Vizualizare sursă pentru „Bisfenoid”

{{Imagine multiplă
| total_width = 400
| image1 = Disphenoid tetrahedron.png
| caption1 = Bisfenoizii '''tetragonal''' și '''digonal''' pot fi poziționați în interiorul unui [[cuboid]], bisectând câte două fețe opuse. Ambele au câte patru [[latură  (geometrie) |laturi]] egale. Digonalul are două perechi de fețe (fațe duble) congruente în formă de [[triunghi isoscel]], în timp ce tetragonalul are patru fețe (simple) congruente în formă de triunghi isoscel.
| image2 = Rhombic disphenoid.png
| caption2 = Un bisfenoid '''rombic''' are fețe congruente în formă de [[triunghi scalen]] și se poate încadra pe diagonală în interiorul unui [[cuboid]]. Are trei tipuri de laturi de lungimi diferite, în perechi opuse.
}}
În [[geometrie]] un '''bisfenoid'''<ref name=DEX>{{Dexonline|bisfenoid}}</ref><ref name=whittaker/> (din {{gr|σφηνοειδής}}, în formă de pană) este un [[tetraedru]] ale cărui patru [[față (geometrie) |fețe]] sunt [[triunghi]]uri ascuțite [[congruență (geometrie) |congruente]].<ref name=DEX/><ref>Coxeter, 1973, p. 15</ref> Poate fi descris și ca un tetraedru în care fiecare pereche de [[latură (geometrie) |laturi]] opuse au lungimi egale. Alte nume pentru această [[formă]] sunt
'''sfenoid''',<ref name=whittaker>{{en icon}} {{citation|title=Crystallography: An Introduction for Earth Science (and other Solid State) Students|first=E. J. W.|last=Whittaker|publisher=Elsevier|year=2013|isbn=9781483285566|page=89|url=https://books.google.com/books?id=aUUvBQAAQBAJ&pg=PA89}}</ref>,
'''tetraederu isoscel'''<ref name=leech>{{en icon}} {{citation
 | last = Leech | first = John
 | doi = 10.2307/3611029
 | journal = [[The Mathematical Gazette]]
 | mr = 0038667
 | pages = 269–271
 | title = Some properties of the isosceles tetrahedron
 | volume = 34
 | year = 1950| issue = 310 | jstor = 3611029 | s2cid = 125145099 }}</ref>,
'''izotetraedru'''<ref name=akiyama2>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Akiyama | first1 = Jin
 | last2 = Matsunaga | first2 = Kiyoko
 | issue = 28
 | journal = Journal of Information Processing
 | mr = 
 | pages =  750–758
 | title = An Algorithm for Folding a Conway Tile into an Isotetrahedron or a Rectangle Dihedron
 | volume = 28
 | year = 2020
 | doi = 10.2197/ipsjjip.28.750
 | jstor =  | s2cid =  230108666| doi-access = free
 }}</ref>, '''tetraedru aproape regulat'''<ref name=akiyama/>,
'''tetraedru echifacial'''<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Hajja | first1 = Mowaffaq
 | last2 = Walker | first2 = Peter
 | doi = 10.1080/00207390110038231
 | issue = 4
 | journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
 | mr = 1847966
 | pages = 501–508
 | title = Equifacial tetrahedra
 | volume = 32
 | year = 2001| s2cid = 218495301
 }}</ref> și
'''tetramonoedru'''<ref>{{en icon}} {{citation|title=Geometric Folding Algorithms |last1=Demaine |first1=Erik |last2=O'Rourke |first2=Joseph |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-71522-5 |year=2007 |page=424}}</ref>

Toate [[unghi solid |unghiurile solide]] și [[figura vârfului |figurile vârfurilor]] unui bisfenoid sunt aceleași, iar suma unghiurilor fiecărei fețe este egală cu 180°. Totuși, un bisfenoid nu este un [[poliedru regulat]], deoarece, în general, fețele sale nu sunt [[poligon regulat |poligoane regulate]], iar laturile sale pot avea două sau trei lungimi diferite.

== Cazuri particulare și generalizări ==
Dacă fețele unui bisfenoid sunt [[triunghi echilateral |triunghiuri echilaterale]], acesta este un [[tetraedru]] regulat, cu [[simetrie tetraedrică]], '''T'''<sub>d</sub>, deși aceasta este nu se numește în mod normal „bisfenoid”. Când fețele unui bisfenoid sunt triunghiuri isoscele, acesta se numește „bisfenoid tetragonal”. În acest caz are [[simetrie diedrală în spațiul tridimensional |simetrie diedrală]] '''D'''<sub>2d</sub>.
Un sfenoid cu fețe în formă de [[triunghi scalen |triunghiuri scalene]] este numit „bisfenoid rombic” și are simetrie diedrală '''D'''<sub>2</sub>. Spre deosebire de bisfenoidul tetragonal, bisfenoidul rombic nu are [[simetrie de reflexie]], deci este [[chiralitate (matematică) |chiral]].<ref name=petitjean/>
Atât bisfenoizii tetragonali, cât și bisfenoizii rombici sunt [[figură izoedrică |izoedre]]: pe lângă faptul că sunt congruente, toate fețele lor sunt și simetrice între ele.

Nu este posibilă construcția unui bisfenoid cu fețe în formă de [[triunghi dreptunghic]] sau obtuz.<ref name=leech/> Când triunghiurile dreptunghice sunt alipite împreună în modelul unui bisfenoid, ele formează o figură plană (un dreptunghi dublu acoperit) care nu are volum.<ref name=petitjean>{{en icon}} {{citation
 | last = Petitjean | first = Michel
 | issue = 2
 | journal = MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry
 | mr = 3242747
 | pages = 375–384
 | title = The most chiral disphenoid
 | url = http://match.pmf.kg.ac.rs/electronic_versions/Match73/n2/match73n2_375-384.pdf
 | volume = 73
 | year = 2015}}</ref> Când triunghiurile obtuze sunt alipite, suprafața rezultată poate fi pliată pentru a forma un bisfenoid (conform {{ill-wd| Q17003552||teoremei de unicitate a lui Alexandrov}}), dar unul cu fețe în formă de triunghi ascuțit și cu laturi care în general nu se suprapun cu laturile triunghiurilor obtuze.

Încă două tipuri de tetraedru sunt generalizări ale bisfenoidului și au denumiri similare:
* '''bisfenoidul digonal''', cu fețe cu două forme diferite, ambele ca triunghiuri isoscele, cu câte două fețe din fiecare formă;
* '''bisfenoidul rombic''', cu fețe cu două forme de triunghiuri scalene.

Bisfenoizii pot fi, de asemenea, priviți ca [[antiprismă |antiprisme]] diagonale sau ca [[prismă (geometrie) |prisme]] patrulatere [[alternare (geometrie) |alternate]].

== Caracterizări ==
Un tetraedru este un bisfenoid [[dacă și numai dacă]] [[paralelipiped]]ul circumscris este [[paralelipiped dreptunghic]].<ref name=Andreescu>{{en icon}} {{citation|last1=Andreescu|first1=Titu|last2=Gelca|first2= Razvan|title=Mathematical Olympiad Challenges|publisher= Birkhäuser|edition=2nd|year= 2009|pages= 30–31}}</ref>

O altă caracterizare afirmă că dacă ''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub> și ''d''<sub>3</sub> sunt [[perpendicularitate |perpendicularele]] comune dintre ''AB'' și ''CD'', ''AC'' și ''BD'', respectiv ''AD'' și ''BC'' într-un tetraedru ''ABCD'', atunci tetraedrul este un bisfenoid dacă și numai dacă ''d''<sub>1</sub>, ''d''<sub>2</sub> și ''d''<sub>3</sub> sunt perpendiculare reciproc.<ref name=Andreescu/>

De asemenea, un tetraedru este un bisfenoid dacă și numai dacă [[Centru (geometrie) |centrele]] [[sferă circumscrisă |sferei circumscrise]] și al [[sferă înscrisă |sferei înscrise]] coincid.<ref name=Brown>{{en icon}} {{citation|last=Brown|first=B. H.|title=Theorem of Bang. Isosceles tetrahedra|journal=American Mathematical Monthly|date=April 1926|pages=224–226|volume=33|issue=4|jstor= 2299548|department=Undergraduate Mathematics Clubs: Club Topics|doi=10.1080/00029890.1926.11986564}}</ref>

Bisfenoizii sunt singurele poliedre care au infinit de multe [[geodezică închisă |geodezice închise]] care nu se intersectează. Pe un bisfenoid, toate geodezicele închise nu se intersectează.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Fuchs | first1 = Dmitry
 | last2 = Fuchs | first2 = Ekaterina
 | issue = 2
 | journal = Moscow Mathematical Journal
 | mr = 2337883
 | pages = 265–279, 350
 | title = Closed geodesics on regular polyhedra
 | url = https://www.ams.org/distribution/mmj/vol7-2-2007/fuchs.pdf
 | volume = 7
 | year = 2007| doi = 10.17323/1609-4514-2007-7-2-265-279
 }}.</ref>

Bisfenoizii sunt tetraedre în care toate cele patru fețe au același [[perimetru]], tetraedre în care toate cele patru fețe au aceeași [[arie]],<ref name=Brown/> și tetraedre în care [[deficit unghiular |deficitele unghiulare]] ale tuturor celor patru vârfuri sunt egale cu {{math|&pi;}}. Ele sunt poliedre care au o [[desfășurată]] în formă de triunghi ascuțit, împărțit în patru triunghiuri asemenea prin [[segment (geometrie) |segmente]] care leagă punctele mijlocii ale laturilor.<ref name=akiyama>{{en icon}} {{citation
 | last = Akiyama | first = Jin
 | issue = 7
 | journal = American Mathematical Monthly
 | mr = 2341323
 | pages = 602–609
 | title = Tile-makers and semi-tile-makers
 | volume = 114
 | year = 2007
 | doi = 10.1080/00029890.2007.11920450
 | jstor = 27642275 | s2cid = 32897155 }}.</ref>

== Mărimi asociate ==
[[Volum]]ul unui bisfenoid cu laturile opuse de lungime ''l'', ''m'' și ''n'' este dat de<ref name=Leech>{{en icon}} {{citation
 | last = Leech | first = John
 | journal = Mathematical Gazette
 | pages = 269–271
 | title = Some properties of the isosceles tetrahedron
 | volume = 34
 | number = 310
 | year = 1950
 | doi=10.2307/3611029| jstor = 3611029
 | s2cid = 125145099
 }}</ref>
:<math> V=\sqrt{\frac{(l^2+m^2-n^2)(l^2-m^2+n^2)(-l^2+m^2+n^2)}{72}}. </math>

[[Sferă circumscrisă |Sfera circumscrisă]] are [[rază |raza]]<ref name=Leech/>
:<math> R=\sqrt{\frac{l^2+m^2+n^2}{8}} </math>
iar [[sferă înscrisă |sfera înscrisă]] are raza<ref name=Leech/>
:<math> r=\frac{3V}{4T} </math>
unde ''V'' este volumul bisfenoidului și ''T'' este aria oricărei fețe, care este dată de [[formula lui Heron]].

Există, de asemenea, următoarea relație care leagă volumul și raza sferei circumscrise:<ref name=Leech/>
:<math>\displaystyle 16T^2R^2=l^2m^2n^2+9V^2. </math>

[[Pătrat (algebră) |Pătratele]] lungimilor bimedianelor sunt<ref name=Leech/>
:<math> \tfrac{1}{2}(l^2+m^2-n^2),\quad \tfrac{1}{2}(l^2-m^2+n^2),\quad \tfrac{1}{2}(-l^2+m^2+n^2). </math>

== Faguri și cristale ==
[[Fișier:Oblate tetrahedrille cell.png|thumb|Un bisfenoid care umple spațiu în interiorul unui cub. [[Unghi diedru |Unghiul diedru]] dintre perechile de fețe care se intersectează pe laturile roșii este de 90°, iar unghiurile diedre dintre celelalte fețe sunt de 60°]]
Unii bisfenoizi tetragonali pot forma [[fagure (geometrie) |faguri]]. Bisfenoidul ale cărui patru vârfuri sunt (-1, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1) și (0, 1, -1) este un astfel de bisfenoid.<ref>Coxeter, 1973, pp. 71–72</ref><ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Senechal | first = Marjorie
 | title = Which tetrahedra fill space?
 | year = 1981
 | journal = Mathematics Magazine
 | mr = 0644075
 | volume = 54
 | issue = 5
 | pages = 227–243
 | jstor = 2689983
 | doi =10.2307/2689983 }}
</ref> Fiecare dintre cele patru fețe ale sale este un triunghi isoscel cu muchii de lungimi {{radic|3}}, {{radic|3}} și 2. Poate [[teselare |tesela]] spațiul pentru a forma un {{ill-wd| Q5282593||fagure bisfenoid tetragonal}}. După cum descrie Gibb<ref name=Gibb/>, poate fi pliat fără tăiere sau suprapunere dintr-o singură coală de hartie A4.<ref name=Gibb>{{en icon}} {{citation
 | last = Gibb | first = William
 | title = Paper patterns: solid shapes from metric paper
 | year = 1990
 | journal = Mathematics in School
 | volume = 19
 | issue = 3
 | pages = 2–4}} Reprinted in {{citation
 | editor-last = Pritchard | editor-first = Chris
 | year = 2003
 | title = The Changing Shape of Geometry: Celebrating a Century of Geometry and Geometry Teaching
 | publisher = Cambridge University Press
 | isbn = 0-521-53162-4
 | pages = 363–366}}</ref>

Bisfenoidul este folosit și pentru a descrie două forme de [[sistem cristalin |cristale]]:
* O formă de cristal în formă de pană în sistemele [[Sistem cristalin tetragonal |tetragonal]] sau [[Sistem cristalin ortorombic |ortorombic]]. Are patru fețe triunghiulare care sunt asemănătoare și care corespund în poziție cu fețele alternate ale [[bipiramidă |bipiramidei]] tetragonale sau ortorombice. Este simetric în raport cu fiecare dintre cele trei axe de simetrie reciproc perpendiculare în toate clasele, cu excepția celei bisfenoidal-tetragonale, în care forma este generată de o axă de simetrie tetradă (simetrie după patru axe) inversă.
* O formă cristalină delimitată de opt triunghiuri scalene dispuse în perechi, constituind un scalenoedru tetragonal.

== Alte utilizări ==
Un număr par de bisfenoizi tetragonali atașați cap la cap într-un inel formează un [[caleidociclu]], o jucărie de hârtie care se poate răsuci în jurul unei axe inelare.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation|authorlink=Harold Scott MacDonald Coxeter|last=Coxeter|first=H. S. M.|title=Regular Polytopes|edition=3rd|publisher=Dover Publications|year=1973|isbn=0-486-61480-8}}

== Vezi și ==
* [[Bisfenoid snub]] - un [[poliedru Johnson]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [https://www.academia.edu/32874396/Mathematical_analysis_of_Disphenoid_isosceles_tetrahedron_Derivation_of_volume_surface_area_vertical_height_in_radius_circum_radius_coordinates_of_four_vertices_in_center_circum_center_and_centroid_for_optimal_configuration_of_a_disphenoid_in_3D_space_ Mathematical Analysis of Disphenoid by H C Rajpoot] la Academia.edu
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=Disphenoid | title=Disphenoid }}
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=IsoscelesTetrahedron | title=Isosceles tetrahedron }}

[[Categorie:Poliedre]]