Vizualizare sursă pentru „Cupolă (geometrie)”

{{Acesta|o [[figură geometrică]]|cupolă}}
{{Infocaseta Poliedru
| name = Cupolă
| image_up = Pentagonal cupola.png
| caption = Cupolă pentagonală
| type =
| euler = 2
| faces = ''n'' [[triunghi]]uri,<br/>''n'' [[pătrat]]e<br/>1 [[poligon |''n''-gon]]<br/>1 2''n''-gon
| edges = 5''n''
| vertices = 3''n''
| vertex_config =
| face_config =
| schläfli ={''n''} &#124;&#124; t{''n''}
| wythoff =
| coxeter =
| conway =
| symmetry = [[Simetrie ciclică în spațiul tridimensional |C<sub>''n''v</sub>]], [1,''n''], (*''nn''), ordin 2''n''
| rotsymmetry = C<sub>''n''</sub>, [1,''n'']<sup>+</sup>, (''nn''), ordin ''n''
| dual =
| properties = [[Poliedru convex |convexă]]
| net =
}}
În [[geometrie]] o '''cupolă''' este un [[poliedru]] format din două [[poligon |poligoane]], unul (baza) cu de două ori mai multe [[latură (geometrie) |laturi]] decât celălalt, unite printr-o bandă alternantă de [[triunghi isoscel |triunghiuri isoscele]] și [[dreptunghi]]uri. Dacă triunghiurile sunt [[triunghi echilateral|echilaterale]] și dreptunghiurile sunt [[pătrat]]e, în timp ce baza și fața ei opusă sunt [[poligon regulat |poligoane regulate]], cupolele [[cupolă triunghiulară |triunghiulară]], [[cupolă pătrată |pătrată]] și [[cupolă pentagonală |pentagonală]] sunt toate [[poliedru Johnson |poliedre Johnson]] și pot fi formate prin divizarea [[cuboctaedru]]lui, [[rombicuboctaedru]]lui și respectiv [[rombicosidodecaedru]]lui.

O cupolă poate fi văzută ca o [[prismă (geometrie) |prismă]] în care la unul dintre poligoane numărul [[vârf (geometrie) |vârfurilor]] a fost redus la jumătate prin contopirea vârfurilor alternate.

O cupolă are [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] {''n''} &#124;&#124; t{''n''}, reprezentând un [[poligon regulat]] {n} unit cu altul, paralel cu el, [[trunchiere (geometrie)#Trunchierea_poligoanelor |trunchiat]], t{n}, sau cu un număr dublu de laturi, {2n}.

Cupolele sunt o subclasă a prismatoizilor.

Dualul său este o formă care este o îmbinare dintre jumătatea unui [[trapezoedru]] cu ''n'' laturi și o [[piramidă (geometrie) |piramidă]] cu 2''n'' laturi.

== Exemple ==
{{Cupole}}
[[Fișier:Tile 3464.svg|thumb|Cupolă [[hexagon]]ală plană în [[pavare rombitrihexagonală |pavarea rombitrihexagonală]]]]
Cele trei poliedre menționate mai sus sunt singurele cupole convexe netriviale cu fețe regulate. ''Cupola [[hexagon]]ală'' este o figură plană, iar [[prismă triunghiulară |prisma triunghiulară]] ar putea fi considerată o „cupolă” de gradul&nbsp;2 (cupola unui [[segment (geometrie) |segment]] de [[dreaptă]] și a unui pătrat). Celelalte cupole, ale poligoanelor cu un număr mai mare de laturi, pot fi construite cu fețe triunghiulare și dreptunghiulare oarecare.

== Coordonatele vârfurilor ==
[[Fișier:Cupola_40.png|thumb|left|O cupolă cu 40 de laturi are 40 de triunghiuri isoscele (albastre), 40 de dreptunghiuri (galbene), un [[tetracontagon|40-gon]] de sus (roșu) și un [[octocontagon|80-gon]] de jos (ascuns)]]
Definiția cupolei nu necesită ca baza (sau latura opusă bazei, care poate fi numită baza mică) să fie un poligon regulat, dar este convenabil să se ia în considerare cazul în care cupola are simetria sa maximă, C<sub>''n''v</sub>. În acest caz baza mică este un ''n''-gon regulat, în timp ce baza (mare) este fie un 2''n''-gon regulat, fie un 2''n''-gon care are două laturi de lungimi diferite care alternează și aceleași unghiuri ca un 2''n''-gon regulat. Este convenabil să se aleagă sistemul de coordonate astfel încât baza să se afle în planul ''xy'', cu baza mică într-un plan paralel cu planul ''xy''. Axa ''z'' este axa cu ''n'' poziții, iar planele de oglindire trec prin axa ''z'' și mijloacele laturilor bazei. De asemenea, împart în două fie laturile, fie unghiurile poligonului superior, fie pe ambele. (Dacă ''n'' este par, jumătate din planele de oglindire trec prin mijloacele laturilor și jumătate trec prin vârfurile poligonului superior, în timp ce dacă ''n'' este impar fiecare plan de oglindire trece prin mijlocul unei laturi și un vârf al poligonului superior.) Vârfurile bazei pot fi notate de la V<sub>1</sub> până la V<sub>2''n''</sub>, în timp ce vârfurile poligonului superior pot fi notate de la V<sub> 2''n''+1</sub> până la V<sub>3''n''</sub>. Cu aceste convenții, coordonatele vârfurilor pot fi scrise ca:
*''V''<sub>2''j''−1</sub>: (''r<sub>b</sub>'' cos[2π(''j'' − 1) / ''n'' + α], ''r<sub>b</sub>'' sin[2π(''j'' − 1) / ''n'' + α], 0)
*''V''<sub>2''j''</sub>: (''r<sub>b</sub>'' cos(2π''j'' / ''n'' − α), ''r<sub>b</sub>'' sin(2π''j'' / ''n'' − α), 0)
*''V''<sub>2''n''+''j''</sub>: (''r<sub>t</sub>'' cos(π''j'' / ''n''), ''r<sub>t</sub>'' sin(π''j'' / ''n''), ''h'')

unde ''j'' = 1, 2, ... , ''n''.

Deoarece poligoanele ''V''<sub>1</sub>''V''<sub>2</sub>''V''<sub>2''n''+2</sub>''V''<sub>2''n''+1</sub> etc. sunt  dreptunghiuri, asta impune o constrângere asupra valorilor lui ''r<sub>b</sub>'', ''r<sub>t</sub>'' și α. Distanța ''V''<sub>1</sub>''V''<sub>2</sub> este egală cu
:''r<sub>b</sub>''{[cos(2π / ''n'' − α) − cos α]<sup>2</sup> + [sin(2π / ''n'' − α) − sin α]<sup>2</sup>}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>b</sub>''{[cos<sup>2</sup>(2π / ''n'' − α) − 2cos(2π / ''n'' − α)cos α + cos<sup>2</sup> α] + [sin<sup>2</sup>(2π / ''n'' − α) − 2sin(2π / ''n'' − α)sin α + sin<sup>2</sup> α]}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>b</sub>''{2[1 − cos(2π / ''n'' − α)cos α − sin(2π / ''n'' − α)sin α]}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>b</sub>''{2[1 − cos(2π / ''n'' − 2α)]}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>

în timp ce distanța ''V''<sub>2''n''+1</sub>''V''<sub>2''n''+2</sub> este egală cu
:''r<sub>t</sub>''{[cos(π / ''n'') − 1]<sup>2</sup> + sin<sup>2</sup>(π / ''n'')}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>t</sub>''{[cos<sup>2</sup>(π / ''n'') − 2cos(π / ''n'') + 1] + sin<sup>2</sup>(π / ''n'')}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>
:= ''r<sub>t</sub>''{2[1 − cos(π / ''n'')]}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>.

Acestea trebuie să fie egale, iar dacă această latură comună este notată cu „s”,
:''r<sub>b</sub>'' = ''s'' / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>
:''r<sub>t</sub>'' = ''s'' / {2[1 − cos(π / ''n'')]}<sup>{{sfrac|1|2}}</sup>

Aceste valori trebuie să fie introduse în expresiile anterioare ale coordonatelor vârfurilor.

== Cupole stelate ==
{{Cupole stelate}}
{{Semicupole stelate}}
Cupole stelate există pentru toate bazele &#123;{{sfrac|''n''|''d''}}&#125; unde <sup>6</sup>/<sub>5</sub>&nbsp;&lt;&nbsp;<sup>''n''</sup>/<sub>''d''</sub>&nbsp;&lt;&nbsp;6 și ''d'' sunt impare. La limită, cupolele [[degenerare (matematică) |degenerează]] în figuri plane: dincolo de o anumită limită triunghiurile și pătratele nu mai pot acoperi distanța dintre cele două poligoane (se poate face totuși dacă triunghiurile sau pătratele sunt neregulate.). Când ''d'' este pară, baza inferioară {2{{sfrac|''n''|''d''}}} devine degenerată: putem forma o ''semicupolă'' prin renunțarea la această față degenerată, lăsând aici triunghiurile și pătratele să se conecteze între ele. În special, [[tetrahemihexaedru]]l poate fi văzut ca o {3/2}-semicupolă. Cupolele stelate sunt toate [[orientare (geometrie) |orientabile]], în timp ce semicupolele sunt toate neorientabile. Când la o semicupolă {{sfrac|''n''|''d''}} > 2, triunghiurile și pătratele nu acoperă întreaga bază, iar în bază rămâne o „membrană” mică ce acoperă pur și simplu spațiul gol. Prin urmare, semicupolele {5/2} și {7/2} din imaginile de mai sus au aceste membrane (nu sunt complete), în timp ce semicupolele {5/4} și {7/4} din imaginile de mai sus nu le au.

Înălțimea ''h'' a unei &#123;{{sfrac|''n''|''d''}}&#125;-cupole sau semicupole este dată de formula
:<math>h = \sqrt{1-\frac{1}{4 \sin^{2} (\frac{\pi d}{n})}}</math>.
Înălțimea ''h'' = 0 la limitele {{sfrac|''n''|''d''}} = 6 și {{sfrac|''n''|''d''}} = {{Sfrac|6|5}} și este maximă la {{sfrac|''n''|''d''}} = 2 (prisma triunghiulară, unde triunghiurile sunt în poziție verticală).<ref>{{en icon}} {{cite web|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola1.html|title=cupolas|website=www.orchidpalms.com|access-date=21 April 2018}}</ref><ref>{{en icon}} {{cite web|url=http://www.orchidpalms.com/polyhedra/cupolas/cupola2.html|title=semicupolas|website=www.orchidpalms.com|access-date=21 April 2018}}</ref>

În imaginile de mai sus, cupolele stelate au primit o schemă de culori consistentă pentru a ajuta la identificarea fețelor lor: baza {{sfrac|''n''|''d''}}-gonală este roșie, baza {{sfrac |''2n''|''d''}}-gonală este galbenă, pătratele sunt albastre, iar triunghiurile sunt verzi. Semicupolele au baza un {{sfrac|''n''|''d''}}-gon roșu, pătratele galbene și triunghiurile albastre, deoarece la cealaltă bază s-a renunțat.

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Norman Johnson]], ''Convex Polyhedra with Regular Faces.'' Can. J. Math. 18, 169–200, 1966.

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{MathWorld |urlname=Cupola |title=Cupola}}
* {{en icon}} [http://bendwavy.org/klitzing/explain/segmentochora.htm Segmentotopes]

{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre prismatoide]]
[[Categorie:Poliedre Johnson]]