Vizualizare sursă pentru „Bitangente ale unei cuartice”

[[Fișier:Trott bitangents.png|thumb|[[#Curba_Trott |Curba Trott]] (neagră) are 28 de bitangente (roșii). Imaginea prezintă 7 dintre ele; celelalte sunt simetrice la rotațiile de 90° față de origine și reflexiile față de cele două axe albastre.]]
[[Fișier:TrottCurveBiTangents28.svg|thumb|Curba Trott cu toate cele 28 de bitangente]]
În teoria [[curbă plană |curbelor plane]] algebrice, o '''[[cuartică plană]]''' generală are 28 de [[bitangentă |bitangente]], [[dreaptă |drepte]] care sunt '''tangente la curbă în două locuri'''. Aceste drepte există în [[planul proiectiv complex]], dar este posibil să se definească curbe cuartice pentru care toate cele 28 de linii au drept coordonate [[număr real |numere reale]] și care, prin urmare, aparțin [[plan (geometrie) |planului euclidian]].

O cuartică explicită cu douăzeci și opt de bitangente reale a fost găsită mai întâi de {{harv|Plücker|1839}}<ref>Vezi de ex. {{harvtxt|Gray|1982}}.</ref> După cum a arătat Plücker, numărul de bitangente reale ai oricărei cuartice trebuie să fie 28, 16 sau un număr mai mic decât 9. O altă cuartică cu 28 de bitangente reale poate fi formată din [[loc geometric |locul geometric]] al centrelor [[elipsă |elipselor]] cu lungimi fixe ale axei, [[tangentă (geometrie) |tangente]] la două drepte [[paralelism (geometrie) |neparalele]].<ref>{{harvtxt|Blum|Guinand|1964}}.</ref> {{harvtxt|Shioda|1995}} a dat o construcție diferită a unei cuartice cu douăzeci și opt de bitangente, formată prin proiectarea unei [[suprafață cubică |suprafețe cubice]]; douăzeci și șapte dintre bitangentele curbei lui Shioda sunt reale, în timp ce a douăzeci și opta este [[dreaptă de la infinit |dreapta de la infinit]] în {{ill-wd| Q1475760||planul proiectiv}}.

== Exemplu ==
'''Curba Trott''', o altă curbă cu 28 de bitangente reale, este mulțimea de puncte (''x'',''y'') care satisface ecuația [[polinom]]ială de [[gradul unui polinom|gradul]] patru
:<math>\displaystyle 144(x^4+y^4)-225(x^2+y^2)+350x^2y^2+81=0.</math>
Aceste puncte formează o curbă cuartică nesingulară de genul trei și care are douăzeci și opt de [[bitangentă |bitangente]] reale.<ref>{{harvtxt|Trott|1997}}.</ref>

Ca și exemplele lui Plücker și ale lui Blum și Guinand, curba Trott are patru ovale separate, numărul maxim pentru o curbă de gradul patru, ca urmare este o {{ill-wd| Q5659675||curbă M}}. Cele patru ovale pot fi grupate în perechi în șase moduri diferite; pentru fiecare pereche de ovale există patru bitangente care ating ambele ovale din pereche, două care separă cele două ovale (în [[semiplan]]e diferite) și două care nu. În plus, fiecare oval delimitează o regiune neconvexă a planului și are o bitangentă la porțiunea neconvexă a [[frontieră (geometrie) |frontierei]] sale.

== Conexiuni cu alte structuri ==
{{ill-wd| Q641661||Curba duală}} la o curbă cuartică are 28 de puncte duble obișnuite reale, duale la cele 28 de bitangente ale curbei primare.

Cele 28 de bitangente ale unei cuartice pot fi puse în corespondență cu simbolurile formei
:<math>\left[ \begin{array}{ccc}a&b&c\\d&e&f\\ \end{array}\right]</math>
unde ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'' și ''f'' sunt toate 0 sau 1 și unde<ref>{{harvtxt|Riemann|1876}}; {{harvtxt|Cayley|1879}}.</ref>
:<math>ad + be + cf = 1 (\mod 2). </math>
Există 64 de posibilități pentru ''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ''e'' și ''f'', dar numai 28 dintre acestea produc o sumă impară. De asemenea, ''a'', ''b'' și ''c'' pot fi interpretate drept [[coordonate omogene |coordonatele omogene]] ale unui punct din [[planul orientat Fano]] iar ''d'', ''e'' și ''f'' drept coordonatele unei drepte în același plan proiectiv finit. Condiția ca suma să fie impară este echivalentă cu necesitatea ca punctul și linia să nu se atingă și există 28 de perechi diferite de punct și dreaptă care nu se ating.

Punctele și dreptele din planul Fano care sunt [[mulțimi disjuncte|disjuncte]] dintr-o pereche punct și dreaptă neincidentă formează un triunghi, iar bitangentele unei cuartice au fost considerate ca fiind în corespondență cu cele 28 de triunghiuri ale planului Fano.<ref name="M06">{{harvtxt|Manivel|2006}}.</ref> [[Graf Levi |Graful Levi]] al planului Fano este [[graful Heawood]], în care triunghiurile din planul Fano sunt reprezentate de cicluri cu 6 noduri. Cele 28 de cicluri cu 6 noduri ale grafului Heawood corespund, la rândul lor, celor 28 de vârfuri ale [[graf Coxeter |grafului Coxeter]].<ref>{{en icon}} {{citation|first=Italo J.|last=Dejter|title=From the Coxeter graph to the Klein graph|journal=Journal of Graph Theory|year=2011|volume=70|pages=1–9|doi=10.1002/jgt.20597|arxiv=1002.1960|s2cid=754481}}</ref>

Cele 28 de bitangente ale unei cuartice corespund și perechilor de 56 de drepte de pe o [[suprafață del Pezzo]] de gradul 2<ref name="M06"/> și celor 28 de [[caracteristică theta |caracteristici theta]]. impare.

Cele 27 de drepte ale unei cubice și cele 28 de bitangente ale unei cuartice, împreună cu cele 120 de plane tritangente ale unei curbe sextice canonice de genul 4  formează o „trinitate” în sensul lui [[Vladimir Arnold]], în special o formă de [[corespondență McKay]],<ref name="arntrin">{{en icon}} {{citation |last=le Bruyn |first=Lieven |title=Arnold's trinities |url=http://www.neverendingbooks.org/index.php/arnolds-trinities.html |date=17 June 2008 |url-status=dead |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110411132940/http://www.neverendingbooks.org/index.php/arnolds-trinities.html |archivedate=2011-04-11 }}</ref><ref>Arnold 1997, p. 13 – Arnold, Vladimir, 1997, Toronto Lectures, ''[http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/arn-papers.html Lecture 2: Symplectization, Complexification and Mathematical Trinities],'' June 1997 (last updated August, 1998). [http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/a2src.zip TeX], [http://www.pdmi.ras.ru/~arnsem/Arnold/arnlect2.ps.gz PostScript], [http://www.neverendingbooks.org/DATA/ArnoldTrinities.pdf PDF]</ref><ref>{{Harv|McKay|Sebbar|2007|loc=p. 11}}</ref> și pot fi legate de multe alte [[obiect matematic |obiecte matematice]].

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite journal
 | last1 = Blum | first1 = R.
 | last2 = Guinand | first2 = A. P.
 | journal = Canadian Mathematical Bulletin
 | pages = 399–404
 | title = A quartic with 28 real bitangents
 | volume = 7
 | year = 1964
 | issue = 3
 | doi=10.4153/cmb-1964-038-6 | doi-access=free}}
* {{en icon}} {{citation
 | last = Cayley | first = Arthur | author-link = Arthur Cayley
 | contribution = On the bitangents of a quartic
 | pages = 387–389
 | title = Salmon's Higher Plane Curves
 | year = 1879}}. In ''The collected mathematical papers of Arthur Cayley'', Andrew Russell Forsyth, ed., The University Press, 1896, vol. 11, pp.&nbsp;221–223
* {{en icon}} {{citation
 | last = Gray | first = Jeremy
 | doi = 10.1007/BF03023483
 | mr = 0672918
 | issue = 2
 | journal = The Mathematical Intelligencer
 | pages = 59–67
 | title = From the history of a simple group
 | volume = 4
 | year = 1982| s2cid = 14602496 }}. [http://www.msri.org/communications/books/Book35/files/gray.pdf Reprinted] in {{citation
 | editor-last = Levy | editor-first = Silvio
 | mr = 1722415
 | isbn = 0-521-66066-1
 | pages = 115–131
 | publisher = Cambridge University Press
 | series = MSRI Publications
 | volume = 35
 | title = The Eightfold Way
 | year = 1999}}
* {{en icon}} {{citation
 | last = Manivel | first = L.
 | doi = 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029
 | issue = 1
 | journal = Journal of Algebra
 | pages = 457–486
 | title = Configurations of lines and models of Lie algebras
 | volume = 304
 | year = 2006| arxiv = math/0507118
 | s2cid = 17374533
 }}
* {{en icon}} {{citation
 | last = Plücker | first = J. | author-link = Julius Plücker
 | location = Berlin
 | publisher = Adolph Marcus
 | title = Theorie der algebraischen Curven: gegrundet auf eine neue Behandlungsweise der analytischen Geometrie
 | year = 1839}}
* {{en icon}} {{citation
 | last = Riemann | first = G. F. B. | author-link = Bernhard Riemann
 | contribution = Zur Theorie der Abel'schen Funktionen für den Fall ''p''&nbsp;=&nbsp;3
 | location = Leipzig
 | pages = 456–472
 | title = Ges. Werke
 | year = 1876}}. As cited by Cayley.
* {{en icon}} {{citation
 | last = Shioda
 | first = Tetsuji
 | mr = 1336422
 | issue = 1
 | journal = Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli
 | pages = 109–128
 | title = Weierstrass transformations and cubic surfaces
 | url = https://core.ac.uk/download/pdf/293149021.pdf
 | volume = 44
 | year = 1995
 }}
* {{en icon}} {{citation
 | last = Trott | first = Michael
 | issue = 1
 | journal = Mathematica in Education and Research
 | pages = 15–28
 | title = Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry
 | volume = 6
 | year = 1997}}

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Curbe algebrice]]
[[Categorie:Geometrie algebrică]]