Vizualizare sursă pentru „Bază de numerație”

{{Cutie sistem numerație}}
'''Baza''' unui [[sistem de numerație pozițional]] se definește ca fiind ''numărul unităților de același [[ordin de mărime]] care formează o unitate de ordin imediat superior''. Altfel spus, '''baza''' unui [[sistem de numerație]] reprezintă ''numărul de semne distincte'' necesare ''scrierii'' unui [[număr]]. 
Teoretic, există o varietate de ''baze de numerație'', dar numai câteva s-au impus și sunt folosite curent în viața de zi cu zi (''baza de numerație zecimală și hexazecimală'') sau în unele domenii specifice (''baza de numerație binară, octală, hexazecimală'').
__TOC__
Orice [[sistem de numerație|sistem de numerație pozițional]] are asociat o bază de numerație definită prin:
* ''un număr întreg de [[simbol]]uri'' ([[cifră|cifre]], grup de cifre, litere, combinație de cifre și litere, semne, etc.) folosite pentru ''reprezentarea numerelor'' în sistemul de numerație respectiv, și care dă și denumirea acestuia precum și a bazei de numerație ''asociate'' lui;
* ''regula de reprezentare'' a numerelor în acest sistem, ''unică'' pentru toate bazele de numerație existente.

== Notații folosite ==
Întrucât majoritatea bazelor de numerație folosesc ca simboluri ''cifrele arabe'' și ''literele alfabetului latin'' este necesară o ''notație'' care să indice baza folosită pentru reprezentarea unui număr. De obicei aceasta se notează ca un ''subindice între paranteze rotunde'', de ex. '''354<sub>(7)</sub>''' (354 în baza 7), iar pentru bazele „'''2'''”, „'''8'''” și „'''16'''” se pot utiliza alternativ literele „'''b'''” (de la binar), „'''o'''” (de la octal) respectiv „'''h'''” (de la hexazecimal). Există și alte convenții de notare a bazei de numerație folosită. De exemplu, la numărul '''55''' scris în sistemul hexazecimal se adaugă fie un prefix „'''0x'''” (rezultând notația '''0x55'''), fie un sufix „'''h'''” (rezultând notația '''55h'''). Valorile numerice pentru care nu se specifică baza de numerație se consideră de regulă că sunt scrise în baza de numerație zecimală.

== Numărul de semne folosite ==
Orice număr întreg, superior sau egal cu '''2''' poate fi o bază de numerație. Dacă „'''b'''” este o bază de numerație, sistemul de numerație are „'''n'''” simboluri de la „'''0'''” la „'''n-1'''”. Pentru sisteme de numerație cu baza mai mare ca '''10''' se folosesc și alte semne în afara cifrelor arabe, de exemplu litere (în sistemul de numerație hexazecimal). 

=== Regula de reprezentare a unui număr ===
Într-un [[sistem de numerație pozițional]], orice număr este ''reprezentat printr-un șir de simboluri'' (cele din care se compune baza de numerație). Fiecare ''poziție'' a unui simbol în număr are o anumită ''pondere''. ''Valoarea numărului'' este ''[[sumă ponderată|suma ponderată]]'' a simbolurilor din care este format numărul.

În [[teoria numerelor]] se demonstrează că dacă „'''b'''” este baza de numerație (cu '''b>1''' și <math>b\in\N</math>, atunci pentru <math>\forall x\in\N</math>, există în mod unic rangul <math>n\in\N</math> <sup>*</sup> și numerele ''c<sub>0</sub>, c<sub>1</sub> … c<sub>n</sub>'' , numite ''cifre în baza'' „'''b'''”, cu '''c<sub>i </sub>< b''', pentru care:
* '' x = c<sub>n</sub>b<sup>n </sup>, c<sub>n-1</sub>b<sup>n-1 </sup>, …. c<sub>1</sub>b + c<sub>0</sub>''
* ''<math>c_i \in \{ 0, 1, ..., b-1 \}</math>'' pentru <math>0{\le}i{\le}n</math>
* '' c<sub>n</sub><>0''
Reprezentarea numărului „'''x'''” în baza „'''b'''” va fi '''''c<sub>n</sub>c<sub>n-1</sub> … c<sub>1</sub>...c<sub>0</sub>''''' .

Altfel spus, dată fiind o bază de numerație „'''b'''”, orice număr natural „'''x'''” se poate scrie ca ''o sumă de produse'' formate din cifrele '''c<sub>i</sub>''' (scrise în baza „'''b'''”) înmulțite cu puterea de rang corespunzător a bazei „'''b'''”.

În cazul general, dacă „'''''x'''''”este un ''număr real pozitiv'', spunem că 
'''''c<sub>n</sub>c<sub>n-1</sub> … c<sub>1</sub>c<sub>0</sub>, c<sub>-1</sub>c<sub>-2</sub>c<sub>-3</sub>''''' este reprezentarea numărului „'''x'''” în baza „'''b'''” dacă:
* ''x = c<sub>n</sub>b<sup>n</sup>, c<sub>n-1</sub>b<sup>n-1</sup>, …. c<sub>1</sub>b + c<sub>0</sub> + c<sub>-1</sub>b<sup>-1</sup>+c<sub>-2</sub>b<sup>-2</sup>...''
* ''<math>c_i \in \{0, 1, ..., b-1\}</math>''
* ''c<sub>n</sub><>0''
* pentru orice indice <math>k{\ge}0</math> există <math>j < k</math> astfel ca <math>c_j < b-1</math>(asigură unicitatea reprezentării)
În cazul ''numerelor fracționare'', cifrele din dreapta virgulei vor avea ponderi corespunzătoare, date de exponenții negativi ai bazei. De exemplu, reprezentarea în baza '''10''' a numărului '''1101,001''' scris în baza '''2''' este:
<div style="text-align:center">'''''1101,001<sub>(2)</sub>= 1*2<sup>3</sup>+1*2<sup>2</sup>+0*2<sup>1</sup>+1*2<sup>0</sup>+0*2<sup>-1</sup>+0*2<sup>-2</sup>+1*2<sup>-3</sup>= 13,125<sub>(10)</sub>'''''</div>

== Conversia unui număr natural ==
Dat fiind un număr întreg (scris într-o bază oarecare '''b<sub>1</sub>'''), pentru scrierea lui într-o altă bază ('''b<sub>2</sub>''') se împarte succesiv numărul scris în baza '''b<sub>1</sub>''' la noua bază până când se obține câtul '''0'''; 
* la prima împărțire se obține un cât '''Q<sub>0</sub>''' și un rest '''r<sub>0</sub>''' 
* dacă '''Q<sub>0</sub>''' este diferit de '''0''', câtul '''Q<sub>0</sub>''' se împarte din nou la baza '''b<sub>2</sub>''', obținându-se un nou cât '''Q<sub>1</sub>''' și un nou rest '''r<sub>1</sub>''' ș.a.m.d. până când câtul obținut este egal cu '''0'''.

Reprezentarea în noua bază se obține prin scrierea resturilor (''reprezentate în noua bază'') în ordinea inversă obținerii lor și ''înmulțirea'' cu puterea corespunzătoare a bazei care este egală cu rangul operației.
De exemplu, pentru reprezentarea numerelor '''61<sub> (10) </sub>''' în bazele „'''2'''” respectiv „'''16'''” vom avea:

{| class="wikitable" width="500" style="text-align:center;"
|+Reprezentarea  lui 61<sub>(10)</sub>  în baza 2
|-
! Nr. ||  : ||  Baza || = ||  Q
! + || Rest în baza 10 || Rest în baza 2
! Rangul operației
|-
| 61 ||  : || 2 ||  = || 30 || +
| 1<sub>(10)</sub> ||  1<sub>(2)</sub>
| 0
|-
| 30 ||  : || 2 ||  = || 15 || +
| 0<sub>(10)</sub> ||  0<sub>(2)</sub>
| 1
|-
| 15 ||  : || 2 ||  = || 7 || +
| 1<sub>(10)</sub> ||  1<sub>(2)</sub>
| 2
|-
| 7 ||  : || 2 ||  = || 3 || +
| 1<sub>(10)</sub> ||  1<sub>(2)</sub>
| 3
|-
| 3 ||  : || 2 ||  = || 1 || +
| 1<sub>(10)</sub> ||  1<sub>(2)</sub>
| 4
|-
| 1 ||  : || 2 ||  = || 0 || +
| 1<sub>(10)</sub> ||  1<sub>(2)</sub>
| 5
|-
| colspan="9" |  61<sub>(10)</sub>=111101<sub>(2)</sub> = 1*2<sup>5</sup> + 1*2<sup>4</sup>  + 1*2<sup>3</sup>  + 1*2<sup>2</sup>  + 0*2<sup>1</sup>  + 1*2<sup>0</sup>
|}

{| class="wikitable" width="500" style="text-align:center;"
|+Reprezentarea  lui 61<sub>(10)</sub>  în baza 16
|-
! Nr. ||  : ||  Baza  || = ||  Q || +
! Rest în baza 10 ||  Rest în baza 16
! Rangul operației
|-
| 61 ||  : || 16 ||  = || 3 || +
| 13<sub>(10)</sub> ||  D<sub>(16)</sub>
| 0
|-
| 3 ||  : || 16 ||  = || 0 || +
| 3<sub>(10)</sub> ||  3<sub>(16)</sub>
| 1
|-
| colspan="9" | 61<sub>(10)</sub> =3D<sub>(16)</sub> = 3*16<sup>1</sup> + 13*16<sup>0</sup> 
|}'''

== Conversia unui număr fracționar ==
La conversia numerelor fracționare, se separă partea întreagă de partea fracționară și se vor face cele două conversii separat. 
Partea fracționară a unui număr se poate scrie sub forma:
<div style="text-align:center">'''
D<sub>f</sub> = x<sub>-1</sub>b<sup>-1</sup> + x<sub>-2</sub>b<sup>-2</sup> + … + x<sub>-m</sub>b<sup>-m</sup>
'''</div>

Prin înmulțirea cu „'''b'''” a membrilor ecuației de mai sus obținem:
<div style="text-align:center">'''
b*D<sub>f</sub> = x<sub>-1</sub> + x<sub>-2</sub>b<sup>-1</sup> + … + x<sub>-m</sub>b<sup>-m+1</sup>
'''</div>

Se observă că partea întreagă a expresiei din membrul drept este x <sub>-1</sub>. Prin scăderea acestei valori și o nouă înmulțire cu „'''b'''” se obține coeficientul '''x''' <sub>-2</sub> ca parte întreagă a expresiei rezultate în membrul drept:
<div style="text-align:center">'''
b*(b*D<sub>f</sub> - x<sub>-1</sub>) = x<sub>-2</sub> + x<sub>-3</sub>b<sup>-1</sup> + … + x<sub>-m</sub>b<sup>-m+2</sup>
'''</div>

Se continuă aceste calcule atât timp cât se înmulțesc cu „'''b'''” numere diferite de '''0'''. Este posibil ca în unele situații, operația de convertire să nu se termine niciodată și din acest motiv, un alt criteriu de oprire este precizia acceptată a reprezentării.
De exemplu, pentru reprezentarea în baza '''10''' a numărului '''1101,001''' scris în baza '''2''' se parcurg următorii pași:

{| class="wikitable" width="500" style="text-align:center;"
|+Reprezentarea  lui 0,61<sub>(10)</sub> în baza 2
|-
| 0,61 ||  x ||  2 || = ||  1,22 || =
| 1<sub>(10)</sub> || 1<sub>(2)</sub>
|-
| 0,22 || x || 2 || = ||  0,44
| = || 0<sub>(10)</sub> || 0<sub>(2)</sub>
|-
| 0,44 || x || 2 || = ||  0,88
| = || 0<sub>(10)</sub> || 0<sub>(2)</sub>
|-
| 0,88 || x || 2 || = ||  1,76
| = || 1<sub>(10)</sub> || 1<sub>(2)</sub>
|-
| 0,76 || x || 2 || = ||  1,52
| = || 1<sub>(10)</sub> || 1<sub>(2)</sub>
|-
| 0,52 || x || 2 || = ||  1,04
| = || 1<sub>(10)</sub> || 1<sub>(2)</sub>
|-
| 0,04 || x || 2 || = ||  0,08
| = || 0<sub>(10)</sub> || 0<sub>(2)</sub>
|-
| colspan="8" |  0,61<sub>(10)</sub>  = 0,1001110…<sub>(2)</sub>
|}'''

Reprezentarea numărului în noua bază se face prin scrierea succesivă a părții întregi obținute, în ordinea succesivă a operațiilor:

<div style="text-align:center">'''1101,001<sub>(2)</sub> = 1*2<sup>3</sup>+1*2<sup>2</sup>+0*2<sup>1</sup>+1*2<sup>0</sup>+0*2<sup>-1</sup>+0*2<sup>-2</sup>+1*2<sup>-3</sup> = 13,125<sub>(10)</sub>'''</div>

[[Categorie:Matematică]]
[[Categorie:Sisteme de numerație poziționale]]