Vizualizare sursă pentru „Calcul diferențial”

[[Fișier:Tangent to a curve.svg|thumb|[[Graficul unei funcții]], desenat cu negru, și o [[dreaptă]] [[tangentă  (geometrie) |tangentă]] la acea [[funcție]], desenată cu roșu. Panta dreptei tangente este egală cu [[derivată |derivata]] funcției în [[punct (geometrie) |punctul]] marcat]]
În [[matematică]] '''calculul diferențial''' este un subdomeniu al [[calcul infinitezimal |calculului infinitezimal]] care studiază variațiile locale ale [[funcție |funcțiilor]].<ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Definition of DIFFERENTIAL CALCULUS|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/differential+calculus|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2020-05-09}}</ref> Este una dintre cele două ramuri tradiționale ale calculului infinitezimal, cealaltă fiind [[integrală |calculul integral]], care studiază [[arie |aria]] de sub o [[curbă]].<ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Definition of INTEGRAL CALCULUS|url=https://www.merriam-webster.com/dictionary/integral+calculus|website=www.merriam-webster.com|language=en|access-date=2020-05-09}}</ref>

Obiectele principale de studiu ale calculului diferențial sunt [[derivată |derivata]] unei funcții, noțiuni înrudite precum {{ill-wd| Q750432|diferențiala unei funcții|diferențiala}} și aplicațiile acestora. Derivata unei funcții la o [[valoare (matematică) |valoare]] a [[argumentul unei funcții |argumentului]] descrie variația funcției în apropierea acelui punct. Procesul de găsire a unei derivate se numește ''derivare''<ref>{{Dexonline|derivare}}</ref> sau ''diferențiere''<ref>{{Dexonline|diferențiere}}</ref>. Geometric, derivata dintr-un punct este [[pantă |panta]] [[tangentă (geometrie) |tangentei]] la [[graficul unei funcții |graficul funcției]] în acel punct, cu condiția ca derivata să existe și să fie definită în acel moment. Pentru o [[funcție reală de variabilă reală |funcție reală de o singură variabilă reală]], derivata într-un punct este în general cea mai bună [[aproximare liniară]] a funcției în acel punct.

Calculul diferențial și calculul integral sunt conectate prin [[teorema fundamentală a calculului integral]], care afirmă că diferențierea este procesul invers față de [[integrală |integrare]].

Diferențierea are aplicații în aproape toate disciplinele cantitative. În [[fizică]], derivata [[deplasare (geometrie) |deplasării]] unui [[corp (fizică) |corp]] în mișcare în funcție de [[timp]] este [[viteză |viteza]] corpului, iar derivata vitezei în funcție de timp este [[accelerație |accelerația]]. Derivata [[impuls]]ului unui corp în funcție de timp este egală cu [[forță |forța]] aplicată corpului; rearanjarea acestei afirmații derivate duce la celebra ecuație '''{{mvar|1=F = ma}}''' asociată cu [[Legile lui Newton#Principiul_al_II-lea_al_mecanicii |a doua lege a mișcării a lui Newton]]. [[Viteză de reacție |Viteza de reacție]] a unei [[reacție chimică |reacții chimice]] este o derivată. În {{ill-wd| Q194292||cercetarea operațională}}, derivatele indică cele mai eficiente modalități de transport a materialelor și de proiectare a fabricilor.

Derivatele sunt utilizate frecvent pentru a găsi [[maxim și minim |maximele și minimele]] unei funcții. Ecuațiile care conțin derivate se numesc [[ecuație diferențială |ecuații diferențiale]] și sunt fundamentale în descrierea fenomenelor naturale. Derivatele și generalizările lor apar în multe domenii ale matematicii, cum ar fi [[analiză complexă |analiza complexă]], [[Analiză funcțională|analiza funcțională]], [[geometrie diferențială |geometria diferențială]], [[măsură (matematică) |teoria măsurării]] și [[algebră abstractă |algebra abstractă]]. 

== Istoric ==
Noțiunea de derivată în sensul unei tangente este unul foarte veche, familiară matematicienilor [[Grecia Antică| antici greci]], cum ar fi [[Euclid]] (c. 300 î.Hr.), [[Arhimede]] (c. 287–212 î.Hr.) și [[Apollonius din Perga]] (c. 262–190 î.Hr.).<ref>v. [[Elementele]] lui Euclid, [[Manuscrisul lui Arhimede]] și Apollonius of Perga la [[MacTutor History of Mathematics archive]]</ref>

Dezvoltarea modernă a calculului este de obicei atribuită lui [[Isaac Newton]] (1643–1727) și [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1646–1716), care au oferit independent{{efn|Newton și-a început munca în 1665, iar Leibniz a început a lui în 1676. Totuși, Leibniz a publicat prima sa lucrare în 1684, înainte de publicația lui Newton în 1693. Este posibil ca Leibniz să fi văzut schițe ale lucrării lui Newton în 1673 sau 1676, sau ca Newton să fi folosit lucrările lui Leibniz pentru a-și perfecționa propria sa lucrare. Atât Newton, cât și Leibniz au susținut că celălalt a plagiat lucrările respective. Acest lucru a dus la o controversă între ei cu privire la cine a inventat primul calculul infinitezimal.}} și abordări unificate ale diferențierii și derivatelor. Însă ceea ce a făcut să fie considerați creatori a fost teorema fundamentală a calculului infinitezimal, care face legătura între diferențiere și integrare: aceasta a făcut ca majoritatea metodelor anterioare de calculare a suprafețelor și volumelor să fie învechite.{{efn|Aceasta a fost o realizare monumentală, chiar dacă o versiune restrânsă fusese demonstrată anterior de [[James Gregory (matematician) |James Gregory]] (1638–1675), iar câteva exemple cheie pot fi găsite într-o lucrare a lui [[Pierre de Fermat]] (1601–1665).}} Pentru ideile lor despre derivate, atât Newton, cât și Leibniz s-au bazat pe lucrări anterioare ale unor matematicieni precum [[Pierre de Fermat]] (1607–1665), [[Isaac Barrow]] (1630–1677), [[René Descartes]] (1596–1650), [[Christiaan Huygens]] (1629–1695), [[Blaise Pascal]] (1623–1662) și [[John Wallis]] (1616–1703). În ceea ce privește influența lui Fermat, Newton a scris odată într-o scrisoare că „''Am avut indiciu al acestei metode [de fluxiuni] din modul lui Fermat de a trasa tangente și, aplicând-o la ecuații abstracte, direct și invers, am generalizat-o''”<ref name=Sabra>{{en icon}} {{cite book | last = Sabra | first = A I.|title=Theories of Light: From Descartes to Newton | publisher = Cambridge University Press | year = 1981 | page = 144 | isbn = 978-0521284363}}</ref> Isaac Barrow este menționat în dezvoltarea timpurie a derivării.<ref>{{en icon}} Eves, Howard (1990) ''An Introduction to the History of Mathematics'', Saunders College Pub., {{ISBN| 978-003-029558-4}}</ref> Totuși, Newton și Leibniz rămân figuri cheie în istoria diferențierii, pentru că Newton a fost primul care a aplicat diferențierea în [[fizică teoretică |fizica teoretică]], în timp ce Leibniz a dezvoltat sistematic o mare parte din notațiile folosite și astăzi.

În secolul al XIX-lea, calculul infinitezimal a fost pus pe o bază mult mai riguroasă de către matematicieni precum [[Augustin Louis Cauchy]] (1789–1857), [[Bernhard Riemann]] (1826–1866) și [[Karl Weierstrass]] (1815–1897). Tot în această perioadă s-a generalizat diferențierea în [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]] și [[planul complex]].

== Derivată ==
{{Articol principal|Derivată}}
[[Fișier:Curve with tangent line.png|thumb|Graficul unei funcții arbitrare <math>y=f(x)</math>. Dreapta portocalie este tangentă la <math>x=a</math>, adică exact în acel punct panta curbei și a dreptei sunt egale.]]
[[Fișier:Tangent function animation.gif|thumb|Derivata în diferitele puncte ale unei functii derivabile]]
Derivata lui <math>f(x)</math> în punctul <math>x=a</math> este [[pantă |panta]] tangentei la <math>(a,f(a))</math>.<ref>{{en icon}} {{Cite book|last=Alcock|first=Lara|title=How to Think about Analysis|publisher=Oxford University Press|year=2016|isbn=978-0-19-872353-0| location=New York|pages=155–157}}</ref> Intuitiv, trebuie mai întâi familiarizarea cu panta unei ecuații liniare, scrisă sub forma <math>y=mx+ b</math>. Poate fi găsită prin alegerea oricăror două puncte și făcând raportul dintre variația lui <math>y</math> și variația lui <math>x</math>, ceea ce înseamnă că <math>\text{panta} =\frac{\text{variatia lui }y}{\text{variatia lui }x}</math>. Graficul lui <math>y=-2x+13</math> are o pantă de <math>-2</math>, așa cum se arată în figura de mai jos:
[[Fișier:The graph of y=-2x+13.png|none|thumb|Graficul lui <math>y=-2x+13</math>]]
:<math>\frac{\text{variatia lui }y}{\text{variatia lui }x}=\frac{-6}{+3}=-2</math>

Prescurtat, <math>\frac{\text{variatia lui }y}{\text{variatia lui }x}</math> se scrie adesea drept <math>\frac{\Delta y}{\Delta x}</math>, <math>\Delta</math> fiind majuscula grecească ''delta'', care înseamnă „variație”. Panta unei ecuații liniare este constantă, ceea ce înseamnă că panta este aceeași peste tot. Totuși, multe grafice, cum ar fi cel pentru <math>y=x^2</math>, variază în ceea ce privește panta. Aceasta înseamnă că nu se mai pot alege două puncte arbitrare pentru calculul pantei. În schimb, panta graficului poate fi calculată luând în considerare drepta tangentă&nbsp;— o dreaptă care „doar atinge” un anumit punct.{{efn|Aceasta nu este o definiție formală a ceea ce este o tangentă. Definirea derivatei ca limită face riguroasă această noțiune de dreaptă tangentă.}} Panta unei curbe într-un anumit punct este egală cu panta tangentei în acel punct.
{{-}}
[[Fișier:Graph of the function f(x)=x^2 with a tangent line drawn to (2,4).png|thumb|Graficul lui <math>y=x^2</math>, cu o dreaptă care este tangentă în <math>(2,4)</math>. Panta tangentei este egală cu <math>4</math>.<br/>(axele graficului sunt la scara 1:1.)]]
De exemplu <math>y=x^2</math> are o pantă de <math>4</math> în <math>x=2</math>, deoarece panta dreptei tangente la acel punct este egală cu <math>4</math>:
Derivata unei funcții este pur și simplu panta acestei tangente.{{efn|Este ușor de înțeles intuitiv ce este o funcție. O funcție are o intrare (valoarea argumentului) și produce o ieșire (valoarea funcției).}} De exemplu, funcția <math>f(x)=x^2</math> ridică la pătrat valoarea argumentului. Numărul care indică punctul de pe [[abscisă]] în care funcția efectuează o operație este adesea reprezentat folosind litera <math>x</math>, dar nu există nicio diferență între scrierea <math>f(x)=x^2</math> și scrierea <math>f(y)=y^2</math>. Chiar dacă tangenta atinge doar un singur punct în punctul de tangență, ea poate fi aproximată printr-o dreaptă care trece prin două puncte. Aceasta este cunoscută sub numele de [[secantă]]. Dacă cele două puncte prin care trece linia secantă sunt apropiate unul de celălalt, atunci secanta seamănă foarte mult cu tangenta, ca urmare panta ei este și ea foarte asemănătoare.

[[Fișier:Tangent line versus secant line.png|thumb|Linia punctată trece prin punctele <math>(2,4)</math> și <math>(3,9)</math>, care se află ambele pe curba <math>y=x^2</math>. Deoarece aceste două puncte sunt destul de apropiate, dreapta punctată și tangenta au o pantele apropiate. Pe măsură ce cele două puncte se apropie unul de celălalt, eroarea produsă de secantă devine extrem de mică.]]
Avantajul utilizării secantei este că panta acesteia poate fi calculată direct. Fie două puncte din grafic <math>(x,f(x))</math> și <math>(x+\Delta x,f(x+\Delta x))</math>, unde <math>\Delta x</math> este mic. Ca și înainte, panta dreptei care trece prin aceste două puncte poate fi calculată cu formula:
:<math>\text{panta} = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math>.
Asta dă
:<math>\text{panta} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>

Pe măsură ce <math>\Delta x</math> se apropie din ce în ce mai mult de <math>0</math>, panta secantei se apropie din ce în ce mai mult de panta tangentei. Acest lucru este scris formal drept
:<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>

Expresia de mai sus înseamnă „pe măsură ce <math>\Delta x</math> se apropie din ce în ce mai mult de 0, panta secantei se apropie din ce în ce mai mult de o anumită valoare”. Valoarea care este aproximată este derivata lui <math>f(x)</math>; aceasta poate fi scrisă ca <math>f^{\prime}(x)</math>. Dacă <math>y=f(x)</math>, derivata poate fi scrisă și ca <math>\frac{dy}{dx}</math>, cu <math>d</math> reprezentând o variație infinitezimală. De exemplu, <math>dx</math> reprezintă o variație infinitezimală a lui {{mvar|x}}.{{efn|Termenul „infinitezimal” poate determina uneori oamenii să creadă în mod greșit că există un „număr infinit de mic”&nbsp;— adică un număr real pozitiv care este mai mic decât orice alt număr real. De fapt, termenul „infinitezimal” este doar o prescurtare pentru un proces la limită. Din acest motiv, <math>\frac{dy}{dx}</math> nu este o fracție, ci mai degrabă este limita unei fracții.}} În rezumat, dacă <math>y=f(x)</math>, atunci derivata lui <math>f(x)</math> este
:<math>\frac{dy}{dx}=f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>
cu condiția să existe o astfel de limită.<ref>{{en icon}} {{MathWorld |title=Derivative |urlname=Derivative}}</ref>{{efn|Nu orice funcție poate fi diferențiată, de aceea definiția se aplică numai dacă „limita există”.}} Prin definirea corectă a derivatei unei funcții, „panta dreptei tangente” are acum un sens matematic precis. Diferențierea unei funcții folosind definiția de mai sus este cunoscută ca diferențiere pe baza principiului inițial. Iată o demonstrație, folosind diferențierea conform principiului inițial, că derivata lui <math>y=x^2</math> este <math>2x</math>:

:<math>
\begin{align}
\frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}2x+\Delta x \\
\end{align}
</math>

Pe măsură ce <math>\Delta x</math> se apropie de <math>0</math>, <math>2x+\Delta x</math> se apropie de <math>2x</math>. Prin urmare, <math>\frac{dy}{dx}=2x</math>. Această demonstrație poate fi generalizată pentru a arăta că <math>\frac{d(ax^n)}{dx}=anx^{n-1}</math> dacă <math>a</math> și <math>n </math> sunt [[constantă (matematică) |constante]]. De exemplu, <math>\frac{d}{dx}(5x^4)=5(4)x^3=20x^3</math>. Totuși, multe alte funcții nu pot fi diferențiate la fel de ușor ca funcțiile [[polinom]]iale, ceea ce înseamnă că uneori sunt necesare tehnici suplimentare pentru a găsi derivata unei funcții. Alte funcții nu pot fi diferențiate deloc, dând naștere noțiunii de [[funcție derivabilă |diferențiabilitate]].

O noțiune strâns legată de derivata unei funcții este diferențiala. Când {{mvar|x}} și {{mvar|y}} sunt variabile reale, derivata lui {{mvar|f}} în {{mvar|x}} este panta dreptei tangente la graficul lui {{mvar|f}} în {{mvar|x}}. Deoarece argumentul și imaginea lui {{mvar|f}} sunt [[unidimensional]]e, derivata lui {{mvar|f}} este un număr real. Dacă {{mvar|x}} și {{mvar|y}} sunt vectori, atunci cea mai bună aproximare liniară a graficului lui {{mvar|f}} depinde de modul în care {{mvar|f}} variază în mai multe direcții simultan. Luarea celei mai bune aproximări liniare într-o singură direcție corespunde cu o [[derivată parțială]], care se notează de obicei {{mvar|{{sfrac|∂y|∂x}}}}. Liniarizarea lui {{mvar|f}} în toate direcțiile simultan se numește {{ill-wd| Q636889||derivată totală}}.

== Aplicații ale derivatelor ==
=== Optimizare ===
Dacă {{mvar|f}} este o funcție diferențiabilă pe {{math|ℝ}} (sau un interval deschis) și {{mvar|x}} este un maxim local sau un minim local al {{mvar|f}}, atunci derivata lui {{mvar|f}} în {{mvar|x}} este zero. Punctele în care <math>f^{\prime}(x) = 0</math> sunt numite ''{{ill-wd| Q577705||puncte critice}}'' sau ''[[punct staționar |puncte staționare]]''. Dacă nu se presupune că {{mvar|f}} este diferențiabilă peste tot, atunci punctele în care nu poate fi diferențiată sunt numite și ele puncte critice.

Dacă {{mvar|f}} este diferențiabilă de două ori, atunci, reciproc, un punct critic {{mvar|x}} al lui {{mvar|f}} poate fi analizat luând în considerare [[derivata a doua]] a lui {{mvar|f}} în {{mvar|x}}:
* dacă este pozitivă, {{mvar|x}} este un minim local;
* dacă este negativă, {{mvar|x}} este un maxim local;
* dacă este zero, atunci {{mvar|x}} ar putea fi un minim local, un maxim local sau niciunul dintre astea. (De exemplu <math>f^{\prime}(x) = x^3</math> are un punct critic în {{mvar|x}}&nbsp;=&nbsp;0, dar nu are acolo nici un maxim, nici un minim, în timp ce <math>f (x) = \pm x^4</math> are un punct critic în {{mvar|x}}&nbsp;=&nbsp;0 și atât un minim, cât și un maxim acolo.)
Acesta este [[Examinarea derivatelor#Studiul_derivatei_de_ordinul_al_doilea |testul derivatei a doua]]. O abordare alternativă, [[Examinarea derivatelor#Studiul_derivatei_de_ordinul_întâi |testul derivatei întâi]], necesită luarea în considerare a semnului lui <math>f^{\prime}</math> de fiecare parte a punctului critic.

Prin urmare, calculul derivatelor și al punctelor critice este adesea o modalitate simplă de a găsi minime sau maxime locale, care pot fi utile în [[optimizare]].

În [[dimensiune |dimensiuni]] superioare, un punct critic al unei funcții ce ia [[valoare (matematică) |valori]] [[scalar]]e este un punct în care [[gradient]]ul este zero. Examinarea celei de a doua derivate poate fi folosită și pentru a analiza punctele critice, luând în considerare [[vectori și valori proprii |valorile proprii]] din [[Matrice Hessiană|matricea hessiană]] a derivatelor parțiale de ordinul al doilea ale funcției în punctul critic. Dacă toate valorile proprii sunt pozitive, atunci punctul este un minim local; dacă toate sunt negative, este un maxim local. Dacă există unele valori proprii pozitive și unele negative, atunci punctul critic este un [[punct șa]], iar dacă nu este niciunul dintre aceste cazuri (adică unele dintre valorile proprii sunt zero), atunci testul este considerat a fi neconcludent.

==== Calcul variațional ====
{{Articol principal|Calcul variațional}}
Un exemplu de problemă de optimizare este: să se găsească cea mai scurtă [[curbă]] între două puncte de pe o [[suprafață]], presupunând că curba trebuie să se afle pe suprafață. Dacă suprafața este un plan, atunci cea mai scurtă curbă este o dreaptă. Dar dacă suprafața este, de exemplu, în formă de ou, atunci {{ill-wd| Q1058754||cel mai scurt drum]] nu este imediat clar. Aceste căi sunt numite [[geodezică |geodezice]], iar una dintre cele mai fundamentale probleme în calculul variațional este găsirea geodezicelor. Un alt exemplu este: să se găsească cea mai mică suprafață care umple o curbă închisă în spațiu. Această suprafață se numește {{ill-wd| Q1545397||suprafață minimală}} și, de asemenea, poate fi găsită folosind calculul variațional.

=== Fizică ===
Calculul diferențial este de o importanță vitală în fizică: multe procese fizice sunt descrise prin ecuații cu derivate, numite [[ecuație diferențială |ecuații diferențiale]]. Fizica este preocupată în special de modul în care mărimile variază în timp și de noțiunea de ''[[derivată temporală]]''&nbsp;— variația în timp, care este esențială pentru definirea precisă a mai multor noțiuni importante. În special, derivatele temporale ale poziției unui obiect sunt semnificative în [[mecanică clasică |mecanica clasică]]:
* [[viteză |viteza]] este derivata în funcție de timpul deplasării unui obiect (distanța față de poziția inițială);
* [[accelerație |accelerația]] este derivata în funcție de timp a vitezei unui obiect, adică derivata a doua în funcție de timp a poziției unui obiect.

De exemplu, dacă poziția unui obiect pe o dreaptă este dată de
: <math>x(t) = -16t^2 + 16t + 32,</math>
atunci viteza obiectului este
: <math>\dot x(t) = x^{\prime}(t) = -32t + 16,</math>
iar accelerația obiectului este
: <math>\ddot x(t) = x^{\prime\prime}(t) = -32,</math>
adică este constantă.

=== Ecuații diferențiale ===
{{Articol principal|Ecuație diferențială}}
O ecuație diferențială este o relație între o colecție de funcții și derivatele lor. O [[ecuație diferențială ordinară]] este o ecuație diferențială care stabilește o relație între funcțiile unei variabile și derivatele lor în funcție de acea variabilă. O [[ecuație cu derivate parțiale]] este o ecuație diferențială care leagă funcțiile mai multor variabile cu [[derivată parțială |derivatele lor parțiale]]. Ecuațiile diferențiale apar în mod natural în științele fizice, în modelarea matematică și în matematica însăși. De exemplu, a doua lege a lui Newton, care descrie relația dintre accelerație și forță, poate fi formulată ca ecuație diferențială ordinară
:<math>F(t) = m\frac{d^2x}{dt^2}.</math>

[[Ecuația propagării căldurii|Ecuația căldurii]] într-o variabilă de spațiu (adică [[unidimensional]]ă), care descrie modul în care căldura difuzează printr-o tijă, este ecuația cu derivate parțiale
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.</math>
unde {{math|''u''(''x'',''t'')}} este temperatura tijei la poziția {{mvar|x}} și momentul {{mvar|t}}, iar {{mvar|α}} este o constantă care depinde de cât de repede difuzează căldura prin tijă.

=== Teorema creșterilor finite ===
[[Fișier:Mvt2.svg|thumb|Teorema creșterilor finite: la orice funcție derivabilă <math>f:[a,b]\to\R</math> cu <math>a<b</math> există un <math>c\in(a,b)</math > cu <math>f^{\prime}(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}</math>]]
{{Articol principal|Teorema creșterilor finite}}
Teorema creșterilor finite dă o relație între valorile derivatei și valorile funcției inițiale. Dacă {{math|''f''(''x'')}} este o funcție reală și {{mvar|a}} și {{mvar|b}} sunt numere cu {{mvar|a < b}}, atunci teorema creșterilor finite spune că, în cazul ipotezelor comune, panta dintre cele două puncte {{math|(''a'', ''f''(''a''))}} și {{math|(''b'', ''f''(''b''))}} este egală cu panta dreptei tangente la {{mvar|f}} la un moment dat {{mvar|c}}, aflat între {{mvar|a}} și {{mvar|b}}. Cu alte cuvinte,
:<math>f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.</math>

În practică, ceea ce face teorema creșterilor finite este să descrie o funcție pe baza derivatei sale. De exemplu, fie ca {{mvar|f}} să aibă derivata egală cu zero în fiecare punct. Asta înseamnă că tangenta sa este orizontală în fiecare punct, așa că funcția ar trebui să fie și ea orizontală. Teorema creșterilor finite demonstrează că acest lucru trebuie să fie adevărat: panta dintre oricare două puncte de pe graficul lui {{mvar|f}} trebuie să fie egală cu panta uneia dintre tangentele lui {{mvar|f}}. Toate aceste pante sunt zero, deci orice dreaptă de la un punct de pe grafic la un alt punct va avea și ea panta zero. Dar asta spune că funcția nu variază în sus sau în jos, deci trebuie să fie o linie orizontală. Condiții mai complicate asupra derivatei conduc la informații mai puțin precise, dar totuși foarte utile despre funcția originală.

=== Serii Taylor ===
{{Articol principal|Serie Taylor}}
Derivata oferă cea mai bună aproximare liniară posibilă a unei funcții într-un punct dat, dar aceasta poate fi foarte diferită de funcția originală. O modalitate de a îmbunătăți aproximarea este să se aproximeze cu un polinom de gradul al doilea. Adică, liniarizarea unei funcții reale {{math|''f''(''x'')}} în punctul {{math|''x''<sub>0</sub>}} este un [[polinom]] de gradul întâi {{math|''a'' + ''b''(''x'' − ''x''<sub>0</sub>)}} și este posibil să se obțină o aproximare mai bună luând în considerare un polinom de gradul al doilea {{math|''a'' + ''b''(''x'' − ''x''<sub>0</sub>) + ''c''( ''x'' − ''x''<sub>0</sub>)<sup>2</sup>}}. Și mai bine ar fi cu un polinom de gradul al treilea {{math|''a'' + ''b''(''x'' − ''x''<sub>0</sub>) + ''c''(''x'' − ''x''<sub>0</sub>)<sup>2</sup> + ''d''(''x'' - ''x''<sub>0</sub>)<sup>3</sup>}}, iar această idee poate fi extinsă la polinoame de grad oricât de înalt. Pentru fiecare dintre aceste polinoame ar trebui să existe cea mai bună alegere posibilă a coeficienților {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}} și {{mvar|d}} care fac aproximarea cât mai bună.

În [[vecinătate (matematică) |vecinătatea]] lui {{math|''x''<sub>0</sub>}}, cea mai bună alegere posibilă pentru {{mvar|a}} este întotdeauna {{math|''f ''(''x''<sub>0</sub>)}}, iar cea mai bună alegere posibilă pentru {{mvar|b}} este întotdeauna {{math|''f<nowiki>'</nowiki>'' (''x''<sub>0</sub>)}}. Pentru {{mvar|c}}, {{mvar|d}} și ceilalți coeficienți de grad superior, acești coeficienți sunt determinați de derivate de grade mai mari ale lui {{mvar|f}}. {{mvar|c}} ar trebui să fie întotdeauna {{sfrac|''f<nowiki>''</nowiki>''(''x''<sub>0</sub>)|2}}, iar {{mvar|d}} ar trebui să fie întotdeauna {{sfrac|''f<nowiki>'''</nowiki>''(''x''<sub>0</sub>)|3!}}. Folosind acești coeficienți rezultă ''polinomul Taylor'' al lui {{mvar|f}}. Polinomul Taylor de gradul {{mvar|d}} este polinomul de gradul {{mvar|d}} care aproximează cel mai bine {{mvar|f}}, iar coeficienții săi pot fi găsiți printr-o generalizare a formulelor de mai sus. {{ill-wd| Q1137206||Teorema lui Taylor}} oferă o limită precisă a cât de bună este aproximarea. Dacă {{mvar|f}} este un polinom de grad mai mic sau egal cu {{mvar|d}}, atunci polinomul Taylor de gradul {{mvar|d}} este chiar {{mvar|f}}.

Limita polinoamelor Taylor este o serie infinită numită ''[[serie Taylor |seria Taylor]]''. Seria Taylor este adesea o foarte bună aproximare a funcției originale. Funcțiile care sunt egale cu seria lor Taylor se numesc [[funcție analitică |funcții analitice]]. Este imposibil ca funcțiile cu discontinuități sau colțuri ascuțite să fie analitice. În plus, există {{ill-wd| Q868473||funcții netede}} care nu sunt analitice.

=== Teorema funcției implicite ===
Unele forme geometrice naturale, cum ar fi [[cerc]]urile, nu pot fi desenate ca [[graficul unei funcții |grafic al unei funcții]]. De exemplu, dacă {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup >2</sup> − 1}}, atunci cercul este mulțimea tuturor perechilor {{math|(''x'', ''y'')}} astfel încât {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}. Această mulțime se numește mulțimea [[zero al unei funcții |zerourilor]] lui {{mvar|f}} și nu este același lucru cu graficul lui {{mvar|f}}, care este o [[parabolă]]. {{ill-wd| Q848375||Teorema funcției implicite}} convertește relații precum {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}} în funcții. Afirmă că dacă {{mvar|f}} este diferențiabilă peste tot, atunci în jurul celor mai multe puncte, mulțimea zerourilor lui {{mvar|f}} arată ca grafice de funcții lipite împreună. Punctele în care acest lucru nu este adevărat sunt determinate de o condiție asupra derivatei lui {{mvar|f}}. Cercul, de exemplu, poate fi lipit împreună din graficele celor două funcții {{math|± {{sqrt|1 - ''x''<sup>2</sup>}}}}. În vecinătatea fiecărui punct al cercului, cu excepția {{nobreak|(−1, 0)}} și {{nobreak|(1, 0)}}, una dintre aceste două funcții are un grafic care arată ca cercul. (Aceste două funcții se întâmplă să îndeplinească și {{nobreak|(−1, 0)}} și {{nobreak|(1, 0)}}, dar acest lucru nu este garantat de teorema funcției implicite.)

Teorema funcției implicite este strâns legată de {{ill-wd| Q931001||teorema funcției inverse}}, care afirmă că o funcție arată ca grafice ale [[Funcție inversă|funcției inversabile]] lipite împreună.

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
*{{en icon}} {{Cite journal|last=Berggren|first=J. L.|title=Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat|journal=Journal of the American Oriental Society|volume=110|issue=2|pages=304–309|year=1990|doi=10.2307/604533 |jstor=604533 }}
*{{en icon}} {{cite book | author=J. Edwards | title=Differential Calculus
| publisher= MacMillan and Co.| location=London | year=1892
|url=https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607| page=[https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.109607/page/n512 1] }}
*{{en icon}} Boman, Eugene, and Robert Rogers. ''Differential Calculus: From Practice to Theory''. 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf [http://personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20221220181723/http://personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf |date=2022-12-20 }}.
{{Portal|Matematică}}
{{Control de autoritate }}

[[Categorie:Calcul diferențial| ]]