Vizualizare sursă pentru „Arc de cerc”

[[Fișier:Circle arc.svg|thumb|Un [[sector de cerc]] colorat verde. [[Frontieră (topologie) |Frontiera]] sa curbă de lungime L este un '''arc de cerc'''.]]
Un '''arc de cerc'''<ref>{{Dexonline|arc}}</ref> este un [[curbă |arc]] al unui [[cerc]] dintre o pereche de [[punct (geometrie) |puncte]] distincte. Dacă cele două puncte nu sunt direct opuse unul altuia, unul dintre aceste arcuri, '''arcul mic''',<ref name=TC>Tatiana Ceban, [https://library.livresq.com/details/5f200bba848b0f38a56189e3 ''Unghi la centru. Arce de cerc. Unghi înscris în cerc. Clasa a VIII–IX-a.''], livresq.com, 28 iulie 2020, accesat 2021-08-28</ref> va subîntinde un [[unghi la centru]] care este mai mic de {{math|&pi;}} [[radian]]i (180°), iar celălalt arc, '''arcul mare''',<ref name=TC/> va subîntinde un unghi mai mare de {{math|&pi;}} radiani.

== Lungime ==
Lungimea unui arc de cerc cu raza "r" și care subîntinde un unghi la centru ''θ'' (măsurat în radiani) este: <ref>{{en icon}} [[Ron Larson|Larson, R.]], & Edwards, B. H., [https://books.google.com/books?id=IBjvMZSIsCYC&pg=PA570#v=onepage&q&f=false ''Calculus I with Precalculus''], Boston: Brooks/Cole, 2002), p.&nbsp;570</ref>
:<math> L = \theta r.</math>

Asta deoarece
:<math>\frac{L}{\mathrm{circumferinta}}=\frac{\theta}{2\pi}.</math>

Substituind [[circumferință |circumferința]] și simplificând se obține relația susmenționată:
:<math>\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi},</math>

Dacă ''α'' este același unghi, dar măsurat în [[grad sexagesimal |grade]], deoarece ''θ''&nbsp;=&nbsp;{{sfrac|''α''|180}}{{math|&pi;}}, lungimea arcului este
:<math>L=\frac{\alpha\pi r}{180}.</math> 

O modalitate practică de a determina lungimea unui arc de cerc este să se traseze două [[dreaptă|drepte]] din punctele finale ale arcului până la [[centru (geometrie) |centrul]] cercului, să se măsoare unghiul dintre aceste drepte și apoi să se calculeze
:măsura unghiului în grade / 360° = ''L'' / circumferință.

De exemplu, dacă măsura unghiului este de 60° iar circumferința este de 24&nbsp;m, atunci
:<math>\begin{align} \frac{60}{360} &= \frac{L}{24} \\[6pt] 360L &= 1440 \\[6pt] L &= 4 \text { m.}\end{align}</math>

Asta deoarece circumferința unui cerc și gradele unui cerc, care sunt întotdeauna 360, sunt direct proporționale.

Jumătatea superioară a unui cerc poate fi parametrizată ca
:<math>y=\sqrt{r^2-x^2}.</math>

Atunci lungimea arcului de la <math>x=a</math> la <math>x=b</math> este
:<math>L=r\Big[\arcsin \left(\frac{x}{r}\right)\Big]^b_a.</math>

== Aria sectorului ==
Aria [[sector de cerc|sectorului]] format dintr-un arc și centrul unui cerc (adică mărginită de arc și de cele două raze trasate din punctele sale finale) este
:<math>A=\frac{r^2 \theta}{2}.</math>

Aria ''A'' are aceeași proporție față de aria cercului ca și unghiul ''θ'' față de {{math|2&pi;}} (respectiv 360°):
:<math>\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.</math>

Se simplifică {{math|&pi;}} în ambii membri ai relației:
:<math>\frac{A}{r^2}=\frac{\theta}{2}.</math>

Înmulțind ambii membri cu ''r''<sup>2</sup> se obține în final:
:<math>A=\frac{1}{2} r^2 \theta.</math>

Folosind conversia descrisă mai sus, aria sectorului pentru un unghi la centru măsurat în grade este
:<math>A=\frac{\alpha}{360} \pi r^2.</math>

== Aria segmentului ==
Aria formei delimitate de arc și coardă (linia dreaptă dintre cele două puncte finale ale acestuia) este
:<math>\frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin\theta).</math>

Asta se obține scăzând din aria sectorului aria [[triunghi]]ului format din centrul cercului și cele două puncte de capăt ale arcului de cerc.

== Raza ==
[[File:Circle with some chords.jpg|thumb|{{ill-wd|Q901718|Produs (matematică)|Produsul}} dintre segmentele <math>\overline{AP}</math> și <math>\overline{PB}</math> este egal cu produsul dintre segmentele <math>\overline{CP}</math> și <math>\overline{PD}.</math>. Dacă coarda are lungimea AB și înălțimea CP, atunci diametrul cercului este <math>CD=\frac{AP \cdot PB}{CP}+CP</math>]]
Folosind {{ill-wd|Q898575}} raza ''r'' a cercului se poate calcula din lungimea coardei, ''W'', care subîntinde arcul și înălțimea ''H''. Mediatoarea coardei împarte coarda în două jumătăți egale, fiecare cu lungimea {{sfrac|''W''|2}}. Lungimea diametrului este de 2''r'' și este împărțită în două părți de coardă. Lungimea unei părți este [[săgeată (geometrie) |săgeata]] arcului, ''H'', iar cealaltă parte este restul diametrului, cu lungimea 2''r''&nbsp;&minus;&nbsp;''H''. Aplicarea teoremei coardelor care se intersectează la aceste două coarde produce
:<math>H(2r-H)=\left(\frac{W}{2}\right)^2,</math>
de unde
:<math>2r-H=\frac{W^2}{4H},</math>
prin urmare
:<math>r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}.</math>

== Note ==
<references />

== Legături externe  ==
* {{Commonscat-inline|Circle arcs}}
* {{en icon}} [http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html Table of contents for Math Open Reference Circle pages]
* {{en icon}} [http://www.mathopenref.com/arc.html Math Open Reference page on circular arcs] With interactive animation
* {{en icon}} [http://www.mathopenref.com/arcradius.html Math Open Reference page on Radius of a circular arc or segment] With interactive animation
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname=Arc | title=Arc}}

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Cercuri]]
[[Categorie:Curbe]]