Vizualizare sursă pentru „Condiția lanțului ascendent”

În [[matematică]] '''condiția lanțului ascendent''' (în {{en|ascending chain condition}}&nbsp;– ACC)<ref name=C1>Cipu, p. 1</ref> și '''condiția lanțului descendent''' (în {{en|descending chain condition}}&nbsp;– DCC)<ref name=C2>Cipu, p. 2</ref> sunt proprietăți privind caracterul finit ale unor [[structură algebrică |structuri algebrice]], cea mai mare importanță având-o pentru [[ideal (teoria inelelor) |idealele]] din anumite [[inel comutativ |inele comutative]].<ref>Hazewinkel, Gubareni, Kirichenko, 2004, p. 6, Prop. 1.1.4</ref><ref>raleigh, Katz, 1967, p. 366, Lema 7.1</ref><ref>Jacobson, 2009, pp. 142, 147</ref> Aceste condiții au jucat un rol important în dezvoltarea teoriei structurii inelelor comutative în lucrările lui [[David Hilbert]], [[Emmy Noether]] și [[Emil Artin]].

Condițiile în sine pot fi enunțate într-o formă abstractă, astfel încât să fie valabile pentru orice {{ill-wd| Q474715||mulțime parțial ordonată}}. Acest punct de vedere este util în teoria dimensiunilor algebrice abstracte datorită lui Gabriel și Rentschler.

== Definiție ==
Se spune că o mulțime parțial ordonată ''P'' satisface ''condiția lanțului ascendent'' (ACC) dacă nu există un șir infinit strict ascendent de elemente din ''P'':<ref name=H580>Hazewinkel, p=580</ref>
: <math>a_1 < a_2 < a_3 < \cdots</math>

Echivalent, orce șir slab ascendent
: <math>a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots,</math>
de elemente din ''P'' se stabilizează în cele din urmă, adică este staționar<ref name=C1/>, ceea ce înseamnă că există un număr întreg pozitiv ''n'' astfel încât
: <math>a_n = a_{n+1} = a_{n+2} = \cdots.</math>

Similar, se spune că ''P'' satisface ''condiția lanțului descendent'' (DCC) dacă nu există un șir infinit descendent de elemente din ''P''.<ref name=H580/> Echivalent, orice șir slab descendent de elemente din ''P''
: <math>a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots</math>
se stabilizează în cele din urmă, adică este staționar.<ref name=C2/> 

=== Comentarii ===
* Admițând {{ill-wd| Q3303153||axioma alegerii dependente}}, condiția lanțului descendent pe mulțimea parțial ordonată (posibil infinită) ''P'' este echivalentă cu faptul că ''P'' este {{ill-wd| Q338021||bine fondată}}: orice submulțime nevidă din ''P'' are un element minim (numit și '''condiția minimală'''). O [[relație de ordine totală |mulțime total ordonată]] care este bine fondată este o mulțime [[bună ordonare |bine ordonată]].
* Similar, condiția lanțului ascendent este echivalentă pentru o ''P'' invers bine fondată (din nou, admițând alegerea dependentă): orice submulțime nevidă din ''P'' are un element maxim (numit și '''condiția maximală''').
* Orice mulțime finită parțial ordonată satisface atât condiția lanțului ascendent cât și cea a lanțului descendent. Prin urmare, este atât bine formată, cât și invers bine formată.

== Exemplu ==
Fie <math>\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}</math> [[inelul numerelor întregi]]. Orice ideal al lui <math>\mathbb{Z}</math> constă din toți multiplii unui număr <math>n</math>. De exemplu, idealul
: <math>I = \{\dots, -18, -12, -6, 0, 6, 12, 18, \dots\}</math>
este format din toți multiplii lui <math>6</math>. Fie
: <math>J = \{\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots\}</math>
idealul format din toți multiplii lui <math>2</math>. Idealul <math>I</math> este conținut în idealul <math>J</math>, deoarece orice multiplu al lui <math>6</math> este și un multiplu al lui <math>2</math>. La rândul său, idealul <math>J</math> este conținut în idealul <math>\{\Z\}</math>, deoarece fiecare multiplu al lui <math>2</math> este un multiplu al lui <math>1</math>. Totuși, în acest moment nu există un ideal mai mare în <math>\{\Z\}</math>.

În general, dacă <math>I_1, I_2, I_3, \dots</math> sunt ideale ale <math>\{\Z\}</math> astfel încât <math>I_1</math> să fie conținut în <math> I_2</math>, <math>I_2</math> este conținut în <math>I_3</math> și așa mai departe, atunci există unele <math>n</math> pentru care toate <math>I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = \cdots</math>. Adică, după un moment dat, toate idealele sunt egale între ele. Prin urmare, idealele lui <math>\{\Z\}</math> satisfac condiția lanțului ascendent, unde idealele sunt ordonate prin includerea mulțimii. Prin urmare, <math>\{\Z\}</math> este un {{ill-wd| Q582271||inel Noetherian}}.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* <!-- Dr. mat. -->Mihai Cipu [http://www.imar.ro/~mcipu/curs.pdf ''Module noetheriene și module artiniene''] (curs), [[Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române]], accesat 2023-11-02
* {{en icon}} {{citation
  | last1=Atiyah | first1=M. F. | author1-link=M. F. Atiyah
  | last2=MacDonald | first2=I. G.
  | title=Introduction to Commutative Algebra
  | publisher=Perseus Books
  | year=1969
  | isbn=0-201-00361-9
  }}
* {{en icon}} {{citation
  | last1=Hazewinkel | first1=Michiel | author1-link=Michiel Hazewinkel
  | last2=Gubareni | first2=Nadiya
  | last3=Kirichenko | first3=V. V.
  | title=Algebras, rings and modules
  | publisher=Kluwer Academic Publishers
  | year=2004
  | isbn=1-4020-2690-0
  }}
* {{en icon}} {{cite book
  | last = Hazewinkel | first = Michiel
  | title=Encyclopaedia of Mathematics
  | publisher=Kluwer
  | isbn=1-55608-010-7
  }}
* {{en icon}} {{citation
  | last1=Fraleigh | first1=John B.
  | last2=Katz | first2=Victor J.
  | title=A first course in abstract algebra
  | publisher=Addison-Wesley Publishing Company
  | edition=5th
  | year=1967
  | isbn=0-201-53467-3
  }}
* {{en icon}} {{citation
  | last1=Jacobson | first1=Nathan | author1-link=Nathan Jacobson
  | title=Basic Algebra I
  | publisher=Dover
  | year=2009 
  | isbn=978-0-486-47189-1
  }}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{cite web |title=Is the equivalence of the ascending chain condition and the maximum condition equivalent to the axiom of dependent choice? |url=https://math.stackexchange.com/q/1746921 }}

[[Categorie:Algebră comutativă]]
[[Categorie:Teoria ordinii]]