitate și limitări ==
Curgerea potențială nu include toate caracteristicile curgerilor întâlnite în lumea reală. Teoria curgerii potențiale nu poate fi aplicată pentru {{ill-wd|Q6047852||curgeri vâscoase}} interne,<ref name="B_378_380"/> cu excepția curgerilor dintre {{ill-wd|Q5701708||plăci apropiate}}. [[Richard Feynman]] considera curgerea potențială atât de nefizică încât singurul fluid care să respecte ipotezele era „apa uscată” (citat după John von Neumann).<ref>{{Citation|last=Feynman|first=R. P.|title=[[The Feynman Lectures on Physics]]|volume=2|year=1964|publisher=Addison-Wesley|last2=Leighton|first2=R. B.|last3=Sands|first3=M.|author-link=Richard Feynman|author-link2=Robert B. Leighton|author-link3=Matthew Sands}}, p. 40-3. Chapter 40 has the title: ''The flow of dry water''.</ref> Curgerea potențială incompresibilă face, de asemenea, o serie de predicții invalide, cum ar fi {{ill-wd|Q284938||paradoxul lui d'Alembert}}, care afirmă că rezistența la înaintare a oricărui obiect care se deplasează printr-un fluid infinit altfel în repaus este zero.<ref name="B_404_405">Batchelor (1973) pp. 404–405.</ref> Mai precis, curgerea potențială nu poate explica comportamentul curgerilor care includ un {{ill-wd|Q752193||strat limită}}.<ref name="B_378_380" /> Cu toate acestea, înțelegerea curgerii potențiale este importantă în multe ramuri ale mecanicii fluidelor. În special, curgerile potențiale simple (numite {{ill-wd|Q48817327||curgeri elementare}}), precum {{ill-wd|Q732722||vârtejul liber}} și [[wiktionary:point source|sursa punctiformă]] dispun de soluții analitice rapide. Aceste soluții pot fi [[Principiul superpoziției|suprapuse]] pentru a crea curgeri mai complexe care satisfac o varietate de condiții de frontieră. Aceste curgeri corespund îndeaproape curgerilor reale din întreaga mecanică a fluidelor; în plus, multe perspective valoroase apar atunci când se consideră abaterea (adesea mică) dintre o curgere observată și curgerea potențială corespunzătoare. Curgerea potențială găsește multe aplicații în domenii precum proiectarea aeronavelor. De exemplu, în [[Mecanica fluidelor numerică|dinamica fluidelor numerice]], o tehnică constă în cuplarea unei soluții de curgere potențială în afara stratului limită cu o soluție a {{ill-wd|Q752193||ecuațiilor stratului limită}} în interiorul {{ill-wd|Q752193||stratului limită|}}. Absența efectelor stratului limită înseamnă că orice linie de curent poate fi înlocuită cu o frontieră solidă fără nicio schimbare în câmpul de curgere, o tehnică utilizată în multe abordări de proiectare aerodinamică. O altă tehnică ar fi utilizarea {{Ill-wd|Q7322096|3=solidelor Riabouchinsky}}.
== Analiză pentru curgerea incompresibilă bidimensională ==
{{main|Transformare conformă}}
'''Curgerea potențială bidimensională''' este simplă de analizat folosind [[Transformare conformă|transformările conforme]], prin utilizarea [[Transformare geometrică|transformărilor]] [[Planul complex|planului complex]]. Totuși, spre deosebire de analiza tradițională a curgerii fluidelor în jurul unui cilindru, utilizarea numerelor complexe nu este necesară. Nu este posibil să se rezolve o curgere potențială tridimensională folosind [[Număr complex|numere complexe]].<ref name="B_106_108">Batchelor (1973) pp. 106–108.</ref>

Ideea de bază este de a utiliza o [[Funcție meromorfă|funcție]] [[Funcție olomorfă|olomorfă]] (numită și [[Funcție analitică|analitică]]) sau [[Funcție meromorfă|meromorfă]] {{Mvar|f}}, care face o conexiune între domeniul fizic {{Math|(''x'', ''y'')}} la domeniul transformat conform {{Math|(''φ'', ''ψ'')}}. În timp ce {{Mvar|x}}, {{Mvar|y}}, {{Mvar|φ}} și {{Mvar|ψ}} sunt toate cu [[Număr real|valori reale]], este convenabil să definim cantitățile complexe

:<math>\begin{align}
  z &= x + iy \,, \text{ și } &
  w &= \varphi + i\psi \,.
\end{align}</math>

Acum, dacă scriem funcția {{Mvar|f}} ca<ref name="B_106_108" />

:<math>\begin{align}
  f(x + iy) &= \varphi + i\psi \,, \text{ sau } &
       f(z) &= w \,.
\end{align}</math>

Atunci, deoarece {{Mvar|f}} este o funcție olomorfă sau meromorfă, trebuie să satisfacă [[ecuațiile Cauchy-Riemann]]<ref name="B_106_108" />

:<math>\begin{align}
  \frac{\partial\varphi}{\partial x} &= \frac{\partial\psi}{\partial y} \,, &
  \frac{\partial\varphi}{\partial y} &= -\frac{\partial\psi}{\partial x} \,.
\end{align}</math>

Componentele vitezelor {{Math|(''u'', ''v'')}}, în direcțiile {{Math|(''x'', ''y'')}} respectiv, pot fi obținute direct din {{Mvar|f}} prin diferențiere în raport cu {{Mvar|z}}<ref name="B_106_108" />

:<math>\frac{df}{dz} = u - iv</math>

Deci câmpul de viteze {{Math|'''v''' {{=}} (''u'', ''v'')}} este specificat de<ref name="B_106_108" />

:<math>\begin{align}
  u &= \frac{\partial\varphi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y}, &
  v &= \frac{\partial\varphi}{\partial y} = -\frac{\partial\psi}{\partial x} \,.
\end{align}</math>

Atât {{Mvar|φ}} cât și {{Mvar|ψ}} satisfac [[ecuația lui Laplace]]:<ref name="B_106_108" />

:<math>\begin{align}
  \Delta\varphi &= \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2} = 0 \,,\text{ și } &
     \Delta\psi &= \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial y^2} = 0 \,.
\end{align}</math>

Deci {{Mvar|φ}} poate fi identificat ca potențialul vitezei, iar {{Mvar|ψ}} este numită {{ill-wd|Q2029236|Funcția curentului|funcția curentului}}.<ref name="B_106_108" /> Liniile de constantă {{Mvar|ψ}} sunt cunoscute ca {{ill-wd|Q112835448|Linii de curent, linii marcatoare și linii particulare|linii de curent}}, iar liniile de constantă {{Mvar|φ}} sunt numite linii echipotențiale (vezi {{ill-wd|Q3175077|Echipotențial|suprafața echipotențială}}).

Liniile de curent și liniile echipotențiale sunt ortogonale între ele, deoarece:<ref name="B_106_108" />

:<math>
  \nabla \varphi \cdot \nabla \psi =
  \frac{\partial\varphi}{\partial x} \frac{\partial\psi}{\partial x} + \frac{\partial\varphi}{\partial y} \frac{\partial\psi}{\partial y} =
  \frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial \psi}{\partial x} - \frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \psi}{\partial y} =
  0 \,.
</math>

Astfel, curgerea are loc de-a lungul liniilor de constantă {{Mvar|ψ}} și perpendicular pe liniile de constantă {{Mvar|φ}}.<ref name="B_106_108" />

De asemenea, este îndeplinită relația {{Math|Δ''ψ'' {{=}} 0}}, care este echivalentă cu {{Math|∇ × '''v''' {{=}} '''0'''}}. Prin urmare, curgerea este irotațională. Condiția automată {{Math|{{sfrac|∂<sup>2</sup>Ψ|∂''x'' ∂''y''}} {{=}} {{sfrac|∂<sup>2</sup>Ψ|∂''y'' ∂''x''}}}} ne oferă atunci constrângerea de incompresibilitate {{Math|∇ · '''v''' {{=}} 0}}.

== Exemple de curgeri incompresibile bidimensionale ==
{{main|Curgerea potențială în jurul unui cilindru circular|Corpul semi-Rankine}}
Orice funcție diferențiabilă poate fi utilizată pentru {{Mvar|f}}. Exemplele următoare folosesc o varietate de {{ill-wd|Q824282||funcții elementare}}; pot fi utilizate și {{ill-wd|Q867707||funcții speciale}}. De reținut că {{ill-wd|Q629085||funcțiile cu mai multe valori}}, cum ar fi [[Logaritm natural|logaritmul natural]], pot fi utilizate, dar atenția trebuie limitată la o singură {{ill-wd|Q753035||suprafață Riemann}}.

=== Legile puterii ===
{{Imagine multiplă
| header = Exemple de hărți conforme pentru legea de putere {{math|''w'' {{=}} ''Az<sup>n</sup>''}}
| direction = vertical
| total_width = 250
| image1 = Conformal power half.svg
| image2 = Conformal power two third.svg
| image3 = Conformal power one.svg
| image4 = Conformal power one and a half.svg
| footer = Exemple de hărți conforme pentru legea puterii {{math|''w'' {{=}} ''Az<sup>n</sup>''}}, pentru diferite valori ale puterii {{mvar|n}}. Este prezentat planul {{mvar|z}}, arătând liniile de potențial constant {{mvar|φ}} și funcția de curent {{mvar|ψ}}, în timp ce {{math|''w'' {{=}} ''φ'' + ''iψ''}}.
}}

În cazul în care se aplică următoarea transformare conformă cu o lege de [[Putere (matematică)|putere]], de la {{Math|''z'' {{=}} ''x'' + ''iy''}} la {{Math|''w'' {{=}} ''φ'' + ''iψ''}}:<ref name="B_409_413">Batchelor (1973) pp. 409–413.</ref>

:<math>w=Az^n \,,</math>

atunci, scriind {{Mvar|z}} în coordonate polare ca {{Math|''z'' {{=}} ''x'' + ''iy'' {{=}} ''re<sup>iθ</sup>''}}, avem<ref name="B_409_413"/>

:<math>\varphi=Ar^n\cos n\theta \qquad \text{și} \qquad \psi=Ar^n\sin n\theta \,.</math>

În figurile din dreapta sunt prezentate exemple pentru câteva valori ale lui {{Mvar|n}}. Linia neagră este limita curgerii, în timp ce liniile albastre mai închise sunt linii de curent, iar liniile albastre mai deschise sunt liniile echipotențiale. Unele puteri interesante {{Mvar|n}} sunt:<ref name="B_409_413"/>

* {{Math|''n'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}: corespunde cu curgerea în jurul unei plăci semi-infinite,
* {{Math|''n'' {{=}} {{sfrac|2|3}}}}: curgere în jurul unui colț drept,
* {{Math|''n'' {{=}} 1}}: un caz trivial de curgere uniformă,
* {{Math|''n'' {{=}} 2}}: curgere printr-un colț sau în apropierea unui punct de stagnare, și
* {{Math|''n'' {{=}} −1}}: curgere datorată unui dublet sursă

Constanta {{Mvar|A}} este un parametru de scalare: [[Modul|modulul]] {{Math|{{abs|''A''}}}} determină scara, în timp ce {{ill-wd|Q1780131||argumentul}} său {{Math|arg(''A'')}} introduce o rotație (dacă este diferită de zero).

==== Legile puterii cu {{Math|''n'' {{=}} −1}}: curgere uniformă ====
Dacă {{Math|''w'' {{=}} ''Az''<sup>1</sup>}}, adică o lege de putere cu {{Math|''n'' {{=}} 1}}, liniile de curent (adică liniile de constantă {{Mvar|ψ}}) sunt un sistem de linii drepte paralele cu axa <math>Ox</math>. Acest lucru este cel mai ușor de observat scriind în termeni de componente reale și imaginare:

:<math>f(x+iy) = A\, (x+iy) = Ax + i Ay </math>

astfel obținând {{Math|''φ'' {{=}} ''Ax''}} și {{Math|''ψ'' {{=}} ''Ay''}}. Această curgere poate fi interpretată ca o '''curgere uniformă''' paralelă cu axa <math>Ox</math>.

==== Legile puterii cu {{Math|''n'' {{=}} −2}} ====
Dacă {{Math|''n'' {{=}} 2}}, atunci {{Math|''w'' {{=}} ''Az''<sup>2</sup>}} și linia de curent corespunzătoare unei anumite valori a lui {{Mvar|ψ}} sunt acele puncte care satisfac

:<math>\psi=Ar^2\sin 2\theta \,,</math>

care reprezintă un sistem de [[Hiperbolă|hiperbole rectangulare]]. Acest lucru poate fi demonstrat prin rescrierea din nou în termeni de componente reale și imaginare. Observând că {{Math|[[Identități trigonometrice|sin 2''θ'' {{=}} 2 sin ''θ'' cos ''θ'']]}} și rescriind {{Math|sin ''θ'' {{=}} {{sfrac|''y''|''r''}}}} și {{math|cos ''θ'' {{=}} {{sfrac|''x''|''r''}}}} se observă (prin simplificare) că liniile de curent sunt date de

:<math>\psi=2Axy \,.</math>

Câmpul de viteze este dat de {{Math|∇''φ''}}, sau

:<math>\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \\[2px] \frac{\partial \varphi}{\partial y} 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} + {\partial \psi \over \partial y} \\[2px] - {\partial \psi \over \partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} +2Ax \\[2px] -2Ay \end{pmatrix} \,.</math>

În dinamica fluidelor, câmpul de curgere din apropierea originii corespunde unui {{ill-wd|Q651142||punct de stagnare}}. De reținut că fluidul din origine este în repaus (ceea ce rezultă din diferențierea lui {{Math|''f''(z) {{=}} ''z''<sup>2</sup>}} la {{Math|''z'' {{=}} 0}}). Linia de curent {{Math|''ψ'' {{=}} 0}} este deosebit de interesantă: are două (sau patru) ramuri, urmând axele de coordonate, adică {{Math|''x'' {{=}} 0}} și {{Math|''y'' {{=}} 0}}. Deoarece nu curge fluid prin axa <math>Ox</math>, aceasta (axa <math>Ox</math>) poate fi tratată ca o frontieră solidă. Astfel, este posibil să ignorăm curgerea în semiplanul inferior unde {{Math|''y'' < 0}} și să ne concentrăm asupra curgerii în semiplanul superior. Cu această interpretare, curgerea este cea a unui jet direcționat vertical care lovește o placă plană orizontală. De asemenea, curgerea poate fi interpretată ca fiind o curgere într-un colț de 90 de grade, dacă se ignoră regiunile specificate de (să zicem) {{Math|''x'', ''y'' < 0}}.

==== Legile puterii cu {{Math|''n'' {{=}} 3}} ====
Dacă {{Math|''n'' {{=}} 3}}, curgerea rezultantă este o versiune hexagonală a cazului {{Math|''n'' {{=}} 2}} analizat anterior. Liniile de curent sunt date de {{Math|''ψ'' {{=}} 3''x''<sup>2</sup>''y'' − ''y''<sup>3</sup>}}, iar curgerea în acest caz poate fi interpretată ca o curgere într-un colț de 60°.

==== Legile puterii cu {{Math|''n'' {{=}} −1}}: dublet ====
Dacă {{Math|''n'' {{=}} −1}}, liniile de curent sunt date de:

:<math>\psi = -\frac{A}{r}\sin\theta.</math>

Această ecuație este mai ușor de interpretat în termeni de componente reale și imaginare:
:<math>\begin{align}
                 \psi = \frac{-A y}{r^2} &= \frac{-A y}{x^2 + y^2} \,, \\
            x^2 + y^2 + \frac{A y}{\psi} &= 0 \,, \\
  x^2 + \left(y+\frac{A}{2\psi}\right)^2 &= \left(\frac{A}{2\psi}\right)^2 \,.
\end{align}</math>

Astfel, liniile de curent sunt [[Cerc|cercuri]] care sunt tangente la axa Ox în origine. Cercurile din semiplanul superior curg astfel în sensul acelor de ceasornic, iar cele din semiplanul inferior curg în sens invers acelor de ceasornic. De remarcat că componentele vitezei sunt proporționale cu {{Math|''r''<sup>−2</sup>}}; iar valorile lor în origine sunt infinite. Acest model de curgere este de obicei numit dublet sau dipol și poate fi interpretat ca o combinație a unei perechi sursă-scurgere de intensitate infinită, menținută la o distanță infinitezimală. Câmpul de viteze este dat de:

:<math>(u,v)=\left( \frac{\partial \psi}{\partial y}, - \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) = \left(A\frac{y^2-x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2},-A\frac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right) \,.</math>

sau în coordonate polare:

:<math>(u_r, u_\theta)=\left( \frac{1}{r} \frac{\partial \psi}{\partial \theta}, - \frac{\partial \psi}{\partial r} \right) = \left(-\frac{A}{r^2}\cos\theta, -\frac{A}{r^2}\sin\theta\right) \,.</math>

==== Legile puterii cu {{Math|''n'' {{=}} −2}}: cvadripolar ====
Dacă {{Math|''n'' {{=}} −2}}, liniile de curent sunt date de:

:<math>\psi=-\frac{A}{r^2}\sin 2 \theta \,.</math>

Acest câmp de curgere este asociat cu un {{ill-wd|Q2121987||cvadripolar}}.<ref>{{Citat carte|editură=Wiley-Interscience|isbn=9780471511298|nume=Kyrala|prenume=A.|titlu=Applied Functions of a Complex Variable|an=1972|pagini=116–117}}</ref>

=== Sursa și scurgerea liniară ===
O sursă sau scurgere liniară de intensitate <math>Q</math> (<math>Q>0</math> pentru sursă și <math>Q<0</math> pentru scurgere) este dată de potențialul:

:<math>w = \frac{Q}{2\pi} \ln z</math>

unde <math>Q</math> reprezintă, de fapt, curgerea volumică pe unitate de lungime printr-o suprafață care înconjoară sursa sau scurgerea. Câmpul de viteză în coordonate polare este:

:<math>u_r = \frac{Q}{2\pi r},\quad u_\theta=0</math>

adică o curgere pur radială.

=== Vârtejul liniar ===
Un vârtej liniar de intensitatea <math>\Gamma</math> este dat de:

:<math>w=\frac{\Gamma}{2\pi i}\ln z</math>

unde <math>\Gamma</math> este [[circulație|circulația]] în jurul oricărui contur simplu închis care înconjoară vârtejul. Câmpul de viteză în coordonate polare este:

:<math>u_r = 0,\quad u_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r}</math>

adică o curgere pur azimutală.

== Analiză pentru curgeri incompresibile tridimensionale ==
Pentru curgeri tridimensionale, potențialul complex nu poate fi obținut.

=== Sursă și scurgerea punctuală ===
Potențialul vitezei al unei surse sau scurgeri punctuale de intensitate <math>Q</math> (<math>Q>0</math> pentru sursă și <math>Q<0</math> pentru scurgere) în coordonate polare sferice este dat de:

: <math>\phi = -\frac{Q}{4\pi r}</math>

unde <math>Q</math> reprezintă, de fapt, curgerea volumică printr-o suprafață închisă care înconjoară sursa sau scurgerea. Câmpul de viteză în coordonate polare sferice este:

: <math>u_r = \frac{Q}{4\pi r^2}, \quad u_\theta=0, \quad u_\phi = 0.</math>

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* {{Citation|last=Batchelor|first=G.K.|title=An introduction to fluid dynamics|year=1973|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-09817-3|author-link=George Batchelor}}
* {{Citation|last=Chanson|first=H.|title=Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows|url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:191112|year=2009|publisher=CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 pages|isbn=978-0-415-49271-3|author-link=Hubert Chanson}}
* {{Citation|last=Lamb|first=H.|title=Hydrodynamics|year=1994|orig-year=1932|edition=6th|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-45868-9|author-link=Horace Lamb}}
* {{Citation|last=Milne-Thomson|first=L.M.|title=Theoretical hydrodynamics|year=1996|orig-year=1968|edition=5th|publisher=Dover|isbn=0-486-68970-0|author-link=L. M. Milne-Thomson}}

== Lectură suplimentară ==
* {{Citation|last=Chanson|first=H.|title=Le potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels: la contribution de Joseph-Louis Lagrange <nowiki>[Velocity potential in real fluid flows: Joseph-Louis Lagrange's contribution]</nowiki>|url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:119883|volume=93|issue=5|pages=127–131|year=2007|periodical=La Houille Blanche|language=fr|doi=10.1051/lhb:2007072|author-link=Hubert Chanson|doi-access=free}}
* {{Citation|last=Wehausen|first=J.V.|title=Encyclopedia of Physics|url=http://www.coe.berkeley.edu/SurfaceWaves|volume=IX|pages=446–778|year=1960|editor-last=Flügge|editor-first=S.|archive-url=https://web.archive.org/web/20090105221638/http://coe.berkeley.edu/SurfaceWaves/|chapter=Surface waves|publisher=Springer Verlag|access-date=2009-03-29|archive-date=2009-01-05|last2=Laitone|first2=E.V.|author-link=John V. Wehausen|editor2-last=Truesdell|editor2-first=C.|editor1-link=Siegfried Flügge|editor2-link=Clifford Truesdell|url-status=dead}}

== Vezi și ==
* {{ill-wd|Q7234818||Curgerea potențială în jurul unui cilindru circular}}
* {{ill-wd|Q4688241||Cod de curgere potențială aerodinamică}}
* [[Transformare conformă]]
* {{ill-wd|Q16954423||Deriva Darwin}}
* {{Ill-wd|Q2357686|3=Rețea de curgere}}
* [[Funcție armonică|Câmp laplacian]]
* {{ill-wd|Q18345161||Ecuația Laplace pentru curgerea irotațională}}
* {{ill-wd|Q1154848||Teoria potențialului}}
* {{ill-wd|Q2029236||Funcție de curent}}
* [[Potențialul vitezei]]
* {{ill-wd|Q1153588||Descompunerea Helmholtz}}

== Legături externe ==
* {{Citat web|url=http://www.diam.unige.it/~irro/lecture_e.html|titlu=Irrotational flow of an inviscid fluid|publisher={{Ill-wd|Q593321|3=University of Genoa}}, Faculty of Engineering|accessdate=2009-03-29}}
* {{Citat web|url=http://3d-xplormath.org/j/applets/en/index.html|titlu=Conformal Maps Gallery|publisher=3D-XplorMath|accessdate=2009-03-29}} — Java applets for exploring conformal maps
* [http://airfoil.dimanov.com/ Potential Flow Visualizations - Interactive WebApps]
{{Portal|Fizică}}

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Dinamica fluidelor]]