Vizualizare sursă pentru „Centrul cercului înscris într-un triunghi”

[[Fișier:Incircle.svg|thumb|right|200px|Centru cercului înscris într-un triunghi]]
În [[geometria triunghiului]], '''[[centru (geometrie)|centrul]] [[cerc înscris într-un triunghi|cercului înscris într-un triunghi]]''' este un [[punct (geometrie)|punct]] important al [[triunghi]]ului.
Se află la intersecția [[bisectoare]]lor acestuia.

Existența acestuia este remarcată încă din [[antichitate]].

== Exprimare vectorială printr-un vector poziție ==
[[Vector poziție|Vectorul poziție]] al centrului ''I'' al cercului înscris în triunghiul ''ABC'' este dat de:
:<math> \overrightarrow {PI} = \frac {1}{a+b+c} \cdot (a \cdot \overrightarrow {PA} + b \cdot \overrightarrow {PB} + c \cdot \overrightarrow {PC}), </math>
unde &nbsp;<math> a=BC, \; b=CA, \; c=AB </math>&nbsp; sunt lungimile laturilor triunghiului.

''Demonstrație.''
Se notează &nbsp;<math> A', B', C' </math>&nbsp; picioarele bisectoarelor din vârfurile &nbsp;<math> A,B,C. </math>&nbsp;
Conform [[teorema bisectoarei|teoremei bisectoarei]]:
:<math> \frac {A'B}{A'C} = \frac cb, \; \frac {B'C}{B'A} = \frac ac, \; \frac {C'A}{C'B}= \frac ba. </math>

Rezultă că punctul &nbsp;<math> A' </math>&nbsp; împarte [[segment (geometrie) |segmentul]] &nbsp;<math> \overline {BC} </math>&nbsp; în raportul &nbsp;<math> - \frac cb, </math>&nbsp; deci:
:<math> \overrightarrow {AA'} = \frac {1}{1- \left ( - \frac cb \right )} \cdot \left ( \overrightarrow {AB} - \left ( - \frac cb \right ) \overrightarrow {AC}  \right ) </math> adică &nbsp;<math> \overrightarrow {AA'} = \frac {b}{b+c} \overrightarrow {AB} + \frac {c}{b+c} \overrightarrow {AC}. </math>&nbsp;

Din &nbsp;<math> \frac {A'B}{A'C}= \frac cb </math>&nbsp; rezultă &nbsp;<math> \frac {A'B}{A'B+A'C} = \frac {c}{b+c}. </math>&nbsp;
Dar &nbsp;<math> A'B+A'C = a, </math>&nbsp; deci &nbsp;<math> A'B= \frac {ac}{b+c}, \; A'C = \frac {ab}{b+c}. </math>&nbsp;

&nbsp;<math> [BI </math>&nbsp; este [[bisectoare]] în triunghiul &nbsp;<math> ABA', </math>&nbsp; deci aplicând teorema bisectoarei:
:<math> \frac {IA}{IA'} = \frac {BA}{BA'} = c \cdot \frac {b+c}{ac} = \frac {b+c}{a}. </math>

Rezultă că punctul ''I'' împarte segmentul &nbsp;<math> \overline {AA'} </math>&nbsp; în raportul &nbsp;<math> - \frac {b+c}{a} </math>&nbsp; deci

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math> \overrightarrow {PI} = \frac {1}{1- \left (  - \frac {b+c}{a} \right)} \cdot \left ( \overrightarrow {PA} - \left ( - \frac {b+c}{a} \right ) \cdot \overrightarrow {PA'} \right ) </math> </td> <td width="50"> <math> (1) </math> </td> </tr>
</table>

Cum &nbsp;<math> \frac {A'B}{A'C} = \frac cb, </math>&nbsp; rezultă că &nbsp;<math> A' </math>&nbsp; împarte segmentul &nbsp;<math> \overrightarrow {BC} </math>&nbsp; în raportul &nbsp;<math> - \frac cb </math>&nbsp; deci:

:<math> \overrightarrow {PA'} = \frac {1}{1- \left (- \frac {c}{b} \right ) } \cdot \left ( \overrightarrow {PB} - \left ( - \frac cb \right ) \cdot  \overrightarrow {PC}  \right ) </math>

adică:

<table>
<tr> <td width="50"> </td> <td width="450"> <math> \overrightarrow {PA'} = \frac {b}{b+c} \overrightarrow {PB} + \frac {c}{b+c} \overrightarrow {PC}. </math> </td> <td width="50"> <math> (2) </math> </td> </tr>
</table>

Înlocuind (2) în (1), se obține formula din enunț.

== Coordonatele carteziene ==
[[Coordonate carteziene|Coordonatele carteziene]] ale acestui punct sunt:
:<math>\bigg(\frac{a x_a+b x_b+c x_c}{a+b+c},\frac{a y_a+b y_b+c y_c}{a+b+c}\bigg) = \frac{a(x_a,y_a)+b(x_b,y_b)+c(x_c,y_c)}{a+b+c},</math>
unde &nbsp;<math>(x_a,y_a)</math>, <math>(x_b,y_b)</math>&nbsp; și &nbsp;<math>(x_c,y_c)</math>&nbsp; sunt coordonatele vârfului triunghiului.

{{Ciot-geometrie}}

[[Categorie:Geometria triunghiului]]
[[Categorie:Cercuri]]