Vizualizare sursă pentru „Bază (algebră liniară)”

[[Fișier:Basis graph.png|250px|thumb|Vectorii (1, 0) și (0, 1) formează o bază în [[spaţiu vectorial|spațiul vectorial]] R<sup>2</sup>]]
In [[Algebra liniară|algebră liniară]], o '''bază''' a unui [[spațiu vectorial]], este un [[sistem de vectori]] cu care, printr-o [[combinație liniară]], poate fi generat orice [[vector]] al spațiului, și care este <u>minimală</u> în raport cu numărul de vectori pe care îi conține. Dacă baza nu ar fi minimală, atunci unul sau mai mulți vectori ai ei, se poate scrie ca o combinație liniară a celorlalți vectori, ceea ce înseamnă că ei pot fi excluși din bază, rămânându-ne mai puțini vectori.

== Definiție ==
Fiind dat ''spațiul vectorial'' <math>(V; \mathbb K; +; \cdot)</math>, <math> V </math> - [[mulțime]]a vectorilor, <math> \mathbb K </math> - [[corp]]ul peste care se află spațiul vectorial, +,* - [[lege de compoziție|legi de compoziție]], se numește '''bază (algebrică)''' a lui <math> V </math>, un ''sistem de vectori [[independență liniară|liniar independenți]]'' care sunt ''generatori ai spațiului vectorial''.

Vectorii bazei se numesc ''[[versor]]i''.
Mai in detaliu, presupunând că <math> B = \{ \vec v_1, \vec v_2, \cdots , \vec v_n \} </math> este o submulțime finită a spațiului vectorial <math> V </math> peste un câmp <math> F </math>
(precum mulțimea numerelor reale <math> \mathbb R  </math>
sau cea a numerelor complexe <math> \mathbb C </math>). Atunci ''B'' este bază dacă satisface următoarele condiții:
* proprietatea de ''[[independență liniară|liniar independență]]'':
::pentru orice <math> a_1, a_2, \cdots , a_n \in F </math> dacă <math> a_1 \cdot \vec v_1+ a_2 \cdot \vec v_2 + \cdots + a_n \cdot \vec v_n=0, </math> atunci <math> a_1= a_2= \cdots =  a_n=0.</math>
* constituie un ''sistem de generatori'':

::pentru orice <math> \vec x \in V </math> există <math> a_1, a_2, \cdots , a_n \in F </math> astfel încât <math> \vec x = a_1 \cdot \vec v_1 + a_2 \cdot \vec v_2 + \cdots + a_n \cdot \vec v_n. </math>

De notat că sumele de mai sus sunt finite, chiar dacă baza are un număr infinit de elemente. Admiterea sumelor infinite ([[serie (matematică)|serii]]) necesită înzestrarea spațiului vectorial cu o structură de [[spațiu topologic]]. Structuri similare cu bazele algebrice pentru [[spațiu prehilbertian|spații prehilbertiene]] sunt de exemplu [[bază ortonormată|bazele ortonormate]] și [[bază Riesz|bazele Riesz]].

== Notație ==
O '''bază''' a unui spațiu vectorial constă de fapt, într-un număr de vectori. Aceștia se scriu între acolade: { }. Exemplu: <math>\begin{Bmatrix}v_1, v_2, v_3, ...\end{Bmatrix}</math>. Dacă vectorii <math>v_i\,</math> sunt de forma <math>(e_{i1}, e_{i2}, e_{i3}, ..., e_{ij}, ...)\,</math>, atunci baza se poate scrie și astfel: <math>\begin{Bmatrix}(e_{11}, e_{12}, ..., e_{1j}, ...), (e_{21}, e_{22}, ..., e_{2j}, ...), ..., (e_{k1}, e_{k2}, ..., e_{kj}, ...)\end{Bmatrix}</math>, unde k și j sunt evident, ''indici''.

== Proprietăți ==
* Orice spațiu vectorial are o bază;
* Un spațiu vectorial poate avea mai multe baze, chiar și o infinitate;
* Două baze diferite din același spațiu vectorial, conțin același număr de vectori. Numărul de vectori ai bazei este deci o caracteristică a spațiului vectorial, numită [[dimensiune (spațiu vectorial)|dimensiunea]] spațiului vectorial respectiv. Spațiul format doar din elementul nul (<math>\{0_V\}</math>) are o singură bază, mulțimea vidă, și ca urmare are dimensiune 0.

== Exemple ==
# <math>(\mathbb{R}; +; \cdot)_{/\mathbb{R}}</math>, notație similară cu <math>(\mathbb{R}; \mathbb{R}; +; \cdot)</math>, formează un spațiu vectorial. Cea mai importantă (și mai cunoscută bază) a acestuia este <math>\begin{Bmatrix}(1)\end{Bmatrix}</math>. Aceasta este baza canonică. Conținând un singur vector (care este și nenul), el este liniar independent, deoarece <math>\forall \alpha\in \mathbb{R}</math>, a.î. <math>\alpha\cdot 1 = 0 \to \alpha = 0</math>, este adevarată, fiind definiția sistemului de vectori liniar independeți, iar vectorul <math>(1)\,</math> este generator deoarece <math>\forall v\in \mathbb{R}</math>, el se poate scrie ca o combinație liniară de forma <math>\alpha\cdot(1) = v</math>, iar <math>\alpha \in \mathbb{R}</math>;
# <math>(\mathbb{R}^2; +; \cdot)_{/\mathbb{R}}</math>, spațiul vectorial real bidimensional. Orice vector este de forma <math>(x, y)\,</math> . Printr-un calcul destul de simplu, se observă că în acest spațiu vectorial, o bază are exact 2 vectori. Baza canonică este <math>\begin{Bmatrix}(1, 0), (0, 1)\end{Bmatrix}</math>. O altă bază ar putea fi <math>\begin{Bmatrix}(3, 0), (0, -2)\end{Bmatrix}</math>;
# <math>(\mathbb{R}^n; +; \cdot)_{/\mathbb{R}}, n \in \mathbb{N^*}</math>, spațiul vectorial real generalizat pentru orice dimensiune. Un vector v are n componente, <math>v = (e_1, e_2, e_3, ..., e_n)\,</math>, iar orice bază are și ea, ''n'' vectori. Baza canonică este: <math>\begin{Bmatrix}(1, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 0, 1)\end{Bmatrix}</math>;
# <math>(\mathbb{C}; +; \cdot)_{/\mathbb{C}}</math>, [[spațiu vectorial|spațiul vectorial]] [[complex]] unidimensional, peste [[mulțimea numerelor complexe]]. Orice bază are o componentă [[nenul]]ă, deoarece este nevoie de un singur [[număr complex]] pentru a genera un alt număr complex (care este de fapt vectorul), printr-o combinație liniară;
# <math>(\mathbb{C}; +; \cdot)_{/\mathbb{R}}</math>, spațiul vectorial complex unidimensional, peste mulțimea numerelor reale. Aici este nevoie de 2 numere reale pentru a genera un vector, deoarece orice număr complex este de forma <math> a+i\cdot b,  a,b \in \mathbb{R}\,</math>. Ca bază, putem avea <math>\begin{Bmatrix}(1, 0), (0, i)\end{Bmatrix}</math>;
# <math>(\mathbb{R}[X]; +; \cdot)</math> spațiul vectorial al [[polinom|polinoamelor]] cu coeficienți reali. Bază avem <math>\begin{Bmatrix}1, X, X^2, X^3, ...\end{Bmatrix}</math>, acesta fiind un spațiu infinit dimensional, baza va conține o infinitate de vectori.

{{Algebră liniară}}

[[Categorie:Algebră liniară]]