Vizualizare sursă pentru „Caracteristică Euler”

În [[matematică]], în special în [[topologie algebrică |topologia algebrică]], [[Geometrie discretă și geometrie combinatorică |geometria discretă și cea combinatorică]], '''caracteristica Euler''' (sau '''numărul Euler''', sau '''caracteristica Euler–Poincaré''') este un invariant topologic, un număr care descrie forma sau structura unui spațiu topologic indiferent de modul în care este el îndoit. Este notată în mod obișnuit cu [[Alfabetul grec |litera grecească]] <math> \chi \,</math>(hi).

Caracteristica Euler a fost inițial definită pentru suprafețele [[poliedru |poliedrelor]] și utilizată pentru a demonstra diverse teoreme despre acestea, inclusiv clasificarea [[poliedru platonic |poliedrelor platonice]]. A fost menționată pentru poliedrele platonice în 1537 într-un manuscris nepublicat al lui Francesco Maurolico.<ref>{{en icon}} {{cite book|first= Michael|last=Friedman|publisher=Birkhäuser|year=2018|title=A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins|isbn=978-3-319-72486-7|doi=10.1007/978-3-319-72487-4|page=71}}</ref> [[Leonhard Euler]], al cărui nume îl poartă conceptul, l-a generalizat pentru suprafețele poliedrelor convexe, dar nu a reușit să demonstreze riguros că este un invariant. În matematica modernă, caracteristica Euler apare din [[omologie (matematică) |omologie]] și, mai abstract, din [[algebra omologică |algebră omologică]].

== Poliedre ==
Inițial ''caracteristica Euler'' <math>\chi</math> a fost definită pentru suprafețele poliedrelor, pentru care există relația
:<math>\chi=V-M+F \,</math>
unde ''V'', ''M'', și ''F'' sunt numărul de [[vârf (geometrie) |vârfuri]] (colțuri la 3D), de [[latură (geometrie) |laturi]] (muchii la 3D), respectiv de [[Față (geometrie) |fețe]] ale poliedrului dat. Orice [[poliedru convex]] are caracteristica Euler
:<math>V-M+F=2 \,</math>

Ecuația, stabilită de Euler în 1758,<ref>{{la icon}} {{Cite journal|last=Euler|first=Leonhard|date=1758-01-01|title=Elementa doctrinae solidorum|url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/230|journal=Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae|pages=109–140}}</ref> este cunoscută drept ''formula lui Euler pentru poliedre''.<ref>Richeson 2008</ref> Ea corespunde caracteristicii Euler a [[sferă |sferei]] (adică ''χ''&nbsp;=&nbsp;2), și se aplică ls fel [[poliedru sferic |poliedrelor sferice]]. Tabelul următor ilustrează aplicarea formulei la poliedrele platonice.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Nume
!Imagine
!Vârfuri<br>''V''
!Muchii<br>''M''
!Fețe<br>''F''
!Caracteristica Euler:<br/><math>V-M+F \,</math>
|-
|[[Tetraedru]]
|[[Fișier:tetrahedron.png|100px]]
|4
|6
|4
|'''2'''
|-
|[[Hexaedru]] sau [[cub]]
|[[Fișier:hexahedron.png|100px]]
|8
|12
|6
|'''2'''
|-
|[[Octaedru]]
|[[Fișier:octahedron.png|100px]]
|6
|12
|8
|'''2'''
|-
|[[Dodecaedru]]
|[[Fișier:dodecahedron.png|100px]]
|20
|30
|12
|'''2'''
|-
|[[Icosaedru]]
|[[Fișier:icosahedron.png|100px]]
|12
|30
|20
|'''2'''
|}

Suprafețele poliedrelor neconvexe pot avea diverse caracteristici ale lui Euler:

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Nume
!Imagine
!Vârfuri<br/>''V''
!Muchii<br/>''M''
!Fețe<br>''F''
!Caracteristica Euler:<br/><math>V-M+F \,</math>
|-
|[[Tetrahemihexaedru]]
|[[Fișier:Tetrahemihexahedron.png|100px]]
|6
|12
|7
|'''1'''
|-
|[[Octahemioctaedru]]
|[[Fișier:Octahemioctahedron.png|100px]]
|12
|24
|12
|'''0'''
|-
|[[Cubohemioctaedru]]
|[[Fișier:Cubohemioctahedron.png|100px]]
|12
|24
|10
|'''&minus;2'''
|- align=center
|[[Micul dodecaedru stelat]]
|[[Fișier:Small stellated dodecahedron.png|100px]]
|12
|30
|12
|'''&minus;6'''
|-
|[[Marele dodecaedru stelat]]
|[[Fișier:Great stellated dodecahedron.png|100px]]
|20
|30
|12
|'''2'''
|}

Pentru poliedrele regulate [[Arthur Cayley]] a completat formula lui Euler ținând seama și de [[Densitate (politop)|densitatea]] ''D'', densitatea [[figura vârfului |figurii vârfului]] ''d''<sub>''v''</sub> și densitatea feței <math>d_f</math>:
:<math>d_v V - M + d_f F = 2 D.</math>

Această relație funcționează atât pentru poliedrele convexe (la care toate densitățile au [[valoare (matematică) |valoarea]] 1) cât și pentru [[poliedru Kepler–Poinsot |poliedrele Kepler–Poinsot]], neconvexe.

Toate suprafețele [[poliedru proiectiv |poliedrelor proiective]] au caracteristica Euler 1, ca [[plan proiectiv |planul proiectiv]], în timp ce suprafețele [[poliedru toroidal |poliedrelor toroidale]] au caracteristica Euler 0, ca [[tor]]ul.

=== Grafuri plane ===
Caracteristica Euler poate fi definită pentru [[graf plan |grafurile plane]] conectate prin aceeași formulă <math>V-M+F \,</math> ca la suprafețele poliedrice, unde F este numărul de fețe din graf, inclusiv fața exterioară.

Caracteristica Euler a oricărui graf plan conectat G este 2. Acest lucru este ușor demonstrat prin inducție asupra numărului de fețe determinat de G, începând cu un arbore al cazului de bază. Pentru arbori, <math>M=V-1 \,</math> și <math>F=1</math>. Dacă G are C componente (grafuri deconectate), același [[argument]] prin inducție pe F arată că <math>V-M+F-C=1 \,</math>. Una dintre puținele lucrări despre teoria grafurilor a lui [[Augustin Louis Cauchy |Cauchy]] demonstrează, de asemenea, acest rezultat.

Prin [[proiecție stereografică |proiecția stereografică]], planul se asimilează cu o [[n-sferă|2-sferă]] (sferă bidimensională), astfel încât un graf conectat corespunde unei descompuneri poligonale a sferei, care are caracteristica Euler 2. Acest punct de vedere este implicit în demonstrația lui Cauchy a formulei lui Euler prezentată mai jos.

=== Demonstrația formulei lui Euler ===
[[Fișier:V-E+F=2 Proof Illustration.svg|thumb|300px|<div style="text-align:center">Pașii demonstrației în cazul cubului</div>]]
Există multe demonstrații ale formulei lui Euler. Una a fost dată de Cauchy în 1811, în modul următor. Demonstrația se aplică oricărui poliedru convex și, mai general, oricărui poliedru a cărui [[frontieră (topologie) |frontieră]] este echivalentă topologic cu o sferă și ale cărei fețe sunt echivalente topologic cu discurile.

Se îndepărtează o față a suprafeței poliedrice. Trăgând de marginile feței lipsă. se deformează tot restul într-un graf plan de puncte și curbe, astfel încât perimetrul feței lipsă să fie plasat spre exterior, înconjurând graful obținut, așa cum este ilustrat de primul dintre cele trei grafuri în cazul particular al cubului. (Presupunerea inițială că suprafața poliedrică este homeomorfă cu o sferă este ceea ce face posibil acest lucru.) După această deformare, fețele regulate nu mai sunt în general regulate. Numărul vârfurilor și muchiilor a rămas același, dar numărul fețelor a fost redus cu 1. Prin urmare, demonstrarea formulei lui Euler pentru poliedru se reduce la demonstrarea <math>V-M+F=1 \,</math> pentru acest obiect plan deformat.

Dacă există o față cu mai mult de trei laturi, se desenează o diagonală&nbsp;— adică o curbă pe față care conectează două vârfuri care nu erau încă conectate. Aceasta adaugă o muchie (latură) și o față și nu modifică numărul de vârfuri, deci nu modifică cantitatea <math>V-M+F \,</math>. (Aici este necesară presupunerea că toate fețele sunt discuri, pentru a arăta prin [[teorema curbei Jordan]] că această operație crește numărul fețelor cu una.) Se continuă adăugarea de muchii în acest mod până când toate fețele devin triunghiulare.

Se aplică în mod repetat oricare dintre următoarele două transformări, având grijă ca frontiera grafului să rămână întotdeauna un [[Ciclu (teoria grafurilor) |ciclu]] simplu:
# Se elimină un triunghi cu o singură margine adiacentă la frontieră, așa cum este ilustrat în a doua figură. Acest pas scade numărul de muchii și fețe cu câte una și nu schimbă numărul de vârfuri, astfel încât se păstrează <math>V-M+F \,</math>.
# Se elimină un triunghi cu două margini care sunt adiacente la frontieră, așa cum este ilustrat în a treia figură. Fiecare îndepărtare a triunghiului elimină un vârf, două margini și o față, astfel încât se păstrează <math>V-M+F \,</math>.

Aceste transformări reduc în cele din urmă graful plan la un singur triunghi. (Fără a menține frontiera un ciclu simplu, eliminarea unui triunghi ar putea deconecta triunghiurile rămase, invalidând restul argumentației. O ordine de eliminare validă este cea inversă completării unui [[complex simplicial]].)

În acest moment triunghiul rămas are <math>V=3 \,</math>, <math>M=3 \,</math> și <math>F=1 \,</math>, astfel încât <math>V-M+F=1 \,</math>. Deoarece fiecare dintre cele două etape de transformare de mai sus a păstrat această cantitate, s-a arătat că <math>V-M+F=1 \,</math> pentru obiectul plan deformat, demonstrând astfel că pentru poliedru <math>V-M+F=2 \,</math>. [[Q.E.D.]]

Pentru demonstrații suplimentare, se poate consulta ''Twenty Proofs of Euler's Formula'' ({{ro|Douăzeci de demonstrații ale formulei lui Euler}}) de [[David Eppstein]].<Ref name=Eppstein2013>{{en icon}} {{cite web|last=Eppstein|first=David|title=Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E+F=2|url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/|access-date=3 June 2013}}</ref> Demonstrații multiple, inclusiv defectele și limitările acestora sunt folosite ca exemple în ''Proofs and Refutations'' ({{ro|Dovezi și respingeri}}) de Imre Lakatos.<ref>Imre Lakatos, ''Proofs and Refutations'', Cambridge Technology Press, 1976</ref>

== Definiția topologică ==
Suprafețele poliedrice discutate mai sus sunt, într-un limbaj modern, [[CW complex]]e bidimensionale finite. (Când se utilizează doar fețele triunghiulare, acestea sunt [[complex simplicial |complexe simpliciale]] bidimensionale.) În general, pentru orice CW complex finit caracteristica Euler poate fi definită ca suma alternantă
:<math>\chi = k_0 - k_1 + k_2 - k_3 + \cdots \,</math>
unde ''k''<sub>''n''</sub> este numărul de [[celulă (geometrie) |celule]] de dimensiune ''n'' din complex.

Similar, pentru un complex simplicial caracteristica Euler este dată de suma alternantă
:<math>\chi = k_0 - k_1 + k_2 - k_3 + \cdots \,</math>
unde ''k''<sub>''n''</sub> este numărul de ''n''-simplexuri din complex.

În general, pentru orice [[spațiu topologic]] se poate defini al ''n''-lea [[număr Betti]], ''b''<sub>''n''</sub>, drept al ''n''-lea [[ordin al unui grup abelian |ordin]] al grupului [[omologie singulară |omolog singular]]. Atunci caracteristica Euler poate fi definită ca suma alternantă
:<math>\chi = b_0 - b_1 + b_2 - b_3 + \cdots \,</math>.

Această cantitate este [[expresie bine definită|bine definită]] dacă numerele Betti sunt toate finite și dacă sunt zero dincolo de un anumit index&nbsp;''n''<sub>0</sub>. Pentru complexele simpliciale aceasta nu este aceeași definiție ca în paragraful anterior, dar un calcul al omologiei arată că cele două definiții vor da aceeași valoare pentru <math> \chi \,</math>.

== Proprietăți ==
Caracteristica Euler se comportă bine în raport cu multe operații de bază pe spații topologice, după cum urmează.

=== Invarianța omotopiei ===
Omologia este un invariant topologic și, în plus, un [[invariant omotopic]]: două spații topologice care sunt echivalente omotopic au grupuri [[izomorfism de grup |izomorfe]] de omologie. Rezultă că caracteristica Euler este, de asemenea, un invariant omotopic.

De exemplu, orice [[spațiu contractil]] (adică o omotopie echivalentă cu un punct) are omologie trivială, ceea ce înseamnă că al 0-lea număr Betti este 1 iar celelalte 0. Prin urmare, caracteristica sa Euler este 1. Acest caz include [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]] <math>\mathbb{R}^n</math> din orice dimensiune, precum și [[bilă unitate|bila unitate]] din orice spațiu euclidian&nbsp;— intervalul [[spațiu unidimensional|unidimensional]], discul [[spațiu bidimensional|bidimensional]], bila [[spațiu tridimensional|tridimensională]] etc.

Pentru un alt exemplu, orice poliedru convex este homeomorf cu bila tridimensională, deci suprafața sa este homeomorfă (deci echivalentă omotopic) cu [[sferă |sfera]] bidimensională, care are caracteristica Euler&nbsp;2. Aceasta explică de ce poliedrele convexe au caracteristica 2 a lui Euler.

=== Principiul de includere–excludere ===
Dacă ''M'' și ''N'' sunt două spații topologice, atunci caracteristica Euler a [[mulțimi disjuncte#Reuniuni_și_partiții_disjuncte|reuniunii lor ''disjuncte'']] este suma caracteristicilor lor Euler, deoarece omologia este aditivă la reuniunea disjunctă:
:<math>\chi(M \sqcup N) = \chi(M) + \chi(N).</math>

Mai general, dacă ''M'' și ''N'' sunt subspații ale unui spațiu mai mare ''X'', atunci la fel sunt și reuniunea și intersecția lor. În unele cazuri, caracteristica Euler se supune unei versiuni a [[principiul de includere–excludere |principiului de includere–excludere]]:
:<math>\chi(M \cup N) = \chi(M) + \chi(N) - \chi(M \cap N).</math>

Acest lucru este adevărat în următoarele cazuri:
* Dacă [[interior (topologie) | interioarele]] lui ''M'' și ''N'' din interiorul reuniunii acoperă încă reuniunea.<ref>Edwin Spanier: Algebraic Topology, Springer 1966, p. 205.</ref>
* Dacă ''X'' este un [[spațiu compact local]] și se folosesc caracteristicile lui Euler în spațiul compact, nu sunt necesare alte ipoteze pentru ''M'' sau ''N''.
* dacă ''X'' este un [[spațiu topologic stratificat |spațiu stratificat]] ale cărui straturi sunt echidimensionale, principiul de includere–excludere se aplică dacă ''M'' și ''N'' sunt reuniuni de straturi. Acest lucru se aplică în special dacă ''M'' și ''N'' sunt subvarietăți ale unei [[varietate algebrică |varietăți algebrice]] [[număr complex |complexe]].<ref>{{en icon}} William Fulton: Introduction to toric varieties, 1993, Princeton University Press, p. 141.</ref>

Dar principiul de includere–excludere nu se aplică în general. Un [[contraexemplu]] se obține considerând ''X'' [[dreapta reală]], ''M'' o [[submulțime]] formată dintr-un singur punct și ''N'' [[complement (matematică) |complementul]] lui ''M''.

=== Suma obiectelor conexe ===
Pentru două ''n''-varietăți închise conexe <math>M, N</math> se poate obține o nouă varietate conexă <math>M \# N</math> prin operația de [[sumă conexă |însumare conexă]]. Caracteristica Euler este dată de formula<ref>{{en icon}} {{cite web
 | url = http://topospaces.subwiki.org/wiki/Homology_of_connected_sum
 | title = Homology of connected sum
 | access-date = 2016-07-13
}}</ref>

:<math> \chi(M \# N) = \chi(M) + \chi(N) - \chi(S^n).</math>

=== Proprietatea produsului ===
De asemenea, caracteristica Euler a oricărui [[topologia produsului |produs spațial]] ''M'' &times; ''N'' este
:<math>\chi(M \times N) = \chi(M) \cdot \chi(N).</math>

Aceste proprietăți de [[adunare]] și [[înmulțire (matematică) |înmulțire]] se bucură și de [[Număr cardinal |cardinalitatea]] [[mulțime |mulțimilor]]. În acest fel, caracteristica Euler poate fi privită ca o generalizare a cardinalității.<ref>John Baez, [http://math.ucr.edu/home/baez/counting/ ''The Mysteries of Counting: Euler Characteristic versus Homotopy Cardinality''], math.ucr.edu, 14 iulie 2005, accesat 2021-02-13</ref>

=== Spații de acoperire ===
În mod similar, pentru un [[spațiu de acoperire]] cu ''k''-foi <math>\tilde{M} \to M,</math> acesta are
:<math>\chi(\tilde{M}) = k \cdot \chi(M).</math>

Mai general, pentru un spațiu de acoperire [[ramificare (matematică) |ramificat]], caracteristica Euler a acoperirii poate fi calculată din cele de mai sus, cu un factor de corecție pentru punctele de ramificare, care duce la [[formula Riemann–Hurwitz]].

=== Proprietatea de fibrare ===
Proprietatea produsului este mult mai generală, pentru [[fibrare |fibrări]] cu anumite condiții.

Dacă <math>p\colon E \to B</math> este o fibrare cu fibra ''F'' și baza ''B'' [[spațiu conex |conexă]], iar fibrarea este orientabilă în domeniul ''K,'' atunci caracteristica Euler cu coeficienți în domeniul ''K'' satisface proprietatea produsului:<ref>{{en icon}} {{citation
|title=Algebraic Topology
|first=Edwin Henry
|last=Spanier
|publisher=Springer
|year=1982
|isbn=978-0-387-94426-5
|url=https://books.google.com/?id=h-wc3TnZMCcC
}}, [https://books.google.com/books?id=h-wc3TnZMCcC&pg=PA481 Applications of the homology spectral sequence, p. 481]</ref>
:<math>\chi(E) = \chi(F)\cdot \chi(B).</math>

Aceasta include produsele spațiale și spațiile de acoperire ca fiind cazuri particulare și poate fi demonstrată prin [[secvență spectrală Serre |secvența spectrală Serre]] privind omologia unei fibrări.

Pentru pachetele de fibre, acest lucru poate fi înțeles și în termenii unei aplicații de transfer <math>\tau\colon H_*(B) \to H_*(E)</math>&nbsp;— de reținut că aceasta este o ridicare și merge „pe o cale greșită”&nbsp;— a cărei compunere prin aplicația de proiecție <math>p_*\colon H_*(E) \to H_*(B)</math> este înmulțirea cu caracteristica Euler a fibrei:<ref>{{en icon}} {{citation
|title=Fibre bundles and the Euler characteristic
|first=Daniel Henry
|last=Gottlieb
|journal=Journal of Differential Geometry
|volume=10
|issue=1
|year=1975
|pages=39–48
|url=http://www.math.purdue.edu/~gottlieb/Bibliography/17FibreBundlesAndtheEulerCharacteristic.pdf
}}</ref>
:<math>p_* \circ \tau = \chi(F) \cdot 1.</math>

== Exemple ==
=== Suprafețe ===
Caracteristica Euler poate fi calculată cu ușurință pentru suprafețe, echivalând suprafața cu un poligon (cu un CW complex) și utilizând definițiile de mai sus.

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Nume
!Imagine
!Caracteristica Euler
|-
|[[Segment (geometrie) |Segment]]
|[[Fișier:Complete graph K2.svg|100px]]
|'''1'''
|-
|[[Cerc]]
|[[Fișier:Cirklo.svg|100px]]
|'''0'''
|-
|[[Disc unitate |Disc]]
|[[Fișier:Disc Plain grey.svg|100px]]
|'''1'''
|-
|[[Sferă]]
|[[Fișier:Sphere-wireframe.png|100px]]
|'''2'''
|-
|[[Tor]] <br/> (Produs a două cercuri)
|[[Fișier:Torus illustration.png|100px]]
|'''0'''
|-
|[[Tor dublu]]
|[[Fișier:Double torus illustration.png|100px]]
|'''&minus;2'''
|-
|[[Tor triplu]]
|[[Fișier:Triple torus illustration.png|100px]]
|'''&minus;4'''
|-
|[[Plan proiectiv real]]
|[[Fișier:Steiners Roman.png|100px]]
|'''1'''
|-
|[[Bandă Möbius]]
|[[Fișier:MobiusStrip-01.svg|100px]]
|'''0'''
|-
|[[Sticla lui Klein]]
|[[Fișier:KleinBottle-01.png|100px]]
|'''0'''
|-
|Două sfere (neconexe)<br/>(Reuniune disjunctă a două sfere)
|[[Fișier:2-spheres.png|200x200px]]
|2 + 2 = '''4'''
|-
|Trei sfere (neconexe)<br/>(Reuniune disjunctă a trei sfere)
|
|2 + 2 + 2 = '''6'''
|}

=== Mingea de fotbal ===
Uzual, [[minge de fotbal |mingea de fotbal]] este construită prin îmbinarea de piese pentagonale și hexagonale, cu câte trei piese care se întâlnesc în fiecare vârf (vezi de exemplu [[Adidas Telstar]]). Dacă se folosesc {{mvar|P}} pentagoane și {{mvar|H}} hexagoane, atunci există <math>F=P+H \,</math> fețe, <math>V=(5 P+6 H)/3 \,</math> vârfuri și <math>M= (5 P + 6 H)/2 \,</math> muchii. Astfel, caracteristica Euler este
:<math>V-M+ F = \frac{5P + 6H}{3} - \frac{5P + 6H}{2} + P + H = \frac{P}{6}.</math>

Deoarece caracteristica Euler a sferei este 2, rezultă că {{mvar|P}}&nbsp;=&nbsp;12. De aceea mingea de fotbal are întotdeauna 12 pentagoane. În principiu, numărul de hexagoane nu este limitat. O considerație analoagă se poate face la [[fulerene]] și la [[poliedru Goldberg |poliedrele Goldberg]].

=== În dimensiuni oarecare ===
Sfera ''n''-dimensională are [[grup de omologie |grupuri de omologie]] singulare egale cu
:<math>H_k(S^n) = \begin{cases} \mathbb Z & k=0, n \\ \{0\} & \text{altfel,} \end{cases}</math>
prin urmare are numărul Betti 1 în dimensiunile 0 și ''n'', iar toate celelalte numere Betti sunt 0. Caracteristica sa Euler este atunci <math>1+(-1)^n \,</math> adică fie 0, fie 2

Spațiul proiectiv real ''n''-dimensional este câtul dintre ''n''-sferă și aplicația antipodală (cu doi poli). Rezultă că caracteristica sa Euler este exact jumătate din sfera corespunzătoare, adică fie 0, fie 1.

Torul ''n''-dimensional este produsul spațial al ''n'' cercuri. Caracteristica sa Euler este 0, după proprietatea produsului. Mai general, orice [[varietate paralelizabilă]] compactă, incluzând orice [[grup Lie]] compact, are caracteristica Euler 0.<ref>John Milnor, James D. Stasheff, ''Characteristic Classes'', Princeton University Press, 1974</ref>

Caracteristica Euler a oricărei varietăți închise cu o dimensionalitate impară este și ea 0.<ref>Richeson 2008, p. 261</ref> Cazul exemplelor orientabile este un corolar al [[dualitate Poincaré |dualității Poincaré]]. Această proprietate se aplică mai general oricărui spațiu stratificat compact, toate aceste straturi având o dimensionalitate impară. De asemenea, se aplică și varietăților închise neorientabile cu dimensionalitate impară, prin intermediul celor 2-la-1 suprafețe dublu orientabile.

== Relațiile cu alți invarianți ==
Caracteristica Euler a unei suprafețe închise orientabile poate fi calculată din [[gen (matematică) |genul]] ''g'' (numărul de [[tor |toruri]] dintr-o descompunere de tip sumă conexă a suprafeței, intuitiv numărul „găuri”) ca
:<math>\chi = 2 - 2g \,</math>.

Caracteristica Euler a unei suprafețe neorientabile închise poate fi calculată din genul său neorientabil ''k'' (numărul de plane proiective reale într-o descompunere de tip sumă conexă a suprafeței) ca
:<math>\chi = 2 - k.</math>

Pentru varietățile netede închise, caracteristica Euler coincide cu caracteristica Euler al [[fibrat tangent |fibratului tangent]] evaluat pe [[clasă fundamentală |clasa fundamentală]] a unei varietăți. La rândul său, clasa Euler este legată de toate celelalte [[clasă caracteristică |clase caracteristice]] ale [[fibrat vectorial |fibratelor vectoriale]].

Pentru [[varietate Riemanniană |varietățile Riemanniene]] închise, caracteristica Euler poate fi găsită și prin integrarea curburii; a se vedea [[teorema Gauss–Bonnet]] pentru cazul bidimensional și teorema Gauss–Bonnet generalizată pentru cazul general.

Un analog discret al teoremei Gauss–Bonnet este teorema René Descartes despre [[deficit unghiular |deficitul unghiular total]] al unui poliedru, măsurat în cercuri complete, este caracteristica Euler a poliedrului.

[[Teorema lui Hadwiger]] caracterizează caracteristica Euler ca fiind ''unicul'' ([[până la]] [[produs scalar |produsul scalar]]) invariant la translație, finit aditiv, o funcție pe mulțimi nu neapărat nenegativă, definită pe reuniuni finite din spațiul compact al mulțimilor convexe din '''R'''<sup>''n''</sup> care este „omogen de gradul 0”.

== Generalizări ==
Pentru fiecare [[complex de celule]] combinatoric, finit, se definește caracteristica Euler drept numărul de 0-celule, minus numărul de 1-celule, plus numărul de 2-celule etc. În particular, caracteristica Euler a unei mulțimi finite este pur și simplu cardinalitatea sa, iar caracteristica Euler a unui [[graf]] este numărul de vârfuri minus numărul de muchii.<ref>Olaf Post numește asta "o binecunoscută formulă": {{en icon}} {{citation|first=Olaf|last=Post|contribution=Spectral analysis of metric graphs and related spaces|title=Limits of graphs in group theory and computer science|location=Lausanne, Switzerland|publisher=EPFL Press|year=2009|pages=109–140|arxiv=0712.1507 |bibcode=2007arXiv0712.1507P}}.</ref>

Mai general, se poate defini caracteristica Euler a oricărui lanț de complexe drept suma alternativă a ordinelor grupurilor de omologie ale lanțului de complexe, presupunând că toate aceste ordine sunt finite.<ref>nLab, "[https://ncatlab.org/nlab/show/Euler+characteristic Euler characteristic]"</ref>

Conceptul de caracteristică Euler a unei mulțimi parțial ordonate mărginite și finite este o altă generalizare, importantă în [[combinatorică]]. O mulțime parțial ordonată este „mărginită” dacă are cele mai mici și mai mari elemente; numite 0 și 1. Caracteristica Euler a unei astfel de mulțimi parțial ordonate este definită drept întregul ''μ''(0,1), unde ''μ'' este [[funcția Möbius]] din [[algebră de incidență |algebra de incidență]]. Acest lucru poate fi generalizat în continuare.<ref>{{en icon}} Tom Leinster, "[http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-13/02.pdf The Euler characteristic of a category] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140606220358/http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-13/02.pdf |date=2014-06-06 }}", ''Documenta Mathematica'', 13 (2008), pp.&nbsp;21– 49</ref>

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
*{{en icon}} David Richeson, ''Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology''. Princeton University Press 2008.

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} Flegg, H. Graham, ''From Geometry to Topology'', Dover 2001, p.&nbsp;40.

== Legături externe ==
* {{en icon}} {{Youtube|80EazC2_0Qo}} O demonstrație animată a formulei lui Euler în geometria sferică.
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=EulerCharacteristic | title=Euler characteristic }}
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=PolyhedralFormula | title=Polyhedral formula }}
* {{en icon}} S.V. Matveev, [https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_characteristic&oldid=16333 ''Euler characteristic''], ''Encyclopedia of Mathematics'', Springer, 1994, 2001

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Topologie algebrică]]
[[Categorie:Combinatorică poliedrică]]
[[Categorie:Articole care conțin demonstrații]]
[[Categorie:Leonhard Euler]]