Vizualizare sursă pentru „Corp comutativ”

[[Fișier:Anillo cíclico.png|thumb|Corp comutativ (pentru {{mvar|n}} prim)]]
În [[matematică]] un '''corp comutativ'''<ref name=CP><!-- Conf.dr. -->Cosmin Pelea, [https://math.ubbcluj.ro/~cpelea/web_page/didactic/Teme3/Curs4.pdf ''Algebră''] (curs 4), [[Universitatea Babeș-Bolyai]], p.&nbsp;1, accesat 2023-08-01</ref> (uneori numit, simplu, '''corp''') este o [[structură algebrică]] fundamentală din [[algebră abstractă |algebra abstractă]]. Este o [[mulțime]] împreună cu două [[operație binară |operații binare]], care fac posibile [[adunare |adunări]], [[scădere |scăderi]], [[înmulțire (matematică) |înmulțiri]] și [[împărțire (matematică) |împărțiri]]. Mai exact, un corp comutativ este un [[inel comutativ]] în care mulțimea [[element zero |elementelor nenule]] este un [[grup (matematică) |grup]] [[comutativitate |comutativ]] pentru înmulțire.

Definiția unui corp diferă la diverși autori, comutativitatea înmulțirii nefiind întotdeauna impusă. Fie corpurile comutative sunt considerate cazuri particulare de corpuri (în cazul în care comutativitatea nu este impusă), fie denumirea de ''corp comutativ'' este un [[pleonasm]], și desemnează pur și simplu un ''corp'' (în cazul în care este). (V. și [[corp (matematică) |corp]])

Exemple elementare de corpuri comutative sunt corpul [[număr rațional |numerelor raționale]], notat <math>\Q</math> (sau '''Q'''), corpul [[număr real |numerelor reale]], notat <math>\R</math> (sau '''R'''), corpul [[număr complex |numerelor complexe]], notat <math>\C</math> (sau '''C''') și corpul <math>\Z n\Z</math> din clasele de congruență modulo ''p'' unde ''p'' este un [[număr prim]], notat și <math>\mathbb{F}_p</math> (sau '''F'''<sub>''p''</sub>).

Teoria corpurilor comutative este cadrul istoric al [[teoria lui Galois |teoriei lui Galois]], o metodă de studiu care se aplică în special corpurilor comutative și [[extindere de corp |extinderilor de corpuri]] în raport cu [[teoria grupurilor]], dar se extinde și la alte domenii, de exemplu studiul [[ecuație diferențială |ecuațiilor diferențiale]] ({{ill-wd| Q2383624||teoria lui Galois diferențială}}), sau {{ill-wd| Q332648||acoperiri}}.

== Definiții și exemple ==
Un corp comutativ este o mulțime ''K'' împreună cu două legi interne notate în general cu + și ×, care îndeplinesc următoarele condiții:<ref name=CP/>
* (''K'', +) formează un [[grup abelian]] (grup comutativ), al cărui [[element neutru]] se notează 0;
* (''K''\{0}, ×) formează un grup abelian, al cărui element neutru este 1;
* înmulțirea este [[distributivitate |distributivă]] fata de adunare ([[la stânga și la dreapta |atât la stânga cât și la dreapta]]), adică
: <math>\forall (a,b,c) \in K^3\quad a\times (b + c) = a \times b + a \times c \quad</math> și <math>\quad (b + c)\times a = b\times a + c\times a</math>.

Atunci se vorbește despre corpul comutativ (''K'', +, ×).

Exemple de corpuri comutative:
* mulțimea [[număr rațional |numerelor raționale]] <math>(\Q, +, \times)</math>;
* mulțimea [[număr real |numerelor reale]] <math>(\R, +, \times)</math>;
* mulțimea [[număr complex |numerelor complexe]] <math>(\C, +, \times)</math>;
* mulțimea [[număr întreg |numerelor întregi]] [[modulo]] ''p'' (prim) <math>(\Z n\Z, +, \times)</math>.

Un ''subcorp'' al unui corp comutativ ''K'' este o parte ''L'' din ''K'', stabilă pentru + și ×, astfel încât ''L'' prevăzută cu legile induse este un corp.

== Caracteristici și corpuri prime ==
{{Articol principal|Caracteristică (algebră)}}
Fie 1<sub>''K''</sub> [[unitate]]a corpului ''K''. Dacă există un număr natural nenul ''n'' astfel încât
:<math>n\cdot 1_K = \underbrace{1_K + 1_K + \dots + 1_K}_{\text{de}\ n\ \text{ori}} = 0,</math>
se numește ''caracteristică a corpului K'' cel mai mic număr întreg pozitiv nenul care satisface această proprietate. Dacă nu există un întreg nenul care să verifice această proprietate, se spune că corpul ''K'' are caracteristica zero.

De exemplu, corpul <math>\R</math> are caracteristica zero, în timp ce corpul <math>\Z / p\Z</math> are caracteristica ''p''. Dacă este diferită de zero, caracteristica unui corp este în mod necesar un număr prim. Dacă nu ar fi așa, o factorizare a acestui număr ar oferi [[divizor al lui zero |divizori nenuli ai lui zero]], dar un corp este un [[domeniu de integritate]].

Se spune despre un corp că este ''prim'' dacă nu are niciun subcorp în afară de el însuși. Un corp prim infinit este [[izomorfism |izomorf]] cu corpul <math>\Q</math> al numerelor raționale. Un corp finit prim este izomorf cu corpul <math>\Z / p\Z</math> pentru un anumit număr prim ''p''.<ref name="lang">{{fr icon}} {{citat carte | nume = Lang | prenume = Serge | legătură-autor = Serge Lang | titlu = Algèbre | ediție = 3<sup>e</sup> | an = 2004 | editură = Dunod | loc = Paris | isbn = 978-2-10-007980-3 | pagini = 97}}</ref> 
În general, orice corp ''K'' conține un corp prim, care este cel mai mic dintre subcorpurile sale și care se numește ''corpul prim al lui K''<ref name="lang"/> sau ''subcorpul prim al lui K''. Subcorpul prim al lui ''K'' îl conține în mod necesar pe 1<sub>''K''</sub>, prin urmare și pe multiplii săi întregi ℤ•1<sub>''K''</sub>. Dacă caracteristica este zero, este un corp izomorf cu <math>\Q</math> ([[corpul fracțiilor]] din <math>\Z</math>); dacă caracteristica este un număr prim ''p'', este un corp izomorf cu <math>\Z / p\Z</math> și de obicei se identifică acest subcorp prim fie cu <math>\Q</math>, fie cu <math>\Z / p\Z</math>.

== Corp finit ==
{{Articol principal|Corp finit}}
Acestea sunt corpuri al căror număr de elemente este finit. [[Mica teoremă a lui Wedderburn]] arată că acestea sunt în mod necesar comutative. De asemenea, se poate demonstra că numărul de elemente ale unui astfel de corp este întotdeauna o putere a unui [[număr prim]]. De fapt, este posibil să se enumere toate corpurile finite, [[până la]] izomorfism.
{| class="wikitable" align="right" style="text-align: center; width: 80px;"
|+ înmulțire
| '''×''' || '''0''' || '''1''' 
|-
| '''0''' || 0 || 0
|-
| '''1''' || 0 || 1
|}
{| class="wikitable" align="right" style="text-align: center; width: 80px;"
|+ adunare
| '''+''' || '''0''' || '''1''' 
|-
| '''0''' || 0 || 1
|-
| '''1''' || 1 || 0
|}
Cel mai mic corp finit este cel al mărimilor booleene, dintre care aici se prezintă tabela de adunare (corespunzătoare lui [[sau exclusiv]]) și tabela de înmulțire (corespunzătoare funcției [[poartă AND |și]]).

Cele mai elementare exemple de corpuri finite sunt corpurile de congruențe modulo un număr prim ca în cazul de mai sus, dar există un număr infinit de altele: până la izomorfism, câte unul pentru fiecare [[putere (matematică) |putere]] a unui număr prim.

== Corp și inel ==
Ansamblul <math>(\Z, +, \times)</math> nu este un corp deoarece majoritatea elementelor nenule ale lui <math>\Z</math> nu sunt inversabile: de exemplu, nu există un întreg ''n'' astfel încât {{math|1=2''n'' = 1}}, prin urmare, 2 nu este inversabil.

Un [[inel comutativ]] este o mulțime ''A'' care, la fel ca <math>\Z</math>, este prevăzută cu două legi + și × care verifică următoarele axiome:
* (A, +) formează un grup abelian al cărui element neutru este notat cu 0;
* (A\{0}, ×) formează un [[monoid]] comutativ;
* înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea (la stânga și dreapta).

Un inel comutativ ''A'' este un [[domeniu de integritate]] dacă:
:<math>\forall (a,b) \in A^2, \quad ab=0 \Rightarrow (a=0 \hbox{ sau } b=0)</math>.

Orice corp comutativ este un domeniu de integritate, iar orice domeniu de integritate finit este un corp comutativ. Următoarea teoremă tratează cazul inelelor infinite:
:Dacă un inel comutativ ''A'' este un domeniu de integritate, îl putem scufunda în [[corpul fracțiilor |corpul său de fracții]], care este cel mai mic corp care conține inelul.
{{Articol principal|Corpul fracțiilor}}

Exemplu: <math>\Q</math> este corpul fracțiilor lui <math>\Z.</math>

Un inel comutativ ''A'' este un corp [[dacă și numai dacă]] este [[inel simplu |simplu]], adică nu este un [[inel nul]] și nu are [[ideal]]e netriviale.<ref>{{fr icon}} Jean-Pierre Ramis, André Warusfel ș.a. ''Mathématiques - Tout-en-un pour la Licence 2'', ed. a 3-a, Paris: Ed. Dunod, 2020, p.&nbsp;19</ref><ref>{{en icon}} Beachy, John A. ''Introductory Lectures on Rings and Modules'', [[Cambridge University Press]], 1999, p.&nbsp;16</ref>

== Corp și spațiu vectorial ==
{{Articol principal|Spațiu vectorial}}
Pornind de la corpul <math>\R</math>, este firesc interesul pentru <math>\R^n</math>, mulțimea tuplurilor de numere reale. Se cere dotarea cu o adunare și o înmulțire cu un număr real. Structura astfel definită (o adunare internă care oferă întregului o structură de grup și o înmulțire externă având proprietăți de distributivitate și asociativitate) se numește [[spațiu vectorial]] pe <math>\R</math>. Definiția unui spațiu vectorial pe orice corp comutativ ''K'' se obține firesc.

== Corp și ecuație algebrică ==
Studiul {{ill-wd| Q1455652||inelelor de polinoame}} cu coeficienți într-un corp comutativ și căutarea rădăcinilor lor au dezvoltat considerabil noțiunea de corp. Dacă <math>f</math> este un polinom de gradul ''n'' peste un corp comutativ ''K'', ecuația <math>f(x) = 0</math> este o ecuație algebrică în ''K''. Dacă, în plus, <math>f</math> este un polinom ireductibil, se spune că ecuația este ireductibilă. Când ''n''&nbsp;≥&nbsp;2, găsirea soluțiilor unei astfel de ecuații necesită plasarea într-un corp mai mare decât ''K'', o [[extindere de corp |extindere a corpului]].

De exemplu, ecuația <math>x^2-2=0</math> este ireductibilă în <math>\Q,</math> dar are rădăcini în <math>\R</math> sau, mai exact, în <math>\Q[\sqrt2].</math> Ecuația <math>x^2+1=0</math> nu are soluții în <math>\R,</math> dar are în <math>\C</math> sau, mai exact, în <math>\Q[i].</math>

{{ill-wd| Q1996100||Corpul de descompunere}} al lui <math>f</math> este cel mai mic corp care îl conține pe ''K'' precum și toate rădăcinile lui <math>f</math>.

Studiul corpurilor de descompunere ale unui polinom și al grupului de [[permutare |permutări]] al rădăcinilor sale formează [[teoria lui Galois]].
{{Articol principal |extindere de corp |extindere algebrică |Teoria lui Galois}}

== Proprietăți ==
Fie <math>(K, +, \times)</math> un corp comutativ.
* Orice polinom de gradul ''n''&nbsp;≥&nbsp;0 admite cel mult ''n'' {{ill-wd| Q20113351|rădăcină a unui polinom|rădăcini}} în ''K''.
* Orice [[grup finit |subgrup finit]] din <math>(K^*, \times)</math> (unde <math>^*</math> indică [[gradul unui polinom]]) este un {{ill-wd| Q245462||grup ciclic}}.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
*{{en icon}} {{Citat revistă |first=Israel |last=Kleiner |title=Field Theory: From Equations to Axiomatization — Part I|journal=The American Mathematical Monthly |volume=106 |issue=7 |year=1999 |pages=677-684|jstor=2589500 |id=Kleiner 1999, I}}
*{{en icon}} {{Citat revistă |first=Israel |last=Kleiner |title=— Part II |journal=The American Mathematical Monthly |volume=106 |issue=7 |year=1999 |pages=859-863|jstor=2589621|id=Kleiner 1999, II}}
*{{fr icon}} Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudiès, ''Cours de mathématiques : Algèbre, Volume 1'', 3<sup>e</sup> éd., Dunod, 1998 {{ISBN|9782100041800}}
*{{fr icon}} Jacques-Louis Lions, ''Petite Encyclopédie des mathématiques'', éd. K. Pagoulatos
{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Teoria corpurilor]]
[[Categorie:Algebră abstractă]]