Vizualizare sursă pentru „Cuboctaedru trunchiat”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Cuboctaedru trunchiat
| image_up = Truncatedcuboctahedron.jpg
| caption = ([[:Fișier:Truncatedcuboctahedron.gif|animație]] și [[:Fișier:Truncated cuboctahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru arhimedic]]<br/>([[Poliedru uniform]])
| euler = 2
| faces = 26 (12 [[pătrat]]e, 8 [[hexagon |hexagoane]], 6 [[octogon |octogoane]])
| edges = 72
| vertices = 48
| vertex_config = 4.6.8
| face_config =
| schläfli = tr{4,3} sau <math>t\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br/>t<sub>0,1,2</sub>{4,3}
| wythoff = 2 3 4 &#124;
| coxeter = {{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}
| conway = bC sau taC
| symmetry = [[Simetrie octaedrică|O<sub>h</sub>]], B<sub>3</sub>, [4,3], (*432), ordin 48
| rotsymmetry = [[Simetrie octaedrică|O]], [4,3]<sup>+</sup>, (432), ordin 24
| surface_area = &approx; 61,755 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; 41,799 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 4-6: arccos(−{{sfrac|{{radic|6}}|3}}) = 144° 44′ 08″<br/>4-8: arccos(−{{sfrac|{{radic|2}}|3}}) = 135°<br/>6-8: arccos(−{{sfrac|{{radic|3}}|3}}) = 125°15′51″
| dual = [[Dodecaedru disdiakis]]
| properties =[[Poliedru semiregulat]] ([[zonoedru]]) [[poliedru convex |convex]] cu fețe [[poligon regulat |poligoane regulate]], [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]]
| vertex_figure = Polyhedron great rhombi 6-8 vertfig.svg
| net = Polyhedron great rhombi 6-8 net.svg
}}
În [[geometrie]] '''cuboctaedrul trunchiat''' este un [[poliedru arhimedic]]. Are 26 de [[față (geometrie) |fețe]] regulate (12 [[pătrat]]e, 8 fețe [[hexagon |hexagonale]] și 6 [[octogon]]ale), 72 de [[latură (geometrie) |laturi]] și 48 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]]. Deoarece fiecare dintre fețele sale are [[simetrie față de centru]] (echivalent, [[simetrie de rotație]] de 180°), cuboctaedrul trunchiat este un [[zonoedru]]. Împreună cu [[prismă octogonală |prisma octogonală]], cuboctaedrul trunchiat poate [[pavare |tesela]] spațiul ca [[fagure cubic]] [[omnitrunchiere |omnitrunchiat]].

Are indicele de [[poliedru uniform]] U<sub>11</sub>,<ref>{{en icon}} {{mathworld|urlname=UniformPolyhedron|title=Uniform Polyhedron}}</ref> indicele Coxeter C<sub>23</sub> și indicele Wenninger W<sub>15</sub>.

== Nume alternative ==
[[Fișier:Polyhedron 6-8 max.png|upright=0.6|thumb|left|Cuboctaedrul,]]
[[Fișier:Polyhedron nonuniform truncated 6-8 max.png|upright=0.6|thumb|left|trunchierea sa]]
Numele de ''cuboctaedrul trunchiat'' i-a fost dat de [[Johannes Kepler]]. Aceste nume poate crea confuzii, deoarece actual prin [[trunchiere (geometrie) |trunchiere]] un cuboctaedru are [[dreptunghi]]uri în locul pătratelor, însă ''acel'' poliedru neuniform este [[topologie |topologic]] echivalent cu poliedrul arhimedic numit astfel (nu tocmai riguros). Alte nume sunt:
* ''Cuboctaedru rombitrunchiat'' ([[Magnus Wenninger]]<ref>{{en icon}} {{Citation |last1=Wenninger |first1=Magnus |author1-link=Magnus Wenninger |title=Polyhedron Models |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-09859-5 |mr=0467493 |year=1974}} (Model 15, p. 29)</ref>),
* ''Cub [[omnitrunchiere |omnitrunchiat]]'' sau ''cub cantitrunchiat'' ([[Norman Johnson]]),
* ''Cub teșit'' ([[notația Conway a poliedrelor]]).

Există un poliedru uniform neconvex cu un nume asemănător: marele rombicuboctaedru neconvex.

== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unui cuboctaedru trunchiat având lungimea laturii 2 și centrat în [[origine (matematică) |origine]] sunt toate [[permutare |permutările]]:
:<math>(\pm 1, \pm(1+\sqrt{2}), \pm(1+2\sqrt{2})</math>.

== Arie și volum==
[[Arie |Aria]] ''A'' și [[volum]]ul ''V'' ale cuboctaedrului trunchiat cu lungimea laturii ''a'' sunt:
:<math>\begin{align}
A &= 12\left(2+\sqrt{2}+\sqrt{3}\right) a^2 &&\approx 61.755\,1724~a^2, \\
V &= \left(22+14\sqrt{2}\right) a^3 &&\approx 41.798\,9899~a^3. \end{align}</math>

== Divizare ==
{| class="wikitable floatleft"
|[[Fișier:Small in great rhombi 6-8, davinci small with cubes.png|150px]]
|[[Fișier:Small in great rhombi 6-8, davinci.png|150px]]
|}
Cuboctaedrul trunchiat este [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]] a unui [[rombicuboctaedru]] cu cuburi deasupra celor 12 pătrate cu axe de simetrie cu două poziții. Restul spațiului său poate fi divizat în 6 [[cupolă pătrată |cupole pătrate]] sub octogoane și 8 [[cupolă triunghiulară |cupole triunghiulare]] sub hexagoane.

Un cuboctaedru trunchiat divizat poate crea un [[toroid Stewart]] de [[gen (matematică) |genul]] 5, 7 sau 11 prin îndepărtarea rombicuboctaedrului central și fie a celor 6 cupole pătrate, fie a celor 8 cupole triunghiulare sau, respectiv, a celor 12 cuburi. De asemenea, mulți alți toroizi cu simetrie inferioară pot fi construiți prin îndepărtarea rombicuboctaedrului central și a unui subset al celorlalte componente de divizare. De exemplu, îndepărtarea a 4 dintre cupolele triunghiulare creează un toroid de genul 3; dacă aceste [[cupolă (geometrie) |cupole]] sunt alese corespunzător, atunci acest toroid are [[simetrie tetraedrică]].<ref>{{en icon}} B. M. Stewart (1970), ''Adventures Among the Toroids'', {{isbn|978-0-686-11936-4}}</ref><ref>{{en icon}} {{cite web|url=http://www.doskey.com/polyhedra/Stewart05.html|title=Adventures Among the Toroids - Chapter 5 - Simplest (R)(A)(Q)(T) Toroids of genus p=1|first=Alex|last=Doskey|website=www.doskey.com}}</ref>
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan="4"|[[Toroid Stewart |Toroizi Stewart]]
|-
!Genul 3
!Genul 5
!Genul 7
!Genul 11
|-
|[[Fișier:Excavated truncated cuboctahedron4.png|150px]]
|[[Fișier:Excavated truncated cuboctahedron2.png|150px]]
|[[Fișier:Excavated truncated cuboctahedron3.png|150px]]
|[[Fișier:Excavated truncated cuboctahedron.png|150px]]
|}

== Colorare ca poliedru uniform ==
Colorarea ca [[poliedru uniform]] se face cu câte o culoare pentru fiecare tip de față.

== Proiecții ortogonale ==
{{imagine multiplă
 | align = right | width = 120 | direction=vertical
 | image1 = Polyhedron great rhombi 6-8 from blue max.png
 | image2 = Polyhedron great rhombi 6-8 from yellow max.png
 | image3 = Polyhedron great rhombi 6-8 from red max.png
}}
Cuboctaedrul trunchiat are două [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]] speciale în [[plan Coxeter |planele Coxeter]] A<sub>2</sub> și B<sub>2</sub> cu simetriile proiecțiilor [6] și [8], iar numeroase simetrii [2] pot fi construite în diferite plane de proiecție în raport cu elementele poliedrului.
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
!Centrate pe
!Vârf
!Latura<br/>4-6
!Latura<br/>4-8
!Latura<br/>6-8
!Normala<br/>feței 4-6
|-
!Imagine
|[[Fișier:Cube_t012_v.png|100px]]
|[[Fișier:Cube_t012_e46.png|100px]]
|[[Fișier:Cube_t012_e48.png|100px]]
|[[Fișier:Cube_t012_e68.png|100px]]
|[[Fișier:Cube_t012_f46.png|100px]]
|-
!Simetria<br/>proiecției
|[2]<sup>+</sup>
|[2]
|[2]
|[2]
|[2]
|-
!Centrate pe
!Normala feței<br/>pătrate
!Normala feței<br/>octogonale
!Fața<br/>pătrată
!Fața<br/>hexagonală
!Fața<br/>octogonală
|-
!Imagine
|[[Fișier:Cube_t012_af4.png|100px]]
|[[Fișier:Cube_t012_af8.png|100px]]
|[[Fișier:Cube_t012_f4.png|100px]]
|[[Fișier:3-cube_t012.svg|100px]]
|[[Fișier:3-cube_t012_B2.svg|100px]]
|-
!Simetria<br/>proiecției
|[2]
|[2]
|[2]
|[6]
|[4]
|}

== Pavări sferice ==
Cuboctaedrul trunchiat poate fi reprezentat și ca o [[pavare sferică]] și proiectat pe plan printr-o [[proiecție stereografică]]. Această proiecție este [[transformare conformă |conformă]], păstrând unghiurile, dar nu și ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate pe plan ca [[arc de cerc |arce de cerc]].
{|class=wikitable
|- valign=top
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t012.png|155px]]
|[[Fișier:truncated cuboctahedron stereographic projection square.png|165px]]
|[[Fișier:truncated cuboctahedron stereographic projection hexagon.png|152px]]
|[[Fișier:truncated cuboctahedron stereographic projection octagon.png|160px]]
|-
!rowspan=2|[[Proiecție ortogonală]]
!centrată pe [[pătrat]]|| centrată pe [[hexagon]]||centrată pe [[octogon]]
|-
!colspan=3|[[Proiecție stereografică |Proiecții stereografice]]
|}

== Grupul octaedric complet ==
[[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png|thumb|Dual: Dodecaedru disdiakis]]
[[Fișier:Full octahedral group elements in truncated cuboctahedron; JF.png|thumb|right]]
La fel ca multe alte poliedre, octaedrul trunchiat are o [[simetrie octaedrică]] completă, dar relația sa cu grupul octaedric complet este mai complexă decât aceasta: cele 48 de vârfuri corespund elementelor grupului și fiecare față a [[dodecaedru disdiakis|dualului său]] este un [[domeniu fundamental]] al grupului.

Imaginea din dreapta arată cele 48 de permutări din grup aplicate unui obiect. Cele 24 de elemente „F” de culoare deschisă sunt [[rotație (matematică) |rotații]], iar cele de culoare închisă sunt [[reflexie (matematică) |reflexiile]] lor.

Laturile poliedrului corespund celor 9 reflexii din grup:
* Cele dintre octogoane și pătrate corespund celor 3 reflexii dintre octogoanele opuse.
* Laturile hexagonale corespund celor 6 reflexii dintre pătratele opuse.
* (Nu există reflexii între hexagoanele opuse.)

Subgrupurile corespund poliedrelor care au în comun vârfurile respective cu cele ale octaedrului trunchiat.<br/>
De exemplu, cele 3 subgrupuri cu 24 de elemente corespund unui [[cub snub]] neuniform cu simetrie octaedrică chirală, unui [[rombicuboctaedru]] neuniform cu [[simetrie piritoedrică]] ([[octaedru snub cantic |octaedrul snub cantic]]) și unui octaedru trunchiat neuniform cu [[simetrie tetraedrică completă]]. Subgrupul unic cu 12 elemente este [[grup altern |grupul altern]] A<sub>4</sub>. Acesta corespunde unui [[icosaedru]] neuniform cu [[simetrie tetraedrică]] chirală.
{| class="wikitable collapsible" style="text-align: center;"
!colspan="5"| Subgrupuri și poliedrele corespondente
|- valign=top
!Cuboctaedru trunchiat<br/>{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}<br/>tr{4,3}
![[Cub snub]]<br/>{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}<br/>sr{4,3}
![[Rombicuboctaedru]]<br/>{{CDD|node_1|4|node_h|3|node_h}}<br/>s<sub>2</sub>{3,4}
![[Octaedru trunchiat]]<br/>{{CDD|node_h|4|node_1|3|node_1}}<br/>h<sub>1,2</sub>{4,3}
![[Icosaedru]]<br/>{{CDD|node_h|2|4|2|node_h|3|node_h}}
|-
![4,3]<br/>[[Simetrie octaedrică|Octaedrică completă]]
![4,3]<sup>+</sup><br/>Octaedrică chirală
![4,3<sup>+</sup>]<br/>[[Simetrie piritoedrică]]
![1<sup>+</sup>,4,3] = [3,3]<br/>[[Simetrie tetraedrică|Tetraedrică completă]]
![1<sup>+</sup>,4,3<sup>+</sup>] = [3,3]<sup>+</sup><br/>Tetraedrică chirală
|-
| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid snub right maxmatch.png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid pyritohedral maxmatch.png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid tetrahedral maxmatch.png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 subsolid 20 maxmatch.png|150px]]
|-
| toate 48 vârfuri
|colspan="3"| 24 vârfuri
| 12 vârfuri
|}

== Poliedre înrudite ==
{| class=wikitable align=right width=320
|[[Fișier:Conway_polyhedron_b3O.png|160px]] 
|[[Fișier:Conway_polyhedron_b3C.png|160px]]
|-
|colspan=2|Tetraedrul și cubul „papion” conțin două fețe trapezoidale în locul fiecărui pătrat.<ref>{{en icon}} [http://www.cgl.uwaterloo.ca/csk/papers/bridges2001.html Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170317145003/http://www.cgl.uwaterloo.ca/csk/papers/bridges2001.html |date=2017-03-17 }} Craig S. Kaplan</ref>
|}
Cuboctaedrul trunchiat face parte dintr-o familie de poliedre uniforme înrudite cu cubul și octaedrul regulat.

{{Trunchieri octaedrice}}

Acest poliedru face parte dintr-o secvență de modele uniforme cu [[configurația vârfului]] (4.6.2''p'') și [[diagramă Coxeter–Dynkin |diagrama Coxeter–Dynkin]] {{CDD|node_1|p|node_1|3|node_1}}. Pentru ''p''&nbsp;<&nbsp;6, membrii secvenței sunt poliedre [[omnitrunchiere |omnitrunchiate]] ([[zonoedru |zonoedre]]), prezentate mai jos ca pavări sferice. Pentru ''p''&nbsp;<&nbsp;6, acestea sunt pavări ale planului hiperbolic, începând cu [[pavarea triheptagonală trunchiată |pavare triheptagonală trunchiată]].
{{Tabel omnitrunchiate}}
{{Tabel omnitrunchiate4}}

Este primul dintr-o serie de hipercuburi cantitrunchiate.
{{Hipercuburi cantitrunchiate}}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra|location=United Kingdom|publisher=Cambridge|pages=79–86 ''Archimedean solids''|isbn=0-521-55432-2}}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=GreatRhombicuboctahedron |title=Great rhombicuboctahedron}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=ArchimedeanSolid |title=Archimedean solid}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=GreatRhombicuboctahedralGraph |title=Great rhombicuboctahedral graph}}
* {{en icon}} [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=K1RB4IgXRIYFsRCy4aHC6dnfSy7rq2q4f3v4yl4nRAbEtZul3CvUo1k8TrBjkgTqbZvaXjrwBrfylwUDWC8lfzMM1h1E0NDKFJh7udiMaOsp1DWdM1xR11UHzHVHzVTY4gCc1nRXW879CvTzcUwX9wUb4vJUXWfCEBFZvcR1dJrJyE4FpNhyWBHvw6Qyuph3rT9jgDZRKNn8FaEqBr5dZ1o9SBpnEObkMMx31INNrEf75EZOWGdEXwvDNeJIuKbtorvRJHy4iYcMHnYO1v1axRBQudr31fS0np5Jn7nuzR0Vx&name=Truncated+Cuboctahedron#applet Editable printable net of a truncated cuboctahedron with interactive 3D view]
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
* {{en icon}} [http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/flechten/grko/indexeng.htm Great rhombicuboctahedron: paper strips for plaiting] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080602081555/http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/flechten/grko/indexeng.htm |date=2008-06-02 }}
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/girco.htm girco]'''
{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre arhimedice]]
[[Categorie:Pavări trunchiate]]
[[Categorie:Zonoedre]]