Vizualizare sursă pentru „Compus de cinci cuburi”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Compus de cinci cuburi
| image_up = [[Fișier:Compound of five cubes, perspective.png|200px]]
| caption = ([[:Fișier:Compound of five cubes, gray and rgby.gif|animație]])
| type = [[compus poliedric uniform |compus poliedric regulat]]<br/>[[Compus de trei cuburi|UC<sub>08</sub>]] - '''UC<sub>09</sub>''' - [[Compus de patru octaedre cu libertate de rotație|UC<sub>10</sub>]]
| faces = 5 [[pătrat]]e<br/>(vizible ca 360 de [[triunghi]]uri)
| edges = 60
| vertices = 20
| vertex_config = 2(4.4.4)<ref name=bw>[https://bendwavy.org/klitzing/incmats/rhom.htm rhom], bendwavy.org, accesat 2023-08-18</ref>
| face_config = V3.3.3.3
| schläfli =
| coxeter = 2{5,3}[5{4,3}]<ref>Coxeter, ''Regular polytopes'', p. 50</ref>
| symmetry = <nowiki/>
* Compus: [[Simetrie icosaedrică |icosaedrică]] (''I''<sub>h</sub>)
* Constituenți: [[Simetrie tetraedrică#Simetrie_piritoedrică |piritoedrică]] (''T''<sub>h</sub>)
| surface_area =
| volume = 5,000 {{mvar|a}}<sup>3</sup> &nbsp; ({{mvar|a}} = latura)
| dual = [[compus de cinci octaedre]]
| properties = 5 [[cub]]uri
| vertex_figure = Cube vertfig.png
| net =
}}
[[Fișier:Simetria rotacional 04.jpg|thumb|Modelul compusului în dodecaedru]]
În [[geometrie]] '''compusul de cinci cuburi''' este unul dintre cei cinci [[Compus poliedric|compuși poliedrici]] regulați. Acest poliedru poate fi considerat fie o [[fațetare]] a unui [[dodecaedru]] regulat, fie o [[stelare]] a [[triacontaedru rombic |triacontaedrului rombic]]. Acest compus a fost descris pentru prima dată de [[Edmund Hess]] în 1876.

== Compusul ==
Compusul este o fațetare a unui [[dodecaedru]] (unde [[pentagramă |pentagramele]] pot fi văzute corelate cu [[față (geometrie) |fețele]] [[pentagon]]ale). Fiecare [[cub]] are 8 dintre cele 20 de [[vârf (geometrie) |vârfuri]] ale dodecaedrului. Compusul are [[simetrie icosaedrică]] (''I''<sub>h</sub>).
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|rowspan="2"| [[Fișier:Black cube in white dodecahedron.png|120px]]
| [[Fișier:Compound of five cubes, 2-fold.png|120px]]
| [[Fișier:Compound of five cubes, 5-fold.png|120px]]
| [[Fișier:Compound of five cubes, 3-fold.png|120px]]
|-
|colspan="3"| Vederi dinspre axele de simetrie cu 2, 5, respectiv 3 poziții.
|}

Dacă [[formă |forma]] este considerată ca un poliedru simplu, neconvex fără suprafețe care se intersectează, atunci are 360 de fețe (toate [[triunghi]]ulare), 182 de vârfuri (60 de gradul 3, 30 de gradul 4, 12 de gradul 5, 60 de gradul 8 și 20 de gradul 12) și 540 de [[latură (geometrie) |laturi]], dând o [[caracteristică Euler]] de <math>182-540+360=2.</math>

== Aranjamentul laturilor ==
Are în comun dispunerea laturilor cu [[micul icosidodecaedru ditrigonal]], [[marele icosidodecaedru ditrigonal]] și [[dodecadodecaedru ditrigonal |dodecadodecaedrul ditrigonal]]. Cu acestea, poate forma compuși poliedrici care pot fi considerați și [[poliedru stelat uniform |poliedre stelate uniforme]] [[degenerare (matematică) |degenerate]]: [[micul rombicosidodecaedru complex]], [[marele rombicosidodecaedru complex]] și [[rombicosidodecaedru complex |rombicosidodecaedrul complex]].
{| class="wikitable" width="400" style="vertical-align:top; text-align:center"
|[[Fișier:Compound of five cubes.png|120px]]<br/><br/>'''Compus de cinci cuburi'''
|[[Fișier:Spherical compound of five cubes.png|120px]]<br/><br/>Ca [[pavare sferică]]<br/><br/>
|[[Fișier:Small ditrigonal icosidodecahedron.png|120px]]<br/>[[Micul icosidodecaedru ditrigonal]]
|[[Fișier:Great ditrigonal icosidodecahedron.png|120px]]<br/>[[Marele icosidodecaedru ditrigonal]]
|[[Fișier:Ditrigonal dodecadodecahedron.png|120px]]<br/><br/>[[Dodecadodecaedru ditrigonal]]
|}

[[Compus de zece tetraedre |Compusul de zece tetraedre]] poate fi format luând fiecare dintre aceste cinci cuburi și înlocuindu-le cu cele două [[tetraedru |tetraedre]] ale [[stella octangula |stellei octangula]] (care au același [[aranjamentul vârfurilor |aranjament al vârfurilor]] cu un cub).

== Ca stelare ==
Compusul de cinci cuburi poate fi format ca o stelare a [[tricontaedru rombic |tricontaedrului rombic]].<br/>
Cele 30 de fețe rombice există în planele celor 5 cuburi.<br/>
Anvelopa sa convexă este un dodecaedru.
{| class="wikitable" width="400" style="vertical-align:top; text-align:center"
|[[Fișier:Stellation of rhombic triacontahedron 5 cubes facets.png|160px]]<br/>[[Diagramă de stelare |Diagrama de stelare]]<br/>
|[[Fișier:Rhombictriacontahedron.svg|125px]]<br/><br/>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;Nucleul&nbsp;stelării&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;
|[[Fișier:Construction of Rhombic hexecontahedron from Rhombic Triacontahedron.gif|175px]]<br/>stelarea
|[[Fișier:Dodecahedron.png|120px]]<br/><br/>[[Dodecaedru]] ([[anvelopă convexă |anvelopa&nbsp;convexă]])
|}

== Mărimi asociate ==
=== Coordonate carteziene ===
[[Coordonate carteziene |Coordonatele carteziene]] ale [[vârf (geometrie) |vârfurilor]] acestui compus sunt date de
:<math>\,\pm 1,\,\pm 1,\,\pm 1\,)</math>
cu toate permutările [[paritatea unei permutări |pare]] ale
:<math>\left(0,\,\pm\frac{\sqrt5-1}{4},\,\pm\frac{1+\sqrt5}{4}\right)</math>.

=== Volum ===
Următoarea formulă pentru [[volum]] {{mvar|V}} este stabilită pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) {{mvar|a}}:
:<math>V = 5\,a^3 = 5,000000~a^3.</math>

[[Fișier:Icosahedral to octahedral compound of cubes.gif|thumb|Transformarea în dualul său, compusul de cinci octaedre]]
== Dual ==
[[Poliedru dual |Dualul]] său este [[compus de cinci octaedre |compusul de cinci octaedre]]

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation|first=Peter R.|last=Cromwell|title=Polyhedra|location=Cambridge|year=1997}}. p 360
* {{en icon}} {{citation|first=Michael G.|last=Harman|title=Polyhedral Compounds|publisher=unpublished manuscript|year=c. 1974|url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/compounds-harman.html}}.
* {{en icon}} {{citation|first=John|last=Skilling|title=Uniform Compounds of Uniform Polyhedra|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=79|pages=447–457|year=1976|doi=10.1017/S0305004100052440|mr=0397554}}.
* {{en icon}} Cundy, H. and Rollett, A. "Five Cubes in a Dodecahedron." §3.10.6 in ''Mathematical Models'', 3rd ed. Stradbroke, England: Tarquin Pub., pp.&nbsp;135–136, 1989.
* {{en icon}} [[Coxeter|H.S.M. Coxeter]], ''Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{ISBN|0-486-61480-8}}, 3.6 ''The five regular compounds'', pp.47-50, 6.2 ''Stellating the Platonic solids'', pp.96-104

== Vezi și ==
* [[Compus poliedric uniform |Lista compușilor poliedrici uniformi]]
;Compuși regulați
* [[Compus de două tetraedre]]
* [[Compus de cinci tetraedre]]
* [[Compus de zece tetraedre]]
* [[Compus de cinci octaedre]]
;Compuși de cuburi:
* [[Compus de două cuburi]]
* [[Compus de trei cuburi]]
* [[Compus de patru cuburi]]
* [[Compus de șase cuburi]]
* [[Compus de șase cuburi cu libertate de rotație]]

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Compound of five cubes}}
* {{en icon}} [http://mathworld.wolfram.com/Cube5-Compound.html MathWorld: Cube 5-Compound]
:* [http://mathworld.wolfram.com/RhombicTriacontahedronStellations.html MathWorld: Rhombic Triacontahedron Stellations]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/compound-cubes-info.html George Hart: Compounds of Cubes]
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20070102152247/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/polycpd.htm Steven Dutch: Uniform Polyhedra and Their Duals]
* {{en icon}} [http://www.interocitors.com/polyhedra/UCs/09%__5_Cubes.wrl Model VRML]{{Dead link|date=July 2020 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|../incmats/rhom.htm|3D compound|}}
* {{en icon}} [http://www.polytope.net/hedrondude/regcomp3.htm Polyhedron Category C1: Compounds Regulars '''Rhom''']
{{Portal|Matematică}}
{{Stelări ale icosaedrului}}

[[Categorie:Compuși poliedrici|cuburi 5]]
[[Categorie:Poliedre stelate]]