Vizualizare sursă pentru „Coordonate generalizate (fizică)”

{{Mecanică clasică|cTopic=Formulations}}

În [[Mecanică lagrangiană|mecanica analitică]], '''coordonatele generalizate''' constituie un set de parametri care sunt utilizați pentru a descrie configurația unui sistem într-un  [[spațiu de configurații|spațiu de configurație]]. Acești parametri ar trebui să definească în mod unic configurația sistemului în comparație cu o stare de referință.<ref name="Ginsberg">{{Harvnb|Ginsberg|2008}}, 
[https://books.google.com/books?id=je0W8N5oXd4C&pg=PA397 p. 397, &nbsp;§7.2.1 Selection of generalized coordinates]</ref> '''Vitezele generalizate''' corespund [[Derivată|derivatelor]] în timp ale coordonatelor generalizate ale sistemului. Adjectivul „generalizat” distinge acești parametri de utilizarea tradițională a termenului „coordonată”, care se referă la [[Coordonate carteziene|coordonatele carteziene]].

Un exemplu de coordonată generalizată ar putea fi descrierea poziției unui pendul prin unghiul pe care pendulul îl formează cu verticala, în loc de pozițiile x și y ale bobului pendulului.

Deși pot exista numeroase opțiuni pentru coordonatele generalizate ale unui sistem fizic, acestea sunt de obicei alese pentru a simplifica calculele, cum ar fi rezolvarea [[Ecuații de mișcare|ecuațiilor de mișcare]] ale sistemului. Dacă coordonatele sunt independente una de cealaltă, numărul de coordonate generalizate independente este definit de numărul de [[Grad de libertate (mecanică)|grade de libertate]] ale sistemului.<ref name="Amirouche">{{Citat carte|titlu=Fundamentals of multibody dynamics: theory and applications|nume=Farid M. L. Amirouche|url-capitol=https://books.google.com/books?id=_nlEcQYldeIC&pg=PA46|pagină=46|capitol=§2.4: Generalized coordinates|editură=Springer|isbn=0-8176-4236-6|an=2006}}</ref><ref name="Scheck">{{Citat carte|titlu=Mechanics: From Newton's Laws to Deterministic Chaos|nume=Florian Scheck|url-capitol=https://books.google.com/books?id=yUDo7VptDgIC&pg=PA286|pagină=286|capitol=§5.1 Manifolds of generalized coordinates|isbn=978-3-642-05369-6|editură=Springer|ediție=5th|an=2010}}</ref>

Coordonatele generalizate sunt asociate cu momentele generalizate pentru a furniza [[coordonate canonice]] în [[Fază (mecanică statistică)|spațiul fazelor]].

== Constrângeri și grade de libertate ==
Coordonatele generalizate sunt adesea selectate pentru a furniza numărul minim de coordonate independente care definesc configurația unui sistem. Aceasta simplifică formularea [[Mecanică lagrangiană|ecuațiilor de mișcare ale lui Lagrange]]. Cu toate acestea, este posibil ca un set util de coordonate generalizate să fie ''dependent'', ceea ce implică faptul că sunt legate de una sau mai multe ecuații de [[constrângere]].

=== Constrângeri holonomice ===
{{Imagine multiplă
| align = right
| direction = horizontal
| total_width = 495
| image1 = Generalized coordinates open straight path 2d 1df.svg
| image2 = Generalized coordinates open curved path 2d 1df.svg
| image3 = Generalized coordinates closed path 2d 1df.svg
| footer = O coordonată generalizată (un grad de libertate) pe curbe în 2D. Este suficientă o singură coordonată generalizată pentru a specifica în mod unic poziția pe o curbă în 2D. În exemplele prezentate, această variabilă poate fi fie lungimea arcului {{mvar|s}}, fie unghiul {{mvar|θ}}. Nu este necesară deținerea ambelor coordonate carteziene {{math|(''x'' și ''y'')}}, deoarece una dintre ele poate fi determinată din cealaltă folosind ecuațiile curbei. Ambele coordonate pot fi, de asemenea, parametrizate prin {{mvar|s}} sau {{mvar|θ}}.
}}

Lungimea arcului ''s'' de-a lungul curbei reprezintă o coordonată generalizată validă, deoarece determină în mod unic poziția pe curbă. În schimb, unghiul ''θ'' nu este o coordonată generalizată validă, deoarece există mai multe poziții posibile pentru o singură valoare a lui ''θ''.

Pentru un sistem de {{Mvar|N}} particule în [[Spațiu de coordonate real|spațiul de coordonate reale]] 3D, [[Vector de poziție|vectorul de poziție]] al fiecărei particule poate fi exprimat ca un [[tuplu]] de 3 elemente în [[coordonate carteziene]]:

: [[Fișier:Non_generalized_coordinates_open_curved_path_2d_1df.svg|legătură=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Non_generalized_coordinates_open_curved_path_2d_1df.svg|alt=|dreapta|150x150px|Traiectorie cu curbă deschisă ''F(x, y) = 0''. Raza poate avea mai multe puncte de intersecție cu traiectoria.]][[Fișier:Non_generalized_coordinates_closed_curved_path_2d_1df.svg|legătură=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Non_generalized_coordinates_closed_curved_path_2d_1df.svg|alt=|dreapta|164x164px|Traiectorie cu curbă închisă ''C(x, y) = 0''. Traiectoria poate avea puncte de intersecție cu ea însăși.]]<math>\begin{align}
& \mathbf{r}_1 = (x_1,y_1,z_1), \\
& \mathbf{r}_2 = (x_2,y_2,z_2), \\
& \qquad \qquad \vdots \\
& \mathbf{r}_N = (x_N,y_N,z_N)
\end{align}</math>

Oricare dintre vectorii de poziție poate fi notat ca {{Math|'''r'''{{sub|''k''}}}}, unde {{Math|1=''k'' = 1, 2, …, ''N''}} etichetează particulele. O ''[[constrângere holonomică]]'' reprezintă o ecuație de constrângere specifică pentru particula {{Mvar|k}}<ref>{{Harvnb|Goldstein|Poole|Safko|2002}}</ref>{{Efn|Some authors set the constraint equations to a constant for convenience with some constraint equations (e.g. pendulums), others set it to zero. It makes no difference because the constant can be subtracted to give zero on one side of the equation. Also, in Lagrange's equations of the first kind, only the derivatives are needed.}}

: <math>f(\mathbf{r}_k, t) = 0</math>

care leagă toate cele trei coordonate spațiale ale unei particule, făcându-le interdependente. Constrângerea poate varia în timp, astfel încât variabila timp {{Mvar|t}} va apărea explicit în ecuațiile de constrângere. În orice moment, o coordonată poate fi determinată din celelalte. De exemplu, dacă sunt cunoscute {{Mvar|x{{sub|k}}}} și {{Mvar|z{{sub|k}}}}, atunci și {{Mvar|y{{sub|k}}}} poate fi determinată. O ecuație de constrângere corespunde unei singure constrângeri. Dacă există {{Mvar|C}} constrângeri, fiecare dintre ele are o ecuație, rezultând un total de {{Mvar|C}} ecuații de constrângere. Nu este necesar ca fiecare particulă să aibă o ecuație de constrângere specifică. Un sistem fără constrângeri nu are ecuații de constrângere.{{Imagine multiplă
| align = right
| total_width = 400
| image1 = Generalized coordinates open curved path 3d 2df.svg
| image2 = Generalized coordinates closed curved path 3d 2df.svg
| footer = Două coordonate generalizate (două grade de libertate) pe suprafețe curbe în 3D. Sunt necesare doar două numere, {{math|(''u'' și ''v'')}}, pentru a specifica în mod unic punctele de pe curbă. O posibilitate pentru fiecare caz este prezentată mai jos. Cele trei [[coordonate carteziene]] {{math|(''x'', ''y'' și ''z'')}} , nu sunt necesare, deoarece oricare două dintre ele pot determina a treia folosind ecuațiile curbei. De asemenea, pot fi parametrizate prin {{math|(''u'' sau ''v'')}}.
}}
Până acum, configurația sistemului este definită de {{Math|3''N''}} mărimi, dar pot fi eliminate {{Mvar|C}} coordonate, câte una pentru fiecare ecuație de constrângere. Numărul de coordonate independente este {{Math|1=''n'' = 3''N'' − ''C''}} . (În spații dimensionale {{Mvar|D}}, configurația originală ar necesita {{Mvar|ND}} coordonate, iar reducerea prin constrângeri ar rezulta în {{Math|1=''n'' = ''ND'' − ''C''}}).  Este ideal să se utilizeze numărul minim de coordonate necesare pentru a defini configurația întregului sistem, beneficiind în același timp de constrângerile impuse acestuia. Aceste mărimi sunt cunoscute sub numele de '''coordonate generalizate''' în acest context și sunt notate ca {{Math|''q{{sub|j}}''(''t'')}}. Este convenabil să fie colectate într-un [[tuplu]] {{Mvar|n}}.

: <math>\mathbf{q}(t) = (q_1(t),\ q_2(t),\ \ldots,\ q_n(t)) </math>

care reprezintă un punct din ''[[spațiu de configurații|spațiul de configurare]]'' al sistemului. Ele sunt independente una de cealaltă și pot fi funcții ale timpului. Din punct de vedere geometric, acestea pot reprezenta lungimi de-a lungul liniilor drepte, [[lungimea unui arc|lungimi de arc]] de-a lungul curbelor sau unghiuri, nu neapărat coordonate carteziene sau alte sisteme de [[coordonate ortogonale]] standard. Numărul de coordonate generalizate este egal cu numărul de [[grad de libertate|grade de libertate]] ale sistemului. Un grad de libertate corespunde unei mărimi care poate modifica configurația sistemului, de exemplu unghiul unui pendul sau lungimea arcului parcurs de o mărgică pe un fir.

Alegerea coordonatelor generalizate este crucială pentru simplificarea ecuațiilor de mișcare ale sistemului. Dacă, din constrângerile sistemului, se pot identifica un număr de variabile independente egal cu numărul de grade de libertate, acestea pot fi utilizate ca coordonate generalizate.<ref name="Kibble 2004 page=232">{{Harvnb|Kibble|Berkshire|2004}}</ref> Vectorul de poziție {{Math|'''r'''{{sub|''k''}}}} al particulei {{Mvar|k}} este o funcție a tuturor celor {{Mvar|n}} coordonate generalizate (și, prin urmare, a timpului),<ref>{{Harvnb|Torby|1984}}</ref><ref>{{Harvnb|Goldstein|Poole|Safko|2002}}</ref><ref name="Hand 1998 page=15">{{Harvnb|Hand|Finch|1998}}</ref><ref name="Kibble 2004 page=232" /><ref group="nb">Some authors e.g. Hand & Finch take the form of the position vector for particle {{Mvar|k}}, as shown here, as the condition for the constraint on that particle to be holonomic.</ref>

: <math>\mathbf{r}_k = \mathbf{r}_k(\mathbf{q}(t)) \,, </math>

iar coordonatele generalizate pot fi interpretate ca parametri asociați cu constrângerea.

Derivatele în timp ale coordonatelor generalizate {{Math|'''q'''}} sunt numite viteze generalizate,

: <math>\dot{\mathbf{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt} = (\dot{q}_1(t),\ \dot{q}_2(t),\ \ldots,\ \dot{q}_n(t)) </math>

(fiecare punct deasupra unei cantități indică o [[derivata în timp|singură derivată]] în timp). Vectorul viteză {{Math|'''v'''{{sub|''k''}}}} al particulei <math>k</math> este [[derivată totală|derivata totală]] a vectorului de poziție {{Math|'''r'''{{sub|''k''}}}} în raport cu timpul

: <math>\mathbf{v}_k = \dot{\mathbf{r}}_k = \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} = \sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\dot{q}_j \,.</math>

și, prin urmare, depinde atât de vitezele generalizate, cât și de coordonatele generalizate. Având libertatea de a specifica valorile inițiale ale coordonatelor generalizate și ale vitezelor generalizate separat, coordonatele generalizate {{Mvar|q{{sub|j}}}} și vitezele generalizate {{Math|''dq{{sub|j}}''/''dt''}} pot fi considerate ''variabile independente''.

=== Constrângeri neholonomice ===
Un sistem mecanic poate avea constrângeri atât asupra coordonatelor generalizate, cât și asupra derivatelor acestora. Constrângerile de acest tip sunt denumite constrângeri neholonomice. Constrângerile neholonomice de ordinul întâi pot fi exprimate sub forma:

: <math>g(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) = 0\,,</math>

Un exemplu de constrângere neholonomică de ordinul întâi este o roată care se rostogolește pe o suprafață plană. Restricția impusă de suprafața plană este că punctul de contact dintre roată și suprafață nu poate să se deplaseze vertical. Constrângerile neholonomice pot implica și derivate de ordin superior, cum ar fi accelerațiile generalizate. De exemplu, o constrângere neholonomică de ordinul al doilea ar putea limita viteza de rotație a unei roți.

== Mărimi fizice în coordonate generalizate ==

=== Energie cinetică ===
[[Energie cinetică|Energia cinetică]] totală a sistemului mecanic reprezintă energia sa de mișcare și este definită ca:<ref name="Torby 1984 page=269">{{Harvnb|Torby|1984}}</ref>

: <math>T = \frac {1}{2} \sum_{k=1}^N m_k \dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k\,,</math>

în care · este [[Produs scalar|produsul scalar]]. Energia cinetică depinde doar de vitezele {{Math|'''v'''{{sub|''k''}}}} și nu de coordonatele {{Math|'''r'''{{sub|''k''}}}} în sine. Cu toate acestea, o observație importantă este:<ref>{{Harvnb|Goldstein|Poole|Safko|2002}}</ref>

: <math>\dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k = \sum_{i,j=1}^n \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right)\dot{q}_i\dot{q}_j, </math>

care ilustrează că energia cinetică este, în general, o funcție a vitezelor generalizate, a coordonatelor și a timpului, dacă și constrângerile variază cu timpul, deci {{math|1=''T'' = ''T''('''q''', ''d'''''q'''/''dt'', ''t'')}}.

În cazul în care constrângerile asupra particulelor sunt independente de timp, toate derivatele parțiale în raport cu timpul sunt zero, iar energia cinetică devine o [[funcție omogenă]] de gradul 2 în vitezele generalizate.

Tot pentru cazul independent de timp, această expresie este echivalentă cu luarea [[Element de linie|elementului de linie]] la pătrat al traiectoriei particulei {{Mvar|k}},

: <math>ds_k^2 = d\mathbf{r}_k\cdot d\mathbf{r}_k = \sum_{i,j=1}^n \left(\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j}\right) dq_i dq_j \,,</math>

și împărțirea la diferența pătrată în timp, {{Math|''dt''{{sup|2}}}}, pentru a obține viteza la pătrat a particulei {{Mvar|k}}. Astfel, pentru constrângeri independente de timp, este suficient să se cunoască elementul de linie pentru a obține rapid energia cinetică a particulelor și, prin urmare, [[Mecanică lagrangiană|Lagrangianul]].<ref>{{Harvnb|Landau|Lifshitz|1976}}</ref>

Este instructiv să se analizeze diferitele cazuri de coordonate polare în 2D și 3D, datorită apariției lor frecvente. În [[Coordonate polare|coordonatele polare]] 2D {{Math|(''r'', ''θ'')}},

: <math>\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 \,,</math>

în [[Coordonate polare#Coordonate cilindrice|coordonate polare]] 3D {{Math|(''r'', ''θ'', ''z'')}},

: <math>\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2 \,,</math>

în [[coordonate sferice]] 3D {{Math|(''r'', ''θ'', ''φ'')}},

: <math>\left(\frac{ds}{dt}\right)^2 = \dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta \, \dot{\varphi}^2 \,.</math>

=== Momentul generalizat ===
''Momentul generalizat'' conjugat canonic la coordonata {{Mvar|q{{sub|i}}}} este definit de:

: <math>p_i =\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}.</math>

Dacă Lagrangianul {{Mvar|L}} ''nu'' depinde de o coordonată {{Mvar|q{{sub|i}}}}, atunci din ecuațiile Euler-Lagrange rezultă că impulsul generalizat corespunzător va fi o [[cantități conservate|mărime conservată]], deoarece derivata temporală este zero, ceea ce înseamnă că impulsul este o constantă a mișcării;

: <math> \frac{\partial L}{\partial q_i} =\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} =\dot{p}_i =0\,.</math>

== Exemple ==

=== Mărgele pe un fir ===
[[Fișier:Bead_on_wire_constraint.svg|miniatura|200x200px| Mărgea constrânsă să se deplaseze pe un fir fără frecare. Firul exercită o forță de reacție {{Math|'''C'''}} asupra mărgelei pentru a o menține pe fir. Forța neconstrânsă {{Math|'''N'''}} în acest caz este gravitația. De remarcat faptul că poziția inițială a firului poate duce la mișcări diferite ale mărgelei.]]
Pentru o mărgică care alunecă pe un fir fără frecare, supusă doar gravitației în spațiul 2D, constrângerea pe mărgică poate fi exprimată sub forma  {{math|1=''f'' ('''r''') = 0}} unde poziția mărgicii este {{math|1='''r''' = (''x''(''s''), ''y''(''s''))}}. Parametrul ''s'' reprezintă lungimea arcului de-a lungul curbei, pornind de la un punct de pe fir. Alegerea coordonatelor generalizate ''q = s'' este potrivită pentru sistem. Este necesară o singură coordonată în loc de două, deoarece poziția mărgelei poate fi parametrizată printr-un singur număr, s. Ecuația constrângerii leagă coordonatele {{mvar|x}} și {{mvar|y}}. Prin urmare, una dintre coordonate este determinată de cealaltă. Forța de constrângere este forța de reacție pe care firul o exercită asupra mărgelei pentru a o menține pe fir. Forța aplicată fără constrângere este gravitația care acționează asupra mărgelei.

Să presupunem că firul își schimbă forma în timp, prin îndoire. Atunci ecuația constrângerii și poziția particulei devin:

: <math>f(\mathbf{r}, t) = 0 \,,\quad \mathbf{r} = (x(s, t), y(s, t))</math>

Ambele depind acum de timpul ''t'' din cauza schimbării coordonatelor pe măsură ce firul își modifică forma. Timpul apare implicit prin coordonate și ''explicit'' în ecuațiile de constrângere.

=== Pendul simplu ===
[[Fișier:Pendulum_constraint.svg|miniatura|195x195px| Pendul simplu. Deoarece tija este rigidă, poziția bobului este constrânsă de ecuația {{Math|1=''f'' (''x'', ''y'') = 0}}, forța de constrângere {{Math|'''C'''}} este tensiunea din tijă. Din nou, forța neconstrânsă {{Math|'''N'''}} în acest caz este gravitația.]]
[[Fișier:Simple_pendulum_generalized_coordinates.svg|miniatura| Modelul dinamic al unui pendul simplu.]]
Relația dintre utilizarea coordonatelor generalizate și coordonatelor carteziene pentru caracterizarea mișcării unui sistem mecanic poate fi ilustrată prin studierea dinamicii constrânse a unui pendul simplu.<ref>{{Citat carte|nume=Greenwood|prenume=Donald T.|an=1987|titlu=Principles of Dynamics|ediție=2nd|editură=Prentice Hall|isbn=0-13-709981-9}}</ref><ref>Richard Fitzpatrick, [http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newton/node90.html Newtonian Dynamics].</ref>

Un [[Pendul gravitațional|pendul]] simplu constă dintr-o masă {{Mvar|M}} atârnând de un punct de pivot, fiind constrâns să se miște pe un cerc cu raza {{Mvar|L}}. Poziția masei este definită de vectorul de coordonate {{Math|1='''r''' = (''x'', ''y'')}} măsurat în planul cercului, unde {{Mvar|y}} este pe direcția verticală. Coordonatele {{Mvar|x}} și {{Mvar|y}} sunt legate prin ecuația cercului:

: <math>f(x, y) = x^2+y^2 - L^2=0,</math>

care constrânge mișcarea lui {{Mvar|M}}. Această ecuație oferă, de asemenea, o constrângere asupra componentelor vitezei,

: <math> \dot{f}(x, y)=2x\dot{x} + 2y\dot{y} = 0.</math>

Acum introducem coordonatele generalizate {{math|1=''θ{{sub|i}}'' (''i'' = 1, 2)}}, care definesc poziția unghiulară a fiecărei mase a pendulului dublu față de direcția verticală. În acest caz, avem

: <math> \mathbf{r}=(x, y) = (L\sin\theta, -L\cos\theta).</math>

Utilizarea lui {{Mvar|θ}} pentru a defini configurația acestui sistem evită constrângerea oferită de ecuația cercului.

Observați că forța de gravitație care acționează asupra masei <math>m</math> ste formulată în coordonate carteziene obișnuite,

: <math> \mathbf{F}=(0,-mg),</math>

unde {{Mvar|g}} este [[Accelerație gravitațională|accelerația datorată gravitației]].

[[lucru mecanic virtual|Lucrul virtual]] al gravitației asupra masei {{Mvar|m}} în timp ce aceasta urmează traiectoria {{Math|'''r'''}} este dat de

: <math> \delta W = \mathbf{F}\cdot\delta \mathbf{r}.</math>

Variația {{Math|δ'''r'''}} poate fi calculată în funcție de coordonatele {{Mvar|x}} și {{Mvar|y}}, sau în funcție de parametrul {{Mvar|θ}},

: <math> \delta \mathbf{r} =(\delta x, \delta y) = (L\cos\theta, L\sin\theta)\delta\theta.</math>

Astfel, lucrul virtual este dat de

: <math>\delta W = -mg\delta y = -mgL\sin(\theta)\delta\theta.</math>

Observați că coeficientul lui {{Math|δ''y''}} este componenta {{Mvar|y}} a forței aplicate. În același mod, coeficientul lui {{Math|δ''θ''}} este cunoscut ca [[Forță generalizată|forța generalizată]] de-a lungul coordonatei generalizate {{Mvar|θ}}, dată de

: <math> F_{\theta} = -mgL\sin\theta.</math>

Pentru a completa analiza, se consideră energia cinetică {{Mvar|T}} a masei, folosind viteza,

: <math> \mathbf{v}=(\dot{x}, \dot{y}) = (L\cos\theta, L\sin\theta)\dot{\theta},</math>

deci,

: <math> T= \frac{1}{2} m\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \frac{1}{2} m (\dot{x}^2+\dot{y}^2) = \frac{1}{2} m L^2\dot{\theta}^2.</math>

[[lucru mecanic virtual|Forma lui D'Alembert a principiului lucrului virtual]] pentru pendul în funcție de coordonatele {{Mvar|x}} și {{Mvar|y}} este dată de:

: <math> \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}} - \frac{\partial T}{\partial x} = F_{x} + \lambda \frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{y}} - \frac{\partial T}{\partial y} = F_{y} + \lambda \frac{\partial f}{\partial y}. </math>

Astfel rezultă cele trei ecuații

: <math>m\ddot{x} = \lambda(2x),\quad m\ddot{y} = -mg + \lambda(2y),\quad x^2+y^2 - L^2=0,</math>

în cele trei necunoscute, {{Mvar|x}}, {{Mvar|y}} și {{Mvar|λ}}.

Folosind parametrul {{Mvar|θ}}, acele ecuații iau forma

: <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} - \frac{\partial T}{\partial \theta} = F_{\theta},</math>

care devine,

: <math> mL^2\ddot{\theta} = -mgL\sin\theta,</math>

sau

: <math> \ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta=0.</math>

Această formulare produce o singură ecuație, deoarece există un singur parametru și nicio ecuație de constrângere.

Acest lucru arată că parametrul {{Mvar|θ}} este o coordonată generalizată care poate fi utilizată în același mod ca și coordonatele carteziene {{Mvar|x}} și {{Mvar|y}} pentru a analiza pendulul.

=== Pendul dublu ===
[[Fișier:Double-Pendulum.svg|dreapta|miniatura| Un [[pendul dublu]]]]
Beneficiile coordonatelor generalizate devin evidente în cazul analizei unui [[pendul dublu]]. Pentru cele două mase {{Math|1=''m{{sub|i}}'' (''i'' = 1, 2)}}, fie {{Math|1='''r'''{{sub|''i''}} = (''x{{sub|i}}'', ''y{{sub|i}}''), ''i'' = 1, 2}}, definește cele două traiectorii ale acestora. Acești vectori satisfac cele două ecuații de constrângere,

: <math>f_1 (x_1, y_1, x_2, y_2) = \mathbf{r}_1\cdot \mathbf{r}_1 - L_1^2 = 0</math>

și

: <math>f_2 (x_1, y_1, x_2, y_2) = (\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) \cdot (\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1) - L_2^2 = 0.</math>

Formularea ecuațiilor lui Lagrange pentru acest sistem generează șase ecuații în cele patru coordonate carteziene {{math|1=''x{{sub|i}}'', ''y{{sub|i}}'' (''i'' = 1, 2)}} și cei doi multiplicatori Lagrange {{math|1=''λ{{sub|i}}'' (''i'' = 1, 2)}} care rezultă din cele două ecuații de constrângere.

Acum se introduce parametrul ''{{mvar|θ}}'', care definește poziția unghiulară a lui <math>M</math> față de direcția verticală. Acesta poate fi utilizat pentru a defini coordonatele <math>x</math> și <math>y</math>, astfel încât

: <math>\mathbf{r}_1 = (L_1\sin\theta_1, -L_1\cos\theta_1), \quad \mathbf{r}_2 = (L_1\sin\theta_1, -L_1\cos\theta_1) + (L_2\sin\theta_2, -L_2\cos\theta_2).</math>

Forța gravitației care acționează asupra maselor este dată de:

: <math>\mathbf{F}_1=(0,-m_1 g),\quad \mathbf{F}_2=(0,-m_2 g)</math>

unde g este accelerația datorată gravitației. Prin urmare, lucrul virtual al gravitației asupra celor două mase, în timp ce acestea urmează traiectoriile {{math|1='''r'''{{sub|''i''}} (''i'' = 1, 2)}}, este dat de formula

: <math> \delta W = \mathbf{F}_1\cdot\delta \mathbf{r}_1 + \mathbf{F}_2\cdot\delta \mathbf{r}_2.</math>

Variațiile {{Math|1=δ'''r'''{{sub|''i''}} (''i'' = 1, 2)}} pot fi calculate ca fiind

: <math> \delta \mathbf{r}_1 = (L_1\cos\theta_1, L_1\sin\theta_1)\delta\theta_1, \quad \delta \mathbf{r}_2 = (L_1\cos\theta_1, L_1\sin\theta_1)\delta\theta_1 +(L_2\cos\theta_2, L_2\sin\theta_2)\delta\theta_2</math>

Astfel, lucrul virtual este dat de

: <math>\delta W = -(m_1+m_2)gL_1\sin\theta_1\delta\theta_1 - m_2gL_2\sin\theta_2\delta\theta_2,</math>

iar forțele generalizate sunt

: <math>F_{\theta_1} = -(m_1+m_2)gL_1\sin\theta_1,\quad F_{\theta_2} = -m_2gL_2\sin\theta_2.</math>

Calculați energia cinetică a acestui sistem ca fiind

: <math> T= \frac{1}{2}m_1 \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_1 + \frac{1}{2}m_2 \mathbf{v}_2\cdot\mathbf{v}_2 = \frac{1}{2}(m_1+m_2)L_1^2\dot{\theta}_1^2 + \frac{1}{2}m_2L_2^2\dot{\theta}_2^2 + m_2L_1L_2 \cos(\theta_2-\theta_1)\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2.</math>

[[Ecuația Euler–Lagrange]] produce două ecuații în coordonatele generalizate necunoscute {{Math|1=''θ{{sub|i}}'' (''i'' = 1, 2)}} date de<ref>Eric W. Weisstein, [http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Double Pendulum], scienceworld.wolfram.com. 2007</ref>

: <math>(m_1+m_2)L_1^2\ddot{\theta}_1+m_2L_1L_2\ddot{\theta}_2\cos(\theta_2-\theta_1) + m_2L_1L_2\dot{\theta_2}^2\sin(\theta_1-\theta_2) = -(m_1+m_2)gL_1\sin\theta_1,</math>

și

: <math>m_2L_2^2\ddot{\theta}_2+m_2L_1L_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_2-\theta_1) + m_2L_1L_2\dot{\theta_1}^2\sin(\theta_2-\theta_1)=-m_2gL_2\sin\theta_2.</math>

Utilizarea coordonatelor generalizate {{Math|1=''θ{{sub|i}}'' (''i'' = 1, 2)}} oferă o alternativă la formularea carteziană a dinamicii pendulului dublu.

=== Pendul sferic ===
[[Fișier:Spherical_pendulum_Lagrangian_mechanics.svg|miniatura|200x200px| Pendul sferic: unghiuri și viteze.]]
Pentru un exemplu 3D, considerăm un [[pendul sferic]] cu lungime constantă {{Mvar|l}} liber să se balanseze în orice direcție unghiulară sub acțiunea gravitației, constrângerea impusă bobului pendulului poate fi exprimată sub forma

: <math>f(\mathbf{r}) = x^2 + y^2 + z^2 - l^2 = 0 \,, </math>

unde se poate scrie poziția bobului pendulului astfel

: <math>\mathbf{r} = (x(\theta,\phi),y(\theta,\phi),z(\theta,\phi)) \,, </math>

în care {{math|(''θ'', ''φ'')}} sunt [[Coordonate sferice|unghiurile polare sferice]] polare sferice, deoarece bob-ul se mișcă pe suprafața unei sfere. Poziția {{math|'''r'''}} se măsoară de-a lungul punctului de suspensie până la bob, tratat aici ca o [[particulă punctiformă]]. O alegere logică a coordonatelor generalizate pentru a descrie mișcarea sunt unghiurile {{math|(''θ'', ''φ'')}}. Sunt necesare doar două coordonate în loc de trei, deoarece poziția bobului poate fi parametrizată prin două numere, iar ecuația de constrângere conectează cele trei coordonate {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}}, astfel încât oricare dintre ele este determinată de celelalte două.

== Coordonate generalizate și lucru virtual ==
''Principiul [[lucru mecanic virtual|lucrului virtual]]'' afirmă că, dacă un sistem este în echilibru static, lucrul virtual al forțelor aplicate este zero pentru toate deplasările virtuale ale sistemului din această stare. Altfel spus, {{Math|1=δ''W'' = 0}} pentru orice variație {{Math|δ'''r'''}}.<ref name="Torby1984">{{Harvnb|Torby|1984}}</ref> Când este formulat în termeni de coordonate generalizate, acest principiu este echivalent cu cerința ca forțele generalizate să fie zero pentru orice deplasare virtuală, deci {{Math|1=''F''{{sub|''i''}} = 0}}.

Fie ca forțele care acționează asupra sistemului să fie notate cu {{Math|1='''F'''{{sub|''j''}} (''j'' = 1, 2, …, ''m'')}} și aplicate punctelor cu coordonate carteziene {{Math|1='''r'''{{sub|''j''}} (''j'' = 1, 2, …, ''m'')}}. Atunci, lucrul virtual generat de o deplasare virtuală din poziția de echilibru este dat de:

: <math>\delta W = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \delta\mathbf{r}_j.</math>

unde {{Math|1=δ'''r'''{{sub|''j''}} (''j'' = 1, 2, …, ''m'')}} reprezintă deplasările virtuale ale fiecărui punct din corp.

Să presupunem acum că fiecare {{Math|δ'''r'''{{sub|''j''}}}} depinde de coordonatele generalizate {{Math|1=''q{{sub|i}}'' (''i'' = 1, 2, …, ''n'')}}, atunci

: <math> \delta \mathbf{r}_j = \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_1} \delta{q}_1 + \ldots + \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_n} \delta{q}_n,</math>

și

: <math> \delta W = \left(\sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_1}\right) \delta{q}_1 + \ldots + \left(\sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_n}\right) \delta{q}_n. </math>

Cei {{Mvar|n}} termeni

: <math> F_i = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_i},\quad i=1,\ldots, n,</math>

reprezintă forțele generalizate care acționează asupra sistemului. Kane<ref>T. R. Kane and D. A. Levinson, Dynamics: theory and applications, McGraw-Hill, New York, 1985</ref> arată că aceste forțe generalizate pot fi, de asemenea, formulate în termeni de raport al derivatelor în timp,

: <math> F_i = \sum_{j=1}^m \mathbf{F}_j\cdot \frac{\partial \mathbf{v}_j}{\partial \dot{q}_i},\quad i=1,\ldots, n,</math>

unde {{Math|'''v'''{{sub|''j''}}}} este viteza punctului de aplicare a forței {{Math|'''F'''{{sub|''j''}}}}.

Pentru ca lucrul virtual să fie zero pentru o deplasare virtuală arbitrară, fiecare dintre forțele generalizate trebuie să fie zero, adică

: <math> \delta W = 0 \quad \Rightarrow \quad F_i =0, i=1,\ldots, n.</math>

== Vezi și ==
* [[Coordonatele canonice|Coordonate canonice]]
* [[Mecanică hamiltoniană|Mecanica hamiltoniană]]
* [[lucru mecanic virtual|Lucrul virtual]]
* [[Coordonate ortogonale]]
* [[Coordonate curbilinii]]
* [[Matricea de masă]]
* [[matrice de rigiditate|Matricea de rigiditate]]
* [[Forță generalizată|Forțe generalizate]]

== Note explicative ==
<references group="nb" responsive="1"></references>
<references group="lower-alpha" responsive="1"></references>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{Citat carte|titlu=Engineering dynamics|nume=Ginsberg|prenume=Jerry H.|isbn=978-0-521-88303-0|an=2008|editură=[[Cambridge University Press]]|locul-publicării=Cambridge UK|ediție=3rd}}
* {{Citat carte|legătură-autor2=Charles P. Poole|legătură-autor=Herbert Goldstein|titlu=Classical Mechanics|nume=Goldstein|prenume=Herbert|nume2=Poole|prenume2=Charles|nume3=Safko|prenume3=John|isbn=0-201-65702-3|an=2002|ediție=3rd|editură=Addison Wesley|locul-publicării=San Francisco, CA}}
* {{Citat carte|nume=Hand|prenume=Louis N.|nume2=Finch|prenume2=Janet D.|titlu=Analytical mechanics|dată=1998|editură=Cambridge University Press|locul-publicării=Cambridge|isbn=978-0521575720}}
* {{Citat carte|nume=Kibble|prenume=T.W.B|legătură-autor=Tom Kibble|nume2=Berkshire|prenume2=F.H.|an=2004|titlu=Classical Mechanics|ediție=5th|editură=[[Imperial College Press]]|locul-publicării=River Edge NJ|isbn=1860944248}}
* {{Citat carte|nume=Landau|prenume=L. D.|author-link1=Landau| nume2=Lifshitz|prenume2=E.M.|author-link2=Evgheni Lifșiț|titlu=Mechanics|dată=1976|locul-publicării=Oxford|isbn=978-0750628969|ediție=Third}}
* {{Citat carte|nume=Torby|prenume=Bruce|titlu=Advanced Dynamics for Engineers|serie=HRW Series in Mechanical Engineering|an=1984|editură=CBS College Publishing|locul-publicării=United States of America|isbn=0-03-063366-4|capitol=Energy Methods}}

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Solid rigid]]
[[Categorie:Sisteme dinamice]]
[[Categorie:Pagini cu traduceri nerevizuite]]