Vizualizare sursă pentru „Coordonate carteziene”

[[File:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|right|Ilustrare a unui plan de coordonate carteziene. Patru puncte sunt marcate și etichetate cu coordonatele lor: {{nowrap|(2, 3)}} cu verde, {{nowrap|(−3, 1)}} cu roșu, {{nowrap|(−1.5, −2.5)}} cu albastru, și originea {{nowrap|(0, 0)}} cu violet.]]
În [[geometrie]], '''sistemul de coordonate carteziene''' în [[Plan (geometrie)|plan]] este un [[sistem de coordonate]] care specifică fiecare [[Punct (geometrie)|punct]] în mod unic printr-o pereche de [[Număr real|numere reale]] numite ''coordonate'', ce reprezintă distanțele [[Număr negativ|luate cu semn]] de la respectivul punct până la două drepte fixe orientate [[Perpendicularitate|perpendicular]], numite [[Sistem de coordonate|axe de coordonate]], sau doar ''axe'' (singular ''axă'') ale sistemului. Punctul în care se întâlnesc se numește ''[[Origine (matematică)|origine]]'' și are coordonatele {{Math|(0, 0)}}.

În mod similar, poziția oricărui punct din [[Spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]] poate fi specificată prin trei ''coordonate carteziene'', care sunt distanțele luate cu semn de la acel punct la trei plane reciproc perpendiculare. Mai general, {{Math|''n''}} coordonate carteziene specifică punctul într-un [[spațiu euclidian]] {{Math|''n''}} -dimensional pentru orice [[dimensiune]] {{Math|''n''}}. Aceste coordonate sunt distanțele semnate de la punct la {{Math|''n''}} [[Hiperplan|hiperplane]] fixe reciproc perpendiculare.

[[File:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|thumb|right|Sistem de coordonate carteziene având marcat cu roșu un cerc de rază 2 cu centrul în origine. Ecuația unui cerc este {{math|1=(''x'' − ''a'')<sup>2</sup> + (''y'' − ''b'')<sup>2</sup> = ''r''<sup>2</sup>}} unde {{math|''a''}} și {{math|''b''}} sunt coordonatele centrului {{math|(''a'', ''b'')}}, iar ''r'' este raza.]]

Coordonatele carteziene își iau numele de la [[René Descartes]], care prin crearea lor în secolul al XVII-lea a revoluționat astfel matematica, oferind prima legătură sistematică între [[geometrie]] și [[algebră]]. Folosind sistemul de coordonate carteziene, formele geometrice (cum ar fi [[Curbă|curbele]]) pot fi descrise prin [[Ecuație|ecuații]] care implică coordonatele punctelor respectivei forme. De exemplu, un [[cerc]] cu raza 2, cu centrul în originea planului, poate fi descris ca [[Mulțime|mulțimea]] tuturor punctelor ale căror coordonate {{Math|''x''}} și {{Math|''y''}} satisfac ecuația {{Math|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 4}} .

Coordonatele carteziene sunt fundamentul [[Geometrie analitică|geometriei analitice]] și oferă interpretări geometrice care aduc lumină în multe alte ramuri ale matematicii, cum ar fi [[Algebră liniară|algebra liniară]], [[Analiză complexă|analiza complexă]], [[Geometrie diferențială|geometria diferențială]], [[Calcul infinitezimal|calculul infinitezimal]] multivariat, [[teoria grupurilor]] și multe altele. Un exemplu familiar este conceptul de [[Graficul unei funcții|grafic al unei funcții]]. Coordonatele carteziene sunt instrumente esențiale și pentru majoritatea disciplinelor aplicate care tratează cu aspecte de geometrie, inclusiv [[Astronomie|astronomia]], [[Fizică|fizica]], [[Inginerie|ingineria]] și multe altele. Sunt cel mai comun sistem de coordonate utilizat în [[Grafică digitală|grafica pe calculator]], [[Proiectare asistată de calculator|proiectarea geometrică asistată de calculator]] și alte {{Ill-wd|Q874709|3=procese de date legate de geometrie}}.

== Istorie ==
Adjectivul ''cartezian'' se referă la [[Matematician|matematicianul]] și [[Filosofie|filozoful]] francez [[René Descartes]], care a publicat această idee în 1637 în timp ce trăia în [[Țările de Jos]]. Conceptul a fost descoperit independent de [[Pierre de Fermat]], care lucra și în trei dimensiuni, deși Fermat nu a publicat descoperirea.<ref>{{Citat web|url=https://www.britannica.com/topic/analytic-geometry|nume=Bix|titlu=Analytic geometry|accessdate=2017-08-06|first1=Robert A.|last2=D'Souza|first2=Harry J.|lucrare=Encyclopædia Britannica}}</ref> Clericul francez [[Nicole Oresme]] a folosit construcții similare coordonatelor carteziene cu mult înainte de vremea lui Descartes și Fermat.<ref>{{Citat carte|url=https://books.google.com/books?id=EVRSDwAAQBAJ&q=Nicole+Oresme+coordinate&pg=PT307|titlu=The Routledge Handbook of Mapping and Cartography|nume=Kent|prenume=Alexander J.|nume2=Vujakovic|prenume2=Peter|dată=2017-10-04|editură=Routledge|isbn=9781317568216|limbă=en}}</ref>

Atât Descartes, cât și Fermat au folosit o singură axă în tratarea lor și au o lungime variabilă măsurată în raport cu această axă. Conceptul de folosire a unei perechi de axe a fost introdus mai târziu, după ce ''{{Ill-wd|Q210113|3=La Géométrie}}'' a lui Descartes a fost tradusă în latină în 1649 de către [[Frans van Schooten]] și studenții săi. Acești comentatori au introdus mai multe concepte în timp ce încercau să clarifice ideile conținute în opera lui Descartes.<ref>{{Harvnb|Burton|2011|loc=p. 374}}.</ref>

Dezvoltarea sistemului de coordonate carteziene avea să joace un rol fundamental în dezvoltarea [[Calcul infinitezimal|calculului infinitezimal]] de către [[Isaac Newton]] și [[Gottfried Wilhelm von Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]].<ref>''A Tour of the Calculus'', David Berlinski.</ref> Descrierea cu două coordonate a planului a fost ulterior generalizată în conceptul de [[spațiu vectorial]].<ref>{{Citat carte|titlu=Linear Algebra Done Right – Springer|nume=Axler|prenume=Sheldon|an=2015|isbn=978-3-319-11079-0|pagini=1|doi=10.1007/978-3-319-11080-6|serie=Undergraduate Texts in Mathematics|url=https://zenodo.org/record/4461746|access-date=2023-07-12|archive-date=2022-05-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20220527195708/https://zenodo.org/record/4461746|dead-url=yes}}</ref>

Descartes a mai dezvoltat multe alte sisteme de coordonate, cum ar fi [[Coordonate polare|coordonatele polare]] pentru plan și coordonatele [[Coordonate sferice|sferice]] și [[Coordonate polare#Coordonate cilindrice|cilindrice]] pentru spațiul tridimensional.

== Descriere ==

=== O singură dimensiune ===
Alegerea unui sistem de coordonate carteziene pentru un spațiu unidimensional – adică pentru o linie dreaptă – implică alegerea unui punct ''O'' al dreptei (originea), a unei unități de lungime și a unei orientări pentru dreaptă. O orientare alege care dintre cele două semidrepte determinate de ''O'' este pozitivă și care este negativă; spunem apoi că dreapta „este orientată” (sau „îndreptată”) dinspre jumătatea negativă spre jumătatea pozitivă. Atunci fiecare punct ''P'' al dreptei poate fi specificat prin distanța sa față de ''O'', luată cu semnul + sau − în funcție de semidreapta care conține ''P''.

O dreaptă cu un sistem cartezian ales se numește '''dreapta numerelor'''. Fiecare număr real are o locație unică pe dreaptă și invers, fiecare punct de pe dreaptă poate fi interpretat ca un [[număr]] într-un continuum ordonat, cum ar fi numerele reale.

=== Două dimensiuni ===
Un sistem de coordonate carteziene în două dimensiuni (numit și '''sistem de coordonate dreptunghiular''' sau '''sistem de coordonate ortogonal'''<ref name=":0">{{Citat web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Cartesian_orthogonal_coordinate_system|titlu=Cartesian orthogonal coordinate system|accessdate=2017-08-06|lucrare=Encyclopedia of Mathematics|limbă=en}}</ref>) este definit de o [[Cuplu (matematică)|pereche ordonată]] de linii [[Perpendicularitate|perpendiculare]] (axe), o singură {{Ill-wd|Q1978718|3=unitate de lungime}} pentru ambele axe și o orientare pentru fiecare. axă. Punctul în care se întâlnesc axele este luat ca origine pentru ambele, transformând astfel fiecare axă într-o dreaptă a numerelor. Prin orice punct ''P'', se trasează câte o dreaptă  perpendiculară pe fiecare axă, iar poziția în care se întâlnește cu axa este interpretată ca un număr. Cele două numere, în ordinea aleasă, sunt ''coordonatele carteziene'' ale lui ''P''. Construcția inversă permite determinarea poziției punctului ''P'' pe baza coordonatelor sale.

Prima coordonată se numește ''{{Ill-wd|Q58485726|3=abscisa}}'', iar a doua se numește ''{{Ill-wd|Q58485726|3=ordonata}}'' lui ''P''; iar punctul în care se întâlnesc axele se numește ''originea'' sistemului de coordonate. Coordonatele sunt de obicei scrise ca două numere între paranteze, în această ordine, separate prin virgulă, cum ar fi {{Nowrap|(3, −10.5)}}. Astfel originea are coordonatele {{Nowrap|(0, 0)}}, iar punctele de pe semiaxele pozitive, la o unitate distanță de origine, au coordonatele {{Nowrap|(1, 0)}} și {{Nowrap|(0, 1)}}.

În matematică, fizică și inginerie, prima axă este de obicei definită sau descrisă ca orizontală și orientată spre dreapta, iar a doua axă este verticală și orientată în sus. (Totuși, în unele contexte din domeniul [[Grafică digitală|graficii pe calculator]], axa ordonatelor poate fi orientată în jos.) Originea este adesea etichetată cu ''O'', iar cele două coordonate sunt adesea notate cu literele ''X'' și ''Y'', sau ''x'' și ''y''. Axele pot fi denumite apoi axa ''X'' și axa ''Y.'' Alegerile de litere provin din convenția inițială, aceea de a folosi ultima parte a alfabetului pentru a indica valori necunoscute. Prima parte a alfabetului a fost folosită pentru a nota valori cunoscute.

Un [[Plan (geometrie)|plan euclidian]] cu un sistem de coordonate carteziene ales se numește '''{{Visible anchor|plan cartezian}}'''. Într-un plan cartezian se pot defini reprezentanții canonici ai anumitor figuri geometrice, cum ar fi [[Cerc trigonometric|cercul unitate]] (cu raza egală cu unitatea de lungime și centrul în origine), [[Pătrat unitate|pătratul unitate]] (a cărui diagonală are capetele la {{Nowrap|(0, 0)}} și {{Nowrap|(1, 1)}}, [[Hiperbolă unitate|hiperbola unitate]] și așa mai departe.

Cele două axe împart planul în patru [[Unghi drept|unghiuri drepte]], numite ''cadrane''. Cadranele pot fi denumite sau numerotate în diferite moduri, dar cadranul în care toate coordonatele sunt pozitive este de obicei numit ''primul cadran''.

Dacă coordonatele unui punct sunt {{Nowrap|(''x'', ''y'')}}, atunci [[Distanța de la un punct la o dreaptă|distanțele]] de la acesta până la axa ''X'' și până la axa ''Y'' sunt {{abs|''y''}} și, respectiv {{abs|''x''}}; unde cu | · | se notează {{Ill-wd|Q4669840|3=valoarea absolută}} a unui număr.

=== Trei dimensiuni ===
[[File:Coord system CA 0.svg|thumb|Un sistem de coordonate carteziene tridimensional, cu originea ''O'' și axele ''X'', ''Y'' și ''Z'', orientate după cum arată săgețile. Marcajele de pe axe sunt la o unitate de lungime distanță. Punctul negru reprezintă punctul de coordonate {{math|1=''x'' = 2}}, {{math|1=''y'' = 3}}, și {{math|1=''z'' = 4}}, sau {{math|(2, 3, 4)}}.]]
Un sistem de coordonate carteziene în două dimensiuni (numit și '''sistem de coordonate dreptunghiular''' sau '''sistem de coordonate ortogonal'''<ref name=":0"/>) este definit de o [[Cuplu (matematică)|pereche ordonată]] de drepte [[Perpendicularitate|perpendiculare]] (axe), o singură {{Ill-wd|Q1978718|3=unitate de lungime}} pentru ambele axe și o orientare pentru fiecare. axă. Punctul în care se întâlnesc axele este luat ca origine pentru ambele, transformând astfel fiecare axă într-o dreaptă a numerelor. Prin orice punct ''P'', se trasează câte o dreaptă  perpendiculară pe fiecare axă, iar poziția în care se întâlnește cu axa este interpretată ca un număr. Cele două numere, în ordinea aleasă, sunt ''coordonatele carteziene'' ale lui ''P''. Construcția inversă permite determinarea poziției punctului ''P'' pe baza coordonatelor sale.

Alternativ, fiecare coordonată a unui punct ''P'' poate fi luată ca distanță de la ''P'' la hiperplanul definit de celelalte două axe, semnul fiind determinat de orientarea axei corespunzătoare.

Fiecare pereche de axe definește un ''hiperplan de coordonate''. Aceste hiperplane împart spațiul în opt ''{{Ill-wd|Q1975864|3=octanți}}''. Octanții sunt:<math display="block">
\begin{align}
(+x,+y,+z) && (-x,+y,+z) && (+x,-y,+z) && (+x,+y,-z) \\
(+x,-y,-z) && (-x,+y,-z) && (-x,-y,+z) && (-x,-y,-z)
\end{align}
</math>Coordonatele sunt de obicei scrise ca trei numere (sau formule algebrice) înconjurate de paranteze și separate prin virgule, ca în {{Math|(3, −2.5, 1)}} sau {{Math|(''t'', ''u'' + ''v'', ''π''/2)}} . Astfel, originea are coordonatele {{Math|(0, 0, 0)}}, iar punctele unitate de pe cele trei axe sunt {{Math|(1, 0, 0)}}, {{Math|(0, 1, 0)}} și {{Math|(0, 0, 1)}}.

Nu există denumiri standard pentru coordonatele pe cele trei axe (totuși, uneori sunt folosiți termenii ''abscisă'', ''ordonată'' și ''aplicată''). Coordonatele sunt adesea notate cu literele ''X'', ''Y'' și ''Z'', sau ''x'', ''y'' și z. Axele pot fi denumite apoi axa ''X'', axa ''Y'' și, respectiv, axa ''Z.'' Atunci hiperplanurile de coordonate pot fi denumite planul ''XY'', planul ''YZ'' și planul ''XZ''.

În contextele de matematică, fizică și inginerie, primele două axe sunt adesea definite sau descrise ca orizontale, cu a treia axă îndreptată în sus. În acest caz, a treia coordonată poate fi numită ''înălțime'' sau ''altitudine''. Orientarea este de obicei aleasă astfel încât unghiul de 90 de grade de la prima axă la a doua axă să arate în sens invers acelor de ceasornic atunci când este văzut din punctul {{Math|(0, 0, 1)}}; o convenție care se numește în mod obișnuit ''[[regula mâinii drepte]]''.

[[File:Cartesian coordinate surfaces.png|thumb|right|Suprafețele de coordonate ale coordonatelor carteziene {{math|(''x'', ''y'', ''z'')}}. Axa ''z'' este verticală, iar axa ''x'' este evidențiată cu verde. Astfel, hiperplanul roșu conține punctele cu {{math|1=''x'' = 1}}, cel albastru conține punctele cu {{math|1=''z'' = 1}}, și cel galben conține punctele cu {{math|1=''y'' = −1}}. Cele trei suprafețe se intersectează în punctul ''P'' (reprezentat cu o sferă neagră) cu coordonatele carteziene {{math|(1, −1, 1}}).]]

=== Dimensiuni mai mari ===
Deoarece coordonatele carteziene sunt unice și neambigue, punctele unui plan cartezian pot fi identificate cu perechi de [[Număr real|numere reale]]; adică cu [[Produs cartezian|produsul cartezian]] <math>\R^2 = \R\times\R</math>, Unde <math>\R</math> este mulțimea tuturor numerelor reale. În același mod, punctele din orice [[spațiu euclidian]] de dimensiune ''n'' pot fi identificate cu {{Ill-wd|Q600590|3=tuplurile}} (listele) a ''n'' numere reale; adică cu produsul cartezian <math>\R^n</math>.

=== Generalizări ===
Un sistem de coordonate carteziene în două dimensiuni (numit și '''sistem de coordonate dreptunghiular''' sau '''sistem de coordonate ortogonal'''<ref name=":0"/>) este definit de o [[Cuplu (matematică)|pereche ordonată]] de linii [[Perpendicularitate|perpendiculare]] (axe), o singură {{Ill-wd|Q1978718|3=unitate de lungime}} pentru ambele axe și o orientare pentru fiecare. axă. Punctul în care se întâlnesc axele este luat ca origine pentru ambele, transformând astfel fiecare axă într-o dreaptă a numerelor. Prin orice punct ''P'', se trasează câte o dreaptă  perpendiculară pe fiecare axă, iar poziția în care se întâlnește cu axa este interpretată ca un număr. Cele două numere, în ordinea aleasă, sunt ''coordonatele carteziene'' ale lui ''P''. Construcția inversă permite determinarea poziției punctului ''P'' pe baza coordonatelor sale.

== Notații și convenții ==
Coordonatele carteziene ale unui punct se scriu de obicei între [[Paranteză|paranteze]] și separate prin virgule, ca în exemplele: {{Nowrap|(10, 5)}} sau {{Nowrap|(3, 5, 7)}}. Originea este adesea etichetată cu litera mare ''O.'' În geometria analitică, coordonatele necunoscute sau generice sunt adesea notate cu literele (''x'', ''y'') în plan și (''x'', ''y'', ''z'') în spațiul tridimensional. Acest obicei provine dintr-o convenție a algebrei, care folosește litere de la sfârșitul alfabetului pentru valori necunoscute (cum ar fi coordonatele punctelor în multe probleme geometrice) și litere aproape de început pentru cantități date.

Aceste notații convenționale sunt adesea folosite și în alte domenii, cum ar fi fizica și ingineria, deși pot fi folosite și alte litere. De exemplu, într-un grafic care arată modul în care o [[presiune]] variază în [[timp]], coordonatele graficului pot fi notate ''p'' și ''t''. Fiecare axă este de obicei numită după coordonata care este măsurată de-a lungul ei; deci, se spune ''axa x'', ''axa y'', ''axa t'' etc.

O altă convenție obișnuită pentru notarea coordonatelor este utilizarea indicelui, ca (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) pentru cele ''n'' coordonate dintr-un spațiu ''n''-dimensional, mai ales când ''n'' este mai mare ca 3 sau nespecificat. Unii autori preferă numerotarea (''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''−1</sub> ). Aceste notații sunt deosebit de avantajoase în [[Programare|programarea calculatoarelor]]: prin stocarea coordonatelor unui punct sub formă de {{Ill-wd|Q121079|3=tablou}}, în loc de {{Ill-wd|Q2470517|3=înregistrare}}, indicele poate servi la indexarea coordonatelor.

În ilustrațiile matematice ale sistemelor carteziene bidimensionale, prima coordonată (numită în mod tradițional {{Ill-wd|Q58485726|3=abscisă}}) este măsurată de-a lungul unei axe {{Ill-wd|Q17027571|3=orizontale}}, orientată de la stânga la dreapta. A doua coordonată (ordonata) este apoi măsurată de-a lungul unei axe verticale, de obicei orientată de jos în sus. Copiii mici care învață sistemul cartezian învață în mod obișnuit ordinea de a citi valorile înainte de a cimenta conceptele de axă ''x'', ''y'' și ''z'', începând cu mnemonice 2D (de exemplu, „Mergi de-a lungul holului, apoi urcă scările” care ar însemna direct pe axa ''x'' apoi în sus vertical de-a lungul axei ''y'').

În grafica pe calculator și în {{Ill-wd|Q1070689|3=prelucrarea imaginilor}}, se folosește adesea un sistem de coordonate cu axa ''y'' orientată în jos pe afișajul calculatorului. Această convenție s-a dezvoltat în anii 1960 (sau mai devreme) din cauza modului în care imaginile erau stocate inițial în {{Ill-wd|Q1163900|3=bufferele de afișare}}.

Pentru sistemele tridimensionale, o convenție este de a ilustra planul ''xy'' pe orizontală, cu axa ''z'' adăugată pentru a reprezenta înălțimea (cu direcția pozitivă în sus). În plus, există o convenție de a orienta axa ''x'' către privitor, înclinată ușor fie la dreapta, fie la stânga. Dacă o diagramă ( proiecție 3D sau [[Perspectivă|desen în perspectivă 2D]]) prezintă axele ''x'' și ''y'' pe orizontală și respectiv pe verticală, atunci axa ''z'' ar trebui să fie afișată îndreptată „în afara paginii” către privitor sau cameră. Într-o astfel de diagramă 2D a unui sistem de coordonate 3D, axa ''z'' ar apărea ca o linie sau direcție îndreptată în jos și la stânga sau în jos și la dreapta, în funcție de [[Perspectivă|perspectiva]] privitorului sau a camerei. Pe orice diagramă sau ecran, orientarea celor trei axe, în ansamblu, este arbitrară. Totuși, orientarea axelor una față de cealaltă ar trebui să respecte întotdeauna [[regula mâinii drepte]], cu excepția cazului în care se specifică altfel. Toate legile fizicii și matematicii presupun această orientare, care asigură consistența.

Pentru diagramele 3D, denumirile „abscisă” și „ordonată” sunt rareori folosite pentru ''x'' și respectiv ''y'' . Când sunt folosite, coordonata ''z'' este uneori numită '''aplicata'''. Cuvintele ''abscisă'', ''ordonată'' și ''aplicată'' sunt uneori folosite cu referire la axele de coordonate, și nu la valorile coordonatelor.<ref name=":0"/>

=== Cadrane și octanți ===
[[Fișier:Cartesian_coordinates_2D.svg|miniatura|240x240px| Cele patru cadrane ale unui sistem de coordonate carteziene]]
Axele unui sistem cartezian bidimensional împart planul în patru regiuni infinite, numite ''cadrane'',<ref name=":0"/> fiecare mărginit de două semiaxe. Acestea sunt adesea numerotate de la 1 la 4 și notate cu [[cifre romane]]: I (unde coordonatele au ambele semne pozitive), II (unde abscisa este negativă - și ordonata este pozitivă +), III (unde atât abscisa, cât și ordonata sunt −), și IV (abscisa +, ordonată −). Când axele sunt desenate conform cutumei matematice, numerotarea merge în {{Ill-wd|Q16726164|3=sens invers acelor de ceasornic}} începând din cadranul din dreapta sus („nord-est”).

În mod similar, un sistem cartezian tridimensional definește o împărțire a spațiului în opt regiuni sau '''octanți''',<ref name=":0"/> în funcție de semnele coordonatelor punctelor. Convenția folosită pentru denumirea unui anumit octant este de a enumera semnele acestuia; de exemplu, {{Nowrap|(+ + +)}} sau {{Nowrap|(− + −)}}. Generalizarea cadranului și octantului la un număr arbitrar de dimensiuni se numește '''{{Ill-wd|Q2714507|3=Orthant}}''' și în ea se aplică un sistem similar de denumire.

== Formule carteziene pentru plan ==

=== Distanța dintre două puncte ===
[[Distanță euclidiană|Distanța euclidiană]] dintre două puncte din plan, cu coordonatele carteziene <math>(x_1, y_1)</math> și <math>(x_2, y_2)</math> este<math display="block">d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.</math>Aceasta este versiunea carteziană a [[Teorema lui Pitagora|teoremei lui Pitagora]]. În spațiul tridimensional, distanța dintre punctele <math>(x_1,y_1,z_1)</math> și <math>(x_2,y_2,z_2)</math> este<math display="block">d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2+ (z_2-z_1)^2} ,</math>care poate fi obținută prin două aplicări consecutive ale teoremei lui Pitagora.<ref name="Hughes">{{Citat carte|nume=Hughes-Hallett|prenume=Deborah|nume2=McCallum|prenume2=William G.|nume3=Gleason|prenume3=Andrew M.|titlu=Calculus : Single and Multivariable|dată=2013|editură=John wiley|isbn=978-0470-88861-2|ediție=6}}</ref>

=== Transformări euclidiene ===
{{Ill-wd|Q908686|3=Transformările euclidiene}} sau '''mișcările euclidiene''' sunt funcții ([[Corespondență biunivocă|bijective]]) care asociază punctelor din [[Plan (geometrie)|planul euclidian]] alte puncte din același plan, conservând distanțele dintre puncte. Există patru tipuri de astfel de transformări (numite și izometrii): [[Translație (geometrie)|translații]], [[Rotație (matematică)|rotații]], [[Reflexie (matematică)|reflexii]] și [[Reflexie translată|reflexii translate]].<ref>{{Harvnb|Smart|1998|loc=Chap. 2}}</ref>

==== Translația ====
[[Translație (geometrie)|Translatarea]] unei mulțimi de puncte din plan, păstrând distanțele și direcțiile dintre ele, este echivalentă cu adunarea unei perechi fixe de numere {{Nowrap|(''a'', ''b'')}} la coordonatele carteziene ale fiecărui punct din mulțime. Adică, dacă coordonatele inițiale ale unui punct sunt {{Nowrap|(''x'', ''y'')}}, după translație acestea vor fi<math display="block">(x', y') = (x + a, y + b) .</math>

==== Rotația ====
[[Rotație (matematică)|Rotația]] unei figuri în {{Ill-wd|Q16726164|3=sens antiorar}} în jurul originii cu un anumit unghi <math>\theta</math> este echivalentă cu înlocuirea fiecărui punct de coordonate (''x'', ''y'') cu punctul cu coordonate (''x<nowiki>'</nowiki>'', ''y<nowiki>'</nowiki>''), unde<math display="block">
\begin{align}
x' &= x \cos \theta - y \sin \theta \\
y' &= x \sin \theta + y \cos \theta .
\end{align}
</math>Prin urmare:<math display="block">(x',y') = ((x \cos \theta - y \sin \theta\,), (x \sin \theta + y \cos \theta\,)) .</math>

==== Reflexia ====
Dacă {{Nowrap|(''x'', ''y'')}} sunt coordonatele carteziene ale unui punct, atunci {{Nowrap|(−''x'', ''y'')}} sunt coordonatele {{Ill-wd|Q17005838|3=reflexiei}} acestuia în raport cu a doua axă de coordonate (axa y), ca și cum acea dreaptă ar fi o oglindă. De asemenea, {{Nowrap|(''x'', −''y'')}} sunt coordonatele reflexiei sale în raport cu prima axă de coordonate (axa x). În general, reflexia în raport cu o dreaptă ce trece prin origine la un unghi <math>\theta</math> cu axa x, este echivalentă cu înlocuirea fiecărui punct cu coordonatele {{Nowrap|(''x'', ''y'')}} cu punctul cu coordonatele {{Nowrap|(''x''′,''y''′)}}, unde<math display="block">
\begin{align}
x' &= x \cos 2\theta + y \sin 2\theta \\
y' &= x \sin 2\theta - y \cos 2\theta .
\end{align}
</math>Prin urmare:<math display="block">(x',y') = ((x \cos 2\theta + y \sin 2\theta\,), (x \sin 2\theta - y \cos 2\theta\,)) .</math>

==== Reflexia translată ====
O reflexie translată este compoziția unei reflexii în raport cu o dreaptă urmată cu o translație în direcția acelei drepte. Se poate observa că ordinea acestor operații nu contează (translația poate avea loc prima, urmată de reflexie).

==== Forma matriceală generală a transformărilor ====
Toate {{Ill-wd|Q382497|3=transformările afine}} ale planului pot fi descrise într-un mod uniform prin utilizarea matricelor. În acest scop coordonatele <math>(x,y)</math> ale unui punct sunt reprezentate în mod obișnuit ca [[Vector linie și vector coloană|matricea coloană]] <math>\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.</math> Rezultatul <math>(x', y')</math> a aplicării unei transformări afine la un punct <math>(x,y)</math> este dat de formula<math display="block">\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} + b,</math>Unde<math display="block">A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2} \\ A_{2,1} & A_{2,2} \end{pmatrix}</math>este o [[Matrice pătrată|matrice]] 2×2 și <math>b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}</math> este o matrice coloană. <ref>{{Harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1998|loc=pg. 49}}</ref> Adică,<math display="block">
\begin{align}
x' &= x A_{1,1} + y A_{1,1} + b_{1} \\
y' &= x A_{2,1} + y A_{2, 2} + b_{2}.
\end{align}
</math>Dintre transformările afine, {{Ill-wd|Q7333813|3=transformările euclidiene}} se caracterizează prin faptul că matricea <math>A</math> este {{Ill-wd|Q333871|3=ortogonală}}; adică, coloanele sale sunt [[Spațiu prehilbertian|vectori ortogonali]] de [[Spațiu euclidian|normă euclidiană]] unu sau, în mod explicit,<math display="block">A_{1,1} A_{1, 2} + A_{2,1} A_{2, 2} = 0</math>Alegerea unui sistem de coordonate carteziene pentru un spațiu unidimensional – adică pentru o linie dreaptă – implică alegerea unui punct ''O'' al dreptei (originea), a unei unități de lungime și a unei orientări pentru dreaptă. O orientare alege care dintre cele două semidrepte determinate de ''O'' este pozitivă și care este negativă; spunem apoi că dreapta „este orientată” (sau „îndreptată”) dinspre jumătatea negativă spre jumătatea pozitivă. Atunci fiecare punct ''P'' al dreptei poate fi specificat prin distanța sa față de ''O'', luată cu semnul + sau − în funcție de semidreapta care conține ''P''.<math display="block">A_{1, 1}^2 + A_{2,1}^2 = A_{1,2}^2 + A_{2, 2}^2 = 1.</math>Acest lucru este echivalent cu a spune că {{Math|''A''}} înmulțită cu [[Matrice transpusă|transpusa]] sa este [[Matrice unitate|matricea identitate]]. Dacă aceste condiții nu sunt valabile, formula descrie o {{Ill-wd|Q382497|3=transformare afină}} mai generală.

și<math display="block"> A_{1, 1} A_{2, 2} - A_{2, 1} A_{1, 2} = 1 .</math>O reflexie sau o reflexie translată se obține atunci când:<math display="block"> A_{1, 1} A_{2, 2} - A_{2, 1} A_{1, 2} = -1 .</math>Presupunând că translațiile nu sunt folosite (adică <math>b_1=b_2=0</math> ) translațiile pot fi {{Ill-wd|Q244761|3=compuse}} prin simpla înmulțire a matricelor de transformare asociate. În cazul general, este utilă utilizarea [[Matrice extinsă|matricei augmentate]] a transformării; adică se rescrie formula de transformare<math display="block">\begin{pmatrix}x'\\y'\\1\end{pmatrix} = A' \begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix},</math>unde<math display="block">A' = \begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{1,2}&b_1 \\ A_{2,1} & A_{2,2}&b_2\\0&0&1 \end{pmatrix}.</math>Cu acest artificiu, compoziția transformărilor afine se obține prin înmulțirea matricelor augmentate.

=== Transformare afină ===
[[Fișier:2D_affine_transformation_matrix.svg|miniatura| Efectul aplicării diferitelor matrici de transformare afină 2D asupra unui pătrat unitar (reflexiile sunt cazuri speciale ale scalării)]]
{{Ill-wd|Q382497|3=Transformările afine}} ale [[Plan (geometrie)|planului euclidian]] sunt transformări care transformă dreptele în alte drepte, dar pot modifica distanțele și unghiurile. După cum s-a spus în secțiunea precedentă, acestea pot fi reprezentate prin matrice extinse:<math display="block">\begin{pmatrix} A_{1,1} & A_{2,1} & b_{1} \\ A_{1,2} & A_{2,2} & b_{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix}.</math>Transformările euclidiene sunt transformări afine cu proprietatea că matricea 2×2 conținând <math>A_{i,j}</math> este {{Ill-wd|Q333871|3=ortogonală}}.

Matricea extinsă care reprezintă {{Ill-wd|Q244761|3=compunerea}} a două transformări afine se obține prin înmulțirea matricelor extinse ale acestora.

Unele transformări afine care nu sunt transformări euclidiene au primit denumiri specifice.

==== Scalare ====
Un exemplu de transformare afină care nu este euclidiană este scalarea. A face o figură mai mare sau mai mică echivalează cu înmulțirea coordonatelor carteziene ale fiecărui punct cu același număr pozitiv ''m''. Dacă {{Nowrap|(''x'', ''y'')}} sunt coordonatele unui punct de pe figura originară, punctul corespunzător de pe figura scalată are coordonatele<math display="block">(x',y') = (m x, m y).</math>Dacă ''m'' este mai mare decât 1, figura devine mai mare; dacă ''m'' este între 0 și 1, devine mai mică.

==== Forfecarea ====
O {{Ill-wd|Q1411898|3=transformare de forfecare}} împinge partea superioară a unui pătrat în lateral pentru a forma un [[paralelogram]]. Forfecarea orizontală este definită prin:<math display="block">(x',y') = (x+y s, y)</math>Forfecarea poate fi aplicată și pe verticală:<math display="block">(x',y') = (x, x s+y)</math>

== Orientare și chiralitate ==

=== În două dimensiuni ===
[[Fișier:Rechte-hand-regel.jpg|stanga|miniatura| [[Regula mâinii drepte]]]]
Fixarea sau alegerea axei ''x'' determină axa ''y'' făcând abstracție de direcție. Anume, axa ''y'' este în neapărat [[Perpendicularitate|perpendiculară]] pe axa ''x'' prin punctul marcat cu 0 pe axa ''x''. Există posibilitatea de a alege care dintre cele două semidrepte perpendiculare este desemnată ca fiind sensl pozitiv și care sensul negativ. Oricare dintre aceste două alegeri determină o orientare diferită (numită și ''chiralitate'') a planului cartezian.

Orientarea obișnuită a planului, cu axa ''x'' pozitivă îndreptată spre dreapta și axa ''y'' pozitivă în sus (axa ''x'' fiind „prima” și axa ''y'' „a doua” axă), este considerată ca fiind orientarea ''pozitivă'' sau ''standard'', numită și orientare ''spre dreapta''.

O mnemonică folosită în mod obișnuit pentru definirea orientării pozitive este ''[[regula mâinii drepte]]''. Ținând mâna dreaptă de-a lungul unui plan cu degetul mare îndreptat în sus, celelalte degete arată dinspre axa ''x'' spre direcția pozitivă a axei ''y'', într-un sistem de coordonate orientat pozitiv.

Cealaltă modalitate de a orienta planul este ''regula mâinii stângi'', plasând mâna stângă pe plan cu degetul mare îndreptat în sus.

Când degetul mare este îndreptat de la origine de-a lungul unei axe pe sensul pozitiv, curbura degetelor indică o rotație pozitivă de-a lungul acelei axe.

Indiferent de regula folosită pentru orientarea planului, rotirea sistemului de coordonate va păstra orientarea. Comutarea oricărei axe va inversa orientarea, dar comutarea ambelor va lăsa orientarea neschimbată.

=== În trei dimensiuni ===
[[Fișier:Cartesian_coordinate_system_handedness.svg|stanga|miniatura|Fig. 7 – Orientarea stângă este prezentată în stânga, iar cea dreaptă în dreapta.]]
[[Fișier:Right_hand_cartesian.svg|dreapta|miniatura|Fig. 8 – Sistemul de coordonate carteziene din dreapta indicând planurile de coordonate.]]
Odată ce axele ''x'' și ''y'' sunt specificate, ele determină [[Dreaptă|dreapta]] de-a lungul căreia ar trebui să se afle axa ''z'', dar există două orientări posibile pentru această dreaptă. Cele două sisteme de coordonate posibile care rezultă sunt numite „drept” și „stâng”. Orientarea standard, unde planul ''xy'' este orizontal și axa ''z'' este îndreptată în sus (iar axele ''x'' și ''y'' formează un sistem de coordonate bidimensional orientat pozitiv în planul ''xy'' dacă este observat de ''deasupra'' planului ''xy'') se numește '''drept''' sau '''pozitiv'''.
[[Fișier:3D_Cartesian_Coodinate_Handedness.jpg|miniatura| Chiralitatea coordonatelor carteziene 3D]]
Numele derivă de la [[regula mâinii drepte]]. Dacă {{Ill-wd|Q184848|3=degetul arătător}} al mâinii drepte este îndreptat înainte, [[Deget mijlociu|degetul mijlociu]] îndoit spre interior într-un unghi drept față de acesta și [[Deget mare|degetul mare]] plasat în unghi drept față de ambele, cele trei degete indică orientarea relativă a axelor ''x'', ''y'', și ''z'' într-un sistem ''drept''. Degetul mare indică axa ''x'', degetul arătător axa ''y'' și degetul mijlociu axa ''z''. Se procedează similar cu mâna stângă, pentru un sistem stâng.

Figura 7 prezintă un sistem de coordonate stâng și unul drept. Deoarece un obiect tridimensional este reprezentat pe un ecran bidimensional, rezultă distorsiuni și ambiguități. Axa îndreptată în jos (și spre dreapta) este menită și ea să fie îndreptată ''către'' observator, în timp ce axa „de mijloc” este menită fie îndreptată în sens opus celui spre observator. Cercul roșu este ''paralel'' cu planul ''xy'' orizontal și indică rotația de la axa ''x'' la axa ''y'' (în ambele cazuri). Prin urmare, săgeata roșie trece ''prin fața'' axei ''z''.

Figura 8 este o altă încercare de a descrie un sistem de coordonate drept. Din nou, există o ambiguitate cauzată de proiectarea sistemului de coordonate tridimensional în plan. Mulți observatori văd figura 8 ca „întorcându-se pe dos” de la un cub [[wiktionary:convex|convex]] și un „colț” [[wiktionary:concave|concav]]. Aceasta corespunde celor două orientări posibile ale spațiului. Vederea figurii ca fiind convexă oferă un sistem de coordonate stâng. Astfel, modul „corect” de a vizualiza Figura 8 este de a imagina axa ''x'' ca fiind îndreptată ''spre'' observator și astfel văzând un colț concav.

== Reprezentarea unui vector în baza standard ==
Un punct din spațiu într-un sistem de coordonate carteziene poate fi reprezentat și printr-un [[Vector euclidian|vector]] de poziție, care poate fi considerat a fi o săgeată care arată de la originea sistemului de coordonate până la punctul respectiv.<ref>{{Harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1998|loc=Appendix 2, pp. 377–382}}</ref> Dacă coordonatele reprezintă poziții spațiale (deplasări), de regulă se reprezintă vectorul de la origine până la punctul de interes și se notează cu <math>\mathbf{r}</math>. În două dimensiuni, vectorul de la origine până la punctul cu coordonate carteziene (x, y) poate fi scris astfel:<math display="block"> \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j},</math>Unde <math>\mathbf{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> și <math>\mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> sunt [[Versor|vectorii unitate]] în direcția axei ''x'' și, respectiv, a axei ''y'', denumiți în general ''{{Ill-wd|Q2000912|3=baza standard}}'' (în unele domenii de aplicare, aceștia pot fi denumiți și [[Versor|versori]]). Similar, în trei dimensiuni, vectorul de la origine până la punctul cu coordonate carteziene <math>(x,y,z)</math> poate fi scris ca:<ref>{{Citat carte|nume=David J. Griffiths|titlu=Introduction to Electrodynamics|editură=Prentice Hall|an=1999|isbn=978-0-13-805326-0|url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0}}</ref><math display="block"> \mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k},</math>Unde <math>\mathbf{i} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},</math><math>\mathbf{j} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},</math> și <math>\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.</math>

Nu există o interpretare ''naturală'' a înmulțirii vectorilor pentru a obține un alt vector care funcționează în toate dimensiunile. Există însă o modalitate de a folosi [[Număr complex|numere complexe]] pentru a oferi o astfel de multiplicare. Într-un plan cartezian bidimensional, se identifică punctul de coordonate {{Nowrap|(''x'', ''y'')}} cu numărul complex {{Nowrap|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}}. Aici, ''i'' este [[unitatea imaginară]] și este identificat cu punctul cu coordonatele {{Nowrap|(0, 1)}}, deci ''nu'' este vectorul unitar în direcția axei ''x''. Deoarece numerele complexe pot fi înmulțite, rezultatul fiind un alt număr complex, această identificare oferă un mijloc de „multiplicare” a vectorilor. Într-un spațiu cartezian tridimensional se poate face o identificare similară cu o submulțime a [[Cuaternion|cuaternionilor]].

== Aplicații ==
Coordonatele carteziene sunt o abstractizare care are o multitudine de aplicații posibile în lumea reală. Sunt însă necesari trei pași constructivi pentru suprapunerea coordonatelor în aplicația dintr-o problemă.

# Trebuie stabilite unitățile de distanță care definesc dimensiunea spațială reprezentată de numerele folosite ca coordonate.
# Trebuie aleasă o origine a sistemului, cum ar fi o poziție spațială sau un reper
# Trebuie definită orientarea axelor folosind indicațiile direcționale disponibile pentru toate axele, cu excepția uneia.

Fie, de exemplu, suprapunerea coordonatelor carteziene 3D peste toate punctele de pe Pământ (adică 3D geospațial). Kilometrii sunt o alegere bună pentru unitate, deoarece definiția inițială a kilometrului era geospațială, anume cea că {{Dim|10000|km}} ar fi trebuit să reprezinte distanța pe suprafață de la ecuator la Polul Nord. Ținând cont de simetrie, centrul gravitațional al Pământului sugerează o plasare naturală a originii (care poate fi sesizată prin orbitele satelitului). Axa de rotație a Pământului oferă o orientare naturală pentru axele ''X'', ''Y'' și ''Z'', puternic asociate cu „sus vs. jos”, astfel încât ''Z'' pozitiv poate reprezenta direcția de la geocentru la Polul Nord. Este necesară o poziție pe ecuator care să definească axa ''X'', iar {{Ill-wd|Q3401774|3=meridianul zero}} iese în evidență ca orientare de referință, astfel încât axa ''X'' ia orientarea de la geocentru la punctul de [[longitudine]] {{Val|0}} și [[latitudine]] 0. Cu trei dimensiuni și două orientări de axe perpendiculare fixate în jos pentru ''X'' și ''Z'', axa ''Y'' este determinată de primele două opțiuni. Pentru a respecta regula mâinii drepte, axa ''Y'' trebuie să indice de la geocentru la punctul de longitudine 90 și latitudine 0. De la o longitudine de {{Val|−73.985656}}, o latitudine {{Val|40.748433}} și raza Pământului de {{sfrac|40,000|2{{mvar|π}}}}&nbsp;km și transformând din coordonatele sferice în coordonatele carteziene, se pot estima coordonatele geocentrice ale Empire State Building, {{Math|1=(''x'', ''y'', ''z'') = ({{val|1330.53|u=km|fmt=commas}}, {{val|4635.75|u=km|fmt=commas}}, {{val|4155.46|u=km|fmt=commas}})}}. Navigația prin GPS se bazează pe astfel de coordonate geocentrice.

În proiectele de inginerie, acordul privind definirea coordonatelor este un fundament crucial. Nu se poate presupune că coordonatele vin predefinite pentru o aplicație nouă, astfel încât cunoașterea modului de construire a unui sistem de coordonate acolo unde anterior nu exista unul este esențială pentru aplicarea gândirii lui René Descartes.

În timp ce aplicațiile spațiale folosesc unități identice de-a lungul tuturor axelor, în aplicațiile de afaceri și științifice, axele poate avea asociate [[Unitate de măsură|unități de măsură]] diferite (cum ar fi kilograme, secunde, lire etc.). Deși spațiile cu patru și mai mari dimensiuni sunt dificil de vizualizat, algebra coordonatelor carteziene poate fi extinsă relativ ușor la patru sau mai multe variabile, astfel încât se pot face anumite calcule care implică multe variabile. (Acest tip de extensie algebrică este folosită pentru a defini geometria spațiilor de dimensiuni superioare.) Reciproc, este adesea util să se folosească geometria coordonatelor carteziene în două sau trei dimensiuni pentru a vizualiza relațiile algebrice dintre două sau trei din multe variabile nespațiale.

[[Graficul unei funcții]] sau {{Ill-wd|Q107223533|3=relații}} este mulțimea tuturor punctelor care satisfac acea funcție sau relație. Pentru o funcție de o variabilă, {{Math|''f''}}, mulțimea tuturor punctelor {{Math|(''x'', ''y'')}}, unde {{Math|1=''y'' = ''f''(''x'')}} este graficul funcției {{Math|''f''}}. Pentru o funcție {{Math|''g''}} de două variabile, mulțimea tuturor punctelor {{Math|(''x'', ''y'', ''z'')}}, unde {{Math|1=''z'' = ''g''(''x'', ''y'')}} este graficul funcției {{Math|''g''}}. O schiță a graficului unei astfel de funcții sau relații ar consta din toate părțile importante ale funcției sau relației care ar include [[Maxim și minim|extremele]] sale relative, [[Funcție concavă|concavitatea]] și [[Punct de inflexiune|punctele de inflexiune]], orice punct de discontinuitate și comportamentul său final. Toți acești termeni sunt definiți mai complet în analiza matematică. Astfel de grafice sunt utile în analiza matematică pentru a înțelege natura și comportamentul unei funcții sau relații.

== Note ==
{{Listănote}}

== Bibliografie ==

* {{Citation|last=Brannan|first=David A.|title=Geometry|year=1998|place=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-59787-6|last2=Esplen|first2=Matthew F.|last3=Gray|first3=Jeremy J.}}
* {{Citation|last=Burton|first=David M.|title=The History of Mathematics/An Introduction|year=2011|edition=7th|place=New York|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-338315-6}}
* {{Citation|last=Smart|first=James R.|title=Modern Geometries|year=1998|edition=5th|place=Pacific Grove|publisher=Brooks/Cole|isbn=978-0-534-35188-5}}

== Lectură suplimentară ==

* {{Citat carte|nume=Descartes, René|legătură-autor=René Descartes|an=2001|titlu=Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology|ediție=Revised|editură=Hackett Publishing|locul-publicării=Indianapolis, IN|isbn=978-0-87220-567-3|oclc=488633510|url=https://books.google.com/books?id=XKVvclclrnwC}}
* {{Citat carte|an=1961|titlu=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers|url=https://archive.org/details/mathematicalhand0000korn|editură=McGraw-Hill|locul-publicării=New York|ediție=1st|oclc=19959906|pagini=[https://archive.org/details/mathematicalhand0000korn/page/55 55–79]}}
* {{Citat carte|legătură-autor=Henry Margenau|an=1956|titlu=The Mathematics of Physics and Chemistry|url=https://archive.org/details/mathematicsofphy0002marg|editură=D. van Nostrand|locul-publicării=New York}}
* {{Citat carte|an=1988|capitol=Rectangular Coordinates (x, y, z)|titlu=Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions|ediție=corrected 2nd, 3rd print|editură=Springer-Verlag|locul-publicării=New York|pagini=9–11 (Table 1.01)|isbn=978-0-387-18430-2}}
* {{Citat carte|legătură-autor=Philip M. Morse|legătură-autor2=Herman Feshbach|an=1953|titlu=Methods of Theoretical Physics, Part I|editură=McGraw-Hill|locul-publicării=New York|isbn=978-0-07-043316-8}}
* {{Citat carte|an=1967|titlu=Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs|editură=Springer Verlag|locul-publicării=New York}}

== Legături externe ==

* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/Coordinates.shtml Sistemul de coordonate carteziene] la cut-the-knot.org
* {{mathworld|title=Cartesian Coordinates|urlname=CartesianCoordinates}}
* [http://www.random-science-tools.com/maths/coordinate-converter.htm Coordinate Converter – conversie între coordonate polare, carteziene și sferice]
* [http://www.mathopenref.com/coordpoint.html Coordinates of a point] Instrument interactiv de explorare a coordonatelor unui punct

{{Control de autoritate}}
[[Categorie:Geometrie analitică]]
[[Categorie:René Descartes]]
[[Categorie:Matematică elementară]]
[[Categorie:Pagini cu traduceri nerevizuite]]