Vizualizare sursă pentru „Cerc înscris și cerc exînscris unui triunghi”

[[Fișier:Incircle and Excircles.svg|thumb|right|250px|Cercul înscris (cu albastru) și cele trei exînscrise (cu portocaliu) ale unui triunghi]]
În [[geometrie|geometria]] [[triunghi]]ului, '''cercul înscris''' într-un triunghi și '''cercurile exînscrise''' unui triunghi sunt [[cerc]]uri [[tangentă (geometrie)|tangente]] tuturor [[latură (geometrie)|laturilor]] triunghiului sau prelungirilor acestora.

== Cercul înscris ==
''Cercul înscris'' într-un triunghi este acel cerc aflat în interiorul triunghiului la intersecția bisectoarelor și căruia toate laturile triunghiului (considerate [[segment (geometrie)|segmente)]], ''nu'' prelungirile acestora) îi sunt tangente.
Este cel mai mare cerc aflat în interiorul triunghiului.

[[Centrul cercului înscris într-un triunghi]] se află la intersecția [[bisectoare]]lor unghiurilor acestuia.

Raza cercului înscris se determină cu formulele:
::<math> r = \frac Sp = 4R \sin \frac {\hat A}{2} \sin \frac {\hat B}{2} \sin \frac {\hat C}{2} =</math>
::<math> = (p-a) \tan \frac {\hat A}{2} = (p-b) \tan \frac {\hat B}{2} = (p-c) \tan \frac {\hat C}{2},  </math>
unde &nbsp;<math>a, b, c </math>&nbsp; sunt lungimile laturilor triunghiului, &nbsp;<math>p = \frac {a+b+c}{2} </math>&nbsp; semiperimetrul, iar &nbsp;<math> S</math>&nbsp; aria triunghiului.

== Cercul exînscris ==
''Cercul exînscris'' este tangent doar uneia dintre laturi (considerată ca segment) și prelungirilor celorlalte două.
Există trei asemenea cercuri.
Astfel, cercul care corespunde vârfului ''A'' are centrul în &nbsp;<math> J_A </math>&nbsp; care este situat la intersecția bisectoarei din ''A'' cu perpendicularele duse la bisectoarele din ''B'' și din ''C''.

Razele cercurilor exînscrise sunt date de:
::<math> r_a = \frac {S}{p-a} = \sqrt {\frac {p(p-b)(p-c)} {p-a} } = p \tan \frac {\hat A}{2}; </math>
::<math> r_b = \frac {S}{p-b} = \sqrt {\frac {p(p-a)(p-c)} {p-b} } = p \tan \frac {\hat B}{2}; </math>
::<math> r_c = \frac {S}{p-c} = \sqrt {\frac {p(p-a)(p-b)} {p-c} } = p \tan \frac {\hat C}{2}. </math>

 
{{Ciot-geometrie}}

[[Categorie:Geometria triunghiului]]
[[Categorie:Cercuri]]