Vizualizare sursă pentru „Conică”

[[Fișier:Conic sections 2n.png|right|450px|thumb|Reprezentare grafică 3D a generării conicelor:<br />'''A''': Parabolă<br />'''B''': Cerc și elipsă<br />'''C''': Hiperbole]]
{{DEFAULTSORT:}}
În [[matematică]], o '''conică''' este [[curbă|curba]] care se obține prin intersectarea unui [[plan geometric|plan]] cu un [[con]] (mai exact este vorba de suprafața unui con drept, circular). [[formă|Forma]] acestei curbe poate să difere destul de mult în funcție de poziția planului față de axa conului, deci este vorba de fapt despre o [[familie de curbe]], numite în mod obișnuit „conice”. Ele au fost studiate din [[Antichitate]], de exemplu de [[Apollonius]], în jurul anului 200 î.e.n.

== Tipuri de conice ==
În cazul în care se generează o curbă închisă, aceasta va fi o [[elipsă]] (sau, în cazul particular în care planul este [[perpendicular]] pe axa conului, un [[cerc]]). Altfel, va apărea o [[parabolă]] (dacă planul este paralel cu generatoarea conului) sau o [[hiperbolă]]. În cazul hiperbolei apar de fapt două curbe deschise (uneori una dintre ele este ignorată). În general sunt ignorate de asemenea cazurile în care planul trece prin vârful conului, ori unghiul la vârf al conului este de 90 de grade.

== Reprezentarea în coordonate carteziene ==
În [[coordonate carteziene]], conicele sunt mulțimea punctelor care satisfac următoarea ecuație:
:<math>Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\;</math>.

Atunci:
* dacă <math>B^2 - 4AC < 0</math>, ecuația reprezintă o elipsă (dacă are soluții, de exemplu <math>x^2 + y^2 + 10 = 0 </math> nu are vreo soluție);
** dacă <math>A = C</math> și <math>B = 0</math>, ecuația reprezintă un cerc;
* dacă <math>B^2 - 4AC = 0</math>, o parabolă;
* dacă <math>B^2 - 4AC > 0</math>, ecuația reprezintă o hiperbolă;
** dacă și <math>A + B = 0</math>, o hiperbolă dreaptă.

Notă: A și B sunt doar niște coeficienți [[polinom]]iali, nu lungimile axelor geometrice ale curbelor.
 
Schimbând coordonatele se poate ajunge la ecuațiile binecunoscute ale acestor curbe (restricționate însă la fi simetrice față de una sau ambele axe ale sistemului de coordonate):
* Cerc: <math>x^2+y^2=a^2\,</math>
* Elipsă: <math>{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1</math>
* Parabolă: <math>y^2=4ax\,</math>
* Hiperbolă: <math>{x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=1</math>

Scrise parametrizat, ecuațiile sunt:
* Cerc: <math>(a\cos\theta,a\sin\theta)\,</math>,
* Elipsă: <math>(a\cos\theta,b\sin\theta)\,</math>,
* Parabolă: <math>(a t^2,2 a t)\,</math>,
* Hiperbolă: <math>(a\sec\theta,b\mbox{ tg }\theta)\,</math> sau <math>(\pm a\cosh u,b \sinh u)\,</math>.
== Curbura și excentricitatea ==
Conicele sunt curbe cu rază de curbură variabilă. Raza de curbură se exprimă funcție de [[unghi la centru|unghiul la centru]] și [[excentricitate (matematică)|excentricitate]] în [[coordonate polare]] relativ la reperul raportat la focar
:<math> \qquad r(\theta) = \frac{p}{1+e \cos \theta} \qquad \theta \in\R</math>

Parametrul focal p e redat în tabelul de mai jos:

{| class="wikitable"
! [[secțiune]] conică 
! ecuație
! excentricitate (''e'')
! excentricitate lineară (''c'')
! semi-latus rectum (''ℓ'')
! parametru focal (''p'')
|-
|  [[cerc]]
|| <math>x^2+y^2=r^2 \,</math>
|| <math> 0 \,</math>
|| <math> 0 \,</math>
|| <math> r \,</math>
|| <math> \infty</math>
|-
|  [[elipsă]]
|| <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|| <math>\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}</math>
|| <math>\sqrt{a^2-b^2}</math>
|| <math>\frac{b^2}{a}</math>
|| <math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}</math>
|-
|  [[parabolă]]
|| <math>y^2=4ax \,</math>
|| <math> 1 \,</math>
|| <math> a \, </math>
|| <math> 2a \,</math>
|| <math> 2a \, </math>
|-
|  [[hiperbolă]]
|| <math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>
|| <math>\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}</math>
|| <math>\sqrt{a^2+b^2}</math>
|| <math>\frac{b^2}{a}</math>
|| <math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>
|}
== Vezi și ==
* [[Teorema lui Cramer (curbe algebrice)]]

[[Categorie:Conice| ]]
[[Categorie:Geometrie birațională]]