Vizualizare sursă pentru „Cercul celor nouă puncte”

[[Fișier:Triangle.NinePointCircle.svg|thumb|Cercul celor nouă puncte]]
În [[geometrie]], '''cercul celor nouă puncte''' pentru un anumit [[triunghi]] este [[cerc]]ul care unește următoarele puncte importante ale triunghiului:
* mijloacele laturilor acestuia adică picioarele medianelor;
* picioarele [[înălțime (geometrie)|înălțimilor]];
* mijloacele [[segment (geometrie) |segmentelor]] formate din ortocentrul triunghiului și vârfurile acestuia.

Acest cerc se mai numește și cercul lui [[Karl Wilhelm Feuerbach|Feuerbach]], cercul lui [[Euler]], al lui [[Olry Terquem|Terquem]]

==Descoperire==

==Proprietăți==
[[Fișier:Nine-point circle.svg|thumb]]
[[Fișier:9pcircle 04.png|thumb]]
[[Rază|Raza]] cercului celor nouă puncte este de două ori mai mică decât raza [[Cerc circumscris|cercului circumscris]] triunghiului.
:Dacă <math>J, K, L</math> sunt respectiv mijloacele <math>SA, SB, SC</math> atunci <math>\triangle JKL</math> este transformarea <math>\triangle ABC </math> printr-o [[omotetie]] de pol <math>S</math> și raport <math>\dfrac {1} {2}</math>. Ca atare, cum cercul celor nouă puncte este cercul circumscris al <math>\triangle JKL</math>, între raza lui, <math>R'</math> și raza cercului circumscris <math>\triangle ABC</math> există același raport. Deci <math>2R'=R</math>

Cercul celor nouă puncte intersectează orice [[dreaptă]] care trece prin [[ortocentru]] în mijloacele celor două segmente formate de ortocentru și respectiv punctele de intersecție ale dreptei cu [[Cerc circumscris|cercul circumscris]].
:Aceasta este o consecință a relației de omotetie dintre cele două cercuri. Pentru orice punct <math>F</math> de pe Cercul celor nouă puncte, corespondentul lui pe cercul circumscris triunghiului ABC, <math>C(O,R)</math> este punctul <math>{T_1}=(SF \cap C(O,R)</math>
:[[Centrul celor nouă puncte |Centrul cercului celor 9 puncte]], ortocentrul triunghiului, [[centru de greutate|centrul său de greutate]] și centrul cercului circumscris sunt coliniare.<ref name="dekov">{{citation
 | last = Dekov
 | first = Deko
 | journal = Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry
 | title = Nine-point center
 | url = http://eg-journal.comli.com/2007/JCGEG200721.pdf
 | year = 2007
 }}{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> deci
:<math>NO=NH=3NG.</math>

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
* {{en icon}} [http://gogeometry.com/center/nine_point_center_euler.html Nine-Point Center, Nine-Point Circle, Euler Line]


{{Ciot-geometrie}}

[[Categorie:Geometrie plană euclidiană]]
[[Categorie:Cercuri]]