Vizualizare sursă pentru „Complementară”

{{Imagine dublă
|poz=dreapta
|img-st= Venn01.svg
|img-st-marime=160
|com= Dacă {{math|''A''}} este zona colorată cu roșu în această imagine...
|img-dr=Venn10.svg
|img-dr-marime=160
|com-dr=... atunci complementara lui {{math|''A''}} este restul.
}}
În [[teoria mulțimilor]] '''complementara'''<ref><!-- Prof.dr. -->Octavian Agratini, [http://www.math.ubbcluj.ro/~didactica/pdfs/2014/didmath2014-01.pdf ''Asupra noțiunii de convergență statistică''], ''Didactica Mathematica'', vol. 32 (2014), pp. 1–8</ref><ref name=EP><!-- Lect.dr. -->Eugenia <!-- Tulcan- -->Paulescu, [https://physics.uvt.ro/~eugeniat/mate_gen/Cursuri/CURS1-2018.pdf ''Operații cu mulțimi''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230604081638/https://physics.uvt.ro/~eugeniat/mate_gen/Cursuri/CURS1-2018.pdf |date=2023-06-04 }} (curs, 2018), [[Universitatea de Vest din Timișoara]], accesat 2023-06-04</ref><ref name=AZ><!-- Conf.dr.-->Andreea Arusoaie, <!-- Conf.dr. -->Adrian Zălinescu [https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/Mate22-23/Curs01.pdf ''Matematică: Calcul diferențial și integral''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20230604081640/https://profs.info.uaic.ro/~andreea.arusoaie/Mate22-23/Curs01.pdf |date=2023-06-04 }} (curs), [[Universitatea „Alexandru Ioan Cuza” din Iași]], accesat 2023-06-04</ref> sau '''complementul'''<ref name=HNT>[[Horia-Nicolai Teodorescu]], [http://webhost.etc.tuiasi.ro/sibm/Discipline/FIA_Complemente.pdf ''Fundamentele Inteligenței Artificiale – Complemente''] (curs, 2016), [[Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iași]], accesat 2023-06-04</ref><ref name=DI>Denis Ibadula, [http://www.imar.ro/~purice/Inst/2013/lucrare-ibadula.pdf ''Probleme actuale în studiul funcț̦iei zeta Igusa''], imar.ro, accesat 2023-06-04</ref><ref name=MMB><!-- Ș.l.ing. -->Marius Mircea Bălaș, [https://dspace.upt.ro/jspui/bitstream/123456789/4784/1/BUPT_TD_Balas%20Marius%20Mircea.pdf ''Regulatoare fuzzy interpolative adaptive cu aplicații în construcția vagoanelor de călători''] (teză de doctorat, 2001), [[Universitatea Politehnica Timișoara]], accesat 2023-06-04</ref> unei [[mulțime |mulțimi]] {{math|''A''}}, adesea notată cu <math>A^{c}</math> (sau <math>A'</math>),<ref name=":0">{{en icon}} {{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-09-04|website=Math Vault}}</ref><ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Complement and Set Difference|url=http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S6/Complement3.htm|access-date=2020-09-04|website=web.mnstate.edu|archive-date=2021-01-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20210123090320/http://web.mnstate.edu/peil/MDEV102/U1/S6/Complement3.htm|dead-url=yes}}</ref> este mulțimea ale cărei [[element (matematică) |elemente]] nu sunt în {{math|''A''}}.<ref name=":1">{{en icon}} {{Cite web|title=Complement (set) Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/complement-set-.html|access-date=2020-09-04|website=www.mathsisfun.com}}</ref>

Când toate mulțimile luate în considerare sunt considerate [[submulțime |submulțimi]] ale unei mulțimi date {{math|''U''}}, '''complementara absolută''' a lui {{math|''A''}} este mulțimea elementelor din {{math|''U''}}, dar nu din {{math|''A''}}.

'''Complementara relativă''' a lui {{math|''A''}} față de mulțimea {{math|''B''}}, numită și ''diferența'' dintre mulțimile {{math|''A''}} și {{math|''B''}}, notată {{math|''B'' \ ''A''}}, este mulțimea elementelor din {{math|''B''}}, dar nu și din {{math|''A''}}.<ref name=":0" />

== Complementara absolută ==
[[File:Venn1010.svg|thumb|Complementara absolută al {{mvar|A}} (cercul din stânga) în {{mvar|U}}: <math>A^c = U \setminus A</math>.]]

=== Definiție ===
Dacă {{math|''A''}} este o mulțime, atunci ''complementara absolută'' a lui {{math|''A''}} (sau, simplu, ''complementara lui {{math|''A''}}'') este mulțimea elementelor dintr-o mulțime mai mare, elemente care nu se află în {{math|''A''}}. Cu alte cuvinte, fie {{math|''U''}} o mulțime care conține toate elementele în discuție; dacă nu este necesar ca {{math|''U''}} să fie menționată, fie pentru că a fost specificată anterior, fie pentru că este evidentă și unică, atunci complementara absolută a lui {{math|''A''}} este complementara relativă a lui {{math|''A''}} în {{math|''U''}} (mulțimea în care se consideră complementara este menționată implicit într-o complementară absolută și explicit într-o complementară relativă):

: <math>A^c = U \setminus A</math>.

Sau formal:

: <math>A^c = \{ x\in U \mid x \notin A \}.</math>

Complementara absolută a {{math|''A''}} este de obicei notată cu <math>A^c</math>.<ref name=":0" /> Alte notații sunt <math>\overline A</math>, <math>A'</math>,<ref name=":1" /> <math>\complement_U A</math> și <math>\complement A</math>.<ref name="Bou">{{harvnb|Bourbaki|1970|p=E II.6}}.</ref>

=== Exemple ===
* Să presupunem că universul este mulțimea [[număr întreg |numerelor întregi]]. Dacă {{math|''A''}} este mulțimea numerelor impare, atunci complementara lui {{math|''A''}} este mulțimea numerelor pare. Dacă {{math|''B''}} este mulțimea [[Multiplu (matematică) |multiplilor]] de 3, atunci complementara lui {{math|''B''}} este mulțimea numerelor congruente cu 1 sau 2 modulo 3 (sau, în termeni mai simpli, numerele întregi care nu sunt multipli de 3).

* Să presupunem că universul este {{ill-wd| Q3419503}}. Dacă mulțimea {{math|''A''}} cuprinde suita din culoarea de pică, atunci complementul lui {{math|''A''}} este [[reuniune (matematică) |reuniunea]] suitelor de treflă, caro și cupă. Dacă mulțimea {{math|''B''}} este reuniunea suitelor de treflă și caro, atunci complementul lui {{math|''B''}} este reuniunea suitelor de cupă și pică.

=== Proprietăți ===
Fie {{math|''A''}} și {{math|''B''}} două mulțimi din universul {{math|''U''}}. Următoarele identități prezintă proprietăți importante ale complementelor absolute:

[[Relațiile de Morgan]]: (formulate de [[Augustus De Morgan]])<ref name="Halmos-1960" />
* <math>\left(A \cup B \right)^c=A^c \cap B^c.</math>
* <math>\left(A \cap B \right)^c=A^c\cup B^c.</math>

Relațiile complementarelor:<ref name="Halmos-1960" />
* <math>A \cup A^c = U .</math>
* <math>A \cap A^c =\varnothing .</math>
* <math>\varnothing^c =U.</math>
* <math> U^c =\varnothing.</math>
* <math>\text{dacă }A\subseteq B\text{, atunci }B^c\subseteq A^c.</math>
*: (acest lucru rezultă din echivalența unui condițional cu contrapoziția sa)

Relația de [[Involuție (matematică)|involuție]] (complementară dublă):
* <math>\left(A^c\right)^c = A.</math>

Relațiile dintre complementara relativă și cea absolută:
* <math>A \setminus B = A \cap B^c.</math>
* <math>(A \setminus B)^c = A^c \cup B.</math>

Relația cu diferența mulțimilor:
* <math> A^c \setminus B^c = B \setminus A. </math>

Primele două relații de mai sus ale complementarei arată că dacă {{math|''A''}} nu este o [[mulțime vidă]] a unei [[submulțime |submulțimi]] a lui {{math|''U''}}, atunci {{math|{''A'', ''A''<sup>''c''</sup>}{{null}}}} este o [[Partiție (matematică) |partiție]] a lui {{math|''U''}}.

== Complementara relativă ==
[[Fișier:Venn0010.svg|250px|thumb|Complementara relativă a {{math|''A''}} (cercul din stânga) în {{math|''B''}} (cercul din dreapta): <math>B \cap A^c = B \setminus A</math>]]

=== Definiție ===
Dacă {{math|''A''}} și {{math|''B''}} sunt mulțimi, atunci ''complementara relativă'' a lui {{math|''A''}} în {{math|''B''}},<ref name="Halmos-1960">{{harvnb|Halmos|1960|p=17}}.</ref> numit și ''diferența mulțimilor'' {{math|''B''}} și {{math|''A''}},<ref>{{harvnb|Devlin|1979|p=6}}.</ref> este mulțimea elementelor din {{math|''B''}} dar nu din {{math|''A''}}.

Începând din 1992, complementara relativă a {{math|''A''}} în {{math|''B''}}, se notează {{nowrap|{{math|''B'' ∖ ''A''}}}}.<ref name=ISO>{{en icon}} [https://www.iso.org/standard/64973.html ISO 80000-2:2019 Quantities and units – Part 2: Mathematics], care a înlocuit standardul ISO 80000-2:2009, care a înlocuit, la rândul său, standardul ISO 31-11 din 1992, iso.org, accesat 2021-01-24</ref> Uneori este notată {{nowrap|{{math|''B'' − ''A''}}}},<ref name=":0" /> dar această notație este perimată,<ref name=ISO/> fiind ambiguă; în anumite contexte poate fi interpretată ca mulțimea tuturor elementelor {{nowrap|{{math|''b'' − ''a''}}}}, unde {{math|''b''}} este din {{math|''B''}} iar {{math|''a''}} din {{math|''A''}}.

Formal:
: <math>B \setminus A = \{ x\in B \mid x \notin A \}.</math>

=== Exemple ===
* <math>\{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}</math>.
* <math>\{ 2, 3, 4 \} \setminus \{ 1,2,3 \} = \{ 4 \} </math>.
* Dacă <math>\mathbb{R}</math> este mulțmea [[număr real |numerelor reale]] și <math>\mathbb{Q}</math> este mulțimea [[număr rațional |numerelor raționale]], atunci <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> este mulțimea [[număr irațional |numerelor iraționale]].

=== Proprietăți ===
Fie {{math|''A''}}, {{math|''B''}} și {{math|''C''}} trei mulțimi. Următoarele identități prezintă propertățile importante referitoare la complementare:
:* <math>C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)</math>.
:* <math>C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)</math>.
:* <math>C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B)</math>,
::cu importantul caz particular <math>C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)</math> demonstrând că intersecția poate fi exprimată folosind doar noțiunea de complementară relativă.
:* <math>(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)</math>.
:* <math>(B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)</math>.
:* <math>A \setminus A = \empty</math>.
:* <math>\empty \setminus A = \empty</math>.
:* <math>A \setminus \empty = A</math>.
:* <math>A \setminus U = \empty</math>.

== Relația complementară ==
O [[relație binară]] ''R'' este definită ca o submulțime a unui [[produs cartezian| produs al mulțimilor]] ''X'' × ''Y''. ''Relația complementară''  <math>\bar{R}</math> este complementara mulțimii ''R'' în ''X'' × ''Y'' Complementara relației ''R'' poate fi scrisă
:<math>\bar{R} \ = \ (X \times Y) \setminus R .</math>
Aici, ''R'' este adesea privită ca o [[matrice logică]] având pe rânduri elementele lui ''X'' și pe coloane elementele lui ''Y''. „Adevăratul” lui ''aRb'' corespunde cu 1 în rândul ''a'', coloana ''b''. Obținrea relației complementare cu ''R'' corespunde atunci comutării tuturor „1” în „0” și a tuturor „0” în „1” pentru matricea logică a complementarei.

Împreună cu compunerea relațiilor și a relațiilor inverse, relațiile complementare și algebra mulțimilor sunt operațiile elementare ale {{ill-wd|Q1005222||logicii algebrice}}.

== Notații LaTeX ==
În limbajul [[LaTeX]], pentru redarea unui simbol diferență de mulțime, care este similar cu un simbol [[bară oblică la stânga |backslash]] ( \ ) se folosește de obicei comanda <code>\setminus</code>.<ref>{{en icon}} [http://ctan.unsw.edu.au/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf The Comprehensive LaTeX Symbol List] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20220305100117/http://ctan.unsw.edu.au/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf |date=2022-03-05 }}, edu.au, accesat 2021-01-24</ref> La afișare, comanda <code>\setminus</code> arată identic cu <code>\backslash</code>, cu excepția că spațiile dinainte și de după sunt puțin mai mari, asemănătoare cu secvența LaTeX <code>\mathbin{\backslash}</code>. Varianta <code>\smallsetminus</code> este disponibilă în pachetul amssymb.

== În limbaje de programare ==
Unele [[limbaj de programare |limbaje de programare]] au încorporate operații cu [[mulțime (informatică) |mulțimi]] în structurile lor de date. O astfel de structură de date se comportă ca o [[mulțime finită]], adică este alcătuită dintr-un număr finit de date care nu sunt ordonate în mod specific și pot fi astfel considerate ca elementele unei mulțimi. În unele cazuri elementele nu sunt necesare distincte. Aceste limbaje de programare au operații sau funcții pentru calcularea complementarei și a diferenței mulțimilor.

Acești [[operator (informatică)|operatori]] pot fi în general aplicați și structurilor de date care nu sunt mulțimi matematice adevărate, cum ar fi {{ill-wd|Q27948||liste}} ordonate sau {{ill-wd|Q186152||tablouri}}. Rezultă că unele limbaje de programare pot avea o funcție numită <code>set_difference</code> ({{ro|diferență de mulțimi}}), chiar dacă nu au nicio structură de date pentru mulțimi.

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book 
 | last = Bourbaki
 | first = N.
 | author-link = Nicolas Bourbaki
 | title = Théorie des ensembles
 | publisher = Hermann
 | place = Paris
 | year = 1970
 | isbn = 978-3-540-34034-8
 | language = fr
}}
* {{en icon}} {{cite book
 | last = Devlin
 | first = Keith J.
 | title = Fundamentals of contemporary set theory
 | series = Universitext
 | publisher = Springer-Verlag
 | year = 1979
 | isbn = 0-387-90441-7
 | zbl = 0407.04003
}}
* {{en icon}} {{cite book
 | last = Halmos
 | first = Paul R.
 | title = Naive set theory
 | url = https://archive.org/details/naivesettheory0000halm
 | url-access = registration
 | series = The University Series in Undergraduate Mathematics
 | publisher = van Nostrand Company
 | year = 1960
 | zbl = 0087.04403
}}
* {{ro icon}} {{cite book
 | last = Moisil
 | first = Grigore
 | title = Elemente de logică matematică și de teoria mulțimilor
 | url = https://ro.scribd.com/document/345605658/Grigore-Moisil-Elemente-de-Logica-Matematica-Si-de-Teoria-Multimilor
 | publisher = Editura Științifică și Enciclopedică
 | year = 1968
}}

== Vezi și ==
* [[Intersecție (matematică)]]
* [[Reuniune (matematică)]]

== Legături externe  ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [https://mathworld.wolfram.com/Complement.html Complement], ({{ro|Complement}}) la ''MathWorld''
* {{en icon}} [https://mathworld.wolfram.com/ComplementSet.html Complement Set], ({{ro|Mulțime complementară}}) la ''MathWorld''

[[Categorie:Teoria mulțimilor]]
[[Categorie:Operații binare]]