Vizualizare sursă pentru „Cuboctaedru”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Cuboctaedru
| image_up = Cuboctahedron.jpg
| caption = ([[:Fișier:Cuboctahedron.gif|animație]] și [[:Fișier:Cuboctahedron.stl|model 3D]])
| type = [[Poliedru arhimedic]]
| euler = 2
| faces = 14 (8 [[triunghi]]uri, 6 [[pătrat]]e)
| edges = 24
| vertices = 12
| vertex_config = 3.4.3.4
| schläfli = r{4,3} sau <math>\begin{Bmatrix} 4 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br/>rr{3,3} sau <math>r\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math><br/>t<sub>1</sub>{4,3} sau t<sub>0,2</sub>{3,3}
| wythoff = 2 &#124; 3 4<br/>3 3 &#124; 2
| coxeter = {{CDD|node|4|node_1|3|node}} sau {{CDD||node_1|split1-43|nodes}}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node_1}} sau {{CDD||node|split1|nodes_11}}
| conway = aC sau aaT
| symmetry = [[Simetrie octaedrică|O<sub>h</sub>]], B<sub>3</sub>, [4,3], (*432), ordin 48
| rotsymmetry = [[Simetrie octaedrică|O]], [4,3]<sup>+</sup>, (432), ordin 24
| surface_area = &approx; 9,464 ''a''<sup>2</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| volume = &approx; 2,357 ''a''<sup>3</sup> &nbsp; (''a'' = latura)
| angle = 125,26° = arcsec(−{{radic|3}})
| dual = [[Dodecaedru rombic]]
| properties = [[Poliedru cvasiregulat]], [[poliedru convex |convex]] cu fețe [[poligon regulat |poligoane regulate]], [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]] și [[figură izotoxală|laturi]]
| vertex_figure = Polyhedron 6-8 vertfig.svg
| net = Polyhedron 6-8 net.svg
}}
[[Fișier:Polyhedron 6-8 dual blue.png|thumb|Dual: Dodecaedru rombic]]

În [[geometrie]] '''cuboctaedrul''' este un [[poliedru arhimedic]]. Are 14 [[față (geometrie) |fețe]] [[poligon regulat |regulate]] (8 [[triunghi]]ulare și 6 [[pătrat]]e), 24 de [[latură (geometrie) |laturi]] (muchii) identice, care fiecare sunt la limita dintre un triunghi și un pătrat. Are 24 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]], în fiecare întâlnindu-se două triunghiuri și două pătrate, care alternează. Ca atare, este un [[poliedru cvasiregulat]], care nu este doar [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]], ci și [[figură izogonală |tranzitiv pe laturi]].{{Sfn|Coxeter|1973|loc=§2.3 Quasi-regular polyhedra|pp=18-19}} Are și simetrie echilaterală radială.

Dualul său este [[dodecaedru rombic |dodecaedrul rombic]].

Are indicele de [[poliedru uniform]] U<sub>07</sub>,<ref>{{en icon}} {{mathworld|urlname=UniformPolyhedron|title=Uniform Polyhedron}}</ref> indicele Coxeter C<sub>19</sub> și indicele Wenninger W<sub>11</sub>.

Proiectat într-o [[sferă]], laturile unui coboctaedru definesc 4 [[cerc mare |cercuri mari]], iar mijloacele laturilor și centrele triunghiurilor definesc alte 12 cercuri mari. [[Buckminster Fuller]] a folosit aceste 16 cercuri mari, împreună cu alte 9 din alt poliedru pentru a-și defini cele [[25 de cercuri mari ale octaedrului sferic]].

Cuboctaedrul era probabil cunoscut de [[Platon]]: în ''Definitiones'' [[Heron din Alexandria]] îl citează pe [[Arhimede]] spunând că Platon știa despre un corp format din 8 triunghiuri și 6 pătrate.<ref>{{en icon}} {{citation|last=Heath|first=Thomas Little|title=A manual of Greek mathematics|journal=Nature|publisher= Clarendon|pages=739–740|year=1931|volume=128|issue=3235|doi=10.1038/128739a0|bibcode=1931Natur.128..739T|s2cid=3994109}}</ref>

== Sinonime ==
* Cu simetria O<sub>h</sub>, de ordin 48, este un ''[[cub]] [[rectificare (geometrie) |rectificat]]'' sau un ''[[octaedru]] rectificat''<ref>După [[Norman Johnson]]</ref>
* Cu simetria T<sub>d</sub>, de ordin 24, este un ''[[tetraedru]] [[cantelare |cantelat]]'' sau un rombitetratetraedru.
* Cu simetria D<sub>3d</sub>, de ordin 12, este o ''[[bicupolă |girobicupolă]] triunghiulară''.

== Structură ==
== Coordonate carteziene ==
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale vârfurilor unui cuboctaedru centrat în origine cu lungimea laturii {{sqrt|2}} sunt{{Sfn|Coxeter|1973|p=52|loc=§3.7 Coordinates for the vertices of the regular and quasi-regular solids}}
:(±1, ±1, 0)
:(±1, 0, ±1)
:(0, ±1, ±1)

Un set alternativ de coordonate poate fi realizat în [[spațiu cvadridimensional |spațiul cvadridimensional]] ca 12 permutări ale
:(0, 1, 1, 2)

Această construcție există ca [[fațetă (geometrie) |fațetele]] dintr-unul din cele 16 [[ortant]]e ale unui [[16-celule]] [[cantelare |cantelat]].

== Arie și volum ==
[[Arie |Aria]] ''A'' și [[volum]]ul ''V'' ale unui cuboctaedru cu lungimea laturii ''a'' sunt:
:<math>\begin{align}
A &= \left(6+2\sqrt{3}\right)a^2 &&\approx 9,464\,1016\,a^2 \\
V &= \tfrac{5}{3} \sqrt{2} a^3 &&\approx 2,357\,0226\,a^3. \end{align}</math>

== Proiecții ortogonale ==
Cuboctaedrul are patru [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]], centrate pe un vârf, pe o latură și pe două tipuri de fețe: triunghiulare și pătrate. Ultimele două corespund cu planele Coxeter B<sub>2</sub> și A<sub>2</sub>. Proiecțiile din poziții oarecare arată câte unul dintre pătratele, respectiv hexagoanele care trec prin centrul cuboctaedrului.
{|class=wikitable width=500 style="text-align:center;"
|+ Proiecții ortogonale
|-
!Centrată<br/>pe fața<br/>pătrat
!Centrată<br/>pe fața<br/>triunghi
!Centrată<br/>pe vârf
!Centrată<br/>pe latură
! colspan=2|Oarecare
|-
|[[Fișier:Polyhedron 6-8 from red max.png|70px]]
|[[Fișier:Polyhedron 6-8 from yellow max.png|80px]]
|[[Fișier:Polyhedron 6-8 from blue max.png|60px]]
|
|
|
|-
|[[Fișier:3-cube t1 B2.svg|80px]]
|[[Fișier:3-cube t1.svg|80px]]
||[[Fișier:Cube t1 v.png|80px]]
|[[Fișier:Cube t1 e.png|80px]]
|[[Fișier:Cuboctahedron B2 planes.png|80px]]
|[[Fișier:Cuboctahedron 3 planes.png|80px]]
|-
|[4]
|[6]
|[2]
|[2]
|
|
|-
!colspan=6|[[Dodecaedru rombic]] (poliedrul dual)
|-
|[[Fișier:Dual cube t1 B2.png|80px]]
|[[Fișier:Dual cube t1.png|80px]]
||[[Fișier:Dual cube t1 v.png|80px]]
|[[Fișier:Dual cube t1 e.png|80px]]
|[[Fișier:Dual cube t1 skew1.png|80px]]
|[[Fișier:Dual cube t1 skew2.png|80px]]
|}

== Pavare sferică ==
Cuboctaedrul poate fi reprezentat și ca o [[pavare sferică]] și proiectat pe plan printr-o [[proiecție stereografică]]. Această proiecție este [[transformare conformă|conformă]], păstrând [[unghi]]urile, dar nu ariile sau lungimile. Liniile drepte pe sferă sunt proiectate în plan ca [[arc de cerc |arce de cerc]].
{|class=wikitable style="text-align:center;"
|- valign=top
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t1.png|150px]]
|[[Fișier:cuboctahedron stereographic projection square.png|155px]]
|[[Fișier:cuboctahedron stereographic projection triangle.png|160px]]
|[[Fișier:Cuboctahedron_stereographic_projection_vertex.png|160px]]
|-
!rowspan=2|[[Proiecție ortogonală]]
!Centrată pe pătrat
!Centrată pe triunghi
!Centrată pe vârf
|-
!colspan=3|[[Proiecție stereografică |Proiecții stereografice]]
|}

[[Fișier:TetraOctaHoneycomb-VertexConfig.svg|thumb|Fagure tetraedric-octaedric]]
== Divizare ==
=== Tetraedre și octaedre ===
Cuboctaedrul poate fi divizat în 6 [[piramidă pătrată |piramide pătrate]] și 8 [[tetraedru |tetraedre]], care se întâlnesc într-un punct central. Această divizare apare în [[fagure tetraedric-octaedric |fagurele tetraedric-octaedric]] unde perechile de piramide pătrate sunt combinate în [[octaedru |octaedre]].
{{-}}

=== Poliedre neregulate ===
{| width=380 align=right
|[[Fișier:Cuboctahedron 3 planes.png|120px]][[Fișier:Triangular cupola.png|120px]][[Fișier:Triangular_orthobicupola.png|120px]]
|}
Cuboctaedrul poate fi divizat în două [[cupolă triunghiulară |cupole triunghiulare]] printr-un hexagon care trece prin centrul cuboctaedrului.{{Efn|De reținut că cuboctaedrul are patru plane centrale hexagonale, înclinate la 60° față de celelalte. La fel cu hexagonul, cuboctaedrul poate fi împărțit în triunghiuri echilaterale care se întâlnesc în centrul său: are simetrie echilaterală radială.}} Dacă aceste două cupole triunghiulare sunt rotite astfel încât triunghiurile și pătratele să se alinieze, se obține [[poliedru Johnson |poliedrul Johnson]] J<sub>27</sub>, o [[ortobicupolă triunghiulară]].
{{-}}
== Relații geometrice ==
[[Fișier:P1-A3-P1.gif|thumb|[[Expandare (geometrie) |Expandarea]] [[tetraedru]]lui în cuboctaedru și expandarea înapoi la tetraedrul dual]]

=== Simetrie echilaterală radială ===
Într-un cuboctaedru raza lungă (de la centru până la vârf) are aceeași lungime cu latura; astfel diametrul său lung (de vârf la vârful opus) este de 2 lungimi de latură. Centrul său este ca [[apex (geometrie) |apexul]] unei piramide: la distanță egală cu o latură de ''toate'' celelalte vârfuri. (În cazul cuboctaedrului, centrul este de fapt vârful a 6 piramide pătrate și 8 triunghiulare). Această simetrie echilaterală radială este o proprietate a doar câtorva [[politop]]uri uniforme, inclusiv [[hexagon]]ul [[bidimensional]], cuboctaedrul [[tridimensional]] și [[24-celule]] și [[tesseract |8-celule (tesseractul)]] [[cvadridimensional]]e. Politopurile ''echilaterale radiale'' sunt cele care se pot construi, cu razele lor lungi, din triunghiuri echilaterale care se întâlnesc în centrul politopului, fiecare contribuind cu două raze și o latură. Prin urmare, toate elementele interioare care se întâlnesc în centrul acestor politopuri au fețe triunghiulare echilaterale spre interior, ca în divizarea cuboctaedrului în 6 piramide pătrate și 8 tetraedre.

Fiecare dintre aceste politopuri echilaterale radial apare, de asemenea, ca celule ale unei [[teselare |teselări]] caracteristice care umple spațiul: [[pavare hexagonală |pavarea hexagonală regulată]], [[fagure cubic rectificat |fagurele cubic rectificat]] (cuboctaedre și octaedre alternativ), [[fagure 24-celule |fagurele 24-celule]] și, respectiv, [[fagure tesseractic |fagurele tesseractic]]. Fiecare teselare are o [[teselare duală]]; centrele celulelor dintr-o teselare sunt vârfuri ale celulelor în teselarea sa duală. Cea mai densă [[împachetarea sferelor |împachetare regulată a sferelor]] cunoscută în două, trei și patru dimensiuni folosește centrele celulelor ale uneia dintre aceste teselări ca centre ale sferelor.

Un cuboctaedru are [[simetrie octaedrică]]. Prima sa [[stelare]] este [[compus poliedric|compusul]] de cub și octaedrul său dual, cu vârfurile cuboctaedrului situate la mijlocul laturilor fiecăruia.

=== Construcție ===
[[Fișier:Cantellated tetrahedron.png|thumb|Tetraedru cantelat]]
Așa cum un pătrat sau un hexahon pot fi contruite dintr-o [[secțiune]] ecuatorială printr-un cuboctaedru, un cuboctaedru poate fi construit dintr-o secțiune ecuatorială printr-un [[16-celule]] sau un [[24-celule]].

Alte metode sunt [[rectificare (geometrie) |rectificarea]] unui cub sau unui octaedru, sau [[cantelare]]a unui tetraedru. 

== Politopuri înrudite ==
=== Poliedre regulate ===
Cuboctaedrul face parte dintr-o familie de poliedre uniforme legate de cubul și octaedrul regulat. {{Trunchieri octaedrice}}

Cuboctaedrul are și simetrie tetraedrică cu triunghiuri în două culori.
{{Trunchieri tetraedrice }}

=== Poliedre și pavări cvasiregulate ===
Cuboctaedrul există într-o succesiune de simetrii de poliedre și pavări cvasiregulate cu [[configurația vârfului |configurații ale vârfului]] (3.''n'')<sup>2</sup>, de la pavări sferice la planul euclidian și planul hiperbolic. Cu [[notația orbifold]] a simetriei *''n''32 toate aceste pavări sunt [[construcția Wythoff |construcții Wythoff]] într-un [[domeniu fundamental]] de simetrie, cu puncte generatoare în [[unghi drept |unghiul drept]] al domeniului. <ref>{{en icon}} [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter]] ''Regular Polytopes'', Third edition, (1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}} (Chapter V: The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's construction, pp.86–88)</ref><ref>{{en icon}} [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.30.8536 ''Two Dimensional symmetry Mutations''] by Daniel Huson</ref>
{{Tabel cvasiregulate3 mic}}

{{Tabel cvasiregulate4 }}

Acest poliedru este înrudit din punct de vedere topologic ca parte a secvenței de poliedre cantelate cu figurile vârfului (3.4.''n''.4) și continuă ca pavări ale [[spațiu hiperbolic |planului hiperbolic]]. Aceste figuri [[figură izogonală |tranzitive pe vârfuri]] au [[simetrie de reflexie]] *''n''32 în notația orbifold.

{{Tabel expandate mic}}

=== Politopuri cvadridimensionale ===
[[Fișier:Orthogonal projection envelopes 24-cell.png|thumb|Proiecții ortogonale ale [[24-celule]]]]
Cuboctaedrul poate fi descompus într-un octaedru regulat și opt octaedre neregulate, dar egale, în forma [[anvelopă convexă |anvelopei convexe]] a unui cub cu două vârfuri opuse omise. Această descompunere a cuboctaedrului corespunde cu proiecția paralelă a primei celule a unui [[24-celule]] în trei dimensiuni. Sub această proiecție, cuboctaedrul formează anvelopa proiecției, care poate fi descompusă în șase fețe pătrate, un octaedru regulat și opt octaedre neregulate. Aceste elemente corespund imaginilor a șase dintre celulele octaedrice din 24-celule, cele mai apropiate și cele mai îndepărtate celule din punctul de vedere cvadridimensional și, respectiv, restul de opt perechi de celule.

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{Cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | year=1973 | orig-year=1948 | title=Regular Polytopes | publisher=Dover | place=New York | edition=3rd }}
* {{en icon}} {{cite encyclopedia|title=Cuboctahedron|last=Weisstein|first=Eric W.|encyclopedia=CRC Concise Encyclopedia of Mathematics.|year=2002|publisher=CRC Press|location=Hoboken|isbn=9781420035223|pages=620&ndash;621|edition=2nd}}
* {{en icon}} Robert Williams (1979), ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', Dover Publications Inc., {{ISBN|0-486-23729-X}}. (Section 3-9)
* {{en icon}} {{cite book|author=Cromwell, P.|year=1997|title=Polyhedra: "One of the Most Charming Chapters of Geometry" |chapter=Archimedean solids |location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press |pages=79–86 |isbn=0-521-55432-2 |oclc=180091468}}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe ==
* {{Commons category-inline}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=Cuboctahedron |title=Cuboctahedron}}
* {{en icon}} {{mathworld |urlname=ArchimedeanSolid |title=Archimedean solid}}
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Reality Polyhedra] The Encyclopedia of Polyhedra
* {{en icon}} [https://hexnet.org/content/cuboctahedron The Cuboctahedron] on [https://hexnet.org Hexnet] a website devoted to hexagon mathematics.
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra.htm|3D convex uniform polyhedra|o3x4o - co}}
* {{en icon}} [http://www.dr-mikes-math-games-for-kids.com/polyhedral-nets.html?net=dYI7PStK037OedkFHPiwHK2fbnxjxylGZCjWfNh0UwMgy82zEaWFzVL3PBfYB9SDz8RMvhNkpb8sS9R&name=Cuboctahedron#applet Editable printable net of a Cuboctahedron with interactive 3D view]
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|polyhedra-neu.htm|3D uniform polyhedra}} Cheie: '''[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/co.htm co]'''{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre arhimedice]]
[[Categorie:Poliedre cvasiregulate]]
[[Categorie:Pavări trunchiate]]