Vizualizare sursă pentru „Cicloidă”

[[Fișier:Cycloid animated.gif|thumb|290px|right|Cicloida (roşu) generată de un cerc care se rostogoleşte]]
O '''cicloidă''' este o [[curbă]] trasată de un punct fix de pe un [[cerc]] care se rostogolește pe o [[dreaptă]].
Este un exemplu de [[ruletă (curbă)|ruletă]], o curbă generată de o curbă care se rostogolește pe o altă curbă.

Cicloida este soluția [[curbă brahistocronă|problemei brahistocrone]] (adică este curba celei mai rapide descendențe sub acțiunea forței gravitaționale) și a [[curbă tautocronă|problemei tautocrone]] (adică perioada de timp în care o bilă care se rostogolește în interiorul ei înainte și înapoi nu depinde de poziția inițială a bilei). 

== Istoric ==
Cicloida a fost studiată de [[Nicolaus Cusanus]] și mai târziu de [[Marin Mersenne|Mersenne]]. A fost denumită astfel de către [[Galileo Galilei|Galileo]] în [[1599]]. În [[1634]], [[Gilles Personne de Roberval]] a arătat că aria de sub cicloidă este de trei ori mai mare decât aria cercului generator. În [[1658]], [[Christopher Wren]] a demonstrat că lungimea unei cicloide este de patru ori mai mare decât diametrul cercului generator. Cicloida a fost numită „Elena geometrilor” deoarece a cauzat certuri frecvente între matematicienii [[secolul al XVII-lea|secolului al XVII-lea]].

== Ecuații ==
:[[Fișier:Cycloid r=2.png|thumb|370px|Graficul unei cicloide generate de un cerc cu raza ''r''=2]]
Cicloida care trece prin origine, creată de un cerc cu raza ''r'', este formată din punctele (''x'',''y'') cu
:<math>x = r(t - \sin t)\,</math>
:<math>y = r(1 - \cos t)\,</math>
unde ''t'' este un parametru real, egal cu unghiul cu care este rotit cercul generator.<ref>''Formular matematic și tehnic pentru elevi, studenți și tehnicieni'', București: Editura Tehnică, 1950, p. 408</ref>

Această curbă este diferențiabilă peste tot cu excepția [[cuspidă|cuspidelor]], unde se intersectează cu axa ''x'', unde derivata tinde spre <math>\infty</math> sau <math>-\infty</math> în timp ce se apropie de cuspidă. Satisface [[ecuație diferențială ordinară|ecuația diferențială]]
:<math>\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}</math>

== Suprafață ==
Un arc al unei cicloide generat de un cerc cu raza <math>r\,</math> poate fi parametrizat 
:<math>x = r(t - \sin t)\,</math>
:<math>y = r(1 - \cos t)\,</math>
cu 
:<math>0 \le t \le 2 \pi</math>.
Deoarece
:<math>\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t)</math>
găsim că aria de sub arc este
:<math>A=\int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt
=\left.  r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi}
=3 \pi r^2.
</math>

== Pendul cicloidal ==
Dacă lungimea sa este egală cu jumătate din lungimea cicloidei, atunci corpul unui [[pendul]] suspendat de cuspida unei cicloide inversate, astfel încât firul rămâne între arcele adiacente cicloidei, descrie, de asemenea, o traiectorie cicloidală. Un astfel de pendul cicloidal este [[izocron]], indiferent de amplitudine.

== Curbe înrudite ==
Există câteva curbe care sunt înrudite cu cicloida. Dacă punctul fix nu se află pe cerc, obținem o '''cicloidă curtată''' și o '''cicloidă prolată'''. În primul caz, punctul care trasează curba se află în interiorul cercului, iar în al doilea caz, în afara lui. O '''[[trohoidă]]''' se referă la orice cicloidă, cicloida curtată și cicloida prolată. Dacă dreapta pe care se rostogolește cercul este înlocuită cu un cerc arbitrar, se obține o '''[[epicicloidă]]''' (un cerc se rostogolește pe exteriorul unui alt cerc, punctul se află pe cercul care se rostogolește), o '''[[hipocicloidă]]''' (un cerc se rostogolește în înteriorul unui alt cerc, punctul se află pe cercul care se rostogolește), o '''[[epitrohoidă]]''' (un cerc se rostogolește pe exteriorul unui alt cerc, punctul se află oriunde, dar fixat, față de cercul care se rostogolește) și o '''[[hipotrohoidă]]''' (un cerc se rostogolește în interiorul unui alt cerc, punctul se află oriunde, dar fixat, față de cercul care se rostogolește).

Aceste curbe sunt [[ruletă (curbă)|rulete]] cu un cerc care se rostogolește de-a lungul unei curbe uniforme. Cicloidele, epicicloidele și hipocicloidele au proprietatea că fiecare este similară cu [[evolută|evoluta]] sa. Dacă ''q'' este produsul curburii cu raza cercului generator, și având semnul ''+'' pentru epi- și ''-'' pentru hipo-, atunci [[omotetie|raportul de similitudine]] dintre curbă și evoluta sa este 1+2''q''.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* Ghatak, A. & Mahadevan, [http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507 ''L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet''], Physical Review Letters, 91, (2003). 
* Weisstein, Eric, [http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html Cicloidă], 25 martie 2005, accesat la 27 aprilie 2007

== Legături externe ==
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/cycloids.shtml Cicloide] la [[cut-the-knot]]
* [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=02260001&seq=9 Un Tratat despre Cicloide și toate formele de Curbe Cicloidale], de Richard A. Proctor, B.A. postat de [http://historical.library.cornell.edu/math/index.html Cornell University Library].
* [http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trocoides.htm Cicloide și trohoide] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091212011141/http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trocoides.htm |date=2009-12-12 }}

[[Categorie:Rulete (curbe)]]